Simplificar expresiones usando la propiedad del cociente de los exponentes

Anteriormente en este capítulo, desarrollamos las propiedades de los exponentes para la multiplicación. Resumimos estas propiedades aquí.

Ahora veremos las propiedades del exponente para la división. Una actualización rápida de la memoria puede ayudar antes de comenzar. En Fracciones aprendiste que las fracciones se pueden simplificar dividiendo factores comunes del numerador y el denominador usando la Propiedad de fracciones equivalentes. Esta propiedad también nos ayudará a trabajar con fracciones algebraicas, que también son cocientes.

Como antes, trataremos de descubrir una propiedad mirando algunos ejemplos.

Observe que en cada caso las bases eran las mismas y restamos los exponentes.

     
• Cuando el exponente más grande estaba en el numerador, nos quedaban factores en el numerador y 1 en el denominador, que simplificamos.
     
• Cuando el exponente más grande estaba en el denominador, nos quedaban factores en el denominador y 1 en el numerador, que no podían simplificarse.
 

Escribimos:

$$ begin {split} dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} qquad & quad dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} \ x ^ {5-2} qquad & ; dfrac {1} {x ^ {3-2}} \ x ^ {3} qquad quad & quad dfrac {1} {x} end {split} $$

Un par de ejemplos con números pueden ayudar a verificar esta propiedad.

$$ begin {split} dfrac {3 ^ {4}} {3 ^ {2}} & stackrel {?} {=} 3 ^ {4-2} qquad ; dfrac {5 ^ {2}} {5 ^ {3}} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {3-2}} \ dfrac {81} {9} & stackrel {?} {=} 3 ^ {2} qquad ; ; dfrac {25} {125} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {1}} \ 9 & = 9 ; marca de verificación qquad ; ; ; dfrac {1} {5} = dfrac {1} {5} ; marca de verificación end {split} $$

Cuando trabajamos con números y el exponente es menor o igual a 3, aplicaremos el exponente. Cuando el exponente es mayor que 3, dejamos la respuesta en forma exponencial.

Simplificar expresiones con exponentes cero

Un caso especial de la propiedad del cociente es cuando los exponentes del numerador y el denominador son iguales, como una expresión como ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ). Por trabajos anteriores con fracciones, sabemos que

$$ dfrac {2} {2} = 1 qquad dfrac {17} {17} = 1 qquad dfrac {-43} {- 43} = 1 $$

En palabras, un número dividido por sí mismo es 1. Entonces ( dfrac {x} {x} ) = 1, para cualquier x (x ≠ 0), ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1. [19459003 ]  

La propiedad del cociente de los exponentes nos muestra cómo simplificar ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ) cuando m> ny cuando n  

Ahora simplificaremos ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) de dos maneras para llevarnos a la definición del exponente cero . Considere primero ( dfrac {8} {8} ), que sabemos que es 1.

Vemos que ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ) se simplifica a a ⁰ y a 1. Entonces a ⁰ = 1

En este texto, asumimos que cualquier variable que elevemos a la potencia cero no es cero.

Ahora que hemos definido el exponente cero, podemos expandir todas las Propiedades de los exponentes para incluir exponentes de números enteros.

¿Qué pasa con elevar una expresión a la potencia cero? Veamos (2x) ⁰ . Podemos usar el producto con una regla de poder para reescribir esta expresión.

Esto nos dice que cualquier expresión distinta de cero elevada a la potencia cero es una.

Simplifique expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente a una Propiedad de Poder.

Observe que el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador. Vemos que ( left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} ) es ( dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} ). Escribimos:

$$ left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} = dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} $$

Esto lleva al cociente a una propiedad de poder para exponentes.

Un ejemplo con números puede ayudarlo a comprender esta propiedad:

$$ begin {split} left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} & stackrel {?} {=} Dfrac {2 ^ {3}} {3 ^ { 3}} \ dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} & stackrel {?} {=} Dfrac {8} {27} \ dfrac {8} {27} & = dfrac {8} {27} ; marca de verificación end {split} $$