Graficar una hipérbola con centro en ((0,0) )

La última sección cónica que veremos se llama una hipérbola . Veremos que la ecuación de una hipérbola se ve igual que la ecuación de una elipse, excepto que es una diferencia en lugar de una suma. Si bien las ecuaciones de una elipse y una hipérbola son muy similares, sus gráficos son muy diferentes.

Definimos una hipérbola como todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se denomina foco de la hipérbola.

 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Una hipérbola es todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se denomina foco de la hipérbola.

 

   

 

La línea a través de los focos se llama eje transversal . Los dos puntos donde el eje transversal se cruza con la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La línea perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se llama eje conjugado . Cada pieza del gráfico se llama rama de la hipérbola.

   

Nuevamente, nuestro objetivo es conectar la geometría de una cónica con álgebra. Colocar la hipérbola en un sistema de coordenadas rectangular nos da esa oportunidad. En la figura, colocamos la hipérbola para que los focos (((- c, 0), (c, 0)) ) estén en el eje (x ) – y el centro sea el origen.

   

La definición establece que la diferencia de la distancia desde los focos a un punto ((x, y) ) es constante. Entonces, (| d_ {1} −d_ {2} | ) es una constante que llamaremos (2a ) así que (| d_ {1} -d_ {2} | = 2 a ). Usaremos la fórmula de la distancia para llevarnos a una fórmula algebraica para una elipse.

( left | d_ {1} – d_ {2} right | = 2 a )

Usa la fórmula de la distancia para encontrar (d_ {1}, d_ {2} )

( left | sqrt {(x – (- c)) ^ {2} + (y-0) ^ {2}} – sqrt {(xc) ^ {2} + (y-0 ) ^ {2}} right | = 2 a )

Eliminar los radicales. Para simplificar la ecuación de la elipse, dejamos (c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} ).

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}} = 1 ) [19459001 ]  

Entonces, la ecuación de una hipérbola centrada en el origen en forma estándar es:

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

Para graficar la hipérbola, será útil saber acerca de las intersecciones. Encontraremos las intersecciones (x ) – e intercepciones (y ) usando la fórmula.

(y ) – intercepta

 

Sea (x = 0 ).

 

( begin {alineado} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ frac {0 ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ – frac {y ^ {2}} {b ^ { 2}} & = 1 \ y ^ {2} & = – b ^ {2} \ y & = pm sqrt {-b ^ {2}} end {alineado} )

 

No hay (y ) – intercepciones.

 

Los valores ( a , b ) en la ecuación también nos ayudan a encontrar las asíntotas de la hipérbola. Las asíntotas son líneas rectas que se cruzan a las que se acercan las ramas del gráfico, pero nunca se cruzan a medida que los valores ( x , y ) se hacen más grandes y más grandes.

 

Para encontrar las asíntotas, dibujamos un rectángulo cuyos lados se crucen con el eje x en los vértices ((- a, 0), (a, 0) ) e intersequen con el ( y ) – eje en ((0, −b), (0, b) ). Las líneas que contienen las diagonales de este rectángulo son las asíntotas de la hipérbola. El rectángulo y las asíntotas no son parte de la hipérbola, pero nos ayudan a graficar la hipérbola.

 

   

 

Las asíntotas pasan a través del origen y podemos evaluar su pendiente utilizando el rectángulo que dibujamos. Tienen ecuaciones (y = frac {b} {a} x ) y (y = – frac {b} {a} x ).

 

Hay dos ecuaciones para hipérbolas, dependiendo de si el eje transversal es vertical u horizontal. Podemos ver si el eje transversal es horizontal mirando la ecuación. Cuando la ecuación está en forma estándar, si el término (x ^ {2} ) es positivo, el eje transversal es horizontal. Cuando la ecuación está en forma estándar, si el término (y ^ {2} ) es positivo, el eje transversal es vertical.

 

Las segundas ecuaciones podrían derivarse de manera similar a lo que hemos hecho. Resumiremos los resultados aquí.

 

 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Forma estándar de la ecuación una hipérbola con centro ((0,0) )

 

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ((0,0) ), es

 

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 quad ) o ( quad frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

 

   

 

Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de (x ^ {2} ) no siempre es (a ^ {2} ) y el denominador de (y ^ {2} ) no siempre es (b ^ {2} ).

 

Observe que cuando el término (x ^ {2} ) es positivo, el eje transversal está en el eje (x ). Cuando el término (y ^ {2} ) es positivo, el eje transversal está en el eje (y ).

 

 

Formas estándar de la ecuación una hipérbola con centro ((0,0) )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

	( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )	( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Orientación	Eje transversal en el eje (x ). Abre a izquierda y derecha	Eje transversal en el eje (y ). Se abre hacia arriba y hacia abajo
Vértices	((- a, 0), (a, 0) )	((0, -a), (0, a) )
(x ) – intercepta	((- a, 0), (a, 0) )	ninguno
(y ) – intercepta	ninguno	((0, -a), (0, a) )
Rectángulo	Use (( pm a, 0) (0, pm b) )	Use ((0, pm a) ( pm b, 0) )
Asíntotas	(y = frac {b} {a} x, y = – frac {b} {a} x )	(y = frac {a} {b} x, y = – frac {a} {b} x )

 

Tabla 11.4.1

 

Utilizaremos estas propiedades para graficar hipérbolas.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo graficar una hipérbola con Center ((0,0) )

 

Gráfico ( frac {x ^ {2}} {25} – frac {y ^ {2}} {4} = 1 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Paso 1 : Escribe la ecuación en forma estándar.	La ecuación está en forma estándar.	( frac {x ^ {2}} {25} – frac {y ^ {2}} {4} = 1 )
Paso 2 : Determine si el eje transversal es horizontal o vertical.	Dado que el término (x ^ {2} ) es positivo, el eje transversal es horizontal.	El eje transversal es horizontal.
Paso 3 : Encuentra los vértices.	Desde (a ^ {2} = 25 ) luego (a = pm 5 ). Los vértices están en el eje (x ).	((- 5,0), (5,0) )
Paso 4 : Dibuja el rectángulo centrado en la intersección de origen, un eje en ( pm a ) y el otro en ( pm b ).	Dado que (a = pm 5 ), el rectángulo intersectará el eje (x ) en los vértices.               Dado que (b = pm 2 ), el rectángulo intersectará el eje (y ) en ((0, -2) ) y ((0,2) ).
Paso 5 : Dibuja las asíntotas, las líneas a través de las diagonales del rectángulo.	Las asíntotas tienen las ecuaciones (y = frac {5} {2} x, y = – frac {5} {2} x ).
Paso 6 : Dibuja las dos ramas de la hipérbola.	Comienza en cada vértice y usa las asíntotas como guía.

 

Tabla 11.4.2

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Gráfico ( frac {x ^ {2}} {16} – frac {y ^ {2}} {4} = 1 ).

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico ( frac {x ^ {2}} {9} – frac {y ^ {2}} {16} = 1 ).

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

Resumimos los pasos para referencia.

 

Graficar una hipérbola centrada en ((0,0) )

 

     
1. Escribe la ecuación en forma estándar.
     
2. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical.
     
3. Encuentra los vértices.
     
4. Dibuje el rectángulo centrado en el origen que intersecta un eje en (± a ) y el otro en (± b ).
     
5. Dibuja las asíntotas: las líneas a través de las diagonales del rectángulo.
     
6. Dibuja las dos ramas de la hipérbola.
 

 

A veces, la ecuación para una hipérbola debe colocarse primero en forma estándar antes de graficarla.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Gráfico (4 y ^ {2} -16 x ^ {2} = 64 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

	(4 y ^ {2} -16 x ^ {2} = 64 )
Para escribir la ecuación en forma estándar, divida cada término entre (64 ) para que la ecuación sea igual a (1 ).	( frac {4 y ^ {2}} {64} – frac {16 x ^ {2}} {64} = frac {64} {64} )
Simplifica.	( frac {y ^ {2}} {16} – frac {x ^ {2}} {4} = 1 )
Dado que el término (y ^ {2} ) es positivo, el eje transversal es vertical. Desde (a ^ {2} = 16 ) entonces (a = pm 4 ).
Los vértices están en el eje (y ) -, ((0, -a), (0, a) ). Desde (b ^ {2} = 4 ) entonces (b = pm 2 ).	((0, -4), (0,4) )
Dibuje el rectángulo que intersecta el eje (x ) en ((- 2,0), (2,0) ) y el eje (y ) en los vértices. Dibuja las asíntotas a través de las diagonales del rectángulo. Dibuja las dos ramas de la hipérbola.

 

Tabla 11.4.3

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Gráfico (4 y ^ {2} -25 x ^ {2} = 100 ).

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Gráfico (25 y ^ {2} -9 x ^ {2} = 225 ).

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

Identificar secciones cónicas por sus ecuaciones

Ahora que hemos completado nuestro estudio de las secciones cónicas, veremos las diferentes ecuaciones y reconoceremos algunas formas de identificar una cónica por su ecuación. Cuando se nos da una ecuación para graficar, es útil identificar la cónica para saber qué próximos pasos tomar.

Para identificar una cónica a partir de su ecuación, es más fácil si colocamos los términos variables en un lado de la ecuación y las constantes en el otro.

Tabla 11.4.8

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con hipérbolas.

 

Conceptos clave

 

     
• Hipérbola: A Hipérbola son ​​todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias desde dos puntos fijos es constante.
 

 

   

 

     
• Cada uno de los puntos fijos se denomina foco de la hipérbola.
  La línea a través de los focos se llama eje transversal .
  Los dos puntos donde el eje transversal se cruza con la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola.
  El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola.
  La línea perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se llama eje conjugado .
  Cada pieza del gráfico se denomina rama de la hipérbola.
  
 

 

Figura 11.4.2

 

Formas estándar de la ecuación una hipérbola con centro ((0,0) )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

	( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )	( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Orientación	Eje transversal en el eje (x ). Abre a izquierda y derecha	Eje transversal en el eje (y ). Se abre hacia arriba y hacia abajo
Vértices	((- a, 0), (a, 0) )	((0, -a), (0, a) )
(x ) – intercepta	((- a, 0), (a, 0) )	ninguno
(y ) – intercepta	ninguno	((0, -a), (0, a) )
Rectángulo	Use (( pm a, 0) (0, pm b) )	Use ((0, pm a) ( pm b, 0) )
Asíntotas	(y = frac {b} {a} x, y = – frac {b} {a} x )	(y = frac {a} {b} x, y = – frac {a} {b} x )

 

Tabla 11.4.1

 

     
• Cómo graficar una hipérbola centrada en ((0,0) ).      
           
  1. Escribe la ecuación en forma estándar.
           
  2. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical.
           
  3. Encuentra los vértices.
           
  4. Dibuje el rectángulo centrado en el origen que intersecta un eje en (± a ) y el otro en (± b ).
           
  5. Dibuja las asíntotas: las líneas a través de las diagonales del rectángulo.
           
  6. Dibuja las dos ramas de la hipérbola.
       
       
 

 

Formas estándar de la ecuación una hipérbola con centro ((h, k) )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

	( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )	( frac {(y-k) ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
Orientación	El eje transversal es horizontal. Abre a izquierda y derecha	El eje transversal es vertical. Abre hacia arriba y hacia abajo
Centro	((h, k) )	((h, k) )
Vértices	(a ) unidades a la izquierda y derecha del centro	(a ) unidades por encima y por debajo del centro
Rectángulo	Usa unidades (a ) a la izquierda / derecha del centro (b ) unidades arriba / abajo del centro	Use (a ) unidades arriba / debajo del centro (b ) unidades izquierda / derecha del centro

 

Tabla 11.4.4

 

     
• Cómo graficar una hipérbola centrada en ((h, k) ).      
           
  1. Escribe la ecuación en forma estándar.
           
  2. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical.
           
  3. Encuentra el centro y (a, b ).
           
  4. Dibuja el rectángulo centrado en ((h, k) ) usando (a, b ).
           
  5. Dibuja las asíntotas: las líneas a través de las diagonales del rectángulo. Marcar los vértices.
           
  6. Dibuja las dos ramas de la hipérbola.