Use la fórmula de la distancia

Hemos utilizado el teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Aquí usaremos este teorema nuevamente para encontrar distancias en el sistema de coordenadas rectangulares. Al encontrar la distancia en el sistema de coordenadas rectangular, podemos establecer una conexión entre la geometría de una cónica y el álgebra, lo que abre un mundo de oportunidades para la aplicación.

Nuestro primer paso es desarrollar una fórmula para encontrar distancias entre puntos en el sistema de coordenadas rectangulares. Trazaremos los puntos y crearemos un triángulo rectángulo como lo hicimos cuando encontramos pendiente en Gráficos y Funciones. Luego damos un paso más y usamos el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa del triángulo, que es la distancia entre los puntos.

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Usa el sistema de coordenadas rectangular para encontrar la distancia entre los puntos ((6,4) ) y ((2,1) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Trace los dos puntos. Conecte los dos puntos con una línea. Dibuja un triángulo rectángulo como si fueras a encontrar pendiente.
Halla la longitud de cada pierna.
Usa el teorema de Pitágoras para encontrar (d ), la distancia entre los dos puntos.	(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Sustituir en los valores.	(3 ^ {2} + 4 ^ {2} = d ^ {2} )
Simplificar.	(9 + 16 = d ^ {2} )
	(25 = d ^ {2} )
Use la propiedad de raíz cuadrada.	(d = 5 quad cancel {d = -5} )
Dado que la distancia, (d ) es positiva, podemos eliminar (d = -5 ).	La distancia entre los puntos ((6,4) ) y ((2,1) ) es (5 ).

 

Tabla 11.1.1

 

   

El método que utilizamos en el último ejemplo nos lleva a la fórmula para encontrar la distancia entre los dos puntos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ).

Cuando encontramos la longitud del tramo horizontal, restamos (6−2 ) que es (x_ {2} -x_ {1} ).

Cuando encontramos la longitud del tramo vertical, restamos (4−1 ) que es (y_ {2} -y_ {1} ).

Si el triángulo hubiera estado en una posición diferente, podríamos haber restado (x_ {1} -x_ {2} ) o (y_ {1} -y_ {2} ). Las expresiones (x_ {2} -x_ {1} ) y (x_ {1} -x_ {2} ) varían solo en el signo del número resultante. Para obtener el valor positivo, ya que la distancia es positiva, podemos usar el valor absoluto. Entonces, para generalizar, diremos ( left | x_ {2} -x_ {1} right | ) y ( left | y_ {2} -y_ {1} right | ).

En el teorema de Pitágoras, sustituimos las expresiones generales ( left | x_ {2} -x_ {1} right | ) y ( left | y_ {2} -y_ {1} right | ) en lugar de los números.

( begin {array} {lc} {} & {a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} \ { text {Sustituir en los valores.}} & { (| x_ {2} -x_ {1} |) ^ {2} + (| y_ {2} -y_ {1} |) ^ {2} = d ^ {2}} \ { text {Cuadrando el las expresiones hacen}} & {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} = d ^ {2}} \ text {them positivo, por lo que eliminamos} \ text {las barras de valor absoluto.} \ { text {Use la propiedad de raíz cuadrada.}} & {d = pm sqrt {(x_ {2} -x_ {1} ) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}} \ { text {La distancia es positiva, así que elimine}} & {d = sqrt {(x_ {2} – x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}} \ text {el valor negativo.} end {array} )

Esta es la fórmula de distancia que usamos para encontrar la distancia (d ) entre los dos puntos ((x_ {1}, y_ {1}) ) y ((x_ {2}, y_ {2 }) ).

Use la fórmula del punto medio

A menudo es útil poder encontrar el punto medio de un segmento. Por ejemplo, si tiene los puntos finales del diámetro de un círculo, es posible que desee encontrar el centro del círculo, que es el punto medio del diámetro. Para encontrar el punto medio de un segmento de línea, encontramos el promedio de las coordenadas (x ) y el promedio de las coordenadas (y ) de los puntos finales.

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Use la Fórmula del punto medio para encontrar el punto medio de los segmentos de línea cuyos puntos finales son ((- 5, −4) ) y ((7,2) ). Trace los puntos finales y el punto medio en un sistema de coordenadas rectangular.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                              

Escribe la fórmula del punto medio.	( left ( frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} right) )
Rotula los puntos, ( left ( begin {array} {c} {x_ {1}, y_ {1}} \ {-5, -4} end {array} right), left ( begin {array} {l} {x_ {2}, y_ {2}} \ {7,2} end {array} right) ) y sustituye.	( left ( frac {-5 + 7} {2}, frac {-4 + 2} {2} right) )
Simplifica.	( left ( frac {2} {2}, frac {-2} {2} right) )
	((1, -1) )               El punto medio del segmento es el punto               ((1, -1) ).
Trace los puntos finales y el punto medio.

 

Tabla 11.1.2

 

Tanto la fórmula de distancia como la fórmula de punto medio dependen de dos puntos, ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} Correcto)). Es fácil confundir qué fórmula requiere la suma y qué resta de las coordenadas. Si recordamos de dónde provienen las fórmulas, puede ser más fácil recordar las fórmulas.

   

Escribe la ecuación de un círculo en forma estándar

Como mencionamos, nuestro objetivo es conectar la geometría de una cónica con álgebra. Al usar el plano de coordenadas, podemos hacer esto fácilmente.

   

Definimos un círculo como todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto dado en el plano. El punto dado se llama centro , ((h, k) ), y la distancia fija se llama radio , (r ), del círculo.

Observamos un círculo en el sistema de coordenadas rectangular. El radio es la distancia desde el centro, ((h, k) ), hasta un punto en el círculo, ((x, y) ).
Para derivar la ecuación de un círculo, podemos usar la fórmula de distancia con los puntos ((h, k) ), ((x, y) ) y la distancia , (r ).	(d = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right) ^ {2}} )
Sustituir los valores.	(r = sqrt {(x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2}} )
Cuadrado de ambos lados.	(r ^ {2} = (x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} )

Tabla 11.1.3

Esta es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro, ((h, k) ) y radio, (r ).

 

Definición ( PageIndex {4} )

 

La forma estándar de la ecuación de un círculo con centro, ((h, k) ) y radio, (r ), es

 

   

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Escribe la forma estándar de la ecuación del círculo con radio (3 ) y centro ((0,0) ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              

Usa la forma estándar de la ecuación de un círculo	((x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} = r ^ {2} )
Sustituir en los valores (r = 3, h = 0 ) y (k = 0 ).	((x-0) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 3 ^ {2} )
Simplifica.	(x ^ {2} + y ^ {2} = 9 )

 

Tabla 11.1.4

 

En el último ejemplo, el centro era ((0,0) ). Fíjate qué pasó con la ecuación. Siempre que el centro sea ((0,0) ), la forma estándar se convierte en (x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} ).

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Escribe la forma estándar de la ecuación del círculo con radio (2 ) y centro ((- 1,3) ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              

Usa la forma estándar de la ecuación de un círculo.	((x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} = r ^ {2} )
Sustituir en los valores.	((x – (- 1)) ^ {2} + (y-3) ^ {2} = 2 ^ {2} )
Simplifica.	((x + 1) ^ {2} + (y-3) ^ {2} = 4 )

 

Tabla 11.1.5

 

En el siguiente ejemplo, no se da el radio. Para calcular el radio, usamos la fórmula de distancia con los dos puntos dados.

 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Escribe la forma estándar de la ecuación del círculo con el centro ((2,4) ) que también contiene el punto ((- 2,1) ).

 

   

 

Solución :

 

El radio es la distancia desde el centro a cualquier punto del círculo para que podamos usar la fórmula de la distancia para calcularlo. Usaremos el centro ((2,4) ) y el punto ((- 2,1) )

 

Usa la fórmula de la distancia para encontrar el radio.

 

(r = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right) ^ {2}} )

 

Sustituir los valores. ( left ( begin {array} {l} {x_ {1}, y_ {1}} \ {2,4} end {array} right), left ( begin {array} {c } {x_ {2}, y_ {2}} \ {-2,1} end {array} right) )

 

(r = sqrt {(- 2-2) ^ {2} + (1-4) ^ {2}} )

 

Simplificar.

 

(r = sqrt {(- 4) ^ {2} + (- 3) ^ {2}} )
(r = sqrt {16 + 9} )
(r = sqrt {25} )
(r = 5 )

 

Ahora que conocemos el radio, (r = 5 ) y el centro, ((2,4) ), podemos usar la forma estándar de la ecuación de un círculo para encontrar la ecuación.

 

Usa la forma estándar de la ecuación de un círculo.

 

((x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} = r ^ {2} )

 

Sustituir en los valores.

 

((x-2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 5 ^ {2} )

 

Simplificar.

 

((x-2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 25 )

 

Graficar un círculo

Cualquier ecuación de la forma ((xh) ^ {2} + (yk) ^ {2} = r ^ {2} ) es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro, ((h, k) ) y radio, (r ) . Luego podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangular.

Tenga en cuenta que la forma estándar requiere la resta de (x ) y (y ). En el siguiente ejemplo, la ecuación tiene (x + 2 ), por lo que debemos reescribir la suma como resta de un negativo.

 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentra el centro y el radio, luego representa gráficamente el círculo: ((x + 2) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 9 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              

Usa la forma estándar de la ecuación de un círculo.               Identifique el centro, ((h, k) ) y el radio, (r ).
	Centro: ((- 2,1) ) radio: (3 )
Representa gráficamente el círculo.

 

Tabla 11.1.6

 

Para encontrar el centro y el radio, debemos escribir la ecuación en forma estándar. En el siguiente ejemplo, primero debemos obtener el coeficiente de (x ^ {2}, y ^ {2} ) para que sea uno.

 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Encuentra el centro y el radio y luego grafica el círculo, (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} = 64 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                              

Divide cada lado entre (4 ).
Usa la forma estándar de la ecuación de un círculo. Identifique el centro, ((h, k) ) y el radio, (r ).
	Centro: ((0,0) ) radio: (4 )
Representa gráficamente el círculo.

 

Tabla 11.1.7

 

Si ampliamos la ecuación del ejemplo 11.1.8, ((x + 2) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 9 ), la ecuación del círculo se ve muy diferente.

((x + 2) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 9 )

Cuadrar los binomios.

(x ^ {2} +4 x + 4 + y ^ {2} -2 y + 1 = 9 )

Organice los términos en orden descendente y obtenga cero a la derecha

(x ^ {2} + y ^ {2} +4 x-2 y-4 = 0 )

Esta forma de la ecuación se llama la forma general de la ecuación del círculo .

Si se nos da una ecuación en forma general, podemos cambiarla a forma estándar completando los cuadrados tanto en (x ) como en (y ). Luego podemos graficar el círculo usando su centro y radio.

En el siguiente ejemplo, hay un término (y ) y un término (y ^ {2} ). Pero observe que no hay un término (x ), solo un término (x ^ {2} ). Hemos visto esto antes y sabemos que significa (h ) es (0 ). Necesitaremos completar el cuadrado para los términos (y ), pero no para los términos (x ).

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practique el uso de fórmulas de distancia y punto medio, y círculos de gráficos.

Conceptos clave

     
• Fórmula de distancia: La distancia (d ) entre los dos puntos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) es      

  (d = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right) ^ {2}} )

       
     
• Fórmula del punto medio: El punto medio del segmento de línea cuyos puntos finales son los dos puntos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) es      

  ( left ( frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} right) )

      Para encontrar el punto medio de un segmento de línea, encontramos el promedio de las coordenadas (x ) y el promedio de las coordenadas (y ) de los puntos finales.
     
• Círculo: Un círculo son todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto fijo en el plano. El punto dado se llama centro , ((h, k) ), y la distancia fija se llama radio , (r ), del círculo.
     
• Forma estándar de la ecuación un círculo: La forma estándar de la ecuación de un círculo con centro, ((h, k) ) y radio, ( r ) , es