John recibió una herencia de ($ 12,000 ) que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga (3 % ) intereses anuales; en bonos municipales que pagan (4 % ) intereses anuales; y en fondos mutuos que pagan (7 % ) intereses anuales. John invirtió ($ 4,000 ) más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó ($ 670 ) en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió John en cada tipo de fondo?
Comprender el enfoque correcto para configurar problemas como este hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. Resolveremos este y otros problemas similares que involucran tres ecuaciones y tres variables en esta sección. Al hacerlo, se utilizan técnicas similares a las utilizadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar soluciones a sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un toque de gimnasia visual.
Resolución de sistemas de tres ecuaciones en tres variables
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidas como sistemas de tres por tres, la herramienta principal que usaremos se llama eliminación gaussiana, llamada así por el prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Si bien no existe un orden definitivo en el que se realizarán las operaciones, existen pautas específicas sobre qué tipo de movimientos se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para realizar un seguimiento de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite una sustitución hacia atrás directa para encontrar una solución ((x, y, z) ) , que llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto:
[ begin {align *} Ax + By + Cz & = D nonumber \ [4pt] Ey + Fz & = G nonumber \ [4pt] Hz & = K nonumber end {align * } nonumber ]
La tercera ecuación puede resolverse para (z ), y luego sustituimos para encontrar (y ) y (x ). Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:
- Intercambie el orden de cualquiera de las dos ecuaciones.
- Multiplica ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
- Agregue un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.
La solución establecida en un sistema de tres por tres es un triple ordenado ({(x, y, z)} ). Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar tal intersección imaginando cualquier esquina en una habitación rectangular. Una esquina se define por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o techo). Cualquier punto donde se unen dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.
NÚMERO DE POSIBLES SOLUCIONES
La Figura ( PageIndex {2} ) y la Figura ( PageIndex {3} ) ilustran posibles escenarios de solución para sistemas de tres por tres.
- Los sistemas que tienen una única solución son aquellos que, después de la eliminación, dan como resultado un conjunto de soluciones que consiste en un triple ordenado ({(x, y, z)} ). Gráficamente, el triple ordenado define un punto que es la intersección de tres planos en el espacio.
- Los sistemas que tienen un número infinito de soluciones son aquellos que, después de la eliminación, dan como resultado una expresión que siempre es verdadera, como (0 = 0 ). Gráficamente, un número infinito de soluciones representa una línea o un plano coincidente que sirve como la intersección de tres planos en el espacio.
- Los sistemas que no tienen solución son aquellos que, después de la eliminación, resultan en una declaración que es una contradicción, como (3 = 0 ). Gráficamente, un sistema sin solución está representado por tres planos sin punto en común.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema
Determine si el triple ordenado ((3, −2,1) ) es una solución para el sistema.
[ begin {align *} x + y + z & = 2 nonumber \ [4pt] 6x − 4y + 5z & = 31 nonumber \ [4pt] 5x + 2y + 2z & = 13 nonumber end {align *} nonumber ]
Solución
Comprobaremos cada ecuación sustituyendo en los valores del triple ordenado por (x, y ) y (z ).
[ begin {array} {rrr} { text {} nonumber \ [4pt] x + y + z = 2 nonumber \ [4pt] (3) + (- 2) + (1 ) = 2 nonumber \ [4pt] text {True}} & {6x − 4y + 5z = 31 nonumber \ [4pt] 6 (3) −4 (−2) +5 (1) = 31 nonumber \ [4pt] 18 + 8 + 5 = 31 nonumber \ [4pt] text {True}} & {5x + 2y + 2z = 13 nonumber \ [4pt] 5 (3) +2 (- 2) +2 (1) = 13 nonumber \ [4pt] 15−4 + 2 = 13 nonumber \ [4pt] text {True}} end {array} ]
El triple ordenado ((3, −2,1) ) es de hecho una solución para el sistema.
Cómo: dado un sistema lineal de tres ecuaciones, resolver tres incógnitas
- Elija cualquier par de ecuaciones y resuelva para una variable.
- Elige otro par de ecuaciones y resuelve la misma variable.
- Has creado un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. Resuelva el sistema resultante de dos por dos.
- Vuelva a sustituir las variables conocidas en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva la variable que falta.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolviendo un sistema de tres ecuaciones en tres variables por eliminación
Encuentre una solución para el siguiente sistema:
[ begin {align} x − 2y + 3z = 9 ; & (1) nonumber \ [4pt] −x + 3y − z = −6 ; & (2) nonumber \ [4pt] 2x − 5y + 5z = 17 ; & (3) nonumber end {align} nonumber ]
Solución
Siempre habrá varias opciones en cuanto a dónde comenzar, pero el primer paso más obvio aquí es eliminar (x ) agregando las ecuaciones (1) y (2).
[ begin {align} x − 2y + 3z = 9 ; ; & (1) nonumber \ [4pt] underline {−x + 3y − z = −6} ; ; & (2) nonumber \ [4pt] y + 2z = 3 ; ; & (3) nonumber end {align} nonumber ]
El segundo paso es multiplicar la ecuación (1) por (- 2 ) y agregar el resultado a la ecuación (3). Estos dos pasos eliminarán la variable (x ).
[ begin {align} −2x + 4y − 6z = −18 ; & (1) ; ; ; ; text {multiplicado por} −2 nonumber \ [4pt] underline {2x − 5y + 5z = 17} ; & (3) nonumber \ [4pt] −y − z = −1 ; & (5) nonumber end {align} nonumber ]
En las ecuaciones (4) y (5), hemos creado un nuevo sistema de dos por dos. Podemos resolver (z ) sumando las dos ecuaciones.
[ begin {align} y + 2z = 3 ; & (4) nonumber \ [4pt] underline {−y − z = −1} ; & (5) nonumber \ [4pt] z = 2 ; & (6) nonumber end {align} nonumber ]
Al elegir una ecuación de cada nuevo sistema, obtenemos la forma triangular superior:
[ begin {align} x − 2y + 3z = 9 ; & (1) nonumber \ [4pt] y + 2z = 3 ; & (4) nonumber \ [4pt] z = 2 ; & (6) nonumber end {align} nonumber ]
A continuación, sustituimos (z = 2 ) en la ecuación (4) y resolvemos (y ).
[ begin {align} y + 2 (2) & = 3 nonumber \ [4pt] y + 4 & = 3 nonumber \ [4pt] y & = −1 nonumber end {align } nonumber ]
Finalmente, podemos sustituir (z = 2 ) y (y = −1 ) en la ecuación (1). Esto producirá la solución para (x ).
[ begin {align} x − 2 (−1) +3 (2) & = 9 nonumber \ [4pt] x + 2 + 6 & = 9 nonumber \ [4pt] x & = 1 nonumber end {align} nonumber ]
La solución es el triple ordenado ((1, −1,2) ). Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo un problema del mundo real usando un sistema de tres ecuaciones en tres variables
En el problema planteado al comienzo de la sección, John invirtió su herencia de ($ 12,000 ) en tres fondos diferentes: parte en un fondo del mercado monetario que paga (3 % ) intereses anualmente; parte en bonos municipales que pagan (4 % ) anualmente; y el resto en fondos mutuos que pagan (7 % ) anualmente. John invirtió ($ 4,000 ) más en fondos mutuos que lo que invirtió en bonos municipales. El interés total ganado en un año fue de ($ 670 ). ¿Cuánto invirtió en cada tipo de fondo?
Solución
Para resolver este problema, utilizamos toda la información dada y configuramos tres ecuaciones. Primero, asignamos una variable a cada uno de los tres montos de inversión:
[ begin {align} x & = text {monto invertido en el fondo del mercado monetario} nonumber \ [4pt] y & = text {monto invertido en bonos municipales} nonumber \ [4pt] z & = text {monto invertido en fondos mutuos} nonumber end {align} nonumber ]
La primera ecuación indica que la suma de los tres montos principales es ($ 12,000 ).
[x + y + z = 12,000 no número ]
Formamos la segunda ecuación de acuerdo con la información de que John invirtió ($ 4,000 ) más en fondos mutuos de lo que invirtió en bonos municipales.
[z = y + 4,000 nonumber ]
La tercera ecuación muestra que la cantidad total de intereses ganados de cada fondo es igual a ($ 670 ).
[0.03x + 0.04y + 0.07z = 670 nonumber ]
Luego, escribimos las tres ecuaciones como un sistema.
[ begin {align} x + y + z & = 12,000 nonumber \ [4pt] −y + z & = 4,000 nonumber \ [4pt] 0.03x + 0.04y + 0.07z & = 670 nonumber end {align} nonumber ]
Para simplificar los cálculos, podemos multiplicar la tercera ecuación por (100 ). Por lo tanto,
[ begin {align} x + y + z & = 12,000 ; & (1) nonumber \ [4pt] −y + z & = 4,000 ; & (2) nonumber \ [4pt] 3x + 4y + 7z & = 67,000 ; & (3) nonumber end {align} nonumber ]
Paso 1. Intercambie la ecuación (2) y la ecuación (3) para que las dos ecuaciones con tres variables se alineen.
[ begin {align} x + y + z & = 12,000 nonumber \ [4pt] 3x + 4y + 7z & = 67,000 nonumber \ [4pt] −y + z & = 4,000 nonumber end {align} nonumber ]
Paso 2. Multiplica la ecuación (1) por (- 3 ) y suma a la ecuación (2). Escriba el resultado como fila 2.
[ begin {align} x + y + z & = 12,000 nonumber \ [4pt] y + 4z & = 31,000 nonumber \ [4pt] −y + z & = 4,000 nonumber end { alinear} nonumber ]
Paso 3. Agregue la ecuación (2) a la ecuación (3) y escriba el resultado como ecuación (3).
[ begin {align} x + y + z & = 12,000 nonumber \ [4pt] y + 4z & = 31,000 nonumber \ [4pt] 5z & = 35,000 nonumber end {align} no número ]
Paso 4. Resuelve (z ) en la ecuación (3). Sustituya ese valor en la ecuación (2) y resuelva (y ). Luego, vuelva a sustituir los valores de (z ) y (y ) en la ecuación (1) y resuelva (x ).
[ begin {align} 5z & = 35,000 nonumber \ [4pt] z & = 7,000 nonumber \ [4pt] nonumber \ [4pt] y + 4 (7,000) & = 31,000 nonumber \ [4pt] y & = 3,000 nonumber \ [4pt] nonumber \ [4pt] x + 3,000 + 7,000 & = 12,000 nonumber \ [4pt] x & = 2,000 nonumber end {align} no número ]
John invirtió ($ 2,000 ) en un fondo del mercado monetario, ($ 3,000 ) en bonos municipales y ($ 7,000 ) en fondos mutuos.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve el sistema de ecuaciones en tres variables.
[ begin {align} 2x + y − 2z & = −1 nonumber \ [4pt] 3x − 3y − z & = 5 nonumber \ [4pt] x − 2y + 3z & = 6 nonumber end {align} nonumber ]
- Respuesta
-
((1, −1,1) )
Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables
Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrar un sistema inconsistente de ecuaciones en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones podrían representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en la misma ubicación. El proceso de eliminación dará como resultado una declaración falsa, como (3 = 7 ) o alguna otra contradicción.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones en tres variables
Resuelve el siguiente sistema.
[ begin {align} x − 3y + z & = 4 label {4.1} \ [4pt] −x + 2y − 5z & = 3 label {4.2} \ [4pt] 5x − 13y + 13z & = 8 label {4.3} end {align} nonumber ]
Solución
Al observar los coeficientes de (x ), podemos ver que podemos eliminar (x ) agregando la ecuación ref {4.1} a la ecuación ref {4.2}.
[ begin {align} x − 3y + z = 4 & (1) nonumber \ [4pt] underline {−x + 2y − 5z = 3} & (2) nonumber \ [4pt ] −y − 4z = 7 & (4) nonumber end {align} nonumber ]
Luego, multiplicamos la ecuación (1) por (- 5 ) y la sumamos a la ecuación (3).
[ begin {align} −5x + 15y − 5z = −20 & (1) ; ; ; ; ; text {multiplicado por} −5 nonumber \ [4pt] underline {5x − 13y + 13z = 8} & (3) nonumber \ [4pt] 2y + 8z = −12 & (5) nonumber end {align} nonumber ]
Luego, multiplicamos la ecuación (4) por 2 y la sumamos a la ecuación (5).
[ begin {align} −2y − 8z = 14 & (4) ; ; ; ; ; text {multiplicado por} 2 nonumber \ [4pt] underline {2y + 8z = −12} & (5) nonumber \ [4pt] 0 = 2 & nonumber end {align} nonumber ]
La ecuación final (0 = 2 ) es una contradicción, por lo que concluimos que el sistema de ecuaciones es inconsistente y, por lo tanto, no tiene solución.
Análisis
En este sistema, cada plano se cruza con los otros dos, pero no en la misma ubicación. Por lo tanto, el sistema es inconsistente.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve el sistema de tres ecuaciones en tres variables.
[ begin {align} x + y + z & = 2 nonumber \ [4pt] y − 3z & = 1 nonumber \ [4pt] 2x + y + 5z & = 0 nonumber end {alinear} nonumber ]
- Respuesta
-
Sin solución.
Expresando la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contienen tres variables
Sabemos por trabajar con sistemas de ecuaciones en dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo es cierto para los sistemas dependientes de ecuaciones en tres variables. Un número infinito de soluciones puede resultar de varias situaciones. Los tres planos podrían ser iguales, de modo que una solución a una ecuación será la solución a las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se cruzan en una línea, que tiene soluciones infinitas. O dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar la solución a un sistema dependiente de ecuaciones
Encuentra la solución al sistema dado de tres ecuaciones en tres variables.
[ begin {align} 2x + y − 3z & = 0 & (1) nonumber \ [4pt] 4x + 2y − 6z & = 0 & (2) nonumber \ [4pt] x− y + z & = 0 & (3) nonumber end {align} nonumber ]
Solución
Primero, podemos multiplicar la ecuación (1) por (- 2 ) y agregarla a la ecuación (2).
[ begin {align} −4x − 2y + 6z = 0 & (1) ; ; ; ; ; text {multiplicado por} −2 nonumber \ [4pt] underline {4x + 2y − 6z = 0} & (2) nonumber \ [4pt] 0 = 0 & nonumber end {align} nonumber ]
No necesitamos continuar. El resultado que obtenemos es una identidad, (0 = 0 ), que nos dice que este sistema tiene un número infinito de soluciones. Hay otras formas de comenzar a resolver este sistema, como multiplicar la ecuación (3) por (- 2 ) y agregarla a la ecuación (1). Luego realizamos los mismos pasos que arriba y encontramos el mismo resultado, (0 = 0 ).
Cuando un sistema es dependiente, podemos encontrar expresiones generales para las soluciones. Sumando las ecuaciones (1) y (3), tenemos
[ begin {align} 2x + y − 3z & = 0 nonumber \ [4pt] x − y + z & = 0 nonumber \ [4pt] 3x − 2z & = 0 nonumber end {alinear} nonumber ]
Luego resolvemos la ecuación resultante para (z ).
[ begin {align} 3x − 2z & = 0 nonumber \ [4pt] z & = dfrac {3} {2} x nonumber end {align} nonumber ]
Sustituimos la expresión (z ) en una de las ecuaciones y resolvemos (y ).
[ begin {align} 2x + y − 3 ( dfrac {3} {2} x) & = 0 nonumber \ [4pt] 2x + y− dfrac {9} {2} x & = 0 nonumber \ [4pt] y & = dfrac {9} {2} x − 2x nonumber \ [4pt] y & = dfrac {5} {2} x nonumber end {align} no número ]
Entonces, la solución general es ( left (x, dfrac {5} {2} x, dfrac {3} {2} x right) ). En esta solución, (x ) puede ser cualquier número real. Los valores de (y ) y (z ) dependen del valor seleccionado para (x ).
Análisis
Como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ), dos de los planos son iguales e intersectan el tercer plano en una línea. El conjunto de soluciones es infinito, ya que todos los puntos a lo largo de la línea de intersección satisfarán las tres ecuaciones.
Preguntas y respuestas: ¿La solución genérica de un sistema dependiente siempre debe escribirse en términos de (x )?
No, puede escribir la solución genérica en términos de cualquiera de las variables, pero es común escribirla en términos de (x ) y, si es necesario, (x ) y (y ).
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Resuelve el siguiente sistema.
[ begin {align} x + y + z & = 7 nonumber \ [4pt] 3x − 2y − z & = 4 nonumber \ [4pt] x + 6y + 5z & = 24 nonumber end {align} nonumber ]
- Respuesta
-
Número infinito de soluciones de la forma ((x, 4x − 11, −5x + 18) ).
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con sistemas de ecuaciones en tres variables.