10.5: Multiplicar polinomios (Parte 2)

10.5: Multiplicar polinomios (Parte 2)

Usando el método FOIL

 

Recuerda que cuando multiplicas un binomio por un binomio obtienes cuatro términos. A veces puede combinar términos similares para obtener un trinomio, pero a veces no hay términos similares para combinar. Veamos nuevamente el último ejemplo y prestemos especial atención a cómo obtuvimos los cuatro términos.

 

$$ begin {split} (x + 2) & (x – y) \ x ^ {2} – xy & + 2x – 2y end {split} $$

 

¿De dónde viene el primer término, x 2 ?

 

Es el producto de xyx, los primeros términos en (x + 2) y (x – y).

 

Parentheses x plus 2 times parentheses x minus y is shown. There is a red arrow from the first x to the second. Beside this, “First” is written in red.

 

El siguiente término, −xy, es el producto de x e – y, los dos términos externos.

 

Parentheses x plus 2 times parentheses x minus y is shown. There is a black arrow from the first x to the second x. There is a red arrow from the first x to the y. Beside this, “Outer” is written in red.

 

El tercer término, + 2x, es el producto de 2 yx, los dos términos interno .

 

Parentheses x plus 2 times parentheses x minus y is shown. There is a black arrow from the first x to the second x. There is a black arrow from the first x to the y. There is a red arrow from the 2 to the x. Below that, “Inner” is written in red.

 

Y el último término, −2y, vino de multiplicar los dos últimos términos.

 

Parentheses x plus 2 times parentheses x minus y is shown. There is a black arrow from the first x to the second x. There is a black arrow from the first x to the y. There is a black arrow from the 2 to the x. There is a red arrow from the 2 to the y. Above that, “Last” is written in red.

 

Abreviamos «Primero, Exterior, Interior, Último» como FOIL. Las letras significan «Primero, Exterior, Interior, Último». La palabra FOIL es fácil de recordar y garantiza que encontremos los cuatro productos. Podríamos decir que usamos el método FOIL para multiplicar dos binomios.

 

Parentheses a plus b times parentheses c plus d is shown. Above a is first, above b is last, above c is first, above d is last. There is a brace connecting a and d that says outer. There is a brace connecting b and c that says inner.

 

Veamos nuevamente (x + 3) (x + 7). Ahora trabajaremos con un ejemplo en el que usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.

 

CNX_BMath_Figure_10_03_063_img.jpg

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Multiplica usando el método FOIL: (x + 6) (x + 9).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1 : Multiplica los términos Primero . CNX_BMath_Figure_10_03_054_img-01.png
Paso 2 : Multiplica los términos Exterior . CNX_BMath_Figure_10_03_054_img-02.png
Paso 3 : Multiplica los términos Interior . CNX_BMath_Figure_10_03_054_img-03.png
Paso 4 : Multiplica los términos Último . CNX_BMath_Figure_10_03_054_img-04.png
Paso 5 : Combina términos similares, cuando sea posible. x 2 + 15x + 54
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Multiplica usando el método FOIL: (x + 7) (x + 8).

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2 + 15x + 56 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Multiplica usando el método FOIL: (y + 14) (y + 2).

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ 2 + 16y + 28 )

     
 
 
 

A continuación resumimos los pasos del método FOIL. ¡El método FOIL solo se aplica a la multiplicación de binomios, no a otros polinomios!

 
 
 

CÓMO: UTILIZAR EL MÉTODO FOIL PARA MULTIPLICAR DOS BINOMIALES

 

Paso 1. Multiplica los términos Primero .

 

Paso 2. Multiplica los términos Exterior .

 

Paso 3. Multiplica los términos Inner .

 

Paso 4. Multiplica los términos Último .

 

Paso 5. Combina términos similares, cuando sea posible.

 

Parentheses a plus b times parentheses c plus d is shown. Above a is first, above b is last, above c is first, above d is last. There is a brace connecting a and d that says outer. There is a brace connecting b and c that says inner.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Multiplicar: (y – 8) (y + 6).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1 : Multiplica los términos Primero . CNX_BMath_Figure_10_03_055_img-01.png
Paso 2 : Multiplica los términos Exterior . CNX_BMath_Figure_10_03_055_img-02.png
Paso 3 : Multiplica los términos Interior . CNX_BMath_Figure_10_03_055_img-03.png
Paso 4 : Multiplica los términos Último . CNX_BMath_Figure_10_03_055_img-04.png
Paso 5 : Combina términos similares, cuando sea posible. y 2 – 2 años – 48
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Multiplicar: (y – 3) (y + 8).

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ 2 + 5y-24 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Multiplicar: (q – 4) (q + 5).

 
     
Respuesta
     
     

(q ^ 2 + q-20 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Multiplicar: (2a + 3) (3a – 1).

 

Solución

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Multiplicar: (4a + 9) (5a – 2).

 
     
Respuesta
     
     

(20a ^ 2 + 37a-18 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Multiplicar: (7x + 4) (7x – 8).

 
     
Respuesta
     
     

(49x ^ 2-28x-32 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Multiplicar: (5x – y) (2x – 7).

 

Solución

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Multiplicar: (12x – y) (x – 5).

 
     
Respuesta
     
     

(12 x ^ {2} -60 x-x y + 5 y )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Multiplicar: (6a – b) (2a – 9).

 
     
Respuesta
     
     

(12 a ^ {2} -54 a-2 a b + 9 b )

     
 
 
 

Usando el método vertical

 

El método FOIL suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puede usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de dos polinomios. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que utiliza para multiplicar números enteros. Mire cuidadosamente este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.

 

A vertical multiplication problem is shown. 23 times 46 is written with a line underneath. Beneath the line is 138. Beside 138 is written “partial product.” Beneath 138 is 92. Beside 92 is written “partial product.” Beneath 92 is a line and 1058. Beside 1058 is written “product.”

 

Comienza multiplicando 23 por 6 para obtener 138. Luego multiplica 23 por 4, alineando el producto parcial en las columnas correctas. Por último, agrega los productos parciales. Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Multiplica usando el método vertical: (5x – 1) (2x – 7).

 

Solución

 

No importa qué binomio vaya arriba. Alinea las columnas cuando multiplicas como lo hicimos cuando multiplicamos 23 (46).

                                                                                                                                                                                                              
CNX_BMath_Figure_10_03_059_img-01.png
Multiplica 2x – 7 por −1. CNX_BMath_Figure_10_03_059_img-02.png
Multiplica 2x – 7 por 5x. CNX_BMath_Figure_10_03_059_img-03.png
Agregar términos similares. CNX_BMath_Figure_10_03_059_img-04.png
 

Observe que los productos parciales son los mismos que los términos del método FOIL.

 

On the left, 5x minus 1 times 2x minus 7 is shown. Below that is 10 x squared minus 35x minus 2x plus 7. The first two terms are in blue, the second two in red. Beneath that is 10 x squared minus 37x plus 7. On the right, a vertical multiplication problem is shown. 2xx minus 7 times 5x minus 1 is written with a line underneath. Beneath the line is a red negative 2x plus 7. Beneath that is 10 x squared minus 35 x in blue. Beneath that, there is another line. Beneath that line is 10 x squared minus 37x plus 7.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Multiplica usando el método vertical: (4m – 9) (3m – 7).

 
     
Respuesta
     
     

(12 m ^ {2} -55 m + 63 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Multiplica usando el método vertical: (6n – 5) (7n – 2).

 
     
Respuesta
     
     

(42 n ^ {2} -47 n + 10 )

     
 
 
 

Ahora hemos usado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrese de practicar cada método e intente decidir cuál prefiere. Los tres métodos se enumeran aquí para ayudarlo a recordarlos.

 
 
 

Definición: Multiplicar dos binomios

 

Para multiplicar binomios, use:

 
         
  • Propiedad distributiva
  •      
  • Método FOIL
  •      
  • Método vertical
  •  
 

Recuerde, FOIL solo funciona cuando se multiplican dos binomios.

 
 

Multiplicar un trinomio por un binomio

 

Hemos multiplicado monomios por monomios, monomios por polinomios y binomios por binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un trinomio por un binomio. Recuerde, el método FOIL no funcionará en este caso, pero podemos usar la Propiedad Distributiva o el Método Vertical. Primero miramos un ejemplo usando la Propiedad Distributiva.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: (x + 3) (2x 2 – 5x + 8).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
CNX_BMath_Figure_10_03_061_img-01.png
Distribuir. CNX_BMath_Figure_10_03_061_img-02.png
Multiplica. 2x 3 – 5x 2 + 8x + 6x 2 – 15x + 24
Combina términos similares. 2x 3 + x 2 – 7x + 24
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: (y – 1) (y 2 – 7y + 2).

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +9 y-2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

 

Multiplica usando la propiedad distributiva: (x + 2) (3x 2 – 4x + 5).

 
     
Respuesta
     
     

(3 x ^ {3} +2 x ^ {2} -3 x + 10 )

     
 
 
 

Ahora hagamos la misma multiplicación usando el Método vertical.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

 

Multiplica usando el Método Vertical: (x + 3) (2x 2 – 5x + 8).

 

Solución

 

Es más fácil colocar el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.

                                                                                                                                                                                                              
CNX_BMath_Figure_10_03_062_img-01.png
Multiplicar (2x 2 – 5x + 8) por 3. CNX_BMath_Figure_10_03_062_img-02.png
Multiplicar (2x 2 – 5x + 8) por x. CNX_BMath_Figure_10_03_062_img-03.png
Agregar términos similares. CNX_BMath_Figure_10_03_062_img-04.png
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} ):

 

Multiplica usando el Método Vertical: (y – 1) (y 2 – 7y + 2).

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +9 y-2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} ):

 

Multiplica usando el Método Vertical: (x + 2) (3x 2 – 4x + 5).

 
     
Respuesta
     
     

(3 x ^ {3} +2 x ^ {2} -3 x + 10 )

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Multiplicar un polinomio por un monomio

 

En los siguientes ejercicios, multiplica.

 
         
  1. 4 (x + 10)
  2.      
  3. 6 (y + 8)
  4.      
  5. 15 (r – 24)
  6.      
  7. 12 (v – 30)
  8.      
  9. −3 (m + 11)
  10.      
  11. −4 (p + 15)
  12.      
  13. −8 (z – 5)
  14.      
  15. −3 (x – 9)
  16.      
  17. u (u + 5)
  18.      
  19. q (q + 7)
  20.      
  21. n (n 2 – 3n)
  22.      
  23. s (s 2 – 6s)
  24.      
  25. 12x (x – 10)
  26.      
  27. 9 m (m – 11)
  28.      
  29. −9a (3a + 5)
  30.      
  31. −4p (2p + 7)
  32.      
  33. 6x (4x + y)
  34.      
  35. 5a (9a + b)
  36.      
  37. 5p (11p – 5q)
  38.      
  39. 12u (3u – 4v)
  40.      
  41. 3 (v 2 + 10v + 25)
  42.      
  43. 6 (x 2 + 8x + 16)
  44.      
  45. 2n (4n 2 – 4n + 1)
  46.      
  47. 3r (2r 2 – 6r + 2)
  48.      
  49. −8y (y 2 + 2y – 15)
  50.      
  51. −5m (m 2 + 3m – 18)
  52.      
  53. 5q 3 (q 2 – 2q + 6)
  54.      
  55. 9r 3 (r 2 – 3r + 5)
  56.      
  57. −4z 2 (3z 2 + 12z – 1)
  58.      
  59. −3x 2 (7x 2 + 10x – 1)
  60.      
  61. (2 años – 9) y
  62.      
  63. (8b – 1) b
  64.      
  65. (w – 6) • 8
  66.      
  67. (k – 4) • 5
  68.  
 

Multiplicar un binomio por un binomio

 

En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes binomios usando: (a) la propiedad distributiva (b) el método FOIL (c) el método vertical

 
         
  1. (x + 4) (x + 6)
  2.      
  3. (u + 8) (u + 2)
  4.      
  5. (n + 12) (n – 3)
  6.      
  7. (y + 3) (y – 9)
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes binomios. Usa cualquier método.

 
         
  1. (y + 8) (y + 3)
  2.      
  3. (x + 5) (x + 9)
  4.      
  5. (a + 6) (a + 16)
  6.      
  7. (q + 8) (q + 12)
  8.      
  9. (u – 5) (u – 9)
  10.      
  11. (r – 6) (r – 2)
  12.      
  13. (z – 10) (z – 22)
  14.      
  15. (b – 5) (b – 24)
  16.      
  17. (x – 4) (x + 7)
  18.      
  19. (s – 3) (s + 8)
  20.      
  21. (v + 12) (v – 5)
  22.      
  23. (d + 15) (d – 4)
  24.      
  25. (6n + 5) (n + 1)
  26.      
  27. (7y + 1) (y + 3)
  28.      
  29. (2 m – 9) (10 m + 1)
  30.      
  31. (5r – 4) (12r + 1)
  32.      
  33. (4c – 1) (4c + 1)
  34.      
  35. (8n – 1) (8n + 1)
  36.      
  37. (3u – 8) (5u – 14)
  38.      
  39. (2q – 5) (7q – 11)
  40.      
  41. (a + b) (2a + 3b)
  42.      
  43. (r + s) (3r + 2s)
  44.      
  45. (5x – y) (x – 4)
  46.      
  47. (4z – y) (z – 6)
  48.  
 

Multiplicar un trinomio por un binomio

 

En los siguientes ejercicios, multiplique usando (a) la Propiedad distributiva y (b) el Método vertical.

 
         
  1. (u + 4) (u 2 + 3u + 2)
  2.      
  3. (x + 5) (x 2 + 8x + 3)
  4.      
  5. (a + 10) (3a 2 + a – 5)
  6.      
  7. (n + 8) (4n 2 + n – 7)
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, multiplica. Use cualquiera de los métodos.

 
         
  1. (y – 6) (y 2 – 10y + 9)
  2.      
  3. (k – 3) (k 2 – 8k + 7)
  4.      
  5. (2x + 1) (x 2 – 5x – 6)
  6.      
  7. (5v + 1) (v 2 – 6v – 10)
  8.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

CNX_BMath_Figure_AppB_061.jpg

 

(b) ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

 
]]>

, ,

Deja una respuesta