Encuentra las intersecciones de una parábola

 

Cuando graficamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las intercepciones x – y y para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de las intersecciones también nos ayudará a graficar parábolas.

 

Recuerde, en y -intercepción el valor de x es cero. Entonces, para encontrar la intersección y , sustituimos x = 0 en la ecuación.

 

Vamos a encontrar las intercepciones y de las dos parábolas que se muestran en la figura a continuación.

 

 

En un x -intercepción , el valor de y es cero. Para encontrar una intersección x , sustituimos (y = 0 ) en la ecuación. En otras palabras, tendremos que resolver la ecuación (0 = ax ^ 2 + bx + c ) para x.

 

[ begin {array} {ll} {y = ax ^ 2 + bx + c} \ {0 = ax ^ 2 + bx + c} \ nonumber end {array} ] [19459007 ]  

Pero resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo.

 

Ahora podemos encontrar las intercepciones x de las dos parábolas que se muestran en Figura .

 

Primero, encontraremos x -interceptos de una parábola con la ecuación (y = x ^ 2 + 4x + 3 ).

 

Ahora, encontraremos los x -interceptos de la parábola con la ecuación (y = −x ^ 2 + 4x + 3 ).

 

Utilizaremos las aproximaciones decimales de las intersecciones con el eje x, de modo que podamos ubicar estos puntos en el gráfico.

 

[ begin {array} {l} {(2+ sqrt {7}, 0) aprox (4.6,0)} & {(2− sqrt {7}, 0) aprox (- 0.6,0)} \ nonumber end {array} ]

 

¿Concuerdan estos resultados con nuestros gráficos? Ver Figura .

 

 

 

 

Definición: ENCUENTRE LAS INTERCEPTOS DE UNA PARABOLA

 

Para encontrar las intersecciones de una parábola con la ecuación (y = ax ^ 2 + bx + c ):

 

[ begin {array} {ll} { textbf {y-intercept}} & { textbf {x-intercept}} \ { text {Let} x = 0 text {y resuelve el y }} & { text {Let} y = 0 text {y resuelve la x}} \ nonumber end {array} ]

 

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−2x − 8 ).

 

     

Respuesta

     

          

     

     

Cuando y = 0, entonces x = 4 o x = −2. Los x -interceptos son los puntos (4,0) y (−2,0).

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2 + 2x − 8 ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0, −8); x: (- 4,0), (2,0)

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−4x − 12 ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0, −12); x: (6,0), (−2,0)

     

 

 

 

 

 

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Resolvimos xx y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

 

Ahora estamos viendo ecuaciones cuadráticas en dos variables de la forma (y = ax ^ 2 + bx + c ). Las gráficas de estas ecuaciones son parábolas. Las intercepciones x de las parábolas ocurren donde y = 0.

 

Por ejemplo:

 

[ begin {array} {cc} { textbf {ecuación cuadrática}} y { textbf {ecuación cuadrática en dos variables}} \ {} & {y = x ^ 2−2x − 15} {x ^ 2−2x − 15} & { text {Let} y = 0, 0 = x ^ 2−2x − 15} \ {(x − 5) (x + 3) = 0} & {0 = (x − 5) (x + 3)} \ {x − 5 = 0, x + 3 = 0} & {x − 5 = 0, x + 3 = 0} \ {x = 5, x = −3} & {x = 5, x = −3} \ {} & {(5,0) text {and} (−3,0)} \ {} & { text {x-intercepts} } \ end {array} ]

 

Las soluciones de la ecuación cuadrática son los valores x de los interceptos x .

 

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen 2, 1 o 0 soluciones. Los gráficos a continuación muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Como las soluciones de las ecuaciones dan las intercepciones x de las gráficas, el número de intercepciones x es el mismo que el número de soluciones.

 

Anteriormente, utilizamos el discriminante para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Ahora, podemos usar el discriminante para decirnos cuántas intercepciones x hay en el gráfico.

 

 

 

Antes de comenzar a resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de los interceptos x , es posible que desee evaluar el discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 5x ^ 2 + x + 4 ).

 

     

Respuesta

     

          

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 3x ^ 2 + 4x + 4 ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0,4); x: ninguno

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−4x − 5 ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0, −5); x: (5,0) (- 1,0)

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 4x ^ 2−12x + 9 ).

 

     

Respuesta

     

          

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = −x ^ 2−12x − 36. ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0, −36); x: (- 6,0)

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 9x ^ 2 + 12x + 4 ).

 

     

Respuesta

     

     

y: (0,4); x: ((- frac {2} {3}, 0) )