11.3: Representación gráfica de ecuaciones lineales (Parte 1)

11.3: Representación gráfica de ecuaciones lineales (Parte 1)

Reconocer la relación entre las soluciones de una ecuación y su gráfico

 

En Use el Sistema de coordenadas rectangulares , encontramos algunas soluciones a la ecuación 3x + 2y = 6. Se enumeran en la tabla a continuación. Entonces, los pares ordenados (0, 3), (2, 0), ( left (1, dfrac {3} {2} right) ), (4, – 3), son algunas soluciones para el ecuación 3x + 2y = 6. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangular como se muestra en el gráfico de la derecha.

 

...

 

¿Ves cómo los puntos se alinean perfectamente? Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación 3x + 2y = 6. Observe las flechas en los extremos de cada lado de la línea. Estas flechas indican que la línea continúa.

 

...

 

Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Además, cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea. ¡Los puntos que no están en la línea son no soluciones!

 

Observe que el punto cuyas coordenadas son (- 2, 6) está en la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Si sustituye x = – 2 e y = 6 en la ecuación, encontrará que es una solución a la ecuación.

 

...

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Entonces (4, 1) no es una solución a la ecuación 3x + 2y = 6. Por lo tanto, el punto (4, 1) no está en la línea. Este es un ejemplo del dicho: «Una imagen vale más que mil palabras». La línea muestra todas las soluciones a la ecuación. Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama el gráfico de la ecuación 3x + 2y = 6.

 
 

Definición: Gráfico de una ecuación lineal

 

La gráfica de una ecuación lineal Ax + By = C es una línea recta.

 
         
  • Cada punto en la línea es una solución de la ecuación.
  •      
  • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
  •  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

La gráfica de y = 2x – 3 se muestra a continuación.

 

...

 

Para cada par ordenado decida (a) ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación? (b) ¿Está el punto en la línea?

 

(a) (0, 3) (b) (3, – 3) (c) (2, – 3) (d) (- 1, – 5)

 

Solución

 

Sustituye los valores x – e y en la ecuación para verificar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

 

(a) $$ begin {split} (a) & ; ( textcolor {azul} {0}, textcolor {rojo} {- 3}) qquad qquad quad ; (si); ( textcolor {azul} {3}, textcolor {rojo} {3}) qquad qquad qquad quad (c) ; ( textcolor {azul} {2}, textcolor {rojo} {- 3}) qquad qquad qquad quad (d) ; ( textcolor {azul} {- 1}, textcolor {rojo} {- 5}) \ y & = 2x – 3 qquad qquad quad y = 2x – 3 qquad qquad qquad ; y = 2x – 3 qquad qquad qquad ; ; ; y = 2x – 3 \ textcolor {rojo} {- 3} & stackrel {?} {=} 2 ( textcolor {azul} {0}) – 3 qquad qquad ; textcolor {rojo} {3} stackrel {?} {=} 2 ( textcolor {azul} {3}) – 3 qquad qquad ; textcolor {rojo} {- 3} stackrel {?} {=} 2 ( textcolor {azul} {2}) – 3 qquad qquad ; ; ; textcolor {rojo} {- 5} stackrel {?} {=} 2 ( textcolor {azul} {- 1}) – 3 \ -3 & = -3 ; marca de verificación qquad qquad quad ; ; 3 = 3 ; marca de verificación qquad qquad qquad -3 neq 1 qquad qquad qquad qquad -5 = -5 ; marca de verificación \ (0, -3) ; & is ; una; solución ldotp quad (3, 3) ; es; una; solución ldotp qquad (2, -3) ; es; no; una; solución ldotp qquad (-1, -5) ; es; una; solución ldotp end {split} $$

 

(b) Trace los puntos A: (0, – 3) B: (3, 3) C: (2, – 3) y D: (- 1, – 5). Los puntos (0, – 3), (3, 3) y (- 1, – 5) están en la línea y = 2x – 3, y el punto (2, – 3) no está en la línea.

 

...

 

Los puntos que son soluciones para y = 2x – 3 están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Se muestra la gráfica de y = 3x – 1. Para cada par ordenado, decida (a) ¿es el par ordenado una solución a la ecuación? (b) ¿está el punto en la línea?

 

...

 
         
  1. (0, – 1)
  2.      
  3. (2, 2)
  4.      
  5. (3, – 1)
  6.      
  7. (- 1, – 4)
  8.  
 
     
Respuesta 1.
     
     

a. si b. no

     
 
 
     
Respuesta 2.
     
     

a. no, b. no

     
 
 
     
Respuesta 3.
     
     

a. no, b. no

     
 
 
     
Respuesta 4.
     
     

a. si b. sí

     
 
 
 
 

Graficar una ecuación lineal por puntos de trazado

 

Hay varios métodos que pueden usarse para graficar una ecuación lineal. El método que usamos al comienzo de esta sección para graficar se llama puntos de trazado, o el Método de trazado de puntos.

 

Grafiquemos la ecuación y = 2x + 1 al trazar puntos. Comenzamos por encontrar tres puntos que son soluciones a la ecuación. Podemos elegir cualquier valor para x o y, y luego resolver la otra variable.

 

Dado que y está aislado en el lado izquierdo de la ecuación, es más fácil elegir valores para x. Usaremos 0, 1 y -2 para x para este ejemplo. Sustituimos cada valor de x en la ecuación y resolvemos y.

 

The figure shows three algebraic substitutions into an equation. The first substitution is for x = -2, with -2 shown in blue. The next line is y = 2 x + 1. The next line is y = 2 open parentheses -2, shown in blue, closed parentheses, + 1. The next line is y = - 4 + 1. The next line is y = -3. The last line is “ordered pair -2, -3”. The second  substitution is for x = 0, with 0 shown in blue. The next line is y = 2 x + 1. The next line is y = 2 open parentheses 0, shown in blue, closed parentheses, + 1. The next line is y = 0 + 1. The next line is y = 1. The last line is “ordered pair 0, 2”. The third substitution is for x = 1, with 1 shown in blue. The next line is y = 2 x + 1. The next line is y = 2 open parentheses 1, shown in blue, closed parentheses, + 1. The next line is y = 2 + 1. The next line is y = 3. The last line is “ordered pair -1, 3”.

 

Podemos organizar las soluciones en una tabla. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Tabla ( PageIndex {1} )
y = 2x + 1
x y (x, y)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
-2 -3 (-2, -3)
 

Ahora graficamos los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifique que los puntos estén alineados. Si no se alinearan, significaría que cometimos un error y deberíamos verificar todo nuestro trabajo. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. Three labeled points are shown, “ordered pair -2, -3”, “ordered pair 0, 1”, and ordered pair 1, 3”.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extienda la línea para llenar la cuadrícula y ponga flechas en ambos extremos de la línea. La línea es la gráfica de y = 2x + 1.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair -2, -3”, “ordered pair 0, 1”, and ordered pair 1, 3”.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 
 

CÓMO: GRAFICAR UNA ECUACIÓN LINEAL PLOTANDO PUNTOS

 

Paso 1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organízalos en una mesa.

 

Paso 2. Trace los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifique que los puntos estén alineados. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.

 

Paso 3. Dibuja la línea a través de los puntos. Extienda la línea para llenar la cuadrícula y ponga flechas en ambos extremos de la línea.

 
 

Es cierto que solo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es una buena costumbre usar tres puntos. Si traza solo dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún puede dibujar una línea pero no representará las soluciones a la ecuación. Será la línea equivocada. Si usa tres puntos, y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto le dice que algo está mal y que necesita verificar su trabajo. Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 

There are two figures. Figure a shows three points that are all contained on a straight line. There is a line with arrows that passed through the three points. Figure b shows 3 points that are not all arranged in a straight line.

 

Figura ( PageIndex {4} ) – Observe la diferencia entre (a) y (b). Los tres puntos en (a) se alinean para que podamos dibujar una línea a través de ellos. Los tres puntos en (b) no se alinean. No podemos dibujar una sola línea recta a través de los tres puntos.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Representa gráficamente la ecuación y = −3x.

 

Solución

 

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Es más fácil elegir valores para x y resolver para y. ¿Ves por qué?

 

The figure shows three algebraic substitutions into an equation. The first substitution is for x = 0, with 0 shown in blue. The next line is y = -3 x. The next line is y = -3 open parentheses 0, shown in blue, closed parentheses. The next line is y = 0. The last line is “ordered pair 0, 0 “. The second substitution is for x = 1, with 0 shown in blue. The next line is y = -3 x. The next line is y = -3 open parentheses 1, shown in blue, closed parentheses. The next line is y = -3. The last line is “ordered pair 1, -3”. The third substitution is for x = -2, with -2 shown in blue. The next line is y = -3 x. The next line is y = -3 open parentheses -2, shown in blue, closed parentheses. The next line is y = 6. The last line is “ordered pair -2, 6 “.

 

Lista los puntos en una tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = −3x
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 -3 (1, -3)
-2 6 (-2, 6)
 

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea como se muestra.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair -2, 6”, “ordered pair 0, 0”, and ordered pair 1, -3”. The line is labeled y = -3 x.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = −4x.

 
     
Respuesta
     
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 4, -4”.
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = x.

 
     
 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 4, 4”.

     
 
 
 

Cuando una ecuación incluye una fracción como el coeficiente de x, podemos sustituir x por cualquier número. Pero las matemáticas son más fáciles si hacemos elecciones «buenas» para los valores de x. De esta forma evitaremos respuestas fraccionarias, que son difíciles de graficar con precisión.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Representa gráficamente la ecuación y = ( dfrac {1} {2} ) x + 3.

 

Solución

 

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Como esta ecuación tiene la fracción ( dfrac {1} {2} ) como coeficiente de x, elegiremos los valores de x con cuidado. Usaremos cero como una opción y múltiplos de 2 para las otras opciones.

 

The figure shows three algebraic substitutions into an equation. The first substitution is for x = 0, with 0 shown in blue. The next line is y = 1 over 2 x + 3. The next line is y = 1 over 2 open parentheses 0, shown in blue, closed parentheses, + 3.  The next line is y = 3. The last line is “ordered pair 0, 3”. The second substitution is for x = 2, with 2 shown in blue. The next line is y = 1 over 2 x + 3. The next line is y = 1 over 2 open parentheses 2, shown in blue, closed parentheses, + 3.  The next line is y = 4. The last line is “ordered pair 2, 4”. The third substitution is for x = 4, with 4 shown in blue. The next line is y = 1 over 2 x + 3. The next line is y = 1 over 2 open parentheses 4, shown in blue, closed parentheses, + 3.  The next line is y = 5. The last line is “ordered pair 4, 5”.

 

Los puntos se muestran en la tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = ( dfrac {1} {2} ) x + 3
x y (x, y)
0 3 (0, 3)
2 4 (2, 4)
4 5 (4, 5)
 

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea como se muestra.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair 0, 3”, “ordered pair 2, 4”, and ordered pair 4, 5”. The line is labeled y = 1 over 2 x + 3.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: y = ( dfrac {1} {3} ) x – 1

 
     
 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 0, -1” and “ordered pair 3, 0”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: y = ( dfrac {1} {4} ) x + 2.

 
     
 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 0, 2” and “ordered pair -4, 1”.

     
 
 
 

Hasta ahora, todas las ecuaciones que graficamos habían dado y en términos de x. Ahora graficaremos una ecuación con x e y en el mismo lado.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Representa gráficamente la ecuación x + y = 5.

 

Solución

 

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Recuerde, puede comenzar con cualquier valor de x o y.

 

The figure shows three algebraic substitutions into an equation. The first substitution is for x = 0, with 0 shown in blue. The next line is x + y = 5. The next line is 0, shown in blue + y = 5. The next line is y = 5. The last line is “ordered pair 0, 5”. The second substitution is for x = 1, with 1 shown in blue. The next line is x + y = 5. The next line is 1, shown in blue + y = 5. The next line is y = 4. The last line is “ordered pair 1, 4”. The third substitution is for x = 4, with 4 shown in blue. The next line is x + y = 5. The next line is 4, shown in blue + y = 5. The next line is y = 1. The last line is “ordered pair 4, 1”.

 

Enumeramos los puntos en una tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
x + y = 5
x y (x, y)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)
4 1 (4, 1)
 

Luego dibuja los puntos, verifica que estén alineados y dibuja la línea.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair 0, 5”, “ordered pair 1, 4”, and ordered pair 4, 1”. The line is labeled x + y = 5.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: x + y = −2.

 
     
 
     
Respuesta
     
     

This answer graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12.  The equation x plus y equals -2 is  shown. A line passes through the intercepts with coordinates 0, –2 and -2, 0.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: x – y = 6.

 
     
 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 6, 0” and “ordered pair 0, -6”.

     
 
 
 

En el ejemplo anterior, los tres puntos que encontramos fueron fáciles de graficar. Pero este no es siempre el caso. Veamos qué sucede en la ecuación 2x ​​+ y = 3. Si y es 0, ¿cuál es el valor de x?

 

$$ begin {split} 2x + y & = 3 \ 2x + textcolor {red} {0} & = 3 \ 2x & = 3 \ x & = dfrac {3} {2} end {split} $$

 

La solución es el punto ( left ( dfrac {3} {2}, 0 right) ). Este punto tiene una fracción para la coordenada x. Si bien podríamos graficar este punto, es difícil ser fracciones gráficas precisas. Recuerde que en el ejemplo y = ( dfrac {1} {2} ) x + 3, elegimos cuidadosamente los valores para x para no graficar fracciones en absoluto. Si resolvemos la ecuación 2x ​​+ y = 3 para y, será más fácil encontrar tres soluciones para la ecuación.

 

$$ begin {split} 2x + y & = 3 \ y & = -2x + 3 end {split} $$

 

Ahora podemos elegir valores para x que darán coordenadas que son enteros. Se muestran las soluciones para x = 0, x = 1 yx = −1.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = −2x + 3
x y (x, y)
0 3 (0, 3)
1 1 (1, 1)
-1 5 (-1, 5)
 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair -1, 5”, “ordered pair 0, 3”, and ordered pair 1, 1”. The line is labeled 2 x + y = 3.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Representa gráficamente la ecuación 3x + y = −1.

 

Solución

 

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación.

 

Primero, resuelve la ecuación para y.

 

$$ begin {split} 3x + y & = −1 \ y & = −3x – 1 end {split} $$

 

Dejaremos que x sea 0, 1 y −1 para encontrar tres puntos. Los pares ordenados se muestran en la tabla. Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = −3x – 1
x y (x, y)
0 -1 (0, -1)
1 -4 (1, -4)
-1 2 (-1, 2)
 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through three labeled points, “ordered pair -1, 2”, “ordered pair 0, -1”, and ordered pair 1, -4”. The line is labeled 3 x + y = -1.

 

Si puede elegir cualquiera de los tres puntos para representar gráficamente una línea, ¿cómo sabrá si su gráfico coincide con el que se muestra en las respuestas del libro? Si los puntos donde las gráficas cruzan los ejes x e y son los mismos, las gráficas coinciden.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Representa gráficamente cada ecuación: 2x + y = 2.

 
     
 
     
Respuesta
     
     
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through three labeled points, “ordered pair -1, 4”, “ordered pair 0, 2”, and ordered pair 1, 0”.
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Representa gráficamente cada ecuación: 4x + y = −3.

 
     
 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair -2,  5” and “ordered pair 0, -3”.

     
 
 
 
 
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