Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
Grafica una elipse con el centro en el origen
La siguiente sección cónica que veremos es una elipse . Definimos una elipse como todos los puntos en un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos dados se denomina foco de la elipse.
Definición ( PageIndex {1} )
Una elipse son todos los puntos en un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se denomina foco de la elipse.
Podemos dibujar una elipse tomando una longitud fija de cuerda flexible y uniendo los extremos a dos chinchetas. Usamos un bolígrafo para tensar la cuerda y rotarla alrededor de las dos chinchetas. La cifra que resulta es una elipse.
Una línea dibujada a través de los focos cruza la elipse en dos puntos. Cada punto se denomina vértice de la elipse. El segmento que conecta los vértices se llama eje mayor . El punto medio del segmento se llama centro de la elipse. Un segmento perpendicular al eje mayor que pasa a través del centro e interseca la elipse en dos puntos se llama eje menor .
Mencionamos anteriormente que nuestro objetivo es conectar la geometría de una cónica con álgebra. Colocar la elipse en un sistema de coordenadas rectangular nos da esa oportunidad. En la figura, colocamos la elipse para que los focos (((- c, 0), (c, 0)) ) estén en el eje (x ) – y el centro sea el origen.
La definición establece que la suma de la distancia desde los focos a un punto ((x, y) ) es constante. Entonces (d_ {1} + d_ {2} ) es una constante que llamaremos (2a ) entonces, (d_ {1} + d_ {2} = 2 a ). Usaremos la fórmula de la distancia para llevarnos a una fórmula algebraica para una elipse.
(d_ {1} quad + quad quad d_ {2} quad = quad 2 a )
Usa la fórmula de la distancia para encontrar (d_ {1}, d_ {2} ).
( sqrt {(x – (- c)) ^ {2} + (y-0) ^ {2}} + sqrt {(xc) ^ {2} + (y-0) ^ { 2}} = 2 a )
Después de eliminar radicales y simplificar, obtenemos:
( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}} = 1 ) [19459001 ]
Para simplificar la ecuación de la elipse, dejamos que (a ^ {2} −c ^ {2} = b ^ {2} ). Entonces, la ecuación de una elipse centrada en el origen en forma estándar es :
( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Para graficar la elipse, será útil conocer las intersecciones. Encontraremos las intersecciones (x ) – e intercepciones (y ) usando la fórmula.
(y ) – intercepta
Sea (x = 0 ).
( begin {alineado} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ frac {0 ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} & = 1 \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2 }} & = 1 \ y ^ {2} & = b ^ {2} \ y & = pm b end {alineado} )
Las (y ) – intersecciones son ((0, b) ) y ((0, -b) ).
(x ) – intercepta
Sea (y = 0 ).
( begin {alineado} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {0 ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2 }} & = 1 \ x ^ {2} & = a ^ {2} \ x & = pm a end {alineado} )
Las (x ) – intersecciones son ((a, 0) ) y ((- a, 0) ).
Definición ( PageIndex {2} )
Forma estándar de la ecuación una elipse con centro ((0,0) )
La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((0, 0) ), es
( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Las (x ) – intersecciones son ((a, 0) ) y ((- a, 0) ).
Las (y ) – intersecciones son ((0, b) ) y ((0, −b) ).
Observe que cuando el eje mayor es horizontal, el valor de (a ) será mayor que el valor de (b ) y cuando el eje mayor es vertical, el valor de (b ) será mayor que el valor de (a ). Usaremos esta información para graficar una elipse que esté centrada en el origen.
Elipse con centro ((0,0) )
| ( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) | (a> b ) | (b> a ) |
|---|---|---|
| Eje mayor | en el eje (x ). | en el eje (y ) – |
| (x ) – intercepta | ((- a, 0), (a, 0) ) | |
| (y ) – intercepta | ((0, -b), (0, b) ) |
Tabla 11.3.1
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Gráfico: ( frac {x ^ {2}} {4} + frac {y ^ {2}} {9} = 1 ).
Solución :
| Paso 1 . Escribe la ecuación en forma estándar. | Está en forma estándar. | ( frac {x ^ {2}} {4} + frac {y ^ {2}} {9} = 1 ) |
| Paso 2 . Determine si el eje mayor es horizontal o vertical. | Dado que (9> 4 ) y (9 ) está en el término (y ^ {2} ), el eje mayor es vertical. | El eje mayor es vertical. |
| Paso 3 . Encuentre los puntos finales del eje mayor. |
Los puntos finales serán las intersecciones (y ). Desde (b ^ {2} = 9 ), entonces (b = pm 3 ). Los puntos finales del eje mayor son ((0,3), (0, -3) ). |
Los puntos finales del eje mayor son ((0,3), (0, -3) ). |
| Paso 4 . Encuentre los puntos finales del eje menor. | Los puntos finales serán las intersecciones (x ).
Desde (a ^ {2} = 4 ), entonces (a = pm 2 ). Los puntos finales del eje mayor son ((2,0), (- 2,0) ). |
Los puntos finales del eje mayor son ((2,0), (- 2,0) ). |
| Paso 5 . Dibuja la elipse. | .png?revision=1) |
Tabla 11.3.2
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Gráfico: ( frac {x ^ {2}} {4} + frac {y ^ {2}} {16} = 1 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.7
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Gráfico: ( frac {x ^ {2}} {9} + frac {y ^ {2}} {16} = 1 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.8
Resumimos los pasos para referencia.
CÓMO GRAFICAR UNA ELIPSE CON CENTRO ((0,0) ).
- Escribe la ecuación en forma estándar.
- Determine si el eje principal es horizontal o vertical.
- Encuentre los puntos finales del eje mayor.
- Encuentre los puntos finales del eje menor
- Dibuja la elipse.
A veces, nuestra ecuación primero tendrá que ponerse en forma estándar.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Gráfico (x ^ {2} +4 y ^ {2} = 16 ).
Solución :
| Reconocemos esto como la ecuación de una elipse ya que los términos (x ) e (y ) son cuadrados y tienen coeficientes diferentes. |
(x ^ {2} +4 y ^ {2} = 16 ) |
| Para obtener la ecuación en forma estándar, divida ambos lados entre (16 ) para que la ecuación sea igual a (1 ). |
( frac {x ^ {2}} {16} + frac {4 y ^ {2}} {16} = frac {16} {16} ) |
| Simplificar. | ( frac {x ^ {2}} {16} + frac {y ^ {2}} {4} = 1 ) |
| La ecuación está en forma estándar. La elipse se centra en el origen. |
El centro es ((0,0) ). |
| Dado que (16> 4 ) y (16 ) están en el término (x ^ {2} ), el eje mayor es horizontal. |
|
| (a ^ {2} = 16, a = pm 4 ) (b ^ {2} = 4, quad b = pm 2 ) |
Los vértices son ((4,0), (- 4,0) ). Los puntos finales del eje menor son ((0,2), (0, −2) ). |
| Dibuja la parábola. |  |
Tabla 11.3.3
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Gráfico (9 x ^ {2} +16 y ^ {2} = 144 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.10
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Gráfico (16 x ^ {2} +25 y ^ {2} = 400 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.11
Encuentre la ecuación de una elipse con centro en el origen
Si se nos da la gráfica de una elipse , podemos encontrar la ecuación de la elipse.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Encuentre la ecuación de la elipse que se muestra.
Solución :
Reconocemos esto como una elipse centrada en el origen.
( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Dado que el eje mayor es horizontal y la distancia desde el centro al vértice es (4 ), sabemos (a = 4 ) y entonces (a ^ {2} = 16 ).
( frac {x ^ {2}} {16} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
El eje menor es vertical y la distancia desde el centro a la elipse es (3 ), sabemos (b = 3 ) y entonces (b ^ {2} = 9 ).
( frac {x ^ {2}} {16} + frac {y ^ {2}} {9} = 1 )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentre la ecuación de la elipse que se muestra.
- Respuesta
-
( frac {x ^ {2}} {4} + frac {y ^ {2}} {25} = 1 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Encuentre la ecuación de la elipse que se muestra.
- Respuesta
-
( frac {x ^ {2}} {9} + frac {y ^ {2}} {4} = 1 )
Graficar una elipse con centro no en el origen
Las elipses que hemos visto hasta ahora se han centrado en el origen. Ahora veremos elipses cuyo centro es ((h, k) ).
La ecuación es ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) y cuando (a> b ), el eje mayor es horizontal, por lo que la distancia desde el centro al vértice es (a ). Cuando (b> a ), el eje mayor es vertical, por lo que la distancia desde el centro al vértice es (b ).
Definición ( PageIndex {3} )
Forma estándar de la ecuación una elipse con centro ((h, k) )
La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((h, k) ), es
( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Cuando (a> b ), el eje mayor es horizontal, por lo que la distancia desde el centro al vértice es (a ).
Cuando (b> a ), el eje mayor es vertical, por lo que la distancia desde el centro al vértice es (b ) .
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Gráfico: ( frac {(x-3) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {4} = 1 ).
Solución :
| La ecuación está en forma estándar, ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ). | ( frac {(x-3) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {4} = 1 ) |
| La elipse se centra en ((h, k) ). | El centro es ((3,1) ). |
| Dado que (9> 4 ) y (9 ) está en el término (x ^ {2} ), el eje mayor es horizontal. | |
| (a ^ {2} = 9, a = pm 3 ) (b ^ {2} = 4, b = pm 2 ) |
La distancia desde el centro a los vértices es (3 ). La distancia desde el centro a los puntos finales del eje menor es (2 ). |
| Dibuja la elipse. |  |
Tabla 11.3.4
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Gráfico: ( frac {(x + 3) ^ {2}} {4} + frac {(y-5) ^ {2}} {16} = 1 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.16
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Gráfico: ( frac {(x-1) ^ {2}} {25} + frac {(y + 3) ^ {2}} {16} = 1 ).
- Respuesta
-
Figura 11.3.17
Si observamos las ecuaciones de ( frac {x ^ {2}} {9} + frac {y ^ {2}} {4} = 1 ) y ( frac {(x- 3) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {4} = 1 ), vemos que ambas son elipses con (a = 3 ) y ( b = 2 ). Entonces tendrán el mismo tamaño y forma. Son diferentes en que no tienen el mismo centro.
Observe en el gráfico anterior que podríamos haber graficado ( frac {(x-3) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {4} = 1 ) por traducciones. Movimos la elipse original hacia la derecha (3 ) unidades y luego hacia arriba (1 ) unidad.
En el siguiente ejemplo usaremos el método de traducción para graficar la elipse.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Gráfico ( frac {(x + 4) ^ {2}} {16} + frac {(y-6) ^ {2}} {9} = 1 ) por traducción.
Solución :
Esta elipse tendrá el mismo tamaño y forma que ( frac {x ^ {2}} {16} + frac {y ^ {2}} {9} = 1 ) cuyo centro es (( 0,0) ). Graficamos esta elipse primero.
| El centro es ((0,0) ). | Centro ((0,0) ) |
| Desde (16> 9 ), el eje mayor es horizontal. | |
| (a ^ {2} = 16, a = pm 4 ) (b ^ {2} = 9, quad b = pm 3 ) |
Los vértices son ((4,0), (- 4,0) ). Los puntos finales del eje menor son ((0,3), (0, −3) ). |
| Dibuja la elipse. |  |
| La ecuación original está en forma estándar, ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ). | ( frac {(x – (- 4)) ^ {2}} {16} + frac {(y-6) ^ {2}} {9} = 1 ) |
| La elipse se centra en ((h, k) ). | El centro es ((- 4,6) ). |
| Traducimos la gráfica de ( frac {x ^ {2}} {16} + frac {y ^ {2}} {9} = 1 ) cuatro unidades a la izquierda y luego hacia arriba (6 ) unidades. Verifique que el centro sea ((- 4,6) ). La nueva elipse es la elipse cuya ecuación es ( frac {(x + 4) ^ {2}} {16} + frac {(y-6) ^ {2}} {9} = 1 ). |
 |
Tabla 11.3.5
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Gráfico ( frac {(x-5) ^ {2}} {9} + frac {(y + 4) ^ {2}} {4} = 1 ) por traducción.
- Respuesta
-
Figura 11.3.22
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Gráfico ( frac {(x + 6) ^ {2}} {16} + frac {(y + 2) ^ {2}} {25} = 1 ) por traducción.
- Respuesta
-
Figura 11.3.23
Cuando una ecuación tiene tanto (x ^ {2} ) como a (y ^ {2} ) con diferentes coeficientes, verificamos que es una elipsis poniéndola en forma estándar. Entonces podremos graficar la ecuación.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Escribe la ecuación (x ^ {2} +4 y ^ {2} -4 x + 24 y + 24 = 0 ) en forma estándar y gráfica.
Solución :
Ponemos la ecuación en forma estándar completando los cuadrados tanto en (x ) como en (y ).
Tabla 11.3.6
Ejercicio ( PageIndex {11} )
- Escribe la ecuación (6 x ^ {2} +4 y ^ {2} +12 x-32 y + 34 = 0 ) en forma estándar y
- Gráfico.
- Respuesta
-
- ( frac {(x + 1) ^ {2}} {6} + frac {(y-4) ^ {2}} {9} = 1 )
Figura 11.3.32
Ejercicio ( PageIndex {12} )
- Escribe la ecuación (4 x ^ {2} + y ^ {2} -16 x-6 y + 9 = 0 ) en forma estándar y
- Gráfico.
- Respuesta
-
- ( frac {(x-2) ^ {2}} {4} + frac {(y-3) ^ {2}} {16} = 1 )
Figura 11.3.33
Resolver aplicación con elipses
Las órbitas de los planetas alrededor del sol siguen caminos elípticos.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Plutón (un planeta enano) se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Lo más cercano que Plutón llega al Sol es aproximadamente (30 ) unidades astronómicas (AU) y lo más lejos es aproximadamente (50 ) AU. El Sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura a continuación. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica de Plutón.
Solución :
Reconocemos esto como una elipse centrada en el origen.
( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Dado que el eje mayor es horizontal y la distancia desde el centro al vértice es (40 ), sabemos (a = 40 ) y entonces (a ^ {2} = 1600 ).
( frac {x ^ {2}} {1600} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
El eje menor es vertical pero no se dan los puntos finales. Para encontrar (b ) usaremos la ubicación del Sol. Dado que el Sol es un foco de la elipse en el punto ((10,0) ), sabemos (c = 10 ). Use esto para resolver (b ^ {2} ).
(b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2} )
(b ^ {2} = 40 ^ {2} -10 ^ {2} ) [19459073 ] (b ^ {2} = 1600-100 )
(b ^ {2} = 1500 )
Sustituye (a ^ {2} ) y (b ^ {2} ) en la forma estándar de la elipse.
( frac {x ^ {2}} {1600} + frac {y ^ {2}} {1500} = 1 )
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Un planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor de su sol. Lo más cerca que el planeta se acerca al sol es aproximadamente (20 ) AU y lo más lejos es aproximadamente (30 ) AU. El sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura a continuación. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica del planeta.
- Respuesta
-
( frac {x ^ {2}} {625} + frac {y ^ {2}} {600} = 1 )
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Un planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor de su sol. Lo más cerca que el planeta se acerca al sol es aproximadamente (20 ) AU y lo más lejos es aproximadamente (50 ) AU. El sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura a continuación. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica del planeta.
- Respuesta
-
( frac {x ^ {2}} {1225} + frac {y ^ {2}} {1000} = 1 )
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con puntos suspensivos.