Es el final de la novena entrada, con dos outs y dos hombres en la base. El equipo local está perdiendo por dos carreras. El bateador balancea y golpea la pelota de béisbol a (140 ) pies por segundo y en un ángulo de aproximadamente (45 ° ) con respecto a la horizontal. ¿Qué tan lejos viajará la pelota? ¿Va a despejar el cerco para un jonrón ganador del juego? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar el camino de un proyectil y predecir aproximadamente qué tan lejos viajará usando ecuaciones paramétricas. En esta sección, analizaremos ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como problemas de movimiento de proyectiles.
Graficar ecuaciones paramétricas por puntos de trazado
En lugar de una calculadora gráfica o un programa de gráficos por computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Mientras tengamos cuidado al calcular los valores, el trazado de puntos es altamente confiable.
Cómo: dado un par de ecuaciones paramétricas, dibuja un gráfico trazando puntos
- Construya una tabla con tres columnas: (t ), (x (t) ) y (y (t) ).
- Evalúe (x ) y (y ) para valores de tt durante el intervalo para el que se definen las funciones.
- Trace los pares resultantes ((x, y) ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Dibujar el gráfico de un par de ecuaciones paramétricas por puntos de trazado
Dibuje la gráfica de las ecuaciones paramétricas (x (t) = t ^ 2 + 1 ), (y (t) = 2 + t ).
Solución
Construya una tabla de valores para (t ), (x (t) ) e (y (t) ), como en la Tabla ( PageIndex {1} ), y trace el puntos en un plano.
| (t ) | (x (t) = t ^ 2 + 1 ) | (y (t) = 2 + t ) |
|---|---|---|
| (- 5 ) | (26 ) | (- 3 ) |
| (- 4 ) | (17 ) | (- 2 ) |
| (- 3 ) | (10 ) | (- 1 ) |
| (- 2 ) | (5 ) | (0 ) |
| (- 1 ) | (2 ) | (1 ) |
| (0 ) | (1 ) | (2 ) |
| (1 ) | (2 ) | (3 ) |
| (2 ) | (5 ) | (4 ) |
| (3 ) | (10 ) | (5 ) |
| (4 ) | (17 ) | (6 ) |
| (5 ) | (26 ) | (7 ) |
El gráfico es una parábola con vértice en el punto ((1,2) ), que se abre a la derecha. Ver Figura ( PageIndex {2} ).
Análisis
A medida que los valores para (t ) progresan en una dirección positiva desde (0 ) a (5 ), los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. Cuando los valores de t t se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican la dirección según los valores crecientes de (t ). El gráfico no representa una función, ya que fallará la prueba de línea vertical. El gráfico se dibuja en dos partes: los valores positivos para (t ) y los valores negativos para (t ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas (x = sqrt {t} ), (y = 2t + 3 ), (0≤t≤3 ).
- Respuesta
-
Figura ( PageIndex {3} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Dibujar el gráfico de ecuaciones paramétricas trigonométricas
Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y dibuje el gráfico:
(x = 2 cos t )
(y = 4 sin t )
Solución
Construya una tabla como esa en la Tabla ( PageIndex {2} ) usando la medida del ángulo en radianes como entradas para (t ), y evaluando (x ) y (y ). El uso de ángulos con valores de seno y coseno conocidos para (t ) facilita los cálculos.
| (t ) | (x = 2 cos t ) | (y = 4 sin t ) |
|---|---|---|
| (0 ) | (x = 2 cos (0) = 2 ) | (y = 4 sin (0) = 0 ) |
| ( dfrac { pi} {6} ) | (x = 2 cos ( dfrac { pi} {6}) = sqrt {3} ) | (y = 4 sin ( dfrac {π} {6}) = 2 ) |
| ( dfrac { pi} {3} ) | (x = 2 cos ( dfrac { pi} {3}) = 1 ) | (y = 4 sin ( dfrac { pi} {3}) = 2 sqrt {3} ) |
| ( dfrac { pi} {2} ) | (x = 2 cos ( dfrac { pi} {2}) = 0 ) | (y = 4 sin ( dfrac { pi} {2}) = 4 ) |
| ( dfrac {2 pi} {3} ) | (x = 2 cos ( dfrac {2 pi} {3}) = – 1 ) | (y = 4 sin ( dfrac {2 pi} {3}) = 2 sqrt {3} ) |
| ( dfrac {5 pi} {6} ) | (x = 2 cos ( dfrac {5 pi} {6}) = – sqrt {3} ) | (y = 4 sin ( dfrac {5 pi} {6}) = 2 ) |
| ( pi ) | (x = 2 cos ( pi) = – 2 ) | (y = 4 sin ( pi) = 0 ) |
| ( dfrac {7 pi} {6} ) | (x = 2 cos ( dfrac {7 pi} {6}) = – sqrt {3} ) | (y = 4 sin ( dfrac {7 pi} {6}) = – 2 ) |
| ( dfrac {4 pi} {3} ) | (x = 2 cos ( dfrac {4 pi} {3}) = – 1 ) | (y = 4 sin ( dfrac {4 pi} {3}) = – 2 sqrt {3} ) |
| ( dfrac {3 pi} {2} ) | (x = 2 cos ( dfrac {3 pi} {2}) = 0 ) | (y = 4 sin ( dfrac {3 pi} {2}) = – 4 ) |
| ( dfrac {5 pi} {3} ) | (x = 2 cos ( dfrac {5 pi} {3}) = 1 ) | (y = 4 sin ( dfrac {5 pi} {3}) = – 2 sqrt {3} ) |
| ( dfrac {11 pi} {6} ) | (x = 2 cos ( dfrac {11 pi} {6}) = sqrt {3} ) | (y = 4 sin ( dfrac {11 pi} {6}) = – 2 ) |
| (2 pi ) | (x = 2 cos (2 pi) = 2 ) | (y = 4 sin (2 pi) = 0 ) |
La figura ( PageIndex {4} ) muestra el gráfico.
Por la simetría que se muestra en los valores de (x ) e (y ), vemos que las ecuaciones paramétricas representan una elipse. La elipse se mapea en el sentido contrario a las agujas del reloj, como lo muestran las flechas que indican valores (t ) crecientes.
Análisis
Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden graficar trazando puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará algo de tiempo y revelará matices en un gráfico que puede ser demasiado tedioso para descubrir usando solo cálculos manuales. Asegúrese de cambiar el modo en la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la ventana (Y = ) debería mostrar
[ begin {align *} X_ {1T} & = \ Y_ {1T} & = end {align *} ]
en lugar de (Y_1 = ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Representa gráficamente las ecuaciones paramétricas: (x = 5 cos t ), (y = 3 sin t ).
- Respuesta
-
Figura ( PageIndex {5} )
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficar ecuaciones paramétricas y formas rectangulares juntas
Representa gráficamente las ecuaciones paramétricas (x = 5 cos t ) y (y = 2 sin t ). Primero, construya el gráfico usando puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica. Luego grafica la forma rectangular de la ecuación. Compara las dos gráficas.
Solución
Construya una tabla de valores como esa en Table ( PageIndex {3} ).
| (t ) | (x = 5 cos t ) | (y = 2 sin t ) |
|---|---|---|
| (0 ) | (x = 5 cos (0) = 5 ) | (y = 2 sin (0) = 0 ) |
| (1 ) | (x = 5 cos (1) ≈2.7 ) | (y = 2 sin (1) ≈1.7 ) |
| (2 ) | (x = 5 cos (2) ≈ − 2.1 ) | (y = 2 sin (2) ≈1.8 ) |
| (3 ) | (x = 5 cos (3) ≈ − 4.95 ) | (y = 2 sin (3) ≈0,28 ) |
| (4 ) | (x = 5 cos (4) ≈ − 3.3 ) | (y = 2 sin (4) ≈ − 1.5 ) |
| (5 ) | (x = 5 cos (5) ≈1.4 ) | (y = 2 sin (5) ≈ − 1.9 ) |
| (- 1 ) | (x = 5 cos (−1) ≈2.7 ) | (y = 2 sin (−1) ≈ − 1.7 ) |
| (- 2 ) | (x = 5 cos (−2) ≈ − 2.1 ) | (y = 2 sin (−2) ≈ − 1.8 ) |
| (- 3 ) | (x = 5 cos (−3) ≈ − 4.95 ) | (y = 2 sin (−3) ≈ − 0.28 ) |
| (- 4 ) | (x = 5 cos (−4) ≈ − 3.3 ) | (y = 2 sin (−4) ≈1.5 ) |
| (- 5 ) | (x = 5 cos (−5) ≈1.4 ) | (y = 2 sin (−5) ≈1.9 ) |
Trace los valores ((x, y) ) de la tabla (Figura ( PageIndex {6} )).
A continuación, traduzca las ecuaciones paramétricas a forma rectangular. Para hacer esto, resolvemos (t ) en (x (t) ) o (y (t) ), y luego sustituimos la expresión por (t ) en la otra ecuación. El resultado será una función (y (x) ) si se resuelve para (t ) como una función de (x ), o (x (y) ) si se resuelve para (t ) como una función de (y ).
[ begin {align *} x & = 5 cos t \ dfrac {x} {5} & = cos t end {align *} ]
Resuelve para ( cos t ).
(y = 2 sin t )
Resuelve para ( sin t ).
( dfrac {y} {2} = sin t )
Luego, usa el Teorema de Pitágoras.
[ begin {align *} { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t & = 1 \ { left ( dfrac {x} {5} right)} ^ 2+ { left ( dfrac {y} {2} right)} ^ 2 & = 1 \ dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} & = 1 end {alinear *} ]
Análisis
En la Figura ( PageIndex {7} ), los datos de las ecuaciones paramétricas y la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; el gráfico para la ecuación rectangular se dibuja encima del paramétrico en un estilo discontinuo de color rojo. Claramente, ambas formas producen el mismo gráfico.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficar ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares en el sistema de coordenadas
Representa gráficamente las ecuaciones paramétricas (x = t + 1 ) y (y = sqrt {t} ), (t≥0 ) y el equivalente rectangular (y = sqrt {x− 1} ) en el mismo sistema de coordenadas.
Solución
Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas, como hicimos en el ejemplo anterior, y grafique (y = sqrt {t} ), (t≥0 ) en la misma cuadrícula, como en la Figura ( PageIndex {8} ).
Análisis
Con el dominio en (t ) restringido, solo graficamos valores positivos de (t ). Los datos paramétricos se grafican en azul y la gráfica de la ecuación rectangular se traza en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas (x = 2 cos theta ) y (y = 4 sin theta ), junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula.
- Respuesta
-
El gráfico de las ecuaciones paramétricas está en rojo y el gráfico de la ecuación rectangular se dibuja en puntos azules en la parte superior de las ecuaciones paramétricas.
Figura ( PageIndex {9} )
Aplicaciones de ecuaciones paramétricas
Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se vuelven obvias cuando se aplican para resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en (x ) y (y ) dan una imagen general de la ruta de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento específico. Sin embargo, las ecuaciones paramétricas ilustran cómo los valores de (x ) e (y ) cambian dependiendo de (t ), como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento particular.
Una aplicación común de ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectiles. En este tipo de movimiento, un objeto es impulsado hacia adelante en una dirección hacia arriba formando un ángulo de ( theta ) a la horizontal, con una velocidad inicial de (v_0 ), y a una altura (h ) arriba El horizontal.
La ruta de un objeto propulsado en una inclinación de ( theta ) a la horizontal, con una velocidad inicial (v_0 ), y a una altura (h ) por encima de la horizontal, viene dada por [19459001 ]
[ begin {align *} x & = (v_0 cos theta) t \ y & = – dfrac {1} {2} gt ^ 2 + (v_0 sin theta) t + h end {align *} ]
donde (g ) explica los efectos de gravedad y (h ) es la altura inicial del objeto. Dependiendo de las unidades involucradas en el problema, use (g = 32 pies / s ^ 2 ) o (g = 9.8 m / s ^ 2 ). La ecuación para (x ) da la distancia horizontal, y la ecuación para (y ) da la distancia vertical.
Cómo: dado un problema de movimiento de proyectil, usa ecuaciones paramétricas para resolver.
- La distancia horizontal viene dada por (x = (v_0 cos theta) t ). Sustituya la velocidad inicial del objeto por (v_0 ).
- La expresión ( cos theta ) indica el ángulo en el que se impulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por ( cos theta ).
- La distancia vertical viene dada por la fórmula (y = – dfrac {1} {2} gt ^ 2 + (v_0 sin theta) t + h ). El término (- dfrac {1} {2} gt ^ 2 ) representa el efecto de la gravedad. Dependiendo de las unidades involucradas, use (g = 32 pies / s ^ 2 ) o (g = 9.8 m / s ^ 2 ). Nuevamente, sustituya la velocidad inicial por (v_0 ) y la altura a la que se impulsó el objeto por (h ).
- Proceda calculando cada término para resolver (t ).
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar las ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de una pelota de béisbol
Resuelva el problema presentado al comienzo de esta sección. ¿El bateador pega el jonrón ganador del juego? Suponga que la pelota es golpeada con una velocidad inicial de (140 ) pies por segundo en un ángulo de (45 ° ) con respecto a la horizontal, haciendo contacto (3 ) pies sobre el suelo.
- Encuentra las ecuaciones paramétricas para modelar el camino del béisbol.
- ¿Dónde está la pelota después de (2 ) segundos?
- ¿Cuánto dura la pelota en el aire?
- ¿Es un jonrón?
Solución
1. Usa las fórmulas para configurar las ecuaciones. La posición horizontal se encuentra usando la ecuación paramétrica para (x ). Por lo tanto,
[ begin {align *} x & = (v_0 cos theta) t \ x & = (140 cos (45 °)) t end {align *} ]
La posición vertical se encuentra usando la ecuación paramétrica para (y ). Por lo tanto,
[ begin {align *} y & = – 16t ^ 2 + (v_0 sin theta) t + h \ y & = −16t ^ 2 + (140 sin (45 °)) t + 3 end {align *} ]
2. Sustituye (2 ) en las ecuaciones para encontrar las posiciones horizontal y vertical de la pelota.
[ begin {align *} x & = (140 cos (45 °)) (2) \ x & = 198 space feet \ y & = −16 {(2)} ^ 2+ (140 sin (45 °)) (2) +3 \ y & = 137 space feet end {align *} ]
Después de (2 ) segundos, la pelota está a (198 ) pies de distancia de la caja del bateador y (137 ) pies sobre el suelo.
3. Para calcular cuánto tiempo está la pelota en el aire, tenemos que averiguar cuándo tocará el suelo o cuándo (y = 0 ). Por lo tanto,
[ begin {align *} y & = −16t ^ 2 + (140 sin (45∘)) t + 3 \ y & = 0 text {Set} y (t) = 0 text {y resuelve la cuadrática.} \ t & = 6.2173 end {align *} ]
Cuando (t = 6.2173 ) segundos, la pelota ha golpeado el suelo. (La ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero este problema se resolvió utilizando un programa de matemáticas de computadora).
4. No podemos confirmar que el golpe fue un jonrón sin tener en cuenta el tamaño del campo abierto, que varía de un campo a otro. Sin embargo, por simplicidad, supongamos que la pared del jardín está a (400 ) pies del plato de home en la parte más profunda del parque. Supongamos también que el muro tiene (10 ) pies de altura. Para determinar si la pelota despeja la pared, necesitamos calcular qué tan alta es la pelota cuando ( x = 400 ) pies. Entonces estableceremos ( x = 400 ), resolveremos (t ) e ingresaremos tt en (y ).
[ begin {align *} x & = (140 cos (45 °)) t \ 400 & = (140 cos (45 °)) t \ t & = 4.04 \ y & = −16 {(4.04)} ^ 2+ (140 sin (45 °)) (4.04) +3 \ y & = 141.8 end {align *} ]
La pelota está (141.8 ) pies en el aire cuando sale disparada del estadio. Fue de hecho un jonrón. Ver Figura ( PageIndex {10} ).
Medios
Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de ecuaciones paramétricas.