Puntos de trazado en un sistema de coordenadas rectangulares
Muchos mapas, como el Mapa del campus que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones. ¿Ves los números 1, 2, 3 y 4 en la parte superior e inferior del mapa y las letras A, B, C y D a los lados? Cada ubicación en el mapa se puede identificar por un número y una letra.
Por ejemplo, el Centro de Estudiantes se encuentra en la sección 2B. Se encuentra en la sección de la cuadrícula sobre el número 2 y al lado de la letra B. ¿En qué sección de la cuadrícula está el estadio? El estadio está en la sección 4D.
Figura ( PageIndex {1} )
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Use el mapa en la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de cuadrícula de las Residencias. (b) ¿Qué se encuentra en la sección de cuadrícula 4C?
Solución
(a) Lea el número debajo de las Residencias, 4, y la letra a un lado, A. De modo que las Residencias se encuentran en la sección de cuadrícula 4A.
(b) Encuentra 4 en la parte inferior del mapa y C en el costado. Mire debajo del 4 y al lado del C. Tiger Field está en la sección de cuadrícula 4C.
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Use el mapa en la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de cuadrícula de Taylor Hall. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 3B?
- Responda a
-
1C
- Respuesta b
-
Edificio de ingeniería
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Use el mapa en la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de cuadrícula del estacionamiento. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 2C?
- Responda a
-
1A
- Respuesta b
-
Biblioteca
Así como los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, se usa un sistema de cuadrícula en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. Para crear un sistema de coordenadas rectangular, comience con una recta numérica horizontal. Muestre números positivos y negativos como lo hizo antes, usando una unidad de escala conveniente. Esta recta numérica horizontal se llama eje x .
Ahora, haga una recta numérica vertical que pase por el eje x en 0. Coloque los números positivos por encima de 0 y los números negativos por debajo de 0. Vea la Figura ( PageIndex {2} ). Esta línea vertical se llama eje y .
Las líneas de cuadrícula verticales pasan a través de los enteros marcados en el eje x. Las líneas horizontales de la cuadrícula pasan a través de los enteros marcados en el eje y. La cuadrícula resultante es el sistema de coordenadas rectangular.
El sistema de coordenadas rectangular también se denomina plano x-y, plano de coordenadas o sistema de coordenadas cartesianas (ya que fue desarrollado por un matemático llamado René Descartes).
Figura ( PageIndex {2} ) – El sistema de coordenadas rectangulares.
El eje xy el eje y forman el sistema de coordenadas rectangular. Estos ejes dividen un plano en cuatro áreas, llamadas cuadrantes . Los cuadrantes se identifican con números romanos, que comienzan en la esquina superior derecha y continúan en sentido antihorario. Ver Figura ( PageIndex {3} ).
Figura ( PageIndex {3} ) – Los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas rectangular.
En el sistema de coordenadas rectangular, cada punto está representado por un par ordenado . El primer número en el par ordenado es la coordenada x del punto, y el segundo número es la coordenada y del punto.
Definición: par ordenado
Un par ordenado, (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la coordenada x. El segundo número es la coordenada y.
Entonces, ¿cómo te ayudan las coordenadas de un punto a ubicar un punto en el plano x-y?
Intentemos ubicar el punto (2, 5). En este par ordenado, la coordenada x es 2 y la coordenada y es 5.
Comenzamos localizando el valor x, 2, en el eje x. Luego, esbozamos ligeramente una línea vertical a través de x = 2, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} )
Figura ( PageIndex {4} )
Ahora ubicamos el valor y, 5, en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 5. El punto donde estas dos líneas se encuentran es el punto con coordenadas (2, 5). Trazamos el punto allí, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).
Figura ( PageIndex {5} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Trace (1, 3) y (3, 1) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
Solución
Los valores de coordenadas son los mismos para ambos puntos, pero los valores x e y se invierten. Comencemos con el punto (1, 3). La coordenada x es 1, así que encuentra 1 en el eje x y dibuja una línea vertical a través de x = 1. La coordenada y es 3, entonces encontramos 3 en el eje y y dibuja una línea horizontal a través de y = 3. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (1, 3).
Para trazar el punto (3, 1), comenzamos ubicando 3 en el eje x y dibujamos una línea vertical a través de x = 3. Luego encontramos 1 en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 1. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (3, 1).
Observe que el orden de las coordenadas sí importa, por lo que (1, 3) no es el mismo punto que (3, 1).
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: (2, 5), (5, 2).
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: (4, 2), (2, 4).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangulares e identifique el cuadrante en el que se ubica el punto: (a) (−1, 3) (b) (−3, −4) (c) (2, −3) (d) ( left (3, dfrac {5} {2} right) )
Solución
El primer número del par de coordenadas es la coordenada x, y el segundo número es la coordenada y.
- Dado que x = −1, y = 3, el punto (−1, 3) está en el Cuadrante II.
- Dado que x = −3, y = −4, el punto (−3, −4) está en el cuadrante III.
- Dado que x = 2, y = −1, el punto (2, −1) está en el cuadrante IV.
- Dado que x = 3, y = ( dfrac {5} {2} ), el punto ( left (3, dfrac {5} {2} right) ) está en el Cuadrante I. Puede ser útil escribir ( dfrac {5} {2} ) como el número mixto, (2 dfrac {1} {2} ), o decimal, 2.5. Entonces sabemos que el punto está a medio camino entre 2 y 3 en el eje y.
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Grafica cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifica el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−2, 1) (b) (−3, −1) (c) (4, −4) (d) ( left (-4, dfrac {3} {2} right) )
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangulares e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−4, 1) (b) (−2, 3) (c) (2, −5) ( d) ( left (-3, dfrac {5} {2} right) )
- Respuesta
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¿Cómo afectan los signos a la ubicación de los puntos?
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Grafica cada punto: (a) (−5, 2) (b) (−5, −2) (c) (5, 2) (d) (5, −2)
Solución
Al ubicar la coordenada xy la coordenada y, debemos tener cuidado con los signos.
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Grafica cada punto: (a) (4, −3) (b) (4, 3) (c) (−4, −3) (d) (−4, 3)
- Respuesta
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Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Grafica cada punto: (a) (−1, 4) (b) (1, 4) (c) (1, −4) (d) (−1, −4)
- Respuesta
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Es posible que hayas notado algunos patrones al graficar los puntos en los dos ejemplos anteriores.
Para cada punto en el Cuadrante IV, ¿qué notas acerca de los signos de las coordenadas?
¿Qué pasa con los signos de las coordenadas de los puntos en el tercer cuadrante? El segundo cuadrante? El primer cuadrante?
¿Puedes decir con solo mirar las coordenadas en qué cuadrante se encuentra el punto (−2, 5)? ¿En qué cuadrante se encuentra (2, −5)?
Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de la siguiente manera. Consulte también la Figura ( PageIndex {6} ).
| Cuadrante I | Cuadrante II | Cuadrante III | Cuadrante IV |
|---|---|---|---|
| (x, y) | (x, y) | (x, y) | (x, y) |
| (+, +) | (-, +) | (-, -) | (+, -) |
Figura ( PageIndex {6} )
¿Qué pasa si una coordenada es cero? ¿Dónde está ubicado el punto (0, 4)? ¿Dónde está ubicado el punto (−2, 0)? El punto (0, 4) está en el eje y y el punto (- 2, 0) está en el eje x.
Definición: Puntos en los ejes
Los puntos con una coordenada y igual a 0 están en el eje xy tienen coordenadas (a, 0).
Los puntos con una coordenada x igual a 0 están en el eje y, y tienen coordenadas (0, b).
¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es (0, 0). El punto tiene un nombre especial. Se llama el origen .
Definición: el origen
El punto (0, 0) se llama origen. Es el punto donde se cruzan el eje x y el eje y.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (0, 5) (b) (4, 0) (c) (−3, 0) (d) (0, 0) (e) (0, −1)
Solución
- Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 5) está en el eje y.
- Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (4, 0) está en el eje x.
- Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (−3, 0) está en el eje x.
- Dado que x = 0 e y = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 0) es el origen.
- Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, −1) está en el eje y.
Ejercicio ( PageIndex {9} ):
Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (4, 0) (b) (−2, 0) (c) (0, 0) (d) (0, 2) (e) (0, −3)
- Respuesta
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Ejercicio ( PageIndex {10} ):
Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (−5, 0) (b) (3, 0) (c) (0, 0) (d) (0, −1) (e) (0 , 4)
- Respuesta
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