11.4: Representación gráfica de ecuaciones lineales (Parte 2)

11.4: Representación gráfica de ecuaciones lineales (Parte 2)

Graficar líneas verticales y horizontales

 

¿Podemos graficar una ecuación con una sola variable? ¿Solo x y no y, o solo y sin una x? ¿Cómo haremos una tabla de valores para obtener los puntos para trazar?

 

Consideremos la ecuación x = −3. La ecuación dice que x es siempre igual a −3, por lo que su valor no depende de y. No importa qué es y, el valor de x es siempre −3.

 

Para hacer una tabla de soluciones, escribimos −3 para todos los valores de x. Luego elija cualquier valor para y. Como x no depende de y, puede elegir los números que desee. Pero para ajustar el tamaño de nuestro gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para las coordenadas y como se muestra en la tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
x = -3
x y (x, y)
-3 1 (-3, 1)
-3 2 (-3, 2)
-3 3 (-3, 3)
 

Luego dibuja los puntos y conéctalos con una línea recta. Observe en la Figura ( PageIndex {5} ) que el gráfico es una línea vertical .

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A vertical line passes through three labeled points, “ordered pair -3, 3”, “ordered pair -3, 2”, and ordered pair -3, 1”. The line is labeled x = -3.

 

Figura ( PageIndex {5} )

 
 

Definición: línea vertical

 

Una línea vertical es el gráfico de una ecuación que se puede escribir en la forma x = a. La línea pasa a través del eje x en (a, 0).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Representa gráficamente la ecuación x = 2. ¿Qué tipo de línea forma?

 

Solución

 

La ecuación solo tiene una variable, x, y x siempre es igual a 2. Hacemos una tabla donde x siempre es 2 y ponemos cualquier valor para y.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
x = -3
x y (x, y)
2 1 (2, 1)
2 2 (2, 2)
2 3 (2, 3)
 

Trace los puntos y conéctelos como se muestra.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A vertical line passes through three labeled points, “ordered pair 2, 3”, “ordered pair 2, 2”, and ordered pair 2, 1”. The line is labeled x = 2.

 

El gráfico es una línea vertical que pasa por el eje x en 2.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: x = 5.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A vertical line passes through the points “ordered pair 5,  0” and “ordered pair 5, 1”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: x = −2.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A vertical line passes through the points “ordered pair -2, 0” and “ordered pair -2, 1”.

     
 
 
 

¿Qué pasa si la ecuación tiene y pero no x? Grafiquemos la ecuación y = 4. Esta vez el valor y es una constante, por lo que en esta ecuación y no depende de x.

 

Para hacer una tabla de soluciones, escriba 4 para todos los valores de y y luego elija cualquier valor para x.

 

Usaremos 0, 2 y 4 para los valores x.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
x = -3
x y (x, y)
0 4 (0, 4)
2 4 (2, 4)
4 4 (4, 4)
 

Trace los puntos y conéctelos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ). Este gráfico es una línea horizontal que pasa por el eje y en 4.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A horizontal  line passes through three labeled points, “ordered pair 0, 4”, “ordered pair 2, 4”, and ordered pair 4, 4”. The line is labeled y = 4.

 

Figura ( PageIndex {6} )

 
 

Definición: Línea horizontal

 

Una línea horizontal es el gráfico de una ecuación que se puede escribir en la forma y = b. La línea pasa a través del eje y en (0, b).

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Representa gráficamente la ecuación y = −1.

 

Solución

 

La ecuación y = −1 solo tiene una variable, y. El valor de y es constante. Todos los pares ordenados en la tabla tienen la misma coordenada y, -1. Elegimos 0, 3 y −3 como valores para x.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
x = -3
x y (x, y)
-3 -1 (-3, -1)
0 -1 (0, -1)
3 -1 (3, -1)
 

El gráfico es una línea horizontal que pasa por el eje y en –1 como se muestra.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A horizontal  line passes through three labeled points, “ordered pair -3, -1”, “ordered pair 0, -1”, and ordered pair 3, -1”. The line is labeled y = -1.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: y = −4.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A horizontal  line passes through the points “ordered pair 0,  -4” and “ordered pair 1, -4”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Representa gráficamente la ecuación: y = 3.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A horizontal  line passes through the points “ordered pair 0,  3” and “ordered pair 1, 3”.

     
 
 
 

Las ecuaciones para líneas verticales y horizontales se parecen mucho a ecuaciones como y = 4x. ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones y = 4x e y = 4?

 

La ecuación y = 4x tiene tanto x como y. El valor de y depende del valor de x. La coordenada y cambia de acuerdo con el valor de x.

 

La ecuación y = 4 tiene solo una variable. El valor de y es constante. La coordenada y es siempre 4. No depende del valor de x.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = 4x
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 4 (1, 4)
2 8 (2, 8)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
( textcolor {rojo} {y = 4} )
x y (x, y)
0 4 (0, 4)
1 4 (1, 4)
2 4 (2, 4)
 

El gráfico muestra ambas ecuaciones.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A horizontal line passes through “ordered pair 0, 4” and “ordered pair 1, 4” and is labeled y = 4. A second line passes through “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, 4” and is labeled y = 4 x. The two lines intersect at “ordered pair 1, 4”.

 

Observe que la ecuación y = 4x da una línea inclinada, mientras que y = 4 da una línea horizontal.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Representa gráficamente y = −3x e y = −3 en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 

Solución

 

Encuentra tres soluciones para cada ecuación. Observe que la primera ecuación tiene la variable x, mientras que la segunda no. Se enumeran las soluciones para ambas ecuaciones.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
( textcolor {rojo} {y = -3x} )
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 -3 (1, -3)
2 -6 (2, -6)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = -3
x y (x, y)
0 -3 (0, -3)
1 -3 (1, -3)
2 -3 (2, -3)
 

El gráfico muestra ambas ecuaciones.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A horizontal line passes through “ordered pair 0, -3” and “ordered pair 1, -3” and is labeled y = -3. A second line passes through “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, -3” and is labeled y = -3 x. The two lines intersect at “ordered pair 1, -3”.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Representa gráficamente las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: y = −4x e y = −4.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A horizontal line passes through “ordered pair 0, -4” and “ordered pair 1, -4” . A second line passes through “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, -4” . The two lines intersect at “ordered pair 1, -4”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Representa gráficamente las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: y = 3 e y = 3x.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12. A horizontal line passes through “ordered pair 0, 3” and “ordered pair 1, 3” . A second line passes through “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, 3” . The two lines intersect at “ordered pair 1, 3”.

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Reconocer la relación entre las soluciones de una ecuación y su gráfico

 

Para cada par ordenado, decida (a) ¿es el par ordenado una solución a la ecuación? (b) ¿está el punto en la línea?

 
         
  1. y = x + 2      
               
    1. (0, 2)
    2.          
    3. (1, 2)
    4.          
    5. (- 1, 1)
    6.          
    7. (- 3, 1)
    8.      
         
  2.      
  3. y = x – 4      
               
    1. (0, – 4)
    2.          
    3. (3, – 1)
    4.          
    5. (2, 2)
    6.          
    7. (1, – 5)
    8.      
         
  4.      
  5. y = ( dfrac {1} {2} ) x – 3      
               
    1. (0, – 3)
    2.          
    3. (2, – 2)
    4.          
    5. (- 2, – 4)
    6.          
    7. (4, 1)
    8.      
         
  6.      
  7. y = ( dfrac {1} {3} ) x + 2      
               
    1. (0, 2)
    2.          
    3. (3, 3)
    4.          
    5. (- 3, 2)
    6.          
    7. (- 6, 0)
    8.      
         
  8.  
 

Graficar una ecuación lineal por puntos de trazado

 

En los siguientes ejercicios, grafica por puntos de trazado.

 
         
  1. y = 3x – 1
  2.      
  3. y = 2x + 3
  4.      
  5. y = −2x + 2
  6.      
  7. y = −3x + 1
  8.      
  9. y = x + 2
  10.      
  11. y = x – 3
  12.      
  13. y = – x – 3
  14.      
  15. y = – x – 2
  16.      
  17. y = 2x
  18.      
  19. y = 3x
  20.      
  21. y = −4x
  22.      
  23. y = −2x
  24.      
  25. y = ( dfrac {1} {2} ) x + 2
  26.      
  27. y = ( dfrac {1} {3} ) x – 1
  28.      
  29. y = ( dfrac {4} {3} ) x – 5
  30.      
  31. y = ( dfrac {3} {2} ) x – 3
  32.      
  33. y = (- dfrac {2} {5} ) x + 1
  34.      
  35. y = (- dfrac {4} {5} ) x – 1
  36.      
  37. y = (- dfrac {3} {2} ) x + 2
  38.      
  39. y = (- dfrac {5} {3} ) x + 4
  40.      
  41. x + y = 6
  42.      
  43. x + y = 4
  44.      
  45. x + y = −3
  46.      
  47. x + y = −2
  48.      
  49. x – y = 2
  50.      
  51. x – y = 1
  52.      
  53. x – y = −1
  54.      
  55. x – y = −3
  56.      
  57. −x + y = 4
  58.      
  59. −x + y = 3
  60.      
  61. −x – y = 5
  62.      
  63. −x – y = 1
  64.      
  65. 3x + y = 7
  66.      
  67. 5x + y = 6
  68.      
  69. 2x + y = −3
  70.      
  71. 4x + y = −5
  72.      
  73. 2x + 3y = 12
  74.      
  75. 3x – 4y = 12
  76.      
  77. ( dfrac {1} {3} ) x + y = 2
  78.      
  79. ( dfrac {1} {2} ) x + y = 3
  80.  
 

Graficar líneas verticales y horizontales

 

En los siguientes ejercicios, grafica las líneas verticales y horizontales.

 
         
  1. x = 4
  2.      
  3. x = 3
  4.      
  5. x = −2
  6.      
  7. x = −5
  8.      
  9. y = 3
  10.      
  11. y = 1
  12.      
  13. y = −5
  14.      
  15. y = −2
  16.      
  17. x = ( dfrac {7} {3} )
  18.      
  19. x = ( dfrac {5} {4} )
  20.  
 

En los siguientes ejercicios, grafica cada par de ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 
         
  1. y = (- dfrac {1} {2} ) x e y = (- dfrac {1} {2} )
  2.      
  3. y = (- dfrac {1} {3} ) x e y = (- dfrac {1} {3} )
  4.      
  5. y = 2x e y = 2
  6.      
  7. y = 5x e y = 5
  8.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

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(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para confiar en todos los objetivos?

 
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