Usar las propiedades de los logaritmos

Ahora que hemos aprendido sobre las funciones exponenciales y logarítmicas, podemos introducir algunas de las propiedades de los logaritmos. Estos serán muy útiles a medida que continuamos resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Las dos primeras propiedades se derivan de la definición de logaritmos. Como (a ^ {0} = 1 ), podemos convertir esto a forma logarítmica y obtener ( log _ {a} 1 = 0 ). Además, dado que (a ^ {1} = a ), obtenemos ( log _ {a} a = 1 ).

En el siguiente ejemplo podríamos evaluar el logaritmo mediante la conversión a forma exponencial, como lo hemos hecho anteriormente, pero reconocer y luego aplicar las propiedades ahorra tiempo.

Las siguientes dos propiedades también se pueden verificar convirtiéndolas de forma exponencial a forma logarítmica, o al revés.

La ecuación exponencial (a ^ { log _ {a} x} = x ) se convierte en la ecuación logarítmica ( log _ {a} x = log _ {a} x ), que es una declaración verdadera para valores positivos solo para (x ).

La ecuación logarítmica ( log _ {a} a ^ {x} = x ) se convierte en la ecuación exponencial (a ^ {x} = a ^ {x} ), que también es una declaración verdadera .

Estas dos propiedades se denominan propiedades inversas porque, cuando tenemos la misma base, elevar a un poder “deshace” el registro y lleva el registro “deshace” elevar a un poder. Estas dos propiedades muestran la composición de funciones. Ambos terminaron con la función de identidad que muestra nuevamente que las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas.

En el siguiente ejemplo, aplique las propiedades inversas de los logaritmos.

Hay tres propiedades más de logaritmos que serán útiles en nuestro trabajo. Sabemos que las funciones exponenciales y la función logarítmica están muy interrelacionadas. Nuestra definición de logaritmo nos muestra que un logaritmo es el exponente del exponencial equivalente. Las propiedades de los exponentes tienen propiedades relacionadas para los exponentes.

En la propiedad del producto de los exponentes, (a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} ), vemos que para multiplicar la misma base, sumamos los exponentes. La Propiedad del producto de logaritmos , ( log _ {a} M cdot N = log _ {a} M + log _ {a} N ) nos dice que tomemos el registro de un producto , agregamos el registro de los factores.

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un producto como una suma de los registros de cada factor.

Del mismo modo, en la propiedad del cociente de los exponentes, ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn} ), vemos que para dividir la misma base, restamos los exponentes La Propiedad del cociente de logaritmos , ( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N ) nos dice que tomemos En el registro de un cociente, restamos el registro del numerador y el denominador.

Tenga en cuenta que ( log _ {a} M = log _ {a} N not = log _ {a} (M-N) ).

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un cociente como una diferencia de los registros de cada factor.

La tercera propiedad de los logaritmos está relacionada con la Propiedad de poder de los exponentes, ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ), vemos que elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. La Propiedad de potencia de los logaritmos , ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ) nos dice que tomemos el registro de un número elevado a una potencia, multiplicamos la potencia por el registro del número.

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un número elevado a una potencia como el producto de la potencia multiplicada por el registro del número. Básicamente tomamos el exponente y lo lanzamos frente al logaritmo.

Aquí resumimos las propiedades de los logaritmos para una fácil referencia. Si bien los logaritmos naturales son un caso especial de estas propiedades, a menudo es útil mostrar también la versión de logaritmo natural de cada propiedad.