10.5: Usar las propiedades de logaritmos

10.5: Usar las propiedades de logaritmos

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Usar las propiedades de los logaritmos

 

Ahora que hemos aprendido sobre las funciones exponenciales y logarítmicas, podemos introducir algunas de las propiedades de los logaritmos. Estos serán muy útiles a medida que continuamos resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

 

Las dos primeras propiedades se derivan de la definición de logaritmos. Como (a ^ {0} = 1 ), podemos convertir esto a forma logarítmica y obtener ( log _ {a} 1 = 0 ). Además, dado que (a ^ {1} = a ), obtenemos ( log _ {a} a = 1 ).

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Propiedades de los logaritmos

 

( log _ {a} 1 = 0 quad log _ {a} a = 1 )

 
 

En el siguiente ejemplo podríamos evaluar el logaritmo mediante la conversión a forma exponencial, como lo hemos hecho anteriormente, pero reconocer y luego aplicar las propiedades ahorra tiempo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. ( log _ {8} 1 )
  2.      
  3. ( log _ {6} 6 )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {8} 1 )

 

Use la propiedad, ( log _ {a} 1 = 0 ).

 

(0 quad log _ {8} 1 = 0 )

 

b.

 

( log _ {6} 6 )

 

Use la propiedad, ( log _ {a} a = 1 ).

 

(1 quad log _ {6} 6 = 1 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. ( log _ {13} 1 )
  2.      
  3. ( log _ {9} 9 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (0 )
  2.          
  3. (1 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. ( log _ {5} 1 )
  2.      
  3. ( log _ {7} 7 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (0 )
  2.          
  3. (1 )
  4.      
     
 
 
 

Las siguientes dos propiedades también se pueden verificar convirtiéndolas de forma exponencial a forma logarítmica, o al revés.

 

La ecuación exponencial (a ^ { log _ {a} x} = x ) se convierte en la ecuación logarítmica ( log _ {a} x = log _ {a} x ), que es una declaración verdadera para valores positivos solo para (x ).

 

La ecuación logarítmica ( log _ {a} a ^ {x} = x ) se convierte en la ecuación exponencial (a ^ {x} = a ^ {x} ), que también es una declaración verdadera .

 

Estas dos propiedades se denominan propiedades inversas porque, cuando tenemos la misma base, elevar a un poder «deshace» el registro y lleva el registro «deshace» elevar a un poder. Estas dos propiedades muestran la composición de funciones. Ambos terminaron con la función de identidad que muestra nuevamente que las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Propiedades inversas de logaritmos

 

Para (a> 0, x> 0 ) y (a neq 1 ),

 

(a ^ { log _ {a} x} = x quad log _ {a} a ^ {x} = x )

 
 

En el siguiente ejemplo, aplique las propiedades inversas de los logaritmos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. (4 ^ { log _ {4} 9} )
  2.      
  3. ( log _ {3} 3 ^ {5} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

(4 ^ { log _ {4} 9} )

 

Use la propiedad, (a ^ { log _ {a} x} = x ).

 

(9 quad 4 ^ { log _ {4} 9} = 9 )

 

b.

 

( log _ {3} 3 ^ {5} )

 

Use la propiedad, (a ^ { log _ {a} x} = x ).

 

(5 quad log _ {3} 3 ^ {5} = 5 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. (5 ^ { log _ {5} 15} )
  2.      
  3. ( log _ {7} 7 ^ {4} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (15 )
  2.          
  3. (4 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evalúe usando las propiedades de los logaritmos:

 
         
  1. (2 ^ { log _ {2} 8} )
  2.      
  3. ( log _ {2} 2 ^ {15} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8 )
  2.          
  3. (15 )
  4.      
     
 
 
 

Hay tres propiedades más de logaritmos que serán útiles en nuestro trabajo. Sabemos que las funciones exponenciales y la función logarítmica están muy interrelacionadas. Nuestra definición de logaritmo nos muestra que un logaritmo es el exponente del exponencial equivalente. Las propiedades de los exponentes tienen propiedades relacionadas para los exponentes.

 

En la propiedad del producto de los exponentes, (a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} ), vemos que para multiplicar la misma base, sumamos los exponentes. La Propiedad del producto de logaritmos , ( log _ {a} M cdot N = log _ {a} M + log _ {a} N ) nos dice que tomemos el registro de un producto , agregamos el registro de los factores.

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Propiedad del producto de logaritmos

 

Si (M> 0, N> 0, mathrm {a}> 0 ) y ( mathrm {a} neq 1, ) entonces

 

( log _ {a} (M cdot N) = log _ {a} M + log _ {a} N )

 

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

 
 

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un producto como una suma de los registros de cada factor.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Use la propiedad del producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifica, si es posible:

 
         
  1. ( log _ {3} 7 x )
  2.      
  3. ( log _ {4} 64 x y )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {3} 7 x )

 

Utilice la propiedad del producto, ( log _ {a} (M cdot N) = log _ {a} M + log _ {a} N ).

 

( log _ {3} 7+ log _ {3} x )
( log _ {3} 7 x = log _ {3} 7+ log _ {3} x )

 

b.

 

( log _ {4} 64 x y )

 

Utilice la propiedad del producto, ( log _ {a} (M cdot N) = log _ {a} M + log _ {a} N ).

 

( log _ {4} 64+ log _ {4} x + log _ {4} y )

 

Simplifique estar evaluando, ( log _ {4} 64 ).

 

(3+ log _ {4} x + log _ {4} y )
( log _ {4} 64 xy = 3 + log _ {4} x + log _ { 4} y )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Use la propiedad del producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifica, si es posible:

 
         
  1. ( log _ {3} 3 x )
  2.      
  3. ( log _ {2} 8 x y )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (1+ log _ {3} x )
  2.          
  3. (3+ log _ {2} x + log _ {2} y )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Use la propiedad del producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifica, si es posible:

 
         
  1. ( log _ {9} 9 x )
  2.      
  3. ( log _ {3} 27 x y )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (1+ log _ {9} x )
  2.          
  3. (3+ log _ {3} x + log _ {3} y )
  4.      
     
 
 
 

Del mismo modo, en la propiedad del cociente de los exponentes, ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn} ), vemos que para dividir la misma base, restamos los exponentes La Propiedad del cociente de logaritmos , ( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N ) nos dice que tomemos En el registro de un cociente, restamos el registro del numerador y el denominador.

 
 

Definición ( PageIndex {4} )

 

Propiedad del cociente de logaritmos

 

Si (M> 0, N> 0, mathrm {a}> 0 ) y ( mathrm {a} neq 1, ) entonces

 

( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N )

 

El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.

 
 

Tenga en cuenta que ( log _ {a} M = log _ {a} N not = log _ {a} (M-N) ).

 

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un cociente como una diferencia de los registros de cada factor.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Usa la propiedad del cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {5} frac {5} {7} )
  2.      
  3. ( log frac {x} {100} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {5} frac {5} {7} )

 

Utilice la propiedad del cociente, ( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N ).

 

( log _ {5} 5- log _ {5} 7 )

 

Simplificar.

 

(1- log _ {5} 7 )

 

( log _ {5} frac {5} {7} = 1- log _ {5} 7 )

 

b.

 

( log frac {x} {100} )

 

Utilice la propiedad del cociente, ( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N ).

 

( log x- log 100 )

 

Simplificar.

 

( log x-2 )

 

( log frac {x} {100} = log x-2 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Usa la propiedad del cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {4} frac {3} {4} )
  2.      
  3. ( log frac {x} {1000} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( log _ {4} 3-1 )
  2.          
  3. ( log x-3 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Usa la propiedad del cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {2} frac {5} {4} )
  2.      
  3. ( log frac {10} {y} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( log _ {2} 5-2 )
  2.          
  3. (1- log y )
  4.      
     
 
 
 

La tercera propiedad de los logaritmos está relacionada con la Propiedad de poder de los exponentes, ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ), vemos que elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. La Propiedad de potencia de los logaritmos , ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ) nos dice que tomemos el registro de un número elevado a una potencia, multiplicamos la potencia por el registro del número.

 
 

Definición ( PageIndex {5} )

 

Propiedad energética de logaritmos

 

Si (M> 0, mathrm {a}> 0, mathrm {a} neq 1 ) y (p ) es cualquier número real entonces,

 

( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M )

 

El registro de un número elevado a una potencia como el producto del producto de la potencia multiplicado por el registro del número.

 
 

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un número elevado a una potencia como el producto de la potencia multiplicada por el registro del número. Básicamente tomamos el exponente y lo lanzamos frente al logaritmo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Usa la propiedad de potencia de los logaritmos para escribir cada logaritmo como producto de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {5} 4 ^ {3} )
  2.      
  3. ( log x ^ {10} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {5} 4 ^ {3} )

 

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ).

 

3 ( log _ {5} 4 )

 

( log _ {5} 4 ^ {3} = 3 log _ {5} 4 )

 

b.

 

( log x ^ {10} )

 

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ).

 

(10 ​​ log x )

 

( log x ^ {10} = 10 log x )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Usa la propiedad de potencia de los logaritmos para escribir cada logaritmo como producto de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {7} 5 ^ {4} )
  2.      
  3. ( log x ^ {100} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (4 log _ {7} 5 )
  2.          
  3. 100 ( cdot log x )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Usa la propiedad de potencia de los logaritmos para escribir cada logaritmo como producto de logaritmos. Simplifica, si es posible.

 
         
  1. ( log _ {2} 3 ^ {7} )
  2.      
  3. ( log x ^ {20} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (7 log _ {2} 3 )
  2.          
  3. (20 cdot log x )
  4.      
     
 
 
 

Aquí resumimos las propiedades de los logaritmos para una fácil referencia. Si bien los logaritmos naturales son un caso especial de estas propiedades, a menudo es útil mostrar también la versión de logaritmo natural de cada propiedad.

 

Propiedades de los logaritmos

 

Si (M> 0, mathrm {a}> 0, mathrm {a} neq 1 ) y (p ) es cualquier número real entonces,

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Propiedad Base (a ) Base (e )
( log _ {a} 1 = 0 ) ( ln 1 = 0 )
( log _ {a} a = 1 ) ( ln e = 1 )
Propiedades inversas (a ^ { log _ {a} x} = x )
( log _ {a} a ^ {x} = x )
(e ^ { ln x} = x )
( ln e ^ {x} = x )
Propiedad del producto de logaritmos ( log _ {a} (M cdot N) = log _ {a} M + log _ {a} N ) ( ln (M cdot N) = ln M + ln N )
Propiedad del cociente de logaritmos ( log _ {a} frac {M} {N} = log _ {a} M- log _ {a} N ) ( ln frac {M} {N} = ln M- ln N )
Propiedad energética de logaritmos ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ) ( ln M ^ {p} = p ln M )
 

Tabla 10.4.1

 

Ahora que tenemos las propiedades podemos usarlas para «expandir» una expresión logarítmica. Esto significa escribir el logaritmo como una suma o diferencia y sin ningún poder.

 

Generalmente aplicamos las Propiedades del producto y el Cociente antes de aplicar la Propiedad de energía.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {4} left (2 x ^ {3} y ^ {2} right) ). Simplifica, si es posible.

 

Solución :

 

Utilice la propiedad del producto, ( log _ {a} M cdot N = log _ {a} M + log _ {a} N ).

 

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ), en los últimos dos términos. Simplificar.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {2} left (5 x ^ {4} y ^ {2} right) ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log _ {2} 5 + 4 log _ {2} x + 2 log _ {2} y )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Use las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {3} left (7 x ^ {5} y ^ {3} right) ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log _ {3} 7 + 5 log _ {3} x + 3 log _ {3} y )

     
 
 
 

Cuando tenemos un radical en la expresión logarítmica, es útil escribir primero su radical y como exponente racional.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {2} sqrt [4] { frac {x ^ {3}} {3 y ^ {2} z}} ). Simplifica, si es posible.

 

Solución

 

( log _ {2} sqrt [4] { frac {x ^ {3}} {3 y ^ {2} z}} )

 

Reescribe el radical con un exponente racional.

 

( log _ {2} left ( frac {x ^ {3}} {3 y ^ {2} z} right) ^ { frac {1} {4}} ) [19459001 ]  

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ).

 

( frac {1} {4} log _ {2} left ( frac {x ^ {3}} {3 y ^ {2} z} right) )

 

Utilice la propiedad del cociente, ( log _ {a} M cdot N = log _ {a} M- log _ {a} N ).

 

( frac {1} {4} left ( log _ {2} left (x ^ {3} right) – log _ {2} left (3 y ^ {2} z right) right) )

 

Utilice la propiedad del producto, ( log _ {a} M cdot N = log _ {a} M + log _ {a} N ), en el segundo término.

 

( frac {1} {4} left ( log _ {2} left (x ^ {3} right) – left ( log _ {2} 3+ log _ {2 } y ^ {2} + log _ {2} z right) right) )

 

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M ^ {p} = p log _ {a} M ), dentro de los paréntesis.

 

( frac {1} {4} left (3 log _ {2} x- left ( log _ {2} 3 + 2 log _ {2} y + log _ {2} z right) right) )

 

Simplifica distribuyendo.

 

( frac {1} {4} left (3 log _ {2} x- log _ {2} 3-2 log _ {2} y- log _ {2} z derecha) )

 

( log _ {2} sqrt [4] { frac {x ^ {3}} {3 y ^ {2} z}} = frac {1} {4} left (3 log _ {2} x- log _ {2} 3-2 log _ {2} y- log _ {2} z right) )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {4} sqrt [5] { frac {x ^ {4}} {2 y ^ {3} z ^ {2}}} ) Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {5} left (4 log _ {4} x- frac {1} {2} -3 log _ {4} y-2 log _ {4} z right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo ( log _ {3} sqrt [3] { frac {x ^ {2}} {5 y z}} ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {3} left (2 log _ {3} x- log _ {3} 5- log _ {3} y- log _ {3} z right ) )

     
 
 
 

Lo contrario de expandir un logaritmo es condensar una suma o diferencia de logaritmos que tienen la misma base en un solo logaritmo. Nuevamente usamos las propiedades de los logaritmos para ayudarnos, pero a la inversa.

 

Para condensar expresiones logarítmicas con la misma base en un solo logaritmo, comenzamos usando la Propiedad de Potencia para obtener los coeficientes de los términos de registro para que sean uno y luego las Propiedades de Producto y Cociente según sea necesario.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo ( log _ {4} 3+ log _ {4} x- log _ {4} y ). Simplifica, si es posible.

 

Solución :

   

Todas las expresiones de registro tienen la misma base, (4 ).

 

Se agregan los dos primeros términos, por lo que utilizamos la Propiedad del producto, ( log _ {a} M + log _ {a} N = log _ {a} M: N ).

 

Dado que los registros se restan, utilizamos la propiedad del cociente, ( log _ {a} M- log _ {a} N = log _ {a} frac {M} {N} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Use las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo ( log _ {2} 5+ log _ {2} x- log _ {2} y ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log _ {2} frac {5 x} {y} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo ( log _ {3} 6- log _ {3} x- log _ {3} y ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log _ {3} frac {6} {x y} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo (2 log _ {3} x + 4 log _ {3} (x + 1) ). Simplifica, si es posible.

 

Solución :

 

Las expresiones de registro tienen la misma base, (3 ).

 

(2 log _ {3} x + 4 log _ {3} (x + 1) )

 

Use la propiedad Power, ( log _ {a} M + log _ {a} N = log _ {a} M cdot N ).

 

( log _ {3} x ^ {2} + log _ {3} (x + 1) ^ {4} )

 

Se agregan los términos, por lo que utilizamos la Propiedad del producto, ( log _ {a} M + log _ {a} N = log _ {a} M cdot N ).

 

( log _ {3} x ^ {2} (x + 1) ^ {4} )
(2 log _ {3} x + 4 log _ {3} (x +1) = log _ {3} x ^ {2} (x + 1) ^ {4} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo (3 log _ {2} x + 2 log _ {2} (x-1) ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log _ {2} x ^ {3} (x-1) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo (2 log x + 2 log (x + 1) ). Simplifica, si es posible.

 
     
Respuesta
     
     

( log x ^ {2} (x + 1) ^ {2} )

     
 
 
 
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