Objetivos de aprendizaje
- Trazar números complejos en el plano complejo.
- Encuentra el valor absoluto de un número complejo.
- Escribe números complejos en forma polar.
- Convierte un número complejo de polar a rectangular.
- Encuentra productos de números complejos en forma polar.
- Encuentra cocientes de números complejos en forma polar.
- Encuentra potencias de números complejos en forma polar.
- Encuentra raíces de números complejos en forma polar.
“Dios hizo los enteros; todo lo demás es obra del hombre “. Esta cita bastante famosa del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker prepara el escenario para esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación continua y lucha por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron preguntas que durante siglos habían intrigado a las mentes más grandes de la ciencia.
Primero encontramos números complejos en la sección sobre Números complejos . En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajar con números complejos: traducción de números complejos de forma polar a forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del Teorema de De Moivre.
Trazado de números complejos en el plano complejo
Trazar un número complejo (a + bi ) es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, (a ), y el eje vertical representa la parte imaginaria de el número, (bi ).
Cómo: dado un número complejo (a + bi ), grábelo en el plano complejo.
- Etiquete el eje horizontal como el eje real y el eje vertical como el eje imaginario .
- Trace el punto en el plano complejo moviendo (a ) unidades en dirección horizontal y (b ) unidades en dirección vertical.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Trazar un número complejo en el plano complejo
Trace el número complejo (2−3i ) en el plano complejo.
Solución
Desde el origen, mueva dos unidades en la dirección horizontal positiva y tres unidades en la dirección vertical negativa. Ver Figura ( PageIndex {1} ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Trace el punto (1 + 5i ) en el plano complejo.
- Respuesta
-
Figura ( PageIndex {2} )
Encontrar el valor absoluto de un número complejo
El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es encontrar el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud, o (| z | ). Mide la distancia desde el origen hasta un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de (z = 2 + 4i ), en la Figura ( PageIndex {3} ), muestra (| z | ).
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado (z = x + yi ), un número complejo, el valor absoluto de (z ) se define como
[| z | = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ]
Es la distancia desde el origen hasta el punto ((x, y) ).
Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde (0 ), mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen, ((0, 0) ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar el valor absoluto de un número complejo con un radical
Encuentre el valor absoluto de (z = sqrt {5} −i ).
Solución
Usando la fórmula, tenemos
[ begin {align *} | z | & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ | z | & = sqrt {{( sqrt {5})} ^ 2 + {(- 1)} ^ 2} \ | z | & = sqrt {5 + 1} \ | z | & = sqrt {6} end {align *} ]
Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentre el valor absoluto del número complejo (z = 12−5i ).
- Respuesta
-
(13 )
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar el valor absoluto de un número complejo
Dado (z = 3−4i ), encuentra (| z | ).
Solución
Usando la fórmula, tenemos
[ begin {align *} | z | & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ | z | & = sqrt {{(3)} ^ 2 + {(- 4)} ^ 2} \ | z | & = sqrt {9 + 16} \ | z | & = sqrt {25} \ | z | & = 5 end {alinear *} ]
El valor absoluto (z ) es (5 ). Ver Figura ( PageIndex {5} ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dado (z = 1−7i ), encuentra (| z | ).
- Respuesta
-
(| z | = sqrt {50} = 5 sqrt {2} )
Escribir números complejos en forma polar
La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo ( theta ) y su distancia desde el origen (r ). Dado un número complejo en forma rectangular expresado como (z = x + yi ), utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:
[ begin {align *} x & = r cos theta \ y & = r sin theta \ r & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} end {align * } ]
Revisamos estas relaciones en la Figura ( PageIndex {6} ).
Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo, o la distancia desde el origen al punto ((x, y) ). El módulo, entonces, es el mismo que (r ), el radio en forma polar. Usamos ( theta ) para indicar el ángulo de dirección (al igual que con las coordenadas polares). Sustituyendo, tenemos
[ begin {align *} z & = x + yi \ z & = r cos theta + (r sin theta) i \ z & = r ( cos theta + i sin theta) end {align *} ]
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión:
[ begin {align} x & = r cos theta \ y & = r sin theta \ r & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} end {align} ]
Haciendo una sustitución directa, tenemos
[ begin {align} z & = x + yi \ z & = (r cos theta) + i (r sin theta) \ z & = r ( cos theta + i sin theta) end {align} ]
donde (r ) es el módulo y ( theta ) es el argumento. A menudo usamos la abreviatura (r ; cis theta ) para representar (r ( cos theta + i sin theta) ).
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Expresar un número complejo usando coordenadas polares
Exprese el número complejo (4i ) usando coordenadas polares.
Solución
En el plano complejo, el número (z = 4i ) es el mismo que (z = 0 + 4i ). Escribiéndolo en forma polar, primero tenemos que calcular (r ).
[ begin {align *} r & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ r & = sqrt {0 ^ 2 + 4 ^ 2} \ r & = sqrt {16 } \ r & = 4 end {align *} ]
A continuación, nos fijamos en (x ). Si (x = r cos theta ) y (x = 0 ), entonces ( theta = dfrac { pi} {2} ). En coordenadas polares, el número complejo (z = 0 + 4i ) se puede escribir como (z = 4 left ( cos left ( dfrac { pi} {2} right) + i sin left ( dfrac { pi} {2} right) right) text {or} 4 ; cis left ( dfrac { pi} {2} right) ). Ver Figura ( PageIndex {7} ).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Expresar (z = 3i ) como (r space cis theta ) en forma polar.
- Respuesta
-
(z = 3 left ( cos left ( dfrac { pi} {2} right) + i sin left ( dfrac { pi} {2} right) right) )
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar la forma polar de un número complejo
Encuentra la forma polar de (- 4 + 4i ).
Solución
Primero, encuentre el valor de (r ).
[ begin {align *} r & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ r & = sqrt {{(- 4)} ^ 2+ (4 ^ 2)} \ r & = sqrt {32} \ r & = 4 sqrt {2} end {align *} ]
Encuentra el ángulo ( theta ) usando la fórmula:
[ begin {align *} cos theta & = dfrac {x} {r} \ cos theta & = dfrac {−4} {4 sqrt {2}} \ cos theta & = – dfrac {1} { sqrt {2}} \ theta & = { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} { sqrt {2}} derecha) \ & = dfrac {3 pi} {4} end {align *} ]
Por lo tanto, la solución es (4 sqrt {2} space cis left ( dfrac {3 pi} {4} right) ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Escribe (z = sqrt {3} + i ) en forma polar.
- Respuesta
-
(z = 2 left ( cos left ( dfrac { pi} {6} right) + i sin left ( dfrac { pi} {6} right) right) )
Conversión de un número complejo de forma polar a rectangular
Convertir un número complejo de forma polar a rectangular es una cuestión de evaluar lo que se da y usar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado (z = r ( cos theta + i sin theta) ), primero evalúe las funciones trigonométricas ( cos theta ) y ( sin theta ). Luego, multiplíquelo por (r ).
Ejemplo ( PageIndex {6A} ): Conversión de forma polar a rectangular
Convierta la forma polar del número complejo dado a forma rectangular:
(z = 12 left ( cos left ( dfrac { pi} {6} right) + i sin left ( dfrac { pi} {6} right) right) )
Solución
Comenzamos evaluando las expresiones trigonométricas.
[ begin {align *} cos left ( dfrac { pi} {6} right) & = dfrac { sqrt {3}} {2} text {y} sin ( dfrac { pi} {6}) = dfrac {1} {2} \ text {Después de la sustitución, el número complejo es} \ z & = 12 left ( dfrac { sqrt {3}} { 2} + dfrac {1} {2} i right) end {align *} ]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[ begin {align *} z & = 12 left ( dfrac { sqrt {3}} {2} + dfrac {1} {2} i right) \ & = (12) dfrac { sqrt {3}} {2} + (12) dfrac {1} {2} i \ & = 6 sqrt {3} + 6i end {align *} ]
La forma rectangular del punto dado en forma compleja es (6 sqrt {3} + 6i ).
Ejemplo ( PageIndex {6B} ): Encontrar la forma rectangular de un número complejo
Encuentra la forma rectangular del número complejo dado (r = 13 ) y ( tan theta = dfrac {5} {12} ).
Solución
Si ( tan theta = dfrac {5} {12} ) y ( tan theta = dfrac {y} {x} ), primero determinamos (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {122 + 52} = 13 ). Luego encontramos ( cos theta = dfrac {x} {r} ) y ( sin theta = dfrac {y} {r} ).
[ begin {align *} z & = 13 left ( cos theta + i sin theta right) \ & = 13 left ( dfrac {12} {13} + dfrac {5} {13} i right) \ & = 12 + 5i end {align *} ]
La forma rectangular del número dado en forma compleja es (12 + 5i ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Convierta el número complejo a forma rectangular:
(z = 4 left ( cos dfrac {11 pi} {6} + i sin dfrac {11 pi} {6} right) )
- Respuesta
-
(z = 2 sqrt {3} −2i )
Encontrar productos de números complejos en forma polar
Ahora que podemos convertir números complejos en forma polar, aprenderemos cómo realizar operaciones en números complejos en forma polar. Para el resto de esta sección, trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más simple de lo que parecen. Las reglas se basan en multiplicar los módulos y agregar los argumentos.
PRODUCTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Si (z_1 = r_1 ( cos theta_1 + i sin theta_1) ) y (z_2 = r_2 ( cos theta_2 + i sin theta_2) ), entonces el producto de estos números se da como:
[ begin {align} z_1z_2 & = r_1r_2 [ cos ( theta_1 + theta_2) + i sin ( theta_1 + theta_2)] \ z_1z_2 & = r_1r_2 space cis ( theta_1 + theta_2) end {align} ]
Observe que el producto requiere multiplicar los módulos y agregar los ángulos.
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el producto de dos números complejos en forma polar
Encuentre el producto de (z_1z_2 ), dado (z_1 = 4 ( cos (80 °) + i sin (80 °)) ) y (z_2 = 2 ( cos (145 °) + i sin (145 °)) ).
Solución
Sigue la fórmula
[ begin {align *} z_1z_2 & = 4⋅2 [ cos (80 ° + 145 °) + i sin (80 ° + 145 °)] \ z_1z_2 & = 8 [ cos (225 °) + i sin (225 °)] \ z_1z_2 & = 8 left [ cos left ( dfrac {5 pi} {4} right) + i sin left ( dfrac {5 pi} {4} right) right] \ z_1z_2 & = 8 left [- dfrac { sqrt {2}} {2} + i left (- dfrac { sqrt {2}} {2 } right) right] \ z_1z_2 & = −4 sqrt {2} −4i sqrt {2} end {align *} ]
Encontrar cocientes de números complejos en forma polar
El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.
COTIENTES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Si (z_1 = r_1 ( cos theta_1 + i sin theta_1) ) y (z_2 = r_2 ( cos theta_2 + i sin theta_2) ), entonces el cociente de estos números es
[ dfrac {z_1} {z_2} = dfrac {r_1} {r_2} [ cos ( theta_1− theta_2) + i sin ( theta_1− theta_2)], space z_2 ≠ 0 ]
[ dfrac {z_1} {z_2} = dfrac {r_1} {r_2} space cis ( theta_1− theta_2), space z_2 ≠ 0 ]
Observe que los módulos se dividen y los ángulos se restan.
Cómo: dados dos números complejos en forma polar, encontrar el cociente
- Divide ( dfrac {r_1} {r_2} ).
- Encuentra ( theta_1− theta_2 ).
- Sustituye los resultados en la fórmula: (z = r ( cos theta + i sin theta) ). Reemplace (r ) con ( dfrac {r_1} {r_2} ), y reemplace ( theta ) con ( theta_1− theta_2 ).
- Calcule las nuevas expresiones trigonométricas y multiplíquelas por (r ).
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar el cociente de dos números complejos
Encuentra el cociente de (z_1 = 2 ( cos (213 °) + i sin (213 °)) ) y (z_2 = 4 ( cos (33 °) + i sin (33 ° )) ).
Solución
Usando la fórmula, tenemos
[ begin {align *} dfrac {z_1} {z_2} & = dfrac {2} {4} [ cos (213 ° −33 °) + i sin (213 ° −33 °) ] \ dfrac {z_1} {z_2} & = dfrac {1} {2} [ cos (180 °) + i sin (180 °)] \ dfrac {z_1} {z_2} & = dfrac {1} {2} [- 1 + 0i] \ dfrac {z_1} {z_2} & = – dfrac {1} {2} + 0i \ dfrac {z_1} {z_2} & = – dfrac {1} {2} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Encuentre el producto y el cociente de (z_1 = 2 sqrt {3} ( cos (150 °) + i sin (150 °)) ) y (z_2 = 2 ( cos (30 ° ) + i sin (30 °)) ).
- Respuesta
-
(z_1z_2 = −4 sqrt {3} ); ( dfrac {z_1} {z_2} = – dfrac { sqrt {3}} {2} + dfrac {3} {2} i )
Encontrar poderes de números complejos en forma polar
Encontrar poderes de números complejos se simplifica enormemente usando Teorema de De Moivre . Establece que, para un entero positivo (n ), (z ^ n ) se encuentra elevando el módulo a la potencia (n ^ {th} ) y multiplicando el argumento por (n ). Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.
TEOREMA DE DE MOIVRE
Si (z = r ( cos theta + i sin theta) ) es un número complejo, entonces
[ begin {align} z ^ n & = r ^ n [ cos (n theta) + i sin (n theta)] \ z ^ n & = r ^ n space cis ( n theta) end {align} ]
donde (n ) es un entero positivo.
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Evaluación de una expresión utilizando el teorema de De Moivre
Evalúa la expresión ({(1 + i)} ^ 5 ) usando el Teorema de De Moivre.
Solución
Dado que el teorema de De Moivre se aplica a números complejos escritos en forma polar, primero debemos escribir ((1 + i) ) en forma polar. Encontremos (r ).
[ begin {align *} r & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ r & = sqrt {{(1)} ^ 2 + {(1)} ^ 2} r & = sqrt {2} end {align *} ]
Luego encontramos ( theta ). El uso de la fórmula ( tan theta = dfrac {y} {x} ) da
[ begin {align *} tan theta & = dfrac {1} {1} \ tan theta & = 1 \ theta & = dfrac { pi} {4} end {align *} ]
Usa el teorema de De Moivre para evaluar la expresión.
[ begin {align *} {(a + bi)} ^ n & = r ^ n [ cos (n theta) + i sin (n theta)] \ {(1 + i )} ^ 5 & = {( sqrt {2})} ^ 5 left [ cos left (5⋅ dfrac { pi} {4} right) + i sin left (5⋅ dfrac { pi} {4} right) right] \ {(1 + i)} ^ 5 & = 4 sqrt {2} left [ cos left ( dfrac {5 pi} {4} right) + i sin left ( dfrac {5 pi} {4} right) right] \ {(1 + i)} ^ 5 & = 4 sqrt {2} left [- dfrac { sqrt {2}} {2} + i left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) right] \ {(1 + i)} ^ 5 & = −4 −4i end {align *} ]
Encontrar raíces de números complejos en forma polar
Para encontrar la raíz (n ^ {th} ) de un número complejo en forma polar, usamos el teorema de raíz (n ^ {th} ) o el teorema de De Moivre y elevamos el número complejo a una potencia con un exponente racional Hay varias formas de representar una fórmula para encontrar raíces (n ^ {th} ) de números complejos en forma polar.
EL TEOREMA DE LA RAÍZ DE (N ^ {TH} )
Para encontrar la raíz (n ^ {th} ) de un número complejo en forma polar, use la fórmula dada como
[z ^ { tfrac {1} {n}} = r ^ { tfrac {1} {n}} left [ cos left ( dfrac { theta} {n} + dfrac {2k pi} {n} right) + i sin left ( dfrac { theta} {n} + dfrac {2k pi} {n} right) right] ]
donde (k = 0, 1, 2, 3,…, N − 1 ). Agregamos ( dfrac {2k pi} {n} ) a ( dfrac { theta} {n} ) para obtener las raíces periódicas.
Ejemplo ( PageIndex {10} ): Encontrar el n th Raíz de un número complejo
Evalúa las raíces cúbicas de (z = 8 left ( cos left ( frac {2 pi} {3} right) + i sin left ( frac {2 pi} {3 }bien bien)).
Solución
Tenemos
[ begin {align *} z ^ { frac {1} {3}} & = 8 ^ { frac {1} {3}} left [ cos left ( frac { frac {2 pi} {3}} {3} + frac {2k pi} {3} right) + i sin left ( frac { frac {2 pi} {3}} {3} + frac {2k pi} {3} right) right] \ z ^ { frac {1} {3}} & = 2 left [ cos left ( frac {2 pi} { 9} + frac {2k pi} {3} right) + i sin left ( frac {2 pi} {9} + frac {2k pi} {3} right) right] end {align *} ]
Habrá tres raíces: (k = 0, 1, 2 ). Cuando (k = 0 ), tenemos
(z ^ { frac {1} {3}} = 2 left ( cos left ( dfrac {2 pi} {9} right) + i sin left ( dfrac { 2 pi} {9} right) right) )
Cuando (k = 1 ), tenemos
[ begin {align *} z ^ { frac {1} {3}} & = 2 left [ cos left ( dfrac {2 pi} {9} + dfrac {6 pi} {9} right) + i sin left ( dfrac {2 pi} {9} + dfrac {6 pi} {9} right) right] ; ; ; ; ; ; ; ; ; text {Add} dfrac {2 (1) pi} {3} text {a cada ángulo.} \ z ^ { frac {1} {3}} & = 2 left ( cos left ( dfrac {8 pi} {9} right) + i sin left ( dfrac {8 pi} {9} right) right) end {align *} ]
Cuando (k = 2 ), tenemos
[ begin {align *} z ^ { frac {1} {3}} & = 2 left [ cos left ( dfrac {2 pi} {9} + dfrac {12 pi} {9} right) + i sin left ( dfrac {2 pi} {9} + dfrac {12 pi} {9} right) right] ; ; ; ; ; ; ; text {Add} dfrac {2 (2) pi} {3} text {a cada ángulo.} \ z ^ { frac {1} {3}} & = 2 left ( cos left ( dfrac {14 pi} {9} right) + i sin left ( dfrac {14 pi} {9} right) right) end {align *} ]
Recuerda encontrar el denominador común para simplificar fracciones en situaciones como esta. Para (k = 1 ), la simplificación del ángulo es
[ begin {align *} dfrac { dfrac {2 pi} {3}} {3} + dfrac {2 (1) pi} {3} & = dfrac {2 pi } {3} ( dfrac {1} {3}) + dfrac {2 (1) pi} {3} left ( dfrac {3} {3} right) \ & = dfrac {2 pi} {9} + dfrac {6 pi} {9} \ & = dfrac {8 pi} {9} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Encuentra las cuatro cuartas raíces de (16 ( cos (120 °) + i sin (120 °)) ).
- Respuesta
-
(z_0 = 2 ( cos (30 °) + i sin (30 °)) )
(z_1 = 2 ( cos (120 °) + i sin (120 °)) )
(z_2 = 2 ( cos (210 °) + i sin (210 °)) )
(z_3 = 2 ( cos (300 °) + i sin (300 °)) )
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con formas polares de números complejos.
Conceptos clave
- Los números complejos en la forma (a + bi ) se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Etiquete el eje (x ) como eje real y el eje (y ) – como eje imaginario . Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
- El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia desde el origen hasta el punto: (| z | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- Para escribir números complejos en forma polar, utilizamos las fórmulas (x = r cos theta ), (y = r sin theta ) y (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Entonces, (z = r ( cos theta + i sin theta) ). Consulte el Ejemplo ( PageIndex {4} ) y el Ejemplo ( PageIndex {5} ).
- Para convertir de forma polar a forma rectangular, primero evalúe las funciones trigonométricas. Luego, multiplíquelo por (r ). Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
- Para encontrar el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Ver Ejemplo ( PageIndex {8} ).
- Para encontrar el cociente de dos números complejos en forma polar, encuentre el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ).
- Para encontrar la potencia de un número complejo (z ^ n ), eleva (r ) a la potencia (n ) y multiplica ( theta ) por (n ). Ver Ejemplo ( PageIndex {10} ).
- Encontrar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero usando un exponente racional. Ver Ejemplo ( PageIndex {11} ).