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las matematicas

10.9: Exponentes enteros y notación científica (Parte 2)

                 

Convertir de notación decimal a notación científica

 

¿Recuerdas trabajar con valor posicional para números enteros y decimales? Nuestro sistema numérico se basa en potencias de 10. Utilizamos decenas, cientos, miles, etc. Nuestros números decimales también se basan en potencias de decenas: décimas, centésimas, milésimas, etc.

 

Considere los números 4000 y 0.004. Sabemos que 4000 significa 4 × 1000 y 0.004 significa 4 × ( dfrac {1} {1000} ). Si escribimos el 1000 como una potencia de diez en forma exponencial, podemos reescribir estos números de esta manera:

 

$$ begin {split} & 4000 qquad qquad 0.004 \ & 4 times 1000 qquad 4 times dfrac {1} {1000} \ & 4 times 10 ^ {3} qquad ; ; 4 times dfrac {1} {10 ^ {3}} \ & qquad qquad quad ; ; ; 4 por 10 ^ {- 3} end {split} $$

 

Cuando un número se escribe como un producto de dos números, donde el primer factor es un número mayor o igual a uno pero menor que 10, y el segundo factor es una potencia de 10 escrita en forma exponencial, se dice estar en notación científica .

 
 

Definición: notación científica

 

Un número se expresa en notación científica cuando tiene la forma a × 10 n donde a ≥ 1 y a <10 yn es un número entero.

 
 

Es habitual en notación científica usar × como el signo de multiplicación, a pesar de que evitamos usar este signo en otra parte del álgebra.

 

La notación científica es una forma útil de escribir números muy grandes o muy pequeños. Se usa a menudo en las ciencias para facilitar los cálculos.

 

Si observamos lo que sucedió con el punto decimal, podemos ver un método para convertir fácilmente de notación decimal a notación científica.

 

CNX_BMath_Figure_10_05_008_img.jpg

 

En ambos casos, el decimal se movió 3 lugares para obtener el primer factor, 4, por sí mismo.

 
         
  • La ​​potencia de 10 es positiva cuando el número es mayor que 1: 4000 = 4 × 10 3 .
  •      
  • La ​​potencia de 10 es negativa cuando el número está entre 0 y 1: 0.004 = 4 × 10 −3 .
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Escribe 37,000 en notación científica.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1 : Mueva el punto decimal de modo que el primer factor sea mayor o igual que 1 pero menor que 10. CNX_BMath_Figure_10_05_009_img-01.png
Paso 2 : Cuente el número de lugares decimales, n, que se movió el punto decimal.              

3.70000

             

4 lugares

             
Paso 3: Escribe el número como un producto con una potencia de 10. 3,7 × 10 4
             

Si el número original es:

             
                     
  • mayor que 1, la potencia de 10 será 10 n
  •                  
  • entre 0 y 1, la potencia de 10 será 10 −n
  •              
             
Paso 4 : Verificación.10 4 es 10,000 y 10,000 veces 3.7 serán 37,000. 37,000 = 3.7 × 10 4
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Escribir en notación científica: 96,000.

 
     
Respuesta
     
     

9,6 × 10 4

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Escribir en notación científica: 48,300.

 
     
Respuesta
     
     

4,83 × 10 4

     
 
 
 
 
 

CÓMO: CONVERTIR DE LA NOTACIÓN DECIMAL A LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

Paso 1. Mueve el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.

 

Paso 2. Cuente el número de lugares decimales, n, que se movió el punto decimal.

 

Paso 3. Escribe el número como un producto con una potencia de 10.

 

Si el número original es:

 
         
  • mayor que 1, la potencia de 10 será 10 n .
  •      
  • entre 0 y 1, la potencia de 10 será 10 −n .
  •  
 

Paso 4. Verificar.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Escribir en notación científica: 0.0052.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Mueve el punto decimal para obtener 5.2, un número entre 1 y 10. CNX_BMath_Figure_10_05_010_img-01.png
Cuente la cantidad de decimales que se movió el punto. 3 lugares
Escribir como un producto con una potencia de 10. 5,2 × 10 −3
Comprueba tu respuesta: $$ begin {split} 5.2 & times 10 ^ {- 3} \ 5.2 & times dfrac {1} {10 ^ {3}} \ 5.2 & times dfrac {1} { 1000} \ 5.2 & times 0.001 \ 0. & 0052 end {split} $$
0,0052 = 5,2 × 10 −3
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Escribir en notación científica: 0.0078.

 
     
Respuesta
     
     

7,8 × 10 -3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Escribir en notación científica: 0.0129.

 
     
Respuesta
     
     

1,29 × 10 -2

     
 
 
 
 

Convertir notación científica a forma decimal

 

¿Cómo podemos convertir de notación científica a forma decimal? Veamos dos números escritos en notación científica y veamos.

 

$$ begin {split} & 9.12 times 10 ^ {4} qquad qquad 9.12 times 10 ^ {- 4} \ & 9.12 times 10,000 qquad 9.12 times 0.0001 \ & 91 , 200 qquad qquad quad 0.000912 end {split} $$

 

Si observamos la ubicación del punto decimal, podemos ver un método fácil para convertir un número de notación científica a forma decimal.

 

CNX_BMath_Figure_10_05_011_img.jpg

 

En ambos casos, el punto decimal se movió 4 lugares. Cuando el exponente era positivo, el decimal se movía hacia la derecha. Cuando el exponente era negativo, el punto decimal se movía hacia la izquierda.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Convertir a forma decimal: 6.2 × 10 3 .

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1 : Determine el exponente, n, en el factor 10. 6,2 × 10 3
Paso 2 : Mueve el punto decimal n lugares, agregando ceros si es necesario. CNX_BMath_Figure_10_05_012_img-01.png
             
                     
  • Si el exponente es positivo, mueve el punto decimal n lugares a la derecha.
  •                  
  • Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal | n | lugares a la izquierda.
  •              
             
6,200
Paso 3 : Verifica si tu respuesta tiene sentido.
10 3 es 1000 y 1000 veces 6.2 serán 6.200. 6,2 × 10 3 = 6.200
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Convertir a forma decimal: 1.3 × 10 3 .

 
     
Respuesta
     
     

1,300

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Convertir a forma decimal: 9,25 × 10 4 .

 
     
Respuesta
     
     

92,500

     
 
 
 
 
 

CÓMO: CONVERTIR LA NOTACIÓN CIENTÍFICA A LA FORMA DECIMAL

 

Paso 1. Determine el exponente, n, en el factor 10.

 

Paso 2. Mueve el decimal n lugares, agregando ceros si es necesario.

 
         
  • Si el exponente es positivo, mueve el punto decimal n lugares a la derecha.
  •      
  • Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal | n | lugares a la izquierda.
  •  
 

Paso 3. Verificar.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Convierta a forma decimal: 8.9 × 10 −2 .

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Determine el exponente n, en el factor 10. El exponente es −2.
Mueve el punto decimal 2 lugares a la izquierda. CNX_BMath_Figure_10_05_013_img-01.png
Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición. 0,089
8,9 × 10 −2 = 0,089
Te queda el cheque.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Convierta a forma decimal: 1.2 × 10 −4 .

 
     
Respuesta
     
     

0,00012

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Convierta a forma decimal: 7.5 × 10 −2 .

 
     
Respuesta
     
     

0,075

     
 
 
 
 

Multiplicar y dividir usando notación científica

 

Utilizamos las propiedades de los exponentes para multiplicar y dividir números en notación científica.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Multiplica. Escriba las respuestas en forma decimal: (4 × 10 5 ) (2 × 10 −7 ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Use la propiedad conmutativa para reorganizar los factores. 4 • 2 • 10 5 • 10 −7
Multiplica 4 por 2 y usa la propiedad del producto para multiplicar 10 5 por 10 −7 . 8 × 10 −2
Cambie a forma decimal moviendo el decimal dos lugares a la izquierda. 0,08
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

 

Multiplica. Escriba las respuestas en forma decimal: (3 × 10 6 ) (2 × 10 −8 ).

 
     
Respuesta
     
     

0,06

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

 

Multiplica. Escriba las respuestas en forma decimal: (3 × 10 −2 ) (3 × 10 −1 ).

 
     
Respuesta
     
     

0,009

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

 

Divide. Escriba las respuestas en forma decimal: ( dfrac {9 times 10 ^ {3}} {3 times 10 ^ {- 2}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Separa los factores. $$ dfrac {9} {3} veces dfrac {10 ^ {3}} {10 ^ {- 2}} $$
Divide 9 entre 3 y usa la propiedad del cociente para dividir 10 3 entre 10 −2 . 3 × 10 5
Cambie a forma decimal moviendo el decimal cinco lugares a la derecha. 300,000
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} ):

 

Divide. Escriba las respuestas en forma decimal: dfrac {8 times 10 ^ {4}} {2 times 10 ^ {- 1}}.

 
     
Respuesta
     
     

400,000

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} ):

 

Divide. Escriba las respuestas en forma decimal: dfrac {8 times 10 ^ {2}} {4 times 10 ^ {- 2}}.

 
     
Respuesta
     
     

20,000

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Usa la definición de un exponente negativo

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. 5 −3
  2.      
  3. 8 −2
  4.      
  5. 3 −4
  6.      
  7. 2 −5
  8.      
  9. 7 −1
  10.      
  11. 10 −1
  12.      
  13. 2 −3 + 2 −2
  14.      
  15. 3 −2 + 3 −1
  16.      
  17. 3 −1 + 4 −1
  18.      
  19. 10 −1 + 2 −1
  20.      
  21. 10 0 – 10 −1 + 10 −2
  22.      
  23. 2 0 – 2 −1 + 2 −2
  24.      
  25. (a) (−6) −2 (b) −6 −2
  26.      
  27. (a) (−8) −2 (b) −8 −2
  28.      
  29. (a) (−10) −4 (b) −10 −4
  30.      
  31. (a) (−4) −6 (b) −4 −6
  32.      
  33. (a) 5 • 2 −1 (b) (5 • 2) −1
  34.      
  35. (a) 10 • 3 −1 (b) (10 • 3) −1
  36.      
  37. (a) 4 • 10 −3 (b) (4 • 10) −3
  38.      
  39. (a) 3 • 5 −2 (b) (3 • 5) −2
  40.      
  41. n −4
  42.      
  43. p −3
  44.      
  45. c −10
  46.      
  47. m −5
  48.      
  49. (a) 4x −1 (b) (4x) −1 (c) (−4x) −1
  50.      
  51. (a) 3q −1 (b) (3q) −1 (c) (−3q) −1
  52.      
  53. (a) 6m −1 (b) (6m) −1 (c) (−6m) −1
  54.      
  55. (a) 10k −1 (b) (10k) −1 (c) (−10k) −1
  56.  
 

Simplificar expresiones con exponentes enteros

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. p −4 • p 8
  2.      
  3. r −2 • r 5
  4.      
  5. n −10 • n 2
  6.      
  7. q −8 • q 3
  8.      
  9. k −3 • k −2
  10.      
  11. z −6 • z −2
  12.      
  13. a • a −4
  14.      
  15. m • m −2
  16.      
  17. p 5 • p −2 • p −4
  18.      
  19. x 4 • x −2 • x −3
  20.      
  21. a 3 b −3
  22.      
  23. u 2 v −2
  24.      
  25. (x 5 y −1 ) (x −10 y −3 )
  26.      
  27. (a 3 b −3 ) (a −5 b −1 )
  28.      
  29. (uv −2 ) (u −5 v −4 )
  30.      
  31. (pq −4 ) (p −6 q −3 )
  32.      
  33. (−2r −3 s 9 ) (6r 4 s −5 )
  34.      
  35. (−3p −5 q 8 ) (7p 2 q −3 )
  36.      
  37. (−6m −8 n −5 ) (- 9m 4 n 2 )
  38.      
  39. (−8a −5 b −4 ) (- 4a 2 b 3 )
  40.      
  41. (a 3 ) −3
  42.      
  43. (q 10 ) −10
  44.      
  45. (n 2 ) −1
  46.      
  47. (x 4 ) −1
  48.      
  49. (y −5 ) 4
  50.      
  51. (p −3 ) 2
  52.      
  53. (q −5 ) −2
  54.      
  55. (m −2 ) −3
  56.      
  57. (4 años −3 ) 2
  58.      
  59. (3q −5 ) 2
  60.      
  61. (10p −2 ) −5
  62.      
  63. (2n −3 ) −6
  64.      
  65. u 9 u −2
  66.      
  67. b 5 b −3
  68.      
  69. x −6 x 4
  70.      
  71. m 5 m −2
  72.      
  73. q 3 q 12
  74.      
  75. r 6 r 9
  76.      
  77. n −4 n −10
  78.      
  79. p −3 p −6
  80.  
 

Convertir de notación decimal a notación científica

 

En los siguientes ejercicios, escribe cada número en notación científica.

 
         
  1. 45,000
  2.      
  3. 280,000
  4.      
  5. 8,750,000
  6.      
  7. 1,290,000
  8.      
  9. 0,036
  10.      
  11. 0,041
  12.      
  13. 0,00000924
  14.      
  15. 0,0000103
  16.      
  17. La ​​población de los Estados Unidos el 4 de julio de 2010 era de casi 310,000,000.
  18.      
  19. La ​​población mundial el 4 de julio de 2010 era más de 6,850,000,000.
  20.      
  21. El ancho promedio de un cabello humano es de 0.0018 centímetros.
  22.      
  23. La ​​probabilidad de ganar la lotería Megamillions 2010 es de aproximadamente 0.0000000057.
  24.  
 

Convertir notación científica en forma decimal

 

En los siguientes ejercicios, convierta cada número a forma decimal.

 
         
  1. 4,1 × 10 2
  2.      
  3. 8,3 × 10 2
  4.      
  5. 5,5 × 10 8
  6.      
  7. 1,6 × 10 10
  8.      
  9. 3,5 × 10 −2
  10.      
  11. 2,8 × 10 −2
  12.      
  13. 1,93 × 10−5
  14.      
  15. 6,15 × 10−8
  16.      
  17. En 2010, el número de usuarios de Facebook cada día que cambiaban su estado a “comprometidos” era 2 × 10 4 .
  18.      
  19. A principios de 2012, el presupuesto federal de EE. UU. Tenía un déficit de más de $ 1.5 × 10 13 .
  20.      
  21. La ​​concentración de dióxido de carbono en la atmósfera es 3.9 × 10 −4 .
  22.      
  23. El ancho de un protón es 1 × 10 −5 del ancho de un átomo.
  24.  
 

Multiplicar y dividir usando notación científica

 

En los siguientes ejercicios, multiplica o divide y escribe tu respuesta en forma decimal.

 
         
  1. (2 × 10 5 ) (2 × 10 −9 )
  2.      
  3. (3 × 10 2 ) (1 × 10 −5 )
  4.      
  5. (1,6 × 10 −2 ) (5,2 × 10 −6 )
  6.      
  7. (2,1 × 10 −4 ) (3,5 × 10 −2 )
  8.      
  9. ( dfrac {6 veces 10 ^ {4}} {3 veces 10 ^ {- 2}} )
  10.      
  11. ( dfrac {8 veces 10 ^ {6}} {4 veces 10 ^ {- 1}} )
  12.      
  13. ( dfrac {7 veces 10 ^ {- 2}} {1 veces 10 ^ {- 8}} )
  14.      
  15. ( dfrac {5 veces 10 ^ {- 3}} {1 veces 10 ^ {- 10}} )
  16.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Calorías En mayo de 2010, los fabricantes de alimentos y bebidas se comprometieron a reducir sus productos en 1,5 billones de calorías para finales de 2015.      
               
    1. Escribe 1,5 billones en notación decimal.
    2.          
    3. Escribe 1,5 billones en notación científica.
    4.      
         
  2.      
  3. Duración de un año La diferencia entre el año calendario y el año astronómico es de 0,000125 días.      
               
    1. Escribe este número en notación científica.
    2.          
    3. ¿Cuántos años tarda la diferencia en 1 día?
    4.      
         
  4.      
  5. Pantalla de la calculadora Muchas calculadoras muestran automáticamente las respuestas en notación científica si hay más dígitos de los que caben en la pantalla de la calculadora. Para encontrar la probabilidad de obtener una mano particular de 5 cartas de un mazo de cartas, Mario dividió 1 entre 2,598,960 y vio la respuesta 3.848 × 10 −7 . Escribe el número en notación decimal.
  6.      
  7. Pantalla de la calculadora Muchas calculadoras muestran automáticamente las respuestas en notación científica si hay más dígitos de los que caben en la pantalla de la calculadora. Para encontrar la cantidad de formas en que Barbara podía hacer un collage con 6 de sus 50 fotografías favoritas, multiplicó 50 • 49 • 48 • 47 • 46 • 45. Su calculadora dio la respuesta 1.1441304 × 10 10 . Escribe el número en notación decimal.
  8.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. (a) Explique el significado del exponente en la expresión 2 3 . (b) Explique el significado del exponente en la expresión 2 −3 .
  2.      
  3. Cuando conviertes un número de notación decimal a notación científica, ¿cómo sabes si el exponente será positivo o negativo?
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

CNX_BMath_Figure_AppB_064.jpg

 

(b) Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?

 
                                  
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