Una vista geométrica de vectores

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial , donde comienza, y un punto terminal , donde termina. Un vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, un vector es un segmento de línea dirigida. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:

     
• Minúscula, en negrita, con o sin una flecha en la parte superior como (u ), (w ), ( overrightarrow {v} ), ( overrightarrow {u} ), ( overrightarrow {w} ).
     
• Dado el punto inicial (P ) y el punto terminal (Q ), un vector se puede representar como ( overrightarrow {PQ} ). La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento de línea dirigida.
     
• Dado un punto inicial de ((0,0) ) y un punto terminal ((a, b) ), un vector puede representarse como (⟨a, b⟩ ).
 

Este último símbolo (⟨a, b⟩ ) tiene un significado especial. Se llama la posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial ((0,0) ) y un punto terminal (⟨a, b⟩ ). Para cambiar cualquier vector en el vector de posición, pensamos en el cambio en las coordenadas x y el cambio en las coordenadas y . Por lo tanto, si el punto inicial de un vector ( overrightarrow {CD} ) es (C (x_1, y_1) ) y el punto terminal es (D (x_2, y_2) ), entonces el vector de posición es encontrado calculando

[ begin {align *} overrightarrow {AB} & = ⟨x_2 − x_1, y_2 − y_1⟩ \ [4pt] & = ⟨a, b⟩ end {align *} ]

En la Figura ( PageIndex {2} ), vemos el vector original ( overrightarrow {CD} ) y el vector de posición ( overrightarrow {AB} ).

 

 

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

 

Un vector es un segmento de línea dirigida con un punto inicial y un punto terminal. Los vectores se identifican por magnitud, o la longitud de la línea, y la dirección, representada por la punta de flecha que apunta hacia el punto terminal. El vector de posición tiene un punto inicial en ((0,0) ) y se identifica por su punto terminal (⟨a, b⟩ ).

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1A} ): Encuentre el vector de posición

 

Considere el vector cuyo punto inicial es (P (2,3) ) y el punto terminal es (Q (6,4) ). Encuentra el vector de posición.

 

Solución

 

El vector de posición se encuentra restando una coordenada (x ) de la otra coordenada (x ) y una coordenada (y ) de la otra coordenada (y ). Así

 

[ begin {align *} v & = ⟨6−2,4−3⟩ \ [4pt] & = ⟨4,1⟩ end {align *} ]

 

El vector de posición comienza en ((0,0) ) y termina en ((4,1) ). Los gráficos de ambos vectores se muestran en la Figura ( PageIndex {3} ).

 

 

Vemos que el vector de posición es (⟨4,1⟩ ).

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1B} ): Dibujar un vector con los criterios dados y su vector de posición equivalente

 

Encuentre el vector de posición dado que el vector (v ) tiene un punto inicial en ((- 3,2) ) y un punto terminal en ((4,5) ), luego grafica ambos vectores en El mismo avión.

 

Solución

 

El vector de posición se encuentra usando el siguiente cálculo:

 

[ begin {align *} v & = ⟨4 – (- 3), 5−2⟩ \ [4pt] & = ⟨7,3⟩ end {align *} ]

 

Por lo tanto, el vector de posición comienza en ((0,0) ) y termina en ((7,3) ). Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 

 

Encontrar magnitud y dirección

Para trabajar con un vector, necesitamos poder encontrar su magnitud y su dirección. Encontramos su magnitud usando el teorema de Pitágoras o la fórmula de la distancia, y encontramos su dirección usando la función de tangente inversa.

 

MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR

 

Dado un vector de posición ( vec {v} = ⟨a, b⟩ ), la magnitud se encuentra por (| v | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). La dirección es igual al ángulo formado con el eje (x ), o con el eje (y ), dependiendo de la aplicación. Para un vector de posición, la dirección se encuentra por ( tan theta = left ( dfrac {b} {a} right) ⇒ theta = { tan} ^ {- 1} left ( dfrac { b} {a} right) ), como se ilustra en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

 

Dos vectores ( vec {v} ) y ( vec {u} ) se consideran iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Además, si ambos vectores tienen el mismo vector de posición, son iguales.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrar la magnitud y dirección de un vector

 

Encuentra la magnitud y la dirección del vector con el punto inicial (P (−8,1) ) y el punto terminal (Q (−2, −5) ). Dibuja el vector.

 

Solución

 

Primero, encuentra el vector de posición.

 

[ begin {align *} u & = ⟨− 2, – (- 8), – 5−1⟩ \ [4pt] & = ⟨6, −6⟩ end {align *} ]

 

Utilizamos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud.

 

[ begin {align *} | u | & = sqrt {{((6)} ^ 2 + {(- 6)} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {72} \ [4pt] & = sqrt {62} end {alinear *} ]

 

La dirección se da como

 

[ begin {align *} tan theta & = dfrac {−6} {6} = – 1 rightarrow theta = { tan} ^ {- 1} (- 1) \ [ 4pt] & = −45 ° end {align *} ]

 

Sin embargo, el ángulo termina en el cuarto cuadrante, por lo que agregamos (360 ° ) para obtener un ángulo positivo. Por lo tanto, (- 45 ° + 360 ° = 315 ° ). Ver Figura ( PageIndex {7} ).

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2B} ): Mostrando que dos vectores son iguales

 

Muestre que el vector ( vec {v} ) con el punto inicial en ((5, −3) ) y el punto terminal en ((- 1,2) ) es igual al vector ( vec {u} ) con punto inicial en ((- 1, −3) ) y punto final en ((- 7,2) ). Dibuje el vector de posición en la misma cuadrícula que ( vec {v} ) y ( vec {u} ). Luego, encuentre la magnitud y la dirección de cada vector.

 

Solución

 

Como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ), dibuje el vector ( vec {v} ) comenzando en el punto inicial ((5, −3) ) y terminal ((- 1 , 2) ). Dibuje el vector ( vec {u} ) con el punto inicial ((- 1, −3) ) y el punto terminal ((- 7,2) ). Encuentra la posición estándar para cada uno.

 

Luego, busca y dibuja el vector de posición para ( vec {v} ) y ( vec {u} ). Tenemos

 

[ begin {align *} v & = ⟨− 1−5,2 – (- 3)⟩ \ [4pt] & = ⟨− 6,5⟩u \ [4pt] & = ⟨− 7 – (- 1), 2 – (- 3)⟩ \ [4pt] & = ⟨− 6,5⟩ end {align *} ]

 

Dado que los vectores de posición son iguales, ( vec {v} ) y ( vec {u} ) son iguales.

 

Una forma alternativa de verificar la igualdad de vectores es mostrar que la magnitud y la dirección son las mismas para ambos vectores. Para mostrar que las magnitudes son iguales, use el Teorema de Pitágoras.

 

[ begin {align *} | v | & = sqrt {{(- 1−5)} ^ 2 + {(2 – (- 3))} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {{(- 6)} ^ 2 + {( 5)} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {36 + 25} \ [4pt] & = sqrt {61} \ [4pt] | u | & = sqrt {{(- 7 – (- 1))} ^ 2 + {(2 – (- 3))} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {{(- 6)} ^ 2 + {(5)} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {36 + 25} \ [4pt] & = sqrt {61} end {align *} ]

 

Como las magnitudes son iguales, ahora necesitamos verificar la dirección. El uso de la función tangente con el vector de posición da

 

[ begin {align *} tan theta & = – dfrac {5} {6} ⇒ theta = { tan} ^ {- 1} left (- dfrac {5} {6 } right) \ [4pt] & = −39.8 ° end {align *} ]

 

Sin embargo, podemos ver que el vector de posición termina en el segundo cuadrante, por lo que agregamos (180 ° ). Por lo tanto, la dirección es (- 39.8 ° + 180 ° = 140.2 ° ).

 

 

 

Realización de la suma de vectores y la multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones que los involucren. Si bien es conveniente pensar en el vector (u = ⟨x, y⟩ ) como una flecha o un segmento de línea dirigida desde el origen hasta el punto ((x, y) ), los vectores pueden ubicarse en cualquier lugar del avión. La suma de dos vectores ( vec {u} ) y ( vec {v} ), o la suma del vector, produce un tercer vector ( overrightarrow {u + v} ), el vector resultante.

Para encontrar ( overrightarrow {u + v} ), primero dibujamos el vector ( vec {u} ), y desde el extremo terminal de ( vec {u} ), dibujamos el vector ( vec {v} ). En otras palabras, tenemos el punto inicial de ( vec {v} ) y el extremo terminal de ( vec {u} ). Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma ( overrightarrow {u + v} ) es el vector resultante porque resulta de la suma o resta de dos vectores. El vector resultante viaja directamente desde el comienzo de ( vec {u} ) hasta el final de ( vec {v} ) en una ruta recta, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para encontrar ( overrightarrow {u – v} ), véalo como ( overrightarrow {u + (−v)} ). Agregar ( overrightarrow {−v} ) es invertir la dirección de ( vec {v} ) y agregarlo al final de ( vec {u} ). El nuevo vector comienza al comienzo de ( vec {u} ) y se detiene en el punto final de ( overrightarrow {−v} ). Consulte la Figura ( PageIndex {10} ) para ver un elemento visual que compara la suma y la resta de vectores mediante paralelogramos.

 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Sumar y restar vectores

 

Dado (u = ⟨3, −2⟩ ) y (v = ⟨− 1,4⟩ ), encuentre dos nuevos vectores ( overrightarrow {u + v} ) y ( overrightarrow {u – v} ).

 

Solución

 

Para encontrar la suma de dos vectores, agregamos los componentes. Por lo tanto,

 

[ begin {align *} u + v & = ⟨3, −2⟩ + ⟨− 1,4⟩ \ [4pt] & = ⟨3 + (- 1), – 2 + 4⟩ [4pt] & = ⟨2,2⟩ end {align *} ]

 

Ver Figura ( PageIndex {11a} ).

 

Para encontrar la diferencia de dos vectores, agregue los componentes negativos de ( vec {v} ) a ( vec {u} ). Por lo tanto,

 

[ begin {align *} u + (- v) & = ⟨3, −2⟩ + ⟨1, −4⟩ \ [4pt] & = ⟨3 + 1, −2 + (- 4) ⟩ \ [4pt] & = ⟨4, −6⟩ end {align *} ]

 

Ver Figura ( PageIndex {11b} ).

 

 

Multiplicando por un escalar

Si bien sumar y restar vectores nos da un nuevo vector con diferente magnitud y dirección, el proceso de multiplicar un vector por un escalar , una constante, cambia solo la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la dirección del vector original.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Realización de multiplicación escalar

 

Dado el vector ( vec {v} = ⟨3,1⟩ ), encuentre (3 vec {v} ), ( dfrac {1} {2} ) y ( vec {−v} ).

 

Solución

 

Ver Figura ( PageIndex {12} ) para una interpretación geométrica. Si ( vec {v} = ⟨3,1⟩ ), entonces

 

[ begin {align *} 3v & = ⟨3⋅3,3⋅1⟩ \ [4pt] & = ⟨9,3⟩ \ [4pt] dfrac {1} {2} v & = ⟨ Dfrac {1} {2} ⋅3, dfrac {1} {2} ⋅1⟩ \ [4pt] & = ⟨ dfrac {3} {2}, dfrac {1} {2}⟩ \ [4pt] −v & = ⟨− 3, −1⟩ end {align *} ]

 

 

Análisis

 

Observe que el vector (3 vec {v} ) es tres veces la longitud de ( vec {v} ), ( dfrac {1} {2} vec {v} ) es la mitad de la longitud de ( vec {v} ), y ( overrightarrow {–v} ) es la misma longitud de ( vec {v} ), pero en la dirección opuesta.

 

 

Formulario de búsqueda de componentes

En algunas aplicaciones que involucran vectores, es útil para nosotros poder dividir un vector en sus componentes. Los vectores se componen de dos componentes: el componente horizontal es la dirección (x ), y el componente vertical es la dirección (y ). Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la Figura ( PageIndex {13} ) que el vector de posición (⟨2,3⟩ ) proviene de agregar los vectores (v_1 ) y (v_2 ). Tenemos (v_2 ) con el punto inicial ((0,0) ) y el punto terminal ((2,0) ).

[ begin {align *} v_1 & = ⟨2−0,0−0⟩ \ [4pt] & = ⟨2,0⟩ end {align *} ]

También tenemos (v_2 ) con el punto inicial ((0,0) ) y el punto terminal ((0, 3) ).

[ begin {align *} v_2 & = ⟨0−0,3−0⟩ \ [4pt] & = ⟨0,3⟩ end {align *} ]

Por lo tanto, el vector de posición es

[ begin {align *} v & = ⟨2 + 0,3 + 0⟩ \ [4pt] & = ⟨2,3⟩ end {align *} ]

Usando el teorema de Pitágoras, la magnitud de (v_1 ) es (2 ), y la magnitud de (v_2 ) es (3 ). Para encontrar la magnitud de (v ), use la fórmula con el vector de posición.

[ begin {align *} | v | & = sqrt {{| v_1 |} ^ 2 + {| v_2 |} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {13 } end {align *} ]

La magnitud de (v ) es ( sqrt {13} ). Para encontrar la dirección, utilizamos la función tangente ( tan theta = dfrac {y} {x} ).

[ begin {align *} tan theta & = dfrac {v_2} {v_1} \ [4pt] tan theta & = dfrac {3} {2} \ [4pt] theta & = { tan} ^ {- 1} left ( dfrac {3} {2} right) = 56.3 ° end {align *} ]

Por lo tanto, la magnitud de ( vec {v} ) es ( sqrt {13} ) y la dirección es (56.3 ^ { circ} ) fuera de la horizontal.

 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar los componentes del vector

 

Encuentre los componentes del vector ( vec {v} ) con el punto inicial ((3,2) ) y el punto terminal ((7, 4) ).

 

Solución

 

Primero encuentre la posición estándar.

 

[ begin {align *} v & = ⟨7−3,4−2⟩ \ [4pt] & = ⟨4,2⟩ end {align *} ]

 

Vea la ilustración en la Figura ( PageIndex {14} ).

 

 

El componente horizontal es ( vec {v_1} = ⟨4,0⟩ ) y el componente vertical es ( vec {v_2} = ⟨0,2⟩ ).

 

Encontrar el vector de la unidad en la dirección de (v )

Además de encontrar los componentes de un vector, también es útil para resolver problemas encontrar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud (1 ). Llamamos a un vector con una magnitud de (1 ) un vector unitario. Entonces podemos preservar la dirección del vector original mientras simplificamos los cálculos.

Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como ( vec {i} = ⟨1,0⟩ ) y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como ( vec {j} = ⟨0,1⟩ ) y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Ver Figura ( PageIndex {15} ).

 

 

LOS VECTORES DE LA UNIDAD

 

Si ( vec {v} ) es un vector distinto de cero, entonces ( dfrac {v} {| v |} ) es un vector unitario en la dirección de (v ). Cualquier vector dividido por su magnitud es un vector unitario. Tenga en cuenta que la magnitud es siempre un escalar, y dividir por un escalar es lo mismo que multiplicar por el recíproco del escalar.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el vector unitario en la dirección de (v )

 

Encuentra un vector unitario en la misma dirección que (v = ⟨− 5,12⟩ ).

 

Solución

 

Primero, encontraremos la magnitud.

 

[ begin {align *} | v | & = sqrt {{(- 5)} ^ 2 + {(12)} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {25 + 144} \ [4pt] & = sqrt {169} \ [4pt] & = 13 end {align *} ]

 

Luego dividimos cada componente por (| v | ), lo que da un vector unitario en la misma dirección que ( vec {v} ):

 

( dfrac {v} {| v |} = – dfrac {5} {13} i + dfrac {12} {13} j )

 

o, en forma de componente

 

( dfrac {v} {| v |} = left langle – dfrac {5} {13}, dfrac {12} {13} right rangle )

 

Ver Figura ( PageIndex {16} ).

 

 

Verifique que la magnitud del vector unitario sea igual a (1 ). La magnitud de (- dfrac {5} {13} i + dfrac {12} {13} j ) se da como

 

[ begin {align *} sqrt {{ left (- dfrac {5} {13} right)} ^ 2+ { left ( dfrac {12} {13} right)} ^ 2} & = sqrt { dfrac {25} {169} + dfrac {144} {169}} \ [4pt] & = sqrt { dfrac {169} {169}} \ & = 1 end {align *} ]

 

El vector (u = dfrac {5} {13} i + dfrac {12} {13} j ) es el vector unitario en la misma dirección que (v = ⟨− 5,12⟩ ) .

 

 

Realización de operaciones con vectores en términos de (i ) y (j )

Hasta ahora, hemos investigado los conceptos básicos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, los componentes de los vectores y la representación geométrica de los vectores. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas para trabajar con vectores, representaremos vectores en coordenadas rectangulares en términos de (i ) y (j ).

 

VECTORES EN EL PLANO RECTANGULAR

 

Dado un vector ( vec {v} ) con el punto inicial (P = (x_1, y_1) ) y el punto terminal (Q = (x_2, y_2) ), ( vec {v } ) se escribe como

 

[v = (x_2 − x_1) i + (y_1 − y_2) j ]

 

El vector de posición de ((0,0) ) a ((a, b) ), donde ((x_2 − x_1) = a ) y ((y_2 − y_1) = b ), se escribe como ( vec {v} = vec {ai} + vec {bj} ). Esta suma vectorial se llama una combinación lineal de los vectores ( vec {i} ) y ( vec {j} ).

 

La magnitud de ( vec {v} = overrightarrow {ai} + overrightarrow {bj} ) se da como (| v | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Ver Figura ( PageIndex {17} ).

 

 

Encontrar el producto de puntos de dos vectores

 

Como discutimos anteriormente en la sección, la multiplicación escalar implica multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por un vector, hay dos posibilidades: el producto de punto y el producto cruzado . Aquí solo examinaremos el producto de puntos; Puede encontrar el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.

 

El producto punto de dos vectores implica multiplicar dos vectores juntos, y el resultado es un escalar.

 

 

PRODUCTO PUNTO

 

El producto punto de dos vectores (v = ⟨a, b⟩ ) y (u = ⟨c, d⟩ ) es la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales.

 

[v⋅u = ac + bd ]

 

Para encontrar el ángulo entre los dos vectores, usa la siguiente fórmula.

 

[ cos theta = dfrac {v} {| v |} ⋅ dfrac {u} {| u |} ]

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11A} ): Encontrar el producto de puntos de dos vectores

 

Encuentra el producto escalar de (v = ⟨5,12⟩ ) y (u = ⟨− 3,4⟩ ).

 

Solución

 

Usando la fórmula, tenemos

 

[ begin {align *} v⋅u & = ⟨5,12⟩⋅⟨ − 3,4⟩ \ [4pt] & = 5⋅ (−3) + 12⋅4 \ [4pt] & = −15 + 48 \ [4pt] & = 33 end {align *} ]

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11B} ): Encontrar el producto de punto de dos vectores y el ángulo entre ellos

 

Encuentra el producto escalar de (v_1 = 5i + 2j ) y (v_2 = 3i + 7j ). Luego, encuentra el ángulo entre los dos vectores.

 

Solución

 

Al encontrar el producto escalar, multiplicamos los componentes correspondientes.

 

[ begin {align *} v_1⋅v_2 & = ⟨5,2⟩⋅⟨3,7⟩ \ [4pt] & = 5⋅3 + 2⋅7 \ [4pt] & = 15+ 14 \ [4pt] & = 29 end {align *} ]

 

Para encontrar el ángulo entre ellos, utilizamos la fórmula ( cos theta = dfrac {v} {| v |} ⋅ dfrac {u} {| u |} ).

 

[ begin {align *} dfrac {v} {| v |} cdot dfrac {u} {| u |} & = left langle dfrac {5} { sqrt {29} } + dfrac {2} { sqrt {29}} right rangle cdot left langle dfrac {3} { sqrt {58}} + dfrac {7} { sqrt {58}} right rangle \ [4pt] & = dfrac {5} { sqrt {29}} cdot dfrac {3} { sqrt {58}} + dfrac {2} { sqrt {29}} cdot dfrac {7} { sqrt {58}} \ [4pt] & = dfrac {15} { sqrt {1682}} + dfrac {14} { sqrt {1682}} \ & = dfrac {29} { sqrt {1682}} \ [4pt] & = 0.707107 \ [4pt] { cos} ^ {- 1} (0.707107) & = 45 ° end {align *} ] [19459003 ]  

Ver Figura ( PageIndex {18} ).

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11C} ): Encontrar el ángulo entre dos vectores

 

Encuentra el ángulo entre (u = ⟨− 3,4⟩ ) y (v = ⟨5,12⟩ ).

 

Solución

 

Usando la fórmula, tenemos

 

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {u} {| u |} ⋅ dfrac {v} {| v |} right ) \ [4pt] left ( dfrac {u} {| u |} ⋅ dfrac {v} {| v |} right) & = dfrac {−3i + 4j} {5} ⋅ dfrac { 5i + 12j} {13} \ [4pt] & = left (- dfrac {3} {5} ⋅ dfrac {5} {13} right) + left ( dfrac {4} {5} ⋅ dfrac {12} {13} right) \ [4pt] & = – dfrac {15} {65} + dfrac {48} {65} \ [4pt] & = dfrac {33} { 65} \ [4pt] theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {33} {65} right) \ [4pt] & = 59.5 ^ { circ} end { alinear *} ]

 

Ver Figura ( PageIndex {19} ).

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11D} ): Encontrar la velocidad de avance y la demora usando vectores

 

Ahora tenemos las herramientas para resolver el problema que presentamos en la apertura de la sección.

 

Un avión vuela a una velocidad de (200 ) millas por hora con rumbo SE de (140 ° ). Sopla un viento del norte (de norte a sur) a (16.2 ) millas por hora. ¿Cuáles son la velocidad de avance y la demora real del avión? Ver Figura ( PageIndex {20} ).

 

 

Solución

 

La velocidad de avance está representada por (x ) en el diagrama, y ​​necesitamos encontrar el ángulo ( alpha ) para calcular el rumbo ajustado, que será (140 ° + alpha )

 

Observe en la Figura ( PageIndex {20} ), que el ángulo ( angle BCO ) debe ser igual al ángulo ( angle AOC ) por la regla de ángulos internos alternos, entonces el ángulo ( ángulo BCO ) es 140 °. Podemos encontrar (x ) por la Ley de cosenos:

 

[ begin {align *} x ^ 2 & = {(16.2)} ^ 2 + {(200)} ^ 2−2 (16.2) (200) cos (140 °) \ [4pt] x ^ 2 & = 45,226.41 \ [4pt] x & = sqrt {45,226.41} \ [4pt] x & = 212.7 end {align *} ]

 

La velocidad de avance es de aproximadamente (213 ) millas por hora. Ahora podemos calcular la demora usando la Ley de los senos.

 

[ begin {align *} dfrac { sin alpha} {16.2} & = dfrac { sin (140 °)} {212.7} \ [4pt] sin alpha & = dfrac {16.2 sin (140 °)} {212.7} \ [4pt] & = 0.04896 \ [4pt] { sin} ^ {- 1} (0.04896) & = 2.8 ° end {align *} ] [ 19459003]  

Por lo tanto, el avión tiene un rumbo SE de (140 ° + 2.8 ° = 142.8 ° ). La velocidad de avance es (212.7 ) millas por hora.

 

 

 

Medios: acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con vectores.