Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de tablas. El fabricante realiza un seguimiento de sus costos, que es la cantidad que gasta para producir los tableros, y sus ingresos, que es el monto que gana a través de las ventas de sus tableros. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender antes de que sea posible obtener ganancias? En esta sección, consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares.
Introducción a los sistemas de ecuaciones
Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, debemos reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables de modo que todas las ecuaciones en el sistema se consideren simultáneamente. Para encontrar la solución única a un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable en el sistema que satisfaga todas las ecuaciones en el sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener una solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección, veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, que consisten en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
[ begin {align *} 2x + y & = 15 \ 3x – y & = 5 end {align *} ]
La solución para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisfaga cada ecuación independientemente. En este ejemplo, el par ordenado ((4,7) ) es la solución al sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve investigaremos los métodos para encontrar dicha solución si existe.
[ begin {align *} 2 (4) + (7) & = 15 text {True} \ 3 (4) – (7) & = 5 text {True} end {align * } ]
Además de considerar el número de ecuaciones y variables, podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene al menos una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una solución única, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se cruzan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y los mismos interceptos y . En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto en la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente , que es uno en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones y- . No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución para el sistema.
TIPOS DE SISTEMAS LINEALES
Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables y tres tipos de soluciones.
- Un sistema independiente tiene exactamente un par de soluciones ((x, y) ). El punto donde se cruzan las dos líneas es la única solución.
- Un sistema inconsistente no tiene solución. Observe que las dos líneas son paralelas y nunca se intersecarán.
- Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones. Las líneas son coincidentes. Son la misma línea, por lo que cada par de coordenadas en la línea es una solución para ambas ecuaciones.
La figura ( PageIndex {2} ) compara representaciones gráficas de cada tipo de sistema.
Howto: Dado un sistema de ecuaciones lineales y un par ordenado, determinar si el par ordenado es una solución
- Sustituye el par ordenado en cada ecuación del sistema.
- Determine si las declaraciones verdaderas resultan de la sustitución en ambas ecuaciones; Si es así, el par ordenado es una solución.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Determinar si un par ordenado es una solución para un sistema de ecuaciones
Determine si el par ordenado ((5,1) ) es una solución para el sistema de ecuaciones dado.
[ begin {align *} x + 3y & = 8 \ 2x − 9 & = y end {align *} ]
Solución
Sustituye el par ordenado ((5,1) ) en ambas ecuaciones.
[ begin {align *} (5) +3 (1) & = 8 \ 8 & = 8 text {True} \ 2 (5) −9 & = (1) \ 1 & = 1 text {True} end {align *} ]
El par ordenado ((5,1) ) satisface ambas ecuaciones, por lo que es la solución del sistema.
Análisis
Podemos ver la solución claramente al trazar la gráfica de cada ecuación. Como la solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones, es un punto en ambas líneas y, por lo tanto, el punto de intersección de las dos líneas. Ver Figura ( PageIndex {3} ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Determine si el par ordenado ((8,5) ) es una solución para el siguiente sistema.
[ begin {align *} 5x − 4y & = 20 \ 2x + 1 & = 3y end {align *} ]
- Respuesta
-
No es una solución.
Resolución de sistemas de ecuaciones mediante gráficos
Existen múltiples métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución graficando el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables mediante gráficos
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones graficando. Identificar el tipo de sistema.
[ begin {align *} 2x + y & = −8 \ x − y & = −1 end {align *} ]
Solución
Resuelve la primera ecuación para (y ).
[ begin {align *} 2x + y & = −8 \ y & = −2x − 8 end {align *} ]
Resuelve la segunda ecuación para (y ).
[ begin {align *} x − y & = −1 \ y & = x + 1 end {align *} ]
Grafica ambas ecuaciones en el mismo conjunto de ejes que en la Figura ( PageIndex {4} ).
Las líneas parecen cruzarse en el punto ((- 3, −2) ). Podemos verificar para asegurarnos de que esta sea la solución del sistema sustituyendo el par ordenado en ambas ecuaciones.
[ begin {align *} 2 (−3) + (- 2) & = −8 \ −8 & = −8 text {True} \ (−3) – (- 2) & = −1 \ −1 & = −1 text {True} end {align *} ]
La solución al sistema es el par ordenado ((- 3, −2) ), por lo que el sistema es independiente.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones graficando.
[ begin {align *} 2x − 5y & = −25 \ −4x + 5y & = 35 end {align *} ]
- Respuesta
-
La solución al sistema es el par ordenado ((- 5,3) ).
Figura ( PageIndex {5} )
Preguntas y respuestas
¿Se pueden usar los gráficos si el sistema es inconsistente o dependiente?
Sí, en ambos casos aún podemos graficar el sistema para determinar el tipo de sistema y solución. Si las dos líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y es inconsistente. Si las dos líneas son idénticas, el sistema tiene soluciones infinitas y es un sistema dependiente.
Resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución
Resolver un sistema lineal en dos variables mediante gráficos funciona bien cuando la solución consiste en valores enteros, pero si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que los gráficos. Uno de estos métodos es resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución , en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recuerde que solo podemos resolver una variable a la vez, razón por la cual el método de sustitución es valioso y práctico.
Cómo: dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, resolver usando el método de sustitución.
- Resuelve una de las dos ecuaciones para una de las variables en términos de la otra.
- Sustituye la expresión de esta variable en la segunda ecuación, luego resuelve la variable restante.
- Sustituye esa solución en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la primera variable. Si es posible, escriba la solución como un par ordenado.
- Verifique la solución en ambas ecuaciones.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables por sustitución
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.
[ begin {align *} −x + y & = −5 \ 2x − 5y & = 1 end {align *} ]
Solución
Primero, resolveremos la primera ecuación para (y ).
[ begin {align *} −x + y & = – 5 \ y & = x − 5 end {align *} ]
Ahora podemos sustituir la expresión (x − 5 ) por (y ) en la segunda ecuación.
[ begin {align *} 2x − 5y & = 1 \ 2x − 5 (x − 5) & = 1 \ 2x − 5x + 25 & = 1 \ −3x & = −24 \ x & = 8 end {align *} ]
Ahora, sustituimos (x = 8 ) en la primera ecuación y resolvemos (y ).
[ begin {align *} – (8) + y & = −5 \ y & = 3 end {align *} ]
Nuestra solución es ((8,3) ).
Verifique la solución sustituyendo ((8,3) ) en ambas ecuaciones.
[ begin {align *} −x + y & = −5 \ - (8) + (3) & = −5 text {True} \ 2x − 5y & = 1 \ 2 ( 8) −5 (3) & = 1 text {True} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.
[ begin {align *} x & = y + 3 \ 4 & = 3x − 2y end {align *} ]
- Respuesta
-
((- 2, −5) )
Preguntas y respuestas
¿Se puede usar el método de sustitución para resolver cualquier sistema lineal en dos variables?
Sí, pero el método funciona mejor si una de las ecuaciones contiene un coeficiente de (1 ) o (- 1 ) para que no tengamos que lidiar con fracciones.
Resolviendo sistemas de ecuaciones en dos variables por el método de adición
Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de suma. En este método, agregamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas están configurados con los dos términos de una variable que tienen coeficientes opuestos. A menudo debemos ajustar una o ambas ecuaciones por multiplicación para que una variable sea eliminada por la suma.
Cómo: dado un sistema de ecuaciones, resolver usando el método de suma.
- Escribe ambas ecuaciones con x – y y -variables en el lado izquierdo del signo igual y constantes a la derecha.
- Escribe una ecuación sobre la otra, alineando las variables correspondientes. Si una de las variables en la ecuación superior tiene el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, sume las ecuaciones, eliminando una variable. Si no, use la multiplicación por un número distinto de cero para que una de las variables en la ecuación superior tenga el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, luego agregue las ecuaciones para eliminar la variable.
- Resuelve la ecuación resultante para la variable restante.
- Sustituye ese valor en una de las ecuaciones originales y resuelve la segunda variable.
- Verifique la solución sustituyendo los valores en la otra ecuación.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolución de un sistema mediante el método de adición
Resuelve el sistema de ecuaciones dado por suma.
[ begin {align *} x + 2y & = −1 \ −x + y & = 3 end {align *} ]
Solución
Ambas ecuaciones ya están establecidas como iguales a una constante. Observe que el coeficiente de (x ) en la segunda ecuación, (- 1 ), es el opuesto del coeficiente de (x ) en la primera ecuación, (1 ). Podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar (x ) sin necesidad de multiplicar por una constante.
[ begin {align *} x + 2y & = -1 \ underline {-x + y} & = underline {3} \ 3y & = 2 \ end {align *} ]
Ahora que hemos eliminado (x ), podemos resolver la ecuación resultante para (y ).
[ begin {align *} 3y & = 2 \ y & = dfrac {2} {3} end {align *} ]
Luego, sustituimos este valor por (y ) en una de las ecuaciones originales y resolvemos (x ).
[ begin {align *} −x + y & = 3 \ −x + dfrac {2} {3} & = 3 \ −x & = 3− dfrac {2} {3} −x & = dfrac {7} {3} \ x & = – dfrac {7} {3} end {align *} ]
La solución a este sistema es ( left (- dfrac {7} {3}, dfrac {2} {3} right) ).
Verifique la solución en la primera ecuación.
[ begin {align *} x + 2y & = −1 \ left (- dfrac {7} {3} right) +2 left ( dfrac {2} {3} right ) & = \ – dfrac {7} {3} + dfrac {4} {3} & = – dfrac {3} {3} \ −1 & = −1 ; ; ; ; ; ; ; ; text {True} end {align *} ]
Análisis
Obtenemos una perspectiva importante sobre los sistemas de ecuaciones al observar la representación gráfica. Vea la Figura ( PageIndex {6} ) para encontrar que las ecuaciones se cruzan en la solución. No necesitamos preguntarnos si puede haber una segunda solución porque observar el gráfico confirma que el sistema tiene exactamente una solución.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de una ecuación
Resuelve el sistema de ecuaciones dado por el método de suma.
[ begin {align *} 3x + 5y & = −11 \ x − 2y & = 11 end {align *} ]
Solución
Agregar estas ecuaciones tal como se presentan no eliminará una variable. Sin embargo, vemos que la primera ecuación tiene (3x ) y la segunda ecuación tiene (x ). Entonces, si multiplicamos la segunda ecuación por (- 3 ), los términos x se sumarán a cero.
[ begin {align *} x − 2y & = 11 \ −3 (x − 2y) & = – 3 (11) ; ; ; ; ; ; ; ; text {Multiplica ambos lados por} −3. \ −3x + 6y & = −33 ; ; ; ; ; ; ; ; ; text {Use la propiedad distributiva.} end {align *} ]
Ahora, vamos a agregarlos.
[ begin {align *} 3x + 5y & = -11 \ underline {-3x + 6y} & = underline {-33} \ 11y & = -44 \ y & = -4 end {alinear *} ]
Para el último paso, sustituimos (y = −4 ) en una de las ecuaciones originales y resolvemos (x ).
[ begin {align *} 3x + 5y & = −11 \ 3x + 5 (−4) & = −11 \ 3x − 20 & = −11 \ 3x & = 9 \ x & = 3 end {alinear *} ]
Nuestra solución es el par ordenado ((3, −4) ). Ver Figura ( PageIndex {7} ). Verifique la solución en la segunda ecuación original.
[ begin {align *} x − 2y & = 11 \ (3) −2 (−4) & = 3 + 8 \ & = 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; text {True} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve el sistema de ecuaciones por suma.
[ begin {align *} 2x − 7y & = 2 \ 3x + y & = −20 end {align *} ]
- Respuesta
-
((- 6, −2) )
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de ambas ecuaciones
Resuelve el sistema de ecuaciones dado en dos variables mediante la suma.
[ begin {align *} 2x + 3y & = −16 \ 5x − 10y & = 30 end {align *} ]
Solución
Una ecuación tiene (2x ) y la otra tiene (5x ). El mínimo común múltiplo es (10x ), por lo que tendremos que multiplicar ambas ecuaciones por una constante para eliminar una variable. Eliminemos (x ) multiplicando la primera ecuación por (- 5 ) y la segunda ecuación por (2 ).
[ begin {align *} −5 (2x + 3y) & = −5 (−16) \ −10x − 15y & = 80 \ 2 (5x − 10y) & = 2 (30) 10x − 20y & = 60 end {align *} ]
Luego, sumamos las dos ecuaciones juntas.
[ begin {align *} -10x-15y & = 80 \ underline {10x-20y} & = underline {60} \ -35y & = 140 \ y & = -4 end {align *} ]
Sustituye (y = −4 ) en la primera ecuación original.
[ begin {align *} 2x + 3 (−4) & = – 16 \ 2x − 12 & = −16 \ 2x & = −4 \ x & = – 2 end {align * } ]
La solución es ((- 2, −4) ). Compruébalo en la otra ecuación.
[ begin {align *} 5x − 10y & = 30 \ 5 (−2) −10 (−4) & = 30 \ −10 + 40 & = 30 \ 30 & = 30 end {alinear *} ]
Ver Figura ( PageIndex {8} ).
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso del método de adición en sistemas de ecuaciones que contienen fracciones
Resuelve el sistema de ecuaciones dado en dos variables mediante la suma.
[ begin {align *} dfrac {x} {3} + dfrac {y} {6} & = 3 \ dfrac {x} {2} – dfrac {y} {4} & = 1 end {align *} ]
Solución
Primero borra cada ecuación de fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
[ begin {align *} 6 left ( dfrac {x} {3} + dfrac {y} {6} right) & = 6 (3) \ 2x + y & = 18 4 left ( dfrac {x} {2} – dfrac {y} {4} right) & = 4 (1) \ 2x − y & = 4 end {align *} ]
Ahora multiplique la segunda ecuación por (- 1 ) para que podamos eliminar la variable x .
[ begin {align *} −1 (2x − y) & = −1 (4) \ −2x + y & = −4 end {align *} ]
Agregue las dos ecuaciones para eliminar la variable (x ) y resuelva la ecuación resultante.
[ begin {align *} 2x + y & = 18 \ −2x + y & = −4 \ 2y & = 14 \ y & = 7 end {align *} ]
Sustituye (y = 7 ) en la primera ecuación.
[ begin {align *} 2x + (7) & = 18 \ 2x & = 11 \ x & = dfrac {11} {2} \ & = 7.5 end {align *} ]
La solución es ( left ( dfrac {11} {2}, 7 right) ). Compruébalo en la otra ecuación.
[ begin {align *} dfrac {x} {2} – dfrac {y} {4} & = 1 \ dfrac { dfrac {11} {2}} {2} – dfrac {7} {4} & = 1 \ dfrac {11} {4} – dfrac {7} {4} & = 1 \ dfrac {4} {4} & = 1 end {align * } ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve el sistema de ecuaciones por suma.
[ begin {align *} 2x + 3y & = 8 \ 3x + 5y & = 10 end {align *} ]
- Respuesta
-
((10, −4) )
Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables
Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recuerde que un sistema inconsistente consiste en líneas paralelas que tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones en y. Nunca se cruzarán. Al buscar una solución para un sistema inconsistente, se nos ocurrirá una declaración falsa, como (12 = 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver un sistema de ecuaciones inconsistente
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
[ begin {align *} x & = 9−2y \ x + 2y & = 13 end {align *} ]
Solución
Podemos abordar este problema de dos maneras. Debido a que una ecuación ya está resuelta para (x ), el paso más obvio es usar la sustitución.
[ begin {align *} x + 2y & = 13 \ (9−2y) + 2y & = 13 \ 9 + 0y & = 13 \ 9 & = 13 end {align *} ]
Claramente, esta afirmación es una contradicción porque (9 ≠ 13 ). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
El segundo enfoque sería manipular primero las ecuaciones para que ambas estén en forma de pendiente-intersección. Manipulamos la primera ecuación de la siguiente manera.
[ begin {align *} x & = 9−2y \ 2y & = −x + 9 \ y & = – dfrac {1} {2} x + dfrac {9} {2} end {align *} ]
Luego convertimos la segunda ecuación expresada a la forma pendiente-intersección.
[ begin {align *} x + 2y & = 13 \ 2y & = −x + 13 \ y & = – dfrac {1} {2} x + dfrac {13} {2} end {align *} ]
Al comparar las ecuaciones, vemos que tienen la misma pendiente pero diferentes (y ) – intersecciones. Por lo tanto, las líneas son paralelas y no se cruzan.
[ begin {align *} y & = – dfrac {1} {2} x + dfrac {9} {2} \ y & = – dfrac {1} {2} x + dfrac { 13} {2} end {align *} ]
Análisis
Escribir las ecuaciones en forma de pendiente-intersección confirma que el sistema es inconsistente porque todas las líneas se intersecarán eventualmente a menos que sean paralelas. Las líneas paralelas nunca se cruzarán; así, las dos líneas no tienen puntos en común. Las gráficas de las ecuaciones en este ejemplo se muestran en la Figura ( PageIndex {9} ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables.
[ begin {align *} 2y − 2x & = 2 \ 2y − 2x & = 6 end {align *} ]
- Respuesta
-
Sin solución. Es un sistema inconsistente.
Expresando la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contienen dos variables
Recuerde que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el que las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos en una línea también están en la otra línea. Después de usar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como (0 = 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Encontrar una solución para un sistema dependiente de ecuaciones lineales
Encuentre una solución al sistema de ecuaciones usando el método de suma .
[ begin {align *} x + 3y & = 2 \ 3x + 9y & = 6 end {align *} ]
Solución
Con el método de suma, queremos eliminar una de las variables agregando las ecuaciones. En este caso, centrémonos en eliminar (x ). Si multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por (- 3 ), entonces podremos eliminar la variable x.
[ begin {align *} x + 3y & = 2 \ (−3) (x + 3y) & = (−3) (2) \ −3x − 9y & = −6 end { alinear *} ]
Ahora suma las ecuaciones.
[ begin {align *} -3x-9y & = -6 \ underline {+ space 3x + 9y} & = underline {6} \ 0 & = 0 \ end {align * } ]
Podemos ver que habrá un número infinito de soluciones que satisfagan ambas ecuaciones.
Análisis
Si reescribimos ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección, podríamos saber cómo sería la solución antes de sumar. Veamos qué sucede cuando convertimos el sistema a una forma de pendiente-intersección.
[ begin {align *} x + 3y & = 2 \ 3y & = −x + 2 \ y & = – dfrac {1} {3} x + dfrac {2} {3} 3x + 9y & = 6 \ 9y & = – 3x + 6 \ y & = – dfrac {3} {9} x + dfrac {6} {9} \ y & = – dfrac {1} {3} x + dfrac {2} {3} end {align *} ]
Ver Figura ( PageIndex {10} ). Observe que los resultados son los mismos. La solución general del sistema es ( left (x, – dfrac {1} {3} x + dfrac {2} {3} right) ).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables.
[ begin {align *} y − 2x & = 5 \ −3y + 6x & = −15 end {align *} ]
- Respuesta
-
El sistema es dependiente, por lo que existen infinitas soluciones de la forma ((x, 2x + 5) ).
Uso de sistemas de ecuaciones para investigar ganancias
Utilizando lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas al comienzo de la sección. La función de ingresos del fabricante de la patineta es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que ingresa al negocio. Se puede representar mediante la ecuación (R = xp ), donde (x ) = cantidad y (p ) = precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la Figura ( PageIndex {11} ).
La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de hacer negocios. Incluye costos fijos, como alquileres y salarios, y costos variables, como servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la Figura ( PageIndex {11} ). El eje (x ) – representa la cantidad en cientos de unidades. El eje (y ) representa el costo o los ingresos en cientos de dólares.
El punto en el que se cruzan las dos líneas se llama punto de equilibrio. Podemos ver en el gráfico que si se producen (700 ) unidades, el costo es ($ 3,300 ) y los ingresos también son ($ 3,300 ). En otras palabras, la empresa se quiebra incluso si producen y venden (700 ) unidades. No ganan ni pierden dinero.
La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa cantidades para las cuales la empresa obtiene ganancias. La región sombreada a la izquierda representa cantidades por las cuales la compañía sufre una pérdida. La función de ganancia es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como (P (x) = R (x) −C (x) ). Claramente, conocer la cantidad por la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para las empresas.
Ejemplo ( PageIndex {10} ): Encontrar el punto de equilibrio y la función de ganancia utilizando la sustitución
Dada la función de costo (C (x) = 0.85x + 35,000 ) y la función de ingresos (R (x) = 1.55x ), encuentre el punto de equilibrio y la función de ganancia.
Solución
Escribe el sistema de ecuaciones usando (y ) para reemplazar la notación de función.
[ begin {align *} y & = 0.85x + 35,000 \ y & = 1.55x end {align *} ]
Sustituye la expresión (0.85x + 35,000 ) de la primera ecuación en la segunda ecuación y resuelve (x ).
[ begin {align *} 0.85x + 35,000 & = 1.55x \ 35,000 & = 0.7x \ 50,000 & = x end {align *} ]
Luego, sustituimos (x = 50,000 ) en la función de costo o en la función de ingresos.
(1.55 (50,000) = 77,500 )
El punto de equilibrio es ((50,000,77,500) ).
La función de ganancia se encuentra usando la fórmula (P (x) = R (x) −C (x) ).
[ begin {align *} P (x) & = 1.55x− (0.85x + 35,000) \ & = 0.7x − 35,000 end {align *} ]
La función de ganancia es (P (x) = 0.7x − 35,000 ).
Análisis
El costo para producir (50,000 ) unidades es ($ 77,500 ), y los ingresos de las ventas de (50,000 ) unidades también son ($ 77,500 ). Para obtener ganancias, el negocio debe producir y vender más de (50,000 ) unidades. Ver Figura ( PageIndex {12} ).
Vemos de la gráfica en la Figura ( PageIndex {13} ) que la función de ganancia tiene un valor negativo hasta (x = 50,000 ), cuando la gráfica cruza el eje (x ). Luego, el gráfico emerge en valores positivos (y ) y continúa en este camino ya que la función de ganancia es una línea recta. Esto ilustra que el punto de equilibrio para las empresas ocurre cuando la función de ganancia es (0 ). El área a la izquierda del punto de equilibrio representa la operación con pérdida.
Ejemplo ( PageIndex {11} ): Escribir y resolver un sistema de ecuaciones en dos variables
El costo de una entrada al circo es ($ 25.00 ) para niños y ($ 50.00 ) para adultos. En un día determinado, la asistencia al circo es (2,000 ) y el ingreso total de la puerta es ($ 70,000 ). ¿Cuántos niños y cuántos adultos compraron boletos?
Solución
Sea (c ) = el número de niños y (a ) = el número de adultos que asisten.
El número total de personas es (2,000 ). Podemos usar esto para escribir una ecuación para el número de personas en el circo ese día.
(c + a = 2,000 )
Los ingresos de todos los hijos se pueden encontrar multiplicando ($ 25.00 ) por el número de hijos, (25c ). Los ingresos de todos los adultos se pueden encontrar multiplicando ($ 50.00 ) por el número de adultos, (50a ). El ingreso total es ($ 70,000 ). Podemos usar esto para escribir una ecuación para los ingresos.
(25c + 50a = 70,000 )
Ahora tenemos un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
(c + a = 2,000 )
(25c + 50a = 70,000 )
En la primera ecuación, el coeficiente de ambas variables es (1 ). Podemos resolver rápidamente la primera ecuación para (c ) o (a ). Resolveremos para (a ).
[ begin {align *} c + a & = 2,000 \ a & = 2,000 − c end {align *} ]
Sustituye la expresión (2,000 − c ) en la segunda ecuación para a y resuelve (c ).
[ begin {align *} 25c + 50 (2,000 − c) & = 70,000 \ 25c + 100,000−50c & = 70,000 \ −25c & = −30,000 \ c & = 1,200 end {align *} ]
Sustituye (c = 1,200 ) en la primera ecuación para resolver (a ).
[ begin {align *} 1,200 + a & = 2,000 \ a & = 800 end {align *} ]
Encontramos que (1,200 ) niños y (800 ) adultos compraron boletos para el circo ese día.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Los boletos de comida en el circo cuestan ($ 4.00 ) para niños y ($ 12.00 ) para adultos. Si se compraron (1,650 ) boletos de comida por un total de ($ 14,200 ), ¿cuántos niños y cuántos adultos compraron boletos de comida?
- Respuesta
-
(700 ) niños, (950 ) adultos
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con sistemas de ecuaciones lineales.
Conceptos clave
- Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables de modo que todas las ecuaciones del sistema se consideren simultáneamente.
- La solución a un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisfaga cada ecuación independientemente. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
- Los sistemas de ecuaciones se clasifican como independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes con ninguna solución.
- Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es graficando. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
- Another method of solving a system of linear equations is by substitution. In this method, we solve for one variable in one equation and substitute the result into the second equation. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- A third method of solving a system of linear equations is by addition, in which we can eliminate a variable by adding opposite coefficients of corresponding variables. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
- It is often necessary to multiply one or both equations by a constant to facilitate elimination of a variable when adding the two equations together. See Example (PageIndex{5}), Example (PageIndex{6}), and Example (PageIndex{7}).
- Either method of solving a system of equations results in a false statement for inconsistent systems because they are made up of parallel lines that never intersect. Ver Ejemplo ( PageIndex {8} ).
- The solution to a system of dependent equations will always be true because both equations describe the same line. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ).
- Systems of equations can be used to solve real-world problems that involve more than one variable, such as those relating to revenue, cost, and profit. See Example (PageIndex{10}) and Example (PageIndex{11}).