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las matematicas

11.5: Graficando con intersecciones (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Identificar las intersecciones en un gráfico
  •      
  • Encuentra las intersecciones de una ecuación de una línea
  •      
  • Graficar una línea usando las intersecciones
  •      
  • Elija el método más conveniente para graficar una línea
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Resuelva: 3x + 4y = −12 para x cuando y = 0. Si omitió este problema, repase Ejemplo 9.11.6 .
  2.      
  3. ¿Está el punto (0, −5) en el eje x o el eje y? Si omitió este problema, revise Ejemplo 11.1.5 .
  4.      
  5. ¿Qué pares ordenados son soluciones para la ecuación 2x ​​- y = 6? (a) (6, 0) (b) (0, −6) (c) (4, −2). Si omitió este problema, revise Ejemplo 11.2.8 .
  6.  
 
 
 

Identificar las intersecciones en un gráfico

 

Cada ecuación lineal tiene una línea única que representa todas las soluciones de la ecuación. Al graficar una línea trazando puntos, cada persona que grafica la línea puede elegir tres puntos, por lo que dos personas que grafican la línea pueden usar diferentes conjuntos de puntos.

 

A primera vista, sus dos líneas pueden parecer diferentes ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se realizó correctamente, las líneas serán exactamente la misma línea. Una forma de reconocer que en realidad son la misma línea es centrarse en dónde cruza la línea los ejes. Cada uno de estos puntos se denomina intercepción de la línea .

 
 

Definición: Intercepciones de una línea

 

Cada uno de los puntos en los que una línea cruza el eje xy el eje y se llama intercepción de la línea.

 
 

Veamos el gráfico de las líneas que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through two labeled points, “ordered pair 0, 6” and ordered pair 3, 0”.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el eje x:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {1} )
Figura: La línea cruza el eje x en: Par ordenado de este punto
Figura ( PageIndex {1a} ) 3 (3,0)
Figura ( PageIndex {1b} ) 4 (4,0)
Figura ( PageIndex {1c} ) 5 (5,0)
Figura ( PageIndex {1d} ) 0 (0,0)
 

¿Ves un patrón?

 

Para cada fila, la coordenada y del punto donde la línea cruza el eje x es cero. El punto donde la línea cruza el eje x tiene la forma (a, 0); y se llama intercepción x de la línea. La intersección x ocurre cuando y es cero.

 

Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el eje y.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {2} )
Figura: La línea cruza el eje x en: Par ordenado de este punto
Figura ( PageIndex {1a} ) 6 (0, 6)
Figura ( PageIndex {1b} ) -3 (0, -3)
Figura ( PageIndex {1c} ) -5 (0, -5)
Figura ( PageIndex {1d} ) 0 (0, 0)
 
 

Definición: intersección x e intersección y de una línea

 

La intersección con el eje x es el punto, (a, 0), donde la gráfica cruza el eje x.

 

La intersección con el eje x ocurre cuando y es cero.

 

La intersección en y es el punto, (0, b), donde la gráfica cruza el eje y.

 

La intersección y ocurre cuando x es cero.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentre las intersecciones x e y de cada línea:

 

(a) x + 2y = 4

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, 2” and “ordered pair 4, 0”.

 

(b) 3x – y = 6

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, -6” and “ordered pair 2, 0”.

 

(c) x + y = -5

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, -5” and “ordered pair -5, 0”.

 

Solución

 

(a)

                                                                                                              
La gráfica cruza el eje x en el punto (4, 0). La intersección con el eje x es (4, 0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, 2). La intersección con el eje x es (0, 2).
 

(b)

                                                                                                              
La gráfica cruza el eje x en el punto (2, 0). La intersección con el eje x es (2, 0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, -6). La intersección con el eje x es (0, -6).
 

(c)

                                                                                                              
El gráfico cruza el eje x en el punto (-5, 0). La intersección con el eje x es (-5, 0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, -5). La intersección con el eje x es (0, -5).
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1A} )

 

Encuentre las intersecciones x e y de la gráfica: x – y = 2.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, 2” and “ordered pair 2, 0”.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (2,0); intersección en y (0, -2)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1B} )

 

Encuentre las intersecciones x e y de la gráfica: 2x + 3y = 6.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, 2” and “ordered pair 3, 0”.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (3,0); intersección en y (0,2)

     
 
 
 
 

Encuentra las intersecciones de una ecuación de una línea

 

Reconociendo que la intersección x ocurre cuando y es cero y que la intersección y ocurre cuando x es cero, nos da un método para encontrar las intersecciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la intersección x, deje y = 0 y resuelva para x. Para encontrar la intersección en y, dejemos que x = 0 y resuelva para y.

 
 

Definición: Encuentra las xey de la ecuación de una línea

 

Usa la ecuación para encontrar:

 
         
  • la intersección con el eje x de la línea, deje y = 0 y resuelva para x.
  •      
  • la intersección en y de la línea, sea x = 0 y resuelva para y
  •  
                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {3} )
x y
0
0
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra las intersecciones de 2x + y = 6

 

Solución

 

Completaremos la Figura ( PageIndex {2} ).

 

...

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Para encontrar la intersección x, deje y = 0:

                                                                                                                                                              
Sustituye 0 por y. (2x + textcolor {rojo} {0} = 6 )
Agregar. 2x = 6
Dividir por 2. x = 3
 

La intersección con el eje x es (3, 0).

 

Para encontrar la intersección en y, dejemos que x = 0:

                                                                                                                                                              
Sustituye x por x. (2 cdot textcolor {rojo} {0} + y = 6 )
Multiplica. 0 + y = 6
Agregar. y = 6
 

La intersección en y es (0, 6).

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Las intersecciones son los puntos (3, 0) y (0, 6).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2A} )

 

Encuentra las intersecciones: 3x + y = 12.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (4,0); intersección en y (0,12)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2B} )

 

Encuentra las intersecciones: x + 4y = 8.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (8,0); intersección en y (0,2)

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre las intersecciones de 4x − 3y = 12.

 

Solución

 

Para encontrar la intersección con el eje x, deje y = 0.

                                                                                                                                                                                                              
Sustituye 0 por y. 4x – 3 • 0 = 12
Multiplica. 4x – 0 = 12
Restar. 4x = 12
Dividir entre 4. x = 3
 

La intersección en y es (0, −4). Las intersecciones son los puntos (−3, 0) y (0, −4).

                                                                                                                                                                                                             
4x – 3y = 12
x y
3 0
0 -4
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3A} )

 

Encuentra las intersecciones de la línea: 3x − 4y = 12.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (4,0); intersección en y (0, -3)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3B} )

 

Encuentre las intersecciones de la línea: 2x − 4y = 8.

 
     
Respuesta
     
     

intersección en x (4,0); intersección en y (0, -2)

     
 
 
 
 

Graficar una línea usando las intersecciones

 

Para graficar una ecuación lineal al trazar puntos, puedes usar las intersecciones como dos de tus tres puntos. Encuentre las dos intersecciones, y luego un tercer punto para asegurar la precisión, y dibuje la línea. Este método es a menudo la forma más rápida de graficar una línea.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Gráfico −x + 2y = 6 usando intersecciones.

 

Solución

 

Primero, encuentra la intersección con el eje x. Deje y = 0,

 

$$ begin {split} -x + 2y & = 6 \ -x + 2 (0) & = 6 \ -x & = 6 \ x & = -6 end {split} $$

 

La intersección con el eje x es (–6, 0).

 

Ahora encuentra la intersección en y. Deje x = 0.

 

$$ begin {split} -x + 2y & = 6 \ -0 + 2y & = 6 \ 2y & = 6 \ y & = 3 end {split} $$

 

La intersección en y es (0, 3).

 

Encuentra un tercer punto. Usaremos x = 2,

 

$$ begin {split} -x + 2y & = 6 \ -2 + 2y & = 6 \ 2y & = 8 \ y & = 4 end {split} $$

 

Una tercera solución a la ecuación es (2, 4).

 

Resuma los tres puntos en una tabla y luego grábelos en un gráfico.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
-x + 2y = 6
x y (x, y)
-6 0 (−6, 0)
0 3 (0, 3)
2 4 (2, 4)
 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -10 to 10. Three labeled points are shown at “ordered pair -6, 0”, “ordered pair 0, 3” and “ordered pair 2, 4”.

 

¿Se alinean los puntos? Sí, así que dibuja una línea a través de los puntos.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -10 to 10. Three labeled points are shown at “ordered pair -6, 0”, “ordered pair 0, 3” and “ordered pair 2, 4”.  A line passes through the three labeled points.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4A} )

 

Representa gráficamente la línea usando las intersecciones: x − 2y = 4.

 
     
Respuesta
     
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12.  A line passes through the points “ordered pair 0, -2” and “ordered pair 4, 0”.
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4B} )

 

Representa gráficamente la línea usando las intersecciones: −x + 3y = 6.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12.  A line passes through the points “ordered pair 0, 2” and “ordered pair -6, 0”.

     
 
 
 
 
 

CÓMO: GRAFICAR UNA LÍNEA CON LOS INTERCEPTOS

 

Paso 1. Encuentra las intersecciones x – e y de la línea.

 
         
  • Sea y = 0 y resuelva para x.
  •      
  • Sea x = 0 y resuelva para y.
  •  
 

Paso 2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.

 

Paso 3. Traza los tres puntos y luego verifica que estén alineados.

 

Paso 4. Dibuja la línea.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Gráfico 4x − 3y = 12 usando intersecciones.

 

Solución

 

Encuentra las intersecciones y un tercer punto.

                                                              
$$ begin {split} x-intercept, ; &dejar; y = 0 \ 4x – 3y & = 12 \ 4x – 3 ( textcolor {red} {0}) & = 12 \ 4x & = 12 \ x & = 3 end {split} $$ [19459041 ]               $$ begin {split} y-intercept, ; &dejar; x = 0 \ 4x – 3y & = 12 \ 4 ( textcolor {red} {0}) – 3y & = 12 \ 4x – 3 ( textcolor {red} {4}) & = 12 \ – 3y & = 12 \ y & = -4 end {split} $$ $$ begin {split} third ; punto,; &dejar; y = 4 \ 4x – 3y & = 12 \ 4x – 12 & = 12 \ 4x & = 24 \ x & = 6 end {split} $$
 

Enumeramos los puntos y mostramos el gráfico.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
4x – 3y = 12
x y (x. Y)
3 0 (3, 0)
0 -4 (0, −4)
6 4 (6, 4)
 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -7 to 7. Three unlabeled points are drawn at  “ordered pair 0, -4”, “ordered pair 3, 0” and “ordered pair  6, 4”.  A line passes through the points.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5A} )

 

Representa gráficamente la línea usando las intersecciones: 5x − 2y = 10.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7.  A line passes through the points “ordered pair 0, -5” and “ordered pair 2, 0”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5B} )

 

Representa gráficamente la línea usando las intersecciones: 3x − 4y = 12.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -7 to 7.  A line passes through the points “ordered pair 0, -3” and “ordered pair 4, 0”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Grafica (y = 5x ) usando las intersecciones.

 

Solución

                                                              
$$ begin {split} x-intercept; ; &Dejar; y = 0 ldotp \ y & = 5x \ textcolor {red} {0} & = 5x \ 0 & = x \ x & = 0 \ The ; X-intersección; &es; (0, 0) ldotp end {split} $$ $$ begin {split} y-intercept; ; &Dejar; x = 0 ldotp \ y & = 5x \ y & = 5 ( textcolor {red} {0}) \ y & = 0 \ The ; intersección en y ; &es; (0, 0) ldotp end {split} $$
 

¡Esta línea tiene solo una intersección! Es el punto (0, 0).

 

Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Como las intersecciones son el mismo punto, necesitamos dos puntos más para graficar la línea. Como siempre, podemos elegir cualquier valor para x, por lo que dejaremos que x sea 1 y −1.

                                                              
$$ begin {split} x & = 1 \ y & = 5x \ y & = 5 ( textcolor {red} {1}) \ y & = 5 \ (1, & -5 ) end {split} $$ $$ begin {split} x & = -1 \ y & = 5x \ y & = 5 ( textcolor {red} {- 1}) \ y & = -5 \ (-1 , & -5) end {split} $$
 

Organiza los puntos en una tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
y = 5x
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 5 (1, 5)
-1 -5 (−1, −5)
 

Trace los tres puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -10 to 10.  A line passes through three labeled points, “ordered pair -1, -5”, “ordered pair 0, 0”, and ordered pair 1, 5”.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6A} )

 

Grafica usando las intersecciones: (y = 3x ).

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12.  A line passes through the points “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, 3”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6B} )

 

Graficar usando las intersecciones: (y = – x ).

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axis each run from -12 to 12.  A line passes through the points “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 1, -1”.

     
 
 
 
 
                                  
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