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las matematicas

11.3: Parábolas

Nuestro trabajo hasta ahora solo ha tratado con parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos las (x ) y (y ) en nuestras ecuaciones anteriores para parábolas, obtenemos las ecuaciones para las parábolas que se abren hacia la izquierda o hacia la derecha.

Parábolas horizontales

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
             

Forma general

             

(x = a y ^ {2} + b y + c )

             
             

Forma estándar

             

(x = a (y-k) ^ {2} + h )

             
Orientación (a> 0 ) derecha; (a <0 ) izquierda (a> 0 ) derecha; (a <0 ) izquierda
Eje de simetría (y = – frac {b} {2 a} ) (y = k )
Vértice Sustituye (y = – frac {b} {2 a} ) y
resuelve (x. )
((h, k) )
(x ) – intercepta Sea (x = 0 ) Sea (x = 0 )
(y ) – intercepción Sea (y = 0 ) Sea (y = 0 )
 

Tabla 11.2.4

 

Los gráficos muestran cómo se ven las parábolas cuando están a la izquierda o a la derecha. Su posición en relación con el eje (x ) – o (y ) – es simplemente un ejemplo.

 
This figure shows two parabolas with axis of symmetry y equals k,) and vertex (h, k. The one on the left is labeled a greater than 0 and opens to the right. The other parabola opens to the left.  
Figura 11.2.30
 
 

Mirando estas parábolas, ¿sus gráficos representan una función? Como ambos gráficos fallarían en la prueba de línea vertical, no representan una función.

 

Para graficar una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha es básicamente lo mismo que hicimos para las parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo, con la inversión de (x ) y (y ) variables.

 
 

Cómo: Graficar parábolas horizontales ( left (y = ax ^ {2} + b x + c ) o (f (x) = a (xh) ^ {2} + k right) ) utilizando propiedades

 
         
  • Paso 1: Determine si la parábola se abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
  •      
  • Paso 2: Encuentra el eje de simetría.
  •      
  • Paso 3: Encuentra el vértice.
  •      
  • Paso 4: Encuentra la intercepción (x ). Encuentre el punto simétrico a (x ): intercepte a través del eje de simetría.
  •      
  • Paso 5: Encuentra las intersecciones (y ).
  •      
  • Paso 6: Representa gráficamente la parábola.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Graficar (x = 2 y ^ {2} ) usando las propiedades.

 

Solución :

 

Dado que el vértice es ((0,0) ), tanto las intersecciones (x ) – como (y ) – son el punto ((0,0) ). Para graficar la parábola necesitamos más puntos. En este caso, es más fácil elegir valores de (y ).

 
In the equation x equals 2 y squared, when y is 1, x is 2 and when y is 2, x is 8. The points are (2, 1) and (8, 2).  
Figura 11.2.38
 
 

También trazamos los puntos simétricos a ((2,1) ) y ((8,2) ) a través del eje (y ), los puntos ((2, −1), (8, −2) ).

 

Representa gráficamente la parábola.

 
This graph shows right opening parabola with vertex (0, 0). Four points are marked on it: point (2, 1), point (2, negative 1), point (8, 2) and point (8 minus 2).  
Figura 11.2.39
 
 

 

 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Graficar (x = y ^ {2} ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows right opening parabola with vertex at origin. Two points on it are (4, 2) and (4, negative 2).      
Figura 11.2.40
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Graficar (x = -y ^ {2} ) usando las propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows left opening parabola with vertex at origin. Two points on it are (negative 4, 2) and (negative 4, negative 2).      
Figura 11.2.41
     
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el vértice no es el origen.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Graficar (x = -y ^ {2} +2 y + 8 ) usando propiedades.

 

Solución :

 

Tabla 11.2.6

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Graficar (x = -y ^ {2} -4 y + 12 ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows left opening parabola with vertex (16, negative 2) and x intercept (12, 0).      
Figura 11.2.58
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Graficar (x = -y ^ {2} +2 y-3 ) usando las propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows left opening parabola with vertex (negative 2, 1) and x intercept minus (3, 0).      
Figura 11.2.59
     
     
 
 
 

En la Tabla 11.2.4, vemos la relación entre la ecuación en forma estándar y las propiedades de la parábola. El cuadro Cómo muestra los pasos para graficar una parábola en la forma estándar (x = a (y-k) ^ {2} + h ). Usaremos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Graficar (x = 2 (y-2) ^ {2} +1 ) usando propiedades.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Identifica las constantes (a, h, k ). (a = 2, h = 1, k = 2 )
Desde (a = 2 ), la parábola se abre a la derecha.
.
El eje de simetría es (y = k ). El eje de simetría es (y = 2 ).
El vértice es ((h, k) ). El vértice es ((1,2) ).
Encuentre la intercepción (x ) – sustituyendo (y = 0 ). (x = 2 (y-2) ^ {2} +1 )
(x = 2 (0-2) ^ {2} +1 )
(x = 9 )
La (x ) – intercepción es ((9,0) ).
Encuentre el punto simétrico a ((9,0) ) a través del eje de simetría. ((9,4) )
Encuentra las intersecciones (y ). Deje (x = 0 ). ( begin {alineado} x & = 2 (y-2) ^ {2} +1 \ 0 & = 2 (y-2) ^ {2} +1 \ – 1 & = 2 ( y-2) ^ {2} end {alineado} )
Un cuadrado no puede ser negativo, por lo que no hay una solución real. Entonces no hay (y ) – intercepciones.
Representa gráficamente la parábola. .
 

Tabla 11.2.7

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Graficar (x = 3 (y-1) ^ {2} +2 ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows a parabola opening right with vertex (2, 1) and x intercept (5, 0).      
Figura 11.2.63
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Graficar (x = 2 (y-3) ^ {2} +2 ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This graph shows a parabola opening right with vertex (2, 3) and symmetric points (4, 2) and (4, 4).      
Figura 11.2.64
     
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, notamos que a es negativo y, por lo tanto, la parábola se abre a la izquierda.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Graficar (x = -4 (y + 1) ^ {2} +4 ) usando propiedades.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Identifica las constantes (a, h, k ). (a = -4, h = 4, k = -1 )
Desde (a = -4 ), la parábola se abre a la izquierda.
.
El eje de simetría es (y = k ). El eje de simetría es (y = -1 ).
El vértice es ((h, k) ). El vértice es ((4, -1) ).
Encuentre la intercepción (x ) – sustituyendo (y = 0 ). (x = -4 (y + 1) ^ {2} +4 )
(x = -4 (0 + 1) ^ {2} +4 )
(x = 0 )
La (x ) – intercepción es ((0,0) ).
Encuentre el punto simétrico a ((0,0) ) a través del eje de simetría. ((0, -2) )
Encuentra las intersecciones (y ). (x = -4 (y + 1) ^ {2} +4 )
Sea (x = 0 ). ( begin {alineado} 0 & = – 4 (y + 1) ^ {2} +4 \ – 4 & = – 4 (y + 1) ^ {2} \ 1 & = (y +1) ^ {2} \ y + 1 & = pm 1 end {alineado} )
(y = -1 + 1 quad y = -1-1 )
(y = 0 quad quad y = -2 )
Las (y ) – intersecciones son ((0,0) ) y ((0, -2) ).
Representa gráficamente la parábola. .
 

Tabla 11.2.8

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Graficar (x = -4 (y + 2) ^ {2} +4 ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a parabola opening to the left with vertex (4, negative 2) and y intercepts (0, negative 1) and (0, negative 3).      
Figura 11.2.68
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Graficar (x = -2 (y + 3) ^ {2} +2 ) usando propiedades.

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a parabola opening to the left with vertex (2, negative 3) and y intercepts (0, negative 2) and (0, negative 4).      
Figura 11.2.69
     
     
 
 
 

El siguiente ejemplo requiere que primero pongamos la ecuación en forma estándar y luego usemos las propiedades.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Escribe (x = 2 y ^ {2} +12 y + 17 ) en forma estándar y luego usa las propiedades de la forma estándar para representar gráficamente la ecuación.

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Reescribe la función en forma (x = a (y-k) ^ {2} + h ) completando el cuadrado. .
.
.
.
Identifica las constantes (a, h, k ). (a = 2, h = -1, k = -3 )
Desde (a = 2 ), la parábola se abre a la derecha.
.
El eje de simetría es (y = k ). El eje de simetría es (y = -3 ).
El vértice es ((h, k) ). El vértice es ((- 1, -3) ).
Encuentre la intercepción (x ) – sustituyendo (y = 0 ). (x = 2 (y + 3) ^ {2} -1 )
(x = 2 (0 + 3) ^ {2} -1 )
(x = 17 )
La (x ) – intercepción es ((17,0) ).
Encuentre el punto simétrico a ((17,0) ) a través del eje de simetría. ((17, -6) )
             

Encuentra las intersecciones (y ).

             

Sea (x = 0 ).

             
( begin {alineado} x & = 2 (y + 3) ^ {2} -1 \ 0 & = 2 (y + 3) ^ {2} -1 \ 1 & = 2 (y +3) ^ {2} \ frac {1} {2} & = (y + 3) ^ {2} \ y + 3 & = pm sqrt { frac {1} {2}} y & = – 3 pm frac { sqrt {2}} {2} end {alineado} )
(y = -3 + frac { sqrt {2}} {2} quad y = -3- frac { sqrt {2}} {2} )
(y aprox-2.3 quad y approx-3.7 )
Las (y ) – intersecciones son ( left (0, -3 + frac { sqrt {2}} {2} right), left (0, -3- frac { sqrt {2}} {2} right) ).
Representa gráficamente la parábola. .
 

Tabla 11.2.9

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 
         
  1. Escribe (x = 3 y ^ {2} +6 y + 7 ) en forma estándar y
  2.      
  3. Usa las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 3 (y + 1) ^ {2} +4 )
  2.          
  3.      
     
This graph shows a parabola opening to the right with vertex (4, negative 1) and x intercept (7, 0).      
Figura 11.2.77
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 
         
  1. Escribe (x = -4 y ^ {2} -16 y-12 ) en forma estándar y
  2.      
  3. Usa las propiedades de la forma estándar para graficar la ecuación.
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = -4 (y + 2) ^ {2} +4 )
  2.          
  3.      
     
This graph shows a parabola opening to the left with vertex (4, negative 2) and x intercept minus (12, 0).      
Figura 11.2.78
     
     
 
 
 
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