Usa la definición de un exponente negativo
La propiedad del cociente de los exponentes, introducida en Divide Monomials , tenía dos formas dependiendo de si el exponente en el numerador o denominador era mayor.
Definición: Propiedad del cociente de los exponentes
Si a es un número real, a ≠ 0 ym, n son números enteros, entonces
$$ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, ; m> n quad y quad dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}}, ; n> m $$
¿Qué sucede si solo restamos exponentes, independientemente de cuál sea mayor? Consideremos ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}} ). Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador.
$$ begin {split} & ; dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}} \ & x ^ {2-5} \ & x ^ {- 3} end {split} $$
También podemos simplificar ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}} ) dividiendo factores comunes: ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5} } ).
$$ begin {split} & dfrac { cancel {x} cdot cancel {x}} { cancel {x} cdot cancel {x} cdot x cdot x cdot x} \ & qquad quad dfrac {1} {x ^ {3}} end {split} $$
Esto implica que (x ^ {- 3} = dfrac {1} {x ^ {3}} ) y nos lleva a la definición de un exponente negativo .
Definición: exponente negativo
Si n es un entero positivo y un ≠ 0, entonces (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ).
El exponente negativo nos dice que reescribamos la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente. Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en forma más simple. Usaremos la definición de un exponente negativo y otras propiedades de exponentes para escribir una expresión con solo exponentes positivos.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) 4 −2 (b) 10 −3
Solución
(a) 4 −2
| Use la definición de un exponente negativo, (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ). | $$ dfrac {1} {4 ^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {16} $$ |
(b) 10 −3
| Use la definición de un exponente negativo, (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ). | $$ dfrac {1} {10 ^ {3}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {1000} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) 2 −3 (b) 10 −2
- Responda a
-
( frac {1} {8} )
- Respuesta b
-
( frac {1} {100} )
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Simplifique: (a) 3 −2 (b) 10 −4
- Responda a
-
( frac {1} {9} )
- Respuesta b
-
( frac {1} {10,000} )
Al simplificar cualquier expresión con exponentes, debemos tener cuidado de identificar correctamente la base que se eleva a cada exponente.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Simplifique: (a) (−3) −2 (b) −3 −2
Solución
El negativo en el exponente no afecta el signo de la base.
a) (−3) −2
| El exponente se aplica a la base, −3. | $$ (- 3) ^ {- 2} $$ |
| Toma el recíproco de la base y cambia el signo del exponente. | $$ dfrac {1} {(- 3) ^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {9} $$ |
(b) −3 −2
| La expresión −3 −2 significa “encontrar el opuesto de 3 −2 . El exponente se aplica solo a la base, 3. | $$ – 3 ^ {- 2} $$ |
| Reescribe como un producto con −1. | $$ – 1 cdot 3 ^ {- 2} $$ |
| Toma el recíproco de la base y cambia el signo del exponente. | $$ – 1 cdot dfrac {1} {3 ^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$ – dfrac {1} {9} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) (−5) −2 (b) −5 −2
- Responda a
-
( frac {1} {25} )
- Respuesta b
-
(- frac {1} {25} )
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Simplifique: (a) (−2) −2 (b) −2 −2
- Responda a
-
( frac {1} {4} )
- Respuesta b
-
(- frac {1} {4} )
Debemos tener cuidado de seguir el orden de las operaciones. En el siguiente ejemplo, las partes (a) y (b) se ven similares, pero obtenemos resultados diferentes.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) 4 • 2 −1 (b) (4 • 2) −1
Solución
Recuerde seguir siempre el orden de las operaciones.
(a) 4 • 2 −1
| Haz exponentes antes de la multiplicación. | $$ 4 cdot 2 ^ {- 1} $$ |
| Use (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ). | $$ 4 cdot dfrac {1} {2 ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$ 2 $$ |
(b) (4 • 2) −1
| Simplifica primero dentro de los paréntesis primero. | $$ (8) ^ {- 1} $$ |
| Use (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ). | $$ dfrac {1} {8 ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {8} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Simplifique: (a) 6 • 3 −1 (b) (6 • 3) −1
- Responda a
-
(2 )
- Respuesta b
-
( frac {1} {18} )
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Simplifique: (a) 8 • 2 −2 (b) (8 • 2) −2
- Responda a
-
(2 )
- Respuesta b
-
( frac {1} {256} )
Cuando una variable se eleva a un exponente negativo, aplicamos la definición de la misma manera que lo hicimos con los números.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Simplifique: x −6 .
Solución
| Use la definición de un exponente negativo, (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ). | $$ dfrac {1} {x ^ {6}} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Simplifique: y −7 .
- Respuesta
-
( frac {1} {y ^ 7} )
Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Simplifique: z -8 .
- Respuesta
-
( frac {1} {z ^ 8} )
Cuando hay un producto y un exponente, debemos tener cuidado de aplicar el exponente a la cantidad correcta. Según el orden de las operaciones, las expresiones entre paréntesis se simplifican antes de que se apliquen los exponentes. Veremos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Simplifique: (a) 5y −1 (b) (5y) −1 (c) (−5y) −1
Solución
(a) 5 años −1
| Observe que el exponente se aplica solo a la base y. | $$ 5 años ^ {- 1} $$ |
| Toma el recíproco de y y cambia el signo del exponente. | $$ 5 cdot dfrac {1} {y ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {5} {y} $$ |
(b) (5 años) −1
| Aquí los paréntesis hacen que el exponente se aplique a la base 5y. | $$ (5 años) ^ {- 1} $$ |
| Toma el recíproco de 5y y cambia el signo del exponente. | $$ dfrac {1} {(5 años) ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {5y} $$ |
(c) (−5y) −1
| La base es −5y. Tome el recíproco de −5y y cambie el signo del exponente. | $$ dfrac {1} {(- 5 años) ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {1} {- 5 años} $$ |
| Use ( dfrac {a} {- b} = – dfrac {a} {b} ). | $$ – dfrac {1} {5y} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {9} ):
Simplifique: (a) 8p −1 (b) (8p) −1 (c) (−8p) −1
- Responda a
-
( frac {8} {p} )
- Respuesta b
-
( frac {1} {8p} )
- Respuesta c
-
(- frac {1} {8p} )
Ejercicio ( PageIndex {10} ):
Simplifique: (a) 11q −1 (b) (11q) −1 (c) (−11q) −1
- Responda a
-
( frac {11} {q} )
- Respuesta b
-
( frac {1} {11q} )
- Respuesta c
-
(- frac {1} {11q} )
Ahora que hemos definido exponentes negativos, la propiedad del cociente de los exponentes necesita solo una forma, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m – n} ), donde a ≠ 0 y myn son enteros.
Cuando el exponente en el denominador es mayor que el exponente en el numerador, el exponente del cociente será negativo. Si el resultado nos da un exponente negativo, lo reescribiremos utilizando la definición de exponentes negativos, (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} ).