10.5: Graficar ecuaciones cuadráticas

10.5: Graficar ecuaciones cuadráticas

Encuentra las intersecciones de una parábola

 

Cuando graficamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las intercepciones x – y y para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de las intersecciones también nos ayudará a graficar parábolas.

 

Recuerde, en y -intercepción el valor de x es cero. Entonces, para encontrar la intersección y , sustituimos x = 0 en la ecuación.

 

Vamos a encontrar las intercepciones y de las dos parábolas que se muestran en la figura a continuación.

 
This figure shows an two graphs side by side. The graph on the left side shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The vertex is at the point (-2, -1). Other points on the curve are located at (-3, 0), and (-1, 0). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals -2. Below the graph is the equation of the graph, y equals x squared plus 4 x plus 3. Below that is the statement “x equals 0”. Next to that is the equation of the graph with 0 plugged in for x which gives y equals 0 squared plus4 times 0 plus 3. This simplifies to y equals 3. Below the equation is the statement “y-intercept (0, 3)”. The graph on the right side shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The vertex is at the point (2, 7). Other points on the curve are located at (0, 3), and (4, 3). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals 2. Below the graph is the equation of the graph, y equals negative x squared plus 4 x plus 3. Below that is the statement “x equals 0”. Next to that is the equation of the graph with 0 plugged in for x which gives y equals negative quantity 0 squared plus 4 times 0 plus 3. This simplifies to y equals 3. Below the equation is the statement “y-intercept (0, 3)”.
 

En un x -intercepción , el valor de y es cero. Para encontrar una intersección x , sustituimos (y = 0 ) en la ecuación. En otras palabras, tendremos que resolver la ecuación (0 = ax ^ 2 + bx + c ) para x.

 

[ begin {array} {ll} {y = ax ^ 2 + bx + c} \ {0 = ax ^ 2 + bx + c} \ nonumber end {array} ] [19459007 ]  

Pero resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo.

 

Ahora podemos encontrar las intercepciones x de las dos parábolas que se muestran en Figura .

 

Primero, encontraremos x -interceptos de una parábola con la ecuación (y = x ^ 2 + 4x + 3 ).

 

Ahora, encontraremos los x -interceptos de la parábola con la ecuación (y = −x ^ 2 + 4x + 3 ).

 

Utilizaremos las aproximaciones decimales de las intersecciones con el eje x, de modo que podamos ubicar estos puntos en el gráfico.

 

[ begin {array} {l} {(2+ sqrt {7}, 0) aprox (4.6,0)} & {(2− sqrt {7}, 0) aprox (- 0.6,0)} \ nonumber end {array} ]

 

¿Concuerdan estos resultados con nuestros gráficos? Ver Figura .

 
This figure shows an two graphs side by side. The graph on the left side shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The vertex is at the point (-2, -1). Three points are plotted on the curve at (-3, 0), (-1, 0), and (0, 3). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals -2. Below the graph is the equation of the graph, y equals x squared plus 4 x plus 3. Below that is the statement “y-intercept (0, 3)”. Below that is the statement “x-intercepts (-1, 0) and (-3, 0)”. The graph on the right side shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The vertex is at the point (2, 7). Three points are plotted on the curve at (-0.6, 0), (4.6, 0), and (0, 3). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals 2. Below the graph is the equation of the graph, y equals negative x squared plus 4 x plus 3. Below that is the statement “y-intercept (0, 3)”. Below that is the statement “x-intercepts (2 plus square root of 7, 0) is approximately equal to (4.6, 0) and (2 minus square root of 7, 0) is approximately equal to (-0.6, 0).”
 
 
 

Definición: ENCUENTRE LAS INTERCEPTOS DE UNA PARABOLA

 

Para encontrar las intersecciones de una parábola con la ecuación (y = ax ^ 2 + bx + c ):

 

[ begin {array} {ll} { textbf {y-intercept}} & { textbf {x-intercept}} \ { text {Let} x = 0 text {y resuelve el y }} & { text {Let} y = 0 text {y resuelve la x}} \ nonumber end {array} ]

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−2x − 8 ).

 
     
Respuesta
     
          
     
     
Cuando y = 0, entonces x = 4 o x = −2. Los x -interceptos son los puntos (4,0) y (−2,0).
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2 + 2x − 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0, −8); x: (- 4,0), (2,0)

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−4x − 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0, −12); x: (6,0), (−2,0)

     
 
 
 
 
 

En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Resolvimos xx y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

 

Ahora estamos viendo ecuaciones cuadráticas en dos variables de la forma (y = ax ^ 2 + bx + c ). Las gráficas de estas ecuaciones son parábolas. Las intercepciones x de las parábolas ocurren donde y = 0.

 

Por ejemplo:

 

[ begin {array} {cc} { textbf {ecuación cuadrática}} y { textbf {ecuación cuadrática en dos variables}} \ {} & {y = x ^ 2−2x − 15} {x ^ 2−2x − 15} & { text {Let} y = 0, 0 = x ^ 2−2x − 15} \ {(x − 5) (x + 3) = 0} & {0 = (x − 5) (x + 3)} \ {x − 5 = 0, x + 3 = 0} & {x − 5 = 0, x + 3 = 0} \ {x = 5, x = −3} & {x = 5, x = −3} \ {} & {(5,0) text {and} (−3,0)} \ {} & { text {x-intercepts} } \ end {array} ]

 

Las soluciones de la ecuación cuadrática son los valores x de los interceptos x .

 

Anteriormente, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen 2, 1 o 0 soluciones. Los gráficos a continuación muestran ejemplos de parábolas para estos tres casos. Como las soluciones de las ecuaciones dan las intercepciones x de las gráficas, el número de intercepciones x es el mismo que el número de soluciones.

 

Anteriormente, utilizamos el discriminante para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Ahora, podemos usar el discriminante para decirnos cuántas intercepciones x hay en el gráfico.

 
 

This figure shows three graphs side by side. The leftmost graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola is in the lower right quadrant. Below the graph is the inequality b squared minus 4 a c greater than 0. Below that is the statement “Two solutions”. Below that is the statement “ Two x-intercepts”. The middle graph shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola is on the x-axis. Below the graph is the equation b squared minus 4 a c equals 0. Below that is the statement “One solution”. Below that is the statement “ One x-intercept”. The rightmost graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The vertex of the parabola is in the upper left quadrant. Below the graph is the inequality b squared minus 4 a c less than 0. Below that is the statement “No real solutions”. Below that is the statement “ No x-intercept”.

 

Antes de comenzar a resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de los interceptos x , es posible que desee evaluar el discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 5x ^ 2 + x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 3x ^ 2 + 4x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0,4); x: ninguno

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = x ^ 2−4x − 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0, −5); x: (5,0) (- 1,0)

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 4x ^ 2−12x + 9 ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = −x ^ 2−12x − 36. ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0, −36); x: (- 6,0)

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Encuentra las intersecciones de la parábola (y = 9x ^ 2 + 12x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

y: (0,4); x: ((- frac {2} {3}, 0) )

     
 
 
 
 
 
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