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las matematicas

10.6: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de los logaritmos

 

En la sección sobre funciones logarítmicas, resolvimos algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de los logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos usar para resolver ecuaciones logarítmicas.

 

Si nuestra ecuación tiene dos logaritmos, podemos usar una propiedad que dice que si ( log _ {a} M = log _ {a} N ), entonces es cierto que (M = N ). Esta es la propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas .

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Propiedad uno a uno de ecuaciones logarítmicas

 

Para (M> 0, N> 0, a> 0 ) y (a ≠ 1 ) es cualquier número real:

 

Si ( log _ {a} M = log _ {a} N, ) entonces (M = N ).

 
 

Para usar esta propiedad, debemos estar seguros de que ambos lados de la ecuación están escritos con la misma base.

 

Recuerde que los logaritmos se definen solo para números reales positivos. Comprueba tus resultados en la ecuación original. Es posible que haya obtenido un resultado que le da un logaritmo de cero o un número negativo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelva: (2 log _ {5} x = log _ {5} 81 ).

 

Solución :

 

(2 log _ {5} x = log _ {5} 81 )

 

Usa la propiedad Power.

 

( log _ {5} x ^ {2} = log _ {5} 81 )

 

Utilice la propiedad uno a uno, si ( log _ {a} M = log _ {a} N ), entonces (M = N ).

 

(x ^ {2} = 81 )

 

Resolver usando la propiedad de la raíz cuadrada.

 

(x = pm 9 )

 

Eliminamos (x = -9 ) ya que no podemos tomar el logaritmo de un número negativo.

 

(x = 9, cancel {x = -9} )

 

Verificación. (x = 9 )

 

( begin {alineado} 2 log _ {5} x & = log _ {5} 81 \ 2 log _ {5} 9 & stackrel {?} {=} Log _ {5 } 81 \ log _ {5} 9 ^ {2} & stackrel {?} {=} Log _ {5} 81 \ log _ {5} 81 & = log _ {5} 81 final {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resolver: (2 log _ {3} x = log _ {3} 36 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 6 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resolver: (3 log x = log 64 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 )

     
 
 
 

Otra estrategia a utilizar para resolver ecuaciones logarítmicas es condensar sumas o diferencias en un solo logaritmo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelva: ( log _ {3} x + log _ {3} (x-8) = 2 ).

 

Solución :

 

( log _ {3} x + log _ {3} (x-8) = 2 )

 

Utilice la propiedad del producto, ( log _ {a} M + log _ {a} N = log _ {a} M cdot N ).

 

( log _ {3} x (x-8) = 2 )

 

Reescribe en forma exponencial.

 

(3 ^ {2} = x (x-8) )

 

Simplificar.

 

(9 = x ^ {2} -8 x )

 

Resta (9 ) de cada lado.

 

(0 = x ^ {2} -8 x-9 )

 

Factor.

 

(0 = (x-9) (x + 1) )

 

Utilice la propiedad de producto cero

 

(x-9 = 0, quad x + 1 = 0 )

 

Resuelve cada ecuación.

 

(x = 9, quad cancel {x = -1} )

 

Verificación. (x = -1 )

 

( begin {alineado} log _ {3} x + log _ {3} (x-8) & = 2 \ log _ {3} (- 1) + log _ {3} (-1-8) & stackrel {?} {=} 2 end {alineado} )

 

No podemos tomar el registro de un número negativo.

 

Verificación. (x = 9 )

 

( begin {alineado} log _ {3} x + log _ {3} (x-8) & = 2 \ log _ {3} 9+ log _ {3} (9- 8) & stackrel {?} {=} 2 \ 2 + 0 & stackrel {?} {=} 2 \ 2 & = 2 end {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver: ( log _ {2} x + log _ {2} (x-2) = 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resolver: ( log _ {2} x + log _ {2} (x-6) = 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 8 )

     
 
 
 

Cuando hay logaritmos en ambos lados, condensamos cada lado en un solo logaritmo. Recuerde usar la Propiedad de Poder según sea necesario.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelva: ( log _ {4} (x + 6) – log _ {4} (2 x + 5) = – log _ {4} x ).

 

Solución :

 

( log _ {4} (x + 6) – log _ {4} (2 x + 5) = – log _ {4} x )

 

Utilice la propiedad de cociente en el lado izquierdo y la propiedad de poder en el derecho.

 

( log _ {4} left ( frac {x + 6} {2 x + 5} right) = log _ {4} x ^ {- 1} )

 

Reescribir (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

 

( log _ {4} left ( frac {x + 6} {2 x + 5} right) = log _ {4} frac {1} {x} )

 

Utilice la propiedad uno a uno, si ( log _ {a} M = log _ {a} N ), entonces (M = N ).

 

( frac {x + 6} {2 x + 5} = frac {1} {x} )

 

Resuelve la ecuación racional.

 

(x (x + 6) = 2 x + 5 )

 

Distribuir.

 

(x ^ {2} +6 x = 2 x + 5 )

 

Escribir en forma estándar.

 

(x ^ {2} +4 x-5 = 0 )

 

Factor.

 

((x + 5) (x-1) = 0 )

 

Utilice la propiedad de producto cero.

 

(x + 5 = 0, quad x-1 = 0 )

 

Resuelve cada ecuación.

 

( cancel {x = -5}, quad x = 1 )

 

Verificación.

 

Te dejamos el cheque.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelva: ( log (x + 2) – log (4 x + 3) = – log x ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelva: ( log (x-2) – log (4 x + 16) = log frac {1} {x} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 8 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

 

Resuelve (5 ^ {x} = 11 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 

Solución :

 

(5 ^ {x} = 11 )

 

Dado que el exponencial está aislado, tome el logaritmo de ambos lados.

 

( log 5 ^ {x} = log 11 )

 

Use la propiedad Power para obtener (x ) como factor, no como exponente.

 

(x log 5 = log 11 )

 

Resuelve para (x ). Encuentra la respuesta exacta.

 

(x = frac { log 11} { log 5} )

 

Aproxima la respuesta.

 

(x aprox 1.490 )

 

Dado que (5 ^ {1} = 5 ) y (5 ^ {2} = 25 ), ¿tiene sentido que (5 ^ {1.490} ≈11 )?

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve (7 ^ {x} = 43 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac { log 43} { log 7} aprox 1.933 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve (8 ^ {x} = 98 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac { log 98} { log 8} aprox 2.205 )

     
 
 
 

Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado ya sea que usemos el logaritmo común o el natural (intente usar el registro natural en el último ejemplo. ¿Obtuvo el mismo resultado?) Cuando el exponencial tiene base (e ), usamos el logaritmo natural.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve (3e ^ {x + 2} = 24 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 

Solución :

 

(3 e ^ {x + 2} = 24 )

 

Aísle la exponencial dividiendo ambos lados por (3 ).

 

(e ^ {x + 2} = 8 )

 

Toma el logaritmo natural de ambos lados.

 

( ln e ^ {x + 2} = ln 8 )

 

Use la propiedad Power para obtener (x ) como factor, no como exponente.

 

((x + 2) ln e = ln 8 )

 

Use la propiedad ( ln e = 1 ) para simplificar.

 

(x + 2 = ln 8 )

 

Resuelve la ecuación. Encuentra la respuesta exacta.

 

(x = ln 8-2 )

 

Aproxima la respuesta.

 

(x aprox 0,079 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve (2e ^ {x − 2} = 18 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 
     
Respuesta
     
     

(x = ln 9 + 2 aprox 4.197 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve (5e ^ {2x} = 25 ). Encuentre la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac { ln 5} {2} aprox. 0.805 )

     
 
 
 

Usar modelos exponenciales en aplicaciones

 

En secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que fueron modeladas con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos muchas más opciones para resolver estas ecuaciones, podemos resolver más aplicaciones.

 

Nuevamente usaremos las Fórmulas de Interés Compuesto y las enumeramos aquí como referencia.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Interés compuesto

 

Para un principal, (P ), invertido a una tasa de interés, (r ), por (t ) años, el nuevo saldo, (A ) es:

 

( begin {array} {ll} {A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt}} & { text {cuando está compuesto} n text { veces al año.}} \ {A = P e ^ {rt}} & { text {cuando se compone continuamente.}} end {array} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Los padres de Jermael pusieron $ (10,000 ) en inversiones para sus gastos universitarios en su primer cumpleaños. Esperan que las inversiones valen $ (50,000 ) cuando cumpla (18 ). Si el interés aumenta continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitarán para lograr su objetivo?

 

Solución :

 

Identifica las variables en la fórmula.

 

( begin {alineado} A & = $ 50,000 \ P & = $ 10,000 \ r & =? \ t & = 17 text {años} \ A & = P e ^ { rt} end {alineado} )

 

Sustituir los valores en la fórmula.

 

(50,000 = 10,000 e ^ {r cdot 17} )

 

Resuelve para (r ). Divide cada lado entre (10,000 ).

 

(5 = e ^ {17 r} )

 

Tome el registro natural de cada lado.

 

( ln 5 = ln e ^ {17 r} )

 

Usa la propiedad Power.

 

( ln 5 = 17 r ln e )

 

Simplificar.

 

( ln 5 = 17 r )

 

Divide cada lado entre (17 ).

 

( frac { ln 5} {17} = r )

 

Aproxima la respuesta.

 

(r aproximadamente 0,095 )

 

Convertir a porcentaje.

 

(r aprox 9.5 % )

 

Necesitan que la tasa de crecimiento sea aproximadamente (9.5 )%.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Héctor invierte $ (10,000 ) a la edad (21 ). Espera que las inversiones valen $ (150,000 ) cuando cumpla (50 ). Si el interés aumenta continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?

 
     
Respuesta
     
     

(r aprox 9.3 % )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Rachel invierte $ (15,000 ) a la edad (25 ). Ella espera que las inversiones valen $ (90,000 ) cuando cumpla (40 ). Si el interés se agrava continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?

 
     
Respuesta
     
     

(r aprox 11.9 % )

     
 
 
 

Hemos visto que el crecimiento y la descomposición están modelados por funciones exponenciales. Para el crecimiento y la descomposición, usamos la fórmula (A = A_ {0} e ^ {k t} ). El crecimiento exponencial tiene una tasa positiva de crecimiento o constante de crecimiento, (k ), y decadencia exponencial tiene una tasa negativa de crecimiento o constante de decadencia, (k ).

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Crecimiento exponencial y decadencia

 

Para una cantidad original, (A_ {0} ), que crece o decae a una velocidad, (k ), durante un cierto tiempo, (t ), la cantidad final, (A ), es:

 

(A = A_ {0} e ^ {k t} )

 
 

Ahora podemos resolver aplicaciones que nos brindan suficiente información para determinar la tasa de crecimiento. Entonces podemos usar esa tasa de crecimiento para predecir otras situaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de (100 ) a (300 ) en (3 ) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá (24 ) horas desde el comienzo del experimento?

 

Solución :

 

Este problema requiere dos pasos principales. Primero debemos encontrar la tasa desconocida, (k ). Luego usamos ese valor de (k ) para ayudarnos a encontrar el número desconocido de bacterias.

 

Identifica las variables en la fórmula.

 

( begin {alineado} A & = 300 \ A_ {0} & = 100 \ k & =? \ t & = 3 text {horas} \ A & = A_ {0} e ^ {kt} end {alineado} )

 

Sustituir los valores en la fórmula.

 

(300 = 100 e ^ {k cdot 3} )

 

Resuelve para (k ). Divide cada lado entre (100 ).

 

(3 = e ^ {3 k} )

 

Tome el registro natural de cada lado.

 

( ln 3 = ln e ^ {3 k} )

 

Usa la propiedad Power.

 

( ln 3 = 3 k ln e )

 

Simplificar.

 

( ln 3 = 3 k )

 

Divide cada lado entre (3 ).

 

( frac { ln 3} {3} = k )

 

Aproxima la respuesta.

 

(k aprox 0.366 )

 

Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir la cantidad de bacterias que habrá en (24 ) horas.

 

( begin {alineado} A & =? \ A_ {0} & = 100 \ k & = frac { ln 3} {3} \ t & = 24 text {horas} A & = A_ {0} e ^ {kt} end {alineado} )

 

Sustituir en los valores.

 

(A = 100 e ^ { frac { ln 3} {3} cdot 24} )

 

Evaluar.

 

(A aprox. 656,100 )

 

A esta tasa de crecimiento, pueden esperar (656,100 ) bacterias.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de (100 ) a (500 ) en (6 ) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá (24 ) horas desde el comienzo del experimento?

 
     
Respuesta
     
     

Habrá (62,500 ) bacterias.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de (700,000 ) a (400,000 ) en (5 ) horas después de la administración de la medicación. A este ritmo de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá (24 ) horas desde el comienzo del experimento?

 
     
Respuesta
     
     

Habrá (5,870,061 ) bacterias.

     
 
 
 

Las sustancias radiactivas se descomponen o descomponen de acuerdo con la fórmula de descomposición exponencial. La cantidad de tiempo que tarda la sustancia en descomponerse a la mitad de su cantidad original se denomina semivida de la sustancia.

 

Similar al ejemplo anterior, podemos usar la información dada para determinar la constante de descomposición, y luego usar esa constante para responder otras preguntas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

La vida media del radio-226 es (1,590 ) años. ¿Qué cantidad de una muestra de (100 ) mg quedará en (500 ) años?

 

Solución :

 

Este problema requiere dos pasos principales. Primero debemos encontrar la constante de desintegración (k ). Si comenzamos con (100 ) – mg, en la vida media habrá (50 ) – mg restantes. Usaremos esta información para encontrar (k ). Luego usamos ese valor de (k ) para ayudarnos a encontrar la cantidad de muestra que quedará en (500 ) años.

 

Identifica las variables en la fórmula.

 

( begin {alineado} A & = 50 \ A_ {0} & = 100 \ k & =? \ t & = 1590 text {años} \ A & = A_ {0} e ^ {kt} end {alineado} )

 

Sustituir los valores en la fórmula.

 

(50 = 100 e ^ {k cdot 1590} )

 

Resuelve para (k ). Divide cada lado entre (100 ).

 

(0,5 = e ^ {1590 k} )

 

Tome el registro natural de cada lado.

 

( ln 0.5 = ln e ^ {1590 k} )

 

Usa la propiedad Power.

 

( ln 0.5 = 1590 k ln e )

 

Simplificar.

 

( ln 0,5 = 1590 k )

 

Divide cada lado entre (1590 ).

 

( frac { ln 0.5} {1590} = k ) respuesta exacta

 

Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir la cantidad que quedará en (500 ) años.

 

( begin {alineado} A & =? \ A_ {0} & = 100 \ k & = frac { ln 0.5} {1590} \ t & = 500 : mathrm {años } \ A & = A_ {0} e ^ {kt} end {alineado} )

 

Sustituir en los valores.

 

(A = 100 e ^ { frac {1 mathrm {n} 0.5} {1500} cdot 500} )

 

Evaluar.

 

(A aproximadamente 80.4 mathrm {mg} )

 

En (500 ) años quedarían aproximadamente (80.4 ) mg restantes.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

La vida media del magnesio-27 es (9,45 ) minutos. ¿Qué cantidad de una muestra de (10 ​​) – mg quedará en (6 ) minutos?

 
     
Respuesta
     
     

Habrá (6.43 ) mg restantes.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

La vida media del yodo radiactivo es de (60 ) días. ¿Qué cantidad de una muestra de (50 ) – mg quedará en (40 ) días?

 
     
Respuesta
     
     

Habrá (31.5 ) mg restantes.

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

 
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