las matematicas

10.7: Dividir monomios (Parte 2)

10.7: Dividir monomios (Parte 2)

Simplifique las expresiones aplicando varias propiedades

 

Ahora resumiremos todas las propiedades de los exponentes para que estén todos juntos para hacer referencia a medida que simplificamos las expresiones usando varias propiedades. Observe que ahora están definidos para exponentes de números enteros.

 
 

Resumen de propiedades de exponente

 

Si a, b son números reales ym, n son números enteros, entonces

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Propiedad del producto (a ^ m • a ^ n = a ^ {m + n} )
Propiedad de energía ((a ^ m) ^ n = a ^ {m • n} )
Producto a una propiedad de potencia ((ab) ^ m = a ^ mb ^ m )
Propiedad del cociente ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m – n}, quad a ≠ 0, , m> n )
( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}}, quad a ≠ 0, , n> m ) [19459014 ]          
Propiedad de exponente cero (a ^ 0 = 1, quad a ≠ 0 )
Cociente a una propiedad de poder ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b ≠ 0 )
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: ( dfrac {(x ^ {2}) ^ {3}} {x ^ {5}} ).

 

Solución

                                                                                                              
Multiplica los exponentes en el numerador, usando la propiedad Power. ( dfrac {x ^ {6}} {x ^ {5}} label {10.4.46} )
Resta los exponentes. (x label {10.4.47} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Simplifique: ( dfrac {(a ^ {4}) ^ {5}} {a ^ {9}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(a ^ {11} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Simplifique: ( dfrac {(b ^ {5}) ^ {6}} {b ^ {11}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(b ^ {19} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique: ( dfrac {(m ^ {8})} {(m ^ {2}) ^ {4}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Multiplica los exponentes en el numerador, usando la propiedad Power. ( dfrac {m ^ {8}} {m ^ {8}} label {10.4.48} )
Resta los exponentes. (m ^ {0} label {10.4.49} )
Propiedad de potencia cero 1
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Simplifica: ( dfrac {(k ^ {11}} {(k ^ {3}) ^ {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(k ^ 2 )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Simplifica: ( dfrac {(d ^ {23}} {(d ^ {4}) ^ {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {d} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}} right) ^ {2} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Recuerde que los paréntesis van antes que los exponentes, y las bases son las mismas para que podamos simplificar dentro de los paréntesis. Resta los exponentes. ((x ^ {7-3}) ^ {2} label {10.4.50} )
Simplificar. ((x ^ {4}) ^ {2} label {10.4.51} )
Multiplica los exponentes. (x ^ {8} label {10.4.52} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {f ^ {14}} {f ^ {8}} right) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(f ^ {12} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {b ^ {6}} {b ^ {11}} right) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {b ^ {10}} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {p ^ {2}} {q ^ {5}} right) ^ {3} ).

 

Solución

 

Aquí no podemos simplificar primero dentro de los paréntesis, ya que las bases no son las mismas.

                                                                                                              
Eleve el numerador y el denominador a la tercera potencia utilizando la propiedad Cociente a una potencia, ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ) ( dfrac {(p ^ {2}) ^ {3}} {(q ^ {5}) ^ {3}} label {10.4.53} )
Use la propiedad Power, (a m ) n = a m • n . ( dfrac {p ^ {6}} {q ^ {15}} label {10.4.54} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {m ^ {3}} {n ^ {8}} right) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {m ^ {15}} {n ^ {40}} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {t ^ {10}} {u ^ {7}} right) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {t ^ {20}} {u ^ {14}} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {2x ^ {3}} {3y} right) ^ {4} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Eleve el numerador y el denominador a la cuarta potencia usando la propiedad Cociente a una potencia. ( dfrac {(2x ^ {3}) ^ {4}} {(3y) ^ {4}} label {10.4.55} )
Eleva cada factor a la cuarta potencia, usando la Propiedad de Poder a una Potencia. ( dfrac {2 ^ {4} (x ^ {3}) ^ {4}} {3 ^ {4} y ^ {4}} label {10.4.56} )
Usa la propiedad Power y simplifica. ( dfrac {16x ^ {12}} {81y ^ {4}} label {10.4.57} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {5b} {9c ^ {3}} right) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {25b ^ 2} {81c ^ 6} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {4p ^ {4}} {7q ^ {5}} right) ^ {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {64p ^ {12}} {343q ^ {15}} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Simplifique: ( dfrac {(y ^ {2}) ^ {3} (y ^ {2}) ^ {4}} {(y ^ {5}) ^ {4}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Usa la propiedad Power. ( dfrac {(y ^ {6}) (y ^ {8})} {y ^ {20}} label {10.4.58} )
Agregue los exponentes en el numerador, utilizando la Propiedad del producto. ( dfrac {y ^ {14}} {y ^ {20}} label {10.4.59} )
Utilice la propiedad del cociente. ( dfrac {1} {y ^ {6}} label {10.4.60} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( dfrac {(y ^ {4}) ^ {4} (y ^ {3}) ^ {5}} {(y ^ {7}) ^ {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {y ^ {11}} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( dfrac {(3x ^ {4}) ^ {2} (x ^ {3}) ^ {4}} {(x ^ {5}) ^ {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(9x ^ 5 )

     
 
 
 

Dividir monomios

 

Ahora hemos visto todas las propiedades de los exponentes. Los usaremos para dividir monomios. Más tarde, los usará para dividir polinomios.

   
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Encuentre el cociente: 56x 5 ÷ 7x 2 .

 

Solución

                                                                                                                                                              
Reescribe como una fracción. ( dfrac {56x ^ {5}} {7x ^ {2}} label {10.4.61} )
Usa la multiplicación de fracciones para separar la parte del número de la parte variable. ( dfrac {56} {7} cdot dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} label {10.4.62} )
Utilice la propiedad del cociente. (8x ^ {3} label {10.4.63} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Encuentre el cociente: 63x 8 ÷ 9x 4 .

 
     
Respuesta
     
     

(7x ^ 4 )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Encuentre el cociente: 96y 11 ÷ 6y 8 .

 
     
Respuesta
     
     

(16 años ^ 3 )

     
 
 
 

Cuando dividimos monomios con más de una variable, escribimos una fracción para cada variable.

   
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {42x ^ {2} y ^ {3}} {- 7xy ^ {5}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Usa la multiplicación de fracciones. ( dfrac {42} {- 7} cdot dfrac {x ^ {2}} {x} cdot dfrac {y ^ {3}} {y ^ {5}} label {10.4 .64} )
Simplifique y use la propiedad del cociente. (- 6 cdot x cdot dfrac {1} {y ^ {2}} label {10.4.65} )
Multiplica. (- dfrac {6x} {y ^ {2}} label {10.4.66} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {-84x ^ {8} y ^ {3}} {7x ^ {10} y ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {12y} {x ^ 2} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {-72a ^ {4} b ^ {5}} {- 8a ^ {9} b ^ {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {9} {a ^ 5} )

     
 
 
   
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {24a ^ {5} b ^ {3}} {48ab ^ {4}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Usa la multiplicación de fracciones. ( dfrac {24} {48} cdot dfrac {a ^ {5}} {a} cdot dfrac {b ^ {3}} {b ^ {4}} label {10.4. 67} )
Simplifique y use la propiedad del cociente. ( dfrac {1} {2} cdot a ^ {4} cdot dfrac {1} {b} label {10.4.68} )
Multiplica. ( dfrac {a ^ {4}} {2b} label {10.4.69} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {16a ^ {7} b ^ {6}} {24ab ^ {8}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2a ^ 6} {3b ^ 2} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {27p ^ {4} q ^ {7}} {- 45p ^ {12} q} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {3q ^ 6} {5p ^ 8} )

     
 
 
 

Una vez que se familiarice con el proceso y lo haya practicado paso a paso varias veces, puede simplificar una fracción en un solo paso.

   
 

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {14x ^ {7} y ​​^ {12}} {21x ^ {11} y ^ {6}} ).

 

Solución

                                                              
Simplifique y use la propiedad del cociente. ( dfrac {2y ^ {6}} {3x ^ {4}} label {10.4.70} )
 

Tenga mucho cuidado de simplificar ( dfrac {14} {21} ) dividiendo un factor común y simplificando las variables restando sus exponentes.

 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {33} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {28x ^ {5} y ^ {14}} {49x ^ {9} y ^ {12}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {4y ^ 2} {7x ^ 4} )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {34} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {30m ^ {5} n ^ {11}} {48m ^ {10} n ^ {14}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5} {8m ^ 5 n ^ 3} )

     
 
 
 

En todos los ejemplos hasta ahora, no había trabajo que hacer en el numerador o denominador antes de simplificar la fracción. En el siguiente ejemplo, primero encontraremos el producto de dos monomios en el numerador antes de simplificar la fracción.

   
 

Ejemplo ( PageIndex {18} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {(3x ^ {3} y ^ {2}) (10x ^ {2} y ^ {3})} {6x ^ {4} y ^ {5}} )

 

Solución

 

Recuerde, la barra de fracción es un símbolo de agrupación. Simplificaremos primero el numerador.

                                                                                                              
Simplifica el numerador. ( dfrac {30x ^ {5} y ^ {5}} {6x ^ {4} y ^ {5}} label {10.4.71} )
Simplifica, usando la regla del cociente. (5x label {10.4.72} )
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {35} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {(3x ^ {4} y ^ {5}) (8x ^ {2} y ^ {5})} {12x ^ {5} y ^ {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

(2xy ^ 2 )

     
 
 
   
 

Ejercicio ( PageIndex {36} ):

 

Encuentra el cociente: ( dfrac {(- 6a ^ {6} b ^ {9}) (- 8a ^ {5} b ^ {8})} {- 12a ^ {10} b ^ {12 }} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 4ab ^ 5 )

     
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Simplificar expresiones usando la propiedad del cociente de los exponentes

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. ( dfrac {4 ^ {8}} {4 ^ {2}} )
    2.      
  2. ( dfrac {3 ^ {12}} {3 ^ {4}} )
    3.      
  3. ( dfrac {x ^ {12}} {x ^ {3}} )
    4.      
  4. ( dfrac {u ^ {9}} {u ^ {3}} )
    5.      
  5. ( dfrac {r ^ {5}} {r} )
    6.      
  6. ( dfrac {y ^ {4}} {y} )
    7.      
  7. ( dfrac {y ^ {4}} {y ^ {20}} )
    8.      
  8. ( dfrac {x ^ {10}} {x ^ {30}} )
    9.      
  9. ( dfrac {10 ^ {3}} {10 ^ {15}} )
    10.      
  10. ( dfrac {r ^ {2}} {r ^ {8}} )
    11.      
  11. ( dfrac {a} {a ^ {9}} )
    12.      
  12. ( dfrac {2} {2 ^ {5}} )
    13.  
 

Simplificar expresiones con exponentes cero

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. 5 0
    2.      
  2. 10 0
    3.      
  3. a 0
    4.      
  4. x 0
    5.      
  5. −7 0
    6.      
  6. −4 0
    7.      
  7. (a) (10p) 0 (b) 10p 0
    8.      
  8. (a) (3a) 0 (b) 3a 0
    9.      
  9. (a) (−27x 5 y) 0 (b) −27x 5 y 0
    10.      
  10. (a) (−92y 8 z) 0 (b) −92y 8 z 0
    11.      
  11. (a) 15 0 (b) 15 1
    12.      
  12. (a) −6 0 (b) −6 1
    13.      
  13. 2 • x 0 + 5 • y 0
    14.      
  14. 8 • m 0 – 4 • n 0
    15.  
 

Simplifique expresiones usando el cociente de una propiedad de potencia

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. ( left ( dfrac {3} {2} right) ^ {5} )
    2.      
  2. ( left ( dfrac {4} {5} right) ^ {3} )
    3.      
  3. ( left ( dfrac {m} {6} right) ^ {3} )
    4.      
  4. ( left ( dfrac {p} {2} right) ^ {5} )
    5.      
  5. ( left ( dfrac {x} {y} right) ^ {10} )
    6.      
  6. ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {8} )
    7.      
  7. ( left ( dfrac {a} {3b} right) ^ {2} )
    8.      
  8. ( left ( dfrac {2x} {y} right) ^ {4} )
    9.  
 

Simplifique expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. ( dfrac {(x ^ {2}) ^ {4}} {x ^ {5}} )
    2.      
  2. ( dfrac {(y ^ {4}) ^ {3}} {y ^ {7}} )
    3.      
  3. ( dfrac {(u ^ {3}) ^ {4}} {u ^ {10}} )
    4.      
  4. ( dfrac {(y ^ {2}) ^ {5}} {y ^ {6}} )
    5.      
  5. ( dfrac {y ^ {8}} {(y ^ {5}) ^ {2}} )
    6.      
  6. ( dfrac {p ^ {11}} {(p ^ {5}) ^ {3}} )
    7.      
  7. ( dfrac {r ^ {5}} {(r ^ {4} cdot r} )
    8.      
  8. ( dfrac {a ^ {3} cdot a ^ {4}} {(a ^ {7}} )
    9.      
  9. ( left ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {8}} right) ^ {3} )
    10.      
  10. ( left ( dfrac {u} {u ^ {10}} right) ^ {2} )
    11.      
  11. ( left ( dfrac {a ^ {4} cdot a ^ {6}} {a ^ {3}} right) ^ {2} )
    12.      
  12. ( left ( dfrac {x ^ {3 cdot x ^ {8}}} {x ^ {4}} right) ^ {3} )
    13.      
  13. ( dfrac {(y ^ {3}) ^ {5}} {(y ^ {4}) ^ {3}} )
    14.      
  14. ( dfrac {(z ^ {6}) ^ {2}} {(z ^ {2}) ^ {4}} )
    15.      
  15. ( dfrac {(x ^ {3}) ^ {6}} {(x ^ {4}) ^ {7}} )
    16.      
  16. ( dfrac {(x ^ {4}) ^ {8}} {(x ^ {5}) ^ {7}} )
    17.      
  17. ( left ( dfrac {2r ^ {3}} {5s} right) ^ {4} )
    18.      
  18. ( left ( dfrac {3m ^ {2}} {4n} right) ^ {3} )
    19.      
  19. ( left ( dfrac {3y ^ {2} cdot y ^ {5}} {y ^ {15} cdot y ^ {8}} right) ^ {0} )
    20.      
  20. ( left ( dfrac {15z ^ {4} cdot z ^ {9}} {0.3z ^ {2}} right) ^ {0} )
    21.      
  21. ( dfrac {(r ^ {2}) ^ {5} (r ^ {4}) ^ {2}} {(r ^ {3}) ^ {7}} )
    22.      
  22. ( dfrac {(p ^ {4}) ^ {2} (p ^ {3}) ^ {5}} {(p ^ {2}) ^ {9}} )
    23.      
  23. ( dfrac {(3x ^ {4}) ^ {3} (2x ^ {3}) ^ {2}} {(6x ^ {5}) ^ {2}} )
    24.      
  24. ( dfrac {(- 2y ^ {3}) ^ {4} (3y ^ {4}) ^ {2}} {(- 6y ^ {3}) ^ {2}} ) [19459055 ]  
 

Dividir monomios

 

En los siguientes ejercicios, divide los monomios.

 
         
  1. 48b 8 ÷ 6b 2
    2.      
  2. 42a 14 ÷ 6a 2
    3.      
  3. 36x 3 ÷ (−2x 9 )
    4.      
  4. 20u 8 ÷ (−4u 6 )
    5.      
  5. ( dfrac {18x ^ {3}} {9x ^ {2}} )
    6.      
  6. ( dfrac {36 años ^ {9}} {4 años ^ {7}} )
    7.      
  7. ( dfrac {-35x ^ {7}} {- 42x ^ {13}} )
    8.      
  8. ( dfrac {18x ^ {5}} {- 27x ^ {9}} )
    9.      
  9. ( dfrac {18r ^ {5} s} {3r ^ {3} s ^ {9}} )
    10.      
  10. ( dfrac {24p ^ {7} q} {6p ^ {2} q ^ {5}} )
    11.      
  11. ( dfrac {8mn ^ {10}} {64mn ^ {4}} )
    12.      
  12. ( dfrac {10a ^ {4} b} {50a ^ {2} b ^ {6}} )
    13.      
  13. ( dfrac {-12x ^ {4} y ^ {9}} {15x ^ {6} y ^ {3}} )
    14.      
  14. ( dfrac {48x ^ {11} y ^ {9} z ^ {3}} {36x ^ {6} y ^ {8} z ^ {5}} )
    15.      
  15. ( dfrac {64x ^ {5} y ^ {9} z ^ {7}} {48x ^ {7} y ​​^ {12} z ^ {6}} )
    16.      
  16. ( dfrac {(10u ^ {2} v) (4u ^ {3} v ^ {6})} {5u ^ {9} v ^ {2}} )
    17.      
  17. ( dfrac {(6m ^ {2} n) (5m ^ {4} n ^ {3})} {3m ^ {10} n ^ {2}} )
    18.      
  18. ( dfrac {(6a ^ {4} b ^ {3}) (4ab ^ {5})} {(12a ^ {8} b) (a ^ {3} b)} ) [19459055 ]      
  19. ( dfrac {(4u ^ {5} v ^ {4}) (15u ^ {8} v)} {(12u ^ {3} v) (u ^ {6} v)} ) [ 19459055]  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

CNX_BMath_Figure_AppB_063.jpg

 

(b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?

 
]]>

antonio1095

,

Deja una respuesta