11.6: Matrices y operaciones matriciales

11.6: Matrices y operaciones matriciales

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra las necesidades de ambos equipos.

Una meta cuesta ($ 300 ); una pelota cuesta ($ 10 ); y una camiseta cuesta ($ 30 ). ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos en la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Luego, podremos calcular el costo del equipo.

Encontrar la suma y la diferencia de dos matrices

 

Para resolver un problema como el descrito para los equipos de fútbol, ​​podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una fila en una matriz es un conjunto de números que están alineados horizontalmente. Una columna en una matriz es un conjunto de números que están alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (plural) están encerradas en [] o (), y generalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, a continuación se muestran tres matrices llamadas (A ), (B ) y (C ).

 

[ begin {align *} A & = begin {bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ end {bmatrix} \ [4pt] B & = begin {bmatrix} 1 y 2 y 7 \ 0 & -5 & 6 \ 7 & 8 & 2 end {bmatrix} \ [4pt] C & = begin {bmatrix} -1 & 3 \ 0 & 2 \ 3 & 1 end { bmatrix} end {align *} ]

 

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones: (m × n ) que indica (m ) filas y (n ) columnas. Las entradas de matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en la matriz (A ) identificada como (a_ {ij} ), buscamos la entrada en la fila (i ), columna (j ). En la matriz (A ), que se muestra a continuación, la entrada en la fila (2 ), columna (3 ) es (a_ {23} ).

 

[A = begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} \ a_ {21} y a_ {22} y a_ {23} \ a_ {31} y a_ {32} y a_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

 
         
  • Una matriz cuadrada es una matriz con dimensiones (n × n ), lo que significa que tiene el mismo número de filas que columnas. La matriz (3 × 3 ) anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.
  •      
  • Una matriz de filas es una matriz que consta de una fila con dimensiones (1 × n ). [ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} end {bmatrix} nonumber ]
  •      
  • Una matriz de columna es una matriz que consta de una columna con dimensiones (m × 1 ). [ begin {bmatrix} a_ {11} \ a_ {21} \ a_ {31} end {bmatrix} nonumber ]
  •  
 

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables en el sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están gravadas con variables. Investigaremos más esta idea en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones básicas de la matriz .

 
 

Definición: MATRICES

 

Una matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula: (A ), (B ), (C ), y así sucesivamente. Cada entrada en una matriz se conoce como (a_ {ij} ), de modo que (i ) representa la fila y (j ) representa la columna. A menudo se hace referencia a las matrices por sus dimensiones: (m × n ) que indica (m ) filas y (n ) columnas.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar las dimensiones de la matriz dada y localizar entradas

 

Dada matriz (A ):

 
         
  1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz (A )?
  2.      
  3. ¿Cuáles son las entradas en (a_ {31} ) y (a_ {22} )?
  4.  
 

[A = begin {bmatrix} 2 & 1 & 0 \ 2 & 4 & 7 \ 3 & 1 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 
         
  1. Las dimensiones son (3 times 3 ) porque hay tres filas y tres columnas.
  2.      
  3. La ​​entrada (a_ {31} ) es el número en la fila 3, columna 1, que es (3 ). La entrada (a_ {22} ) es el número en la fila 2, columna 2, que es (4 ). Recuerde, la fila viene primero, luego la columna.
  4.  
 
 
 
Sumar y restar matrices
 

Utilizamos matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar entradas correspondientes. Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones . Podemos sumar o restar una matriz (3 times 3 ) y otra matriz (3 times 3 ), pero no podemos sumar o restar una matriz (2 times 3 ) y una (3 times 3 ) matriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

 
 

AGREGAR Y RESTAR MATRICES

 

Dadas las matrices (A ) y (B ) de dimensiones similares, la suma y resta de (A ) y (B ) producirá la matriz (C ) o la matriz (D ) de la misma dimensión.

 

[A + B = C ]

 

tal que (a_ {ij} + b_ {ij} = c_ {ij} )

 

[A − B = D ]

 

tal que (a_ {ij} −b_ {ij} = d_ {ij} )

 

La adición de matriz es conmutativa .

 

[A + B = B + A ]

 

También es asociativo .

 

[(A + B) + C = A + (B + C) ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrar la suma de matrices

 

Encuentre la suma de (A ) y (B ), dada

 

[A = begin {bmatrix} a & b \ c & d end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} e & f \ g & h end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 

Agregue las entradas correspondientes.

 

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} a & b \ c & d end {bmatrix} + begin {bmatrix} e & f \ g & h end { bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} a + e & b + f \ c + g & d + h end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ] [19459001 ]  

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2B} ): Agregar Matrix (A ) y Matrix (B )

 

Encuentre la suma de (A ) y (B ).

 

[A = begin {bmatrix} 4 & 1 \ 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} 5 y 9 \ 0 & 7 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 

Agregue las entradas correspondientes. Agregue la entrada en la fila 1, columna 1, (a_ {11} ), de la matriz (A ) a la entrada en la fila 1, columna 1, (b_ {11} ), de (B ) Continúe el patrón hasta que se hayan agregado todas las entradas.

 

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 4 & 1 \ 3 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 5 & 9 \ 0 & 7 end {bmatrix} nonumber \ [ 4pt] & = begin {bmatrix} 4 + 5 & 1 + 9 \ 3 + 0 & 2 + 7 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 9 y 10 \ 3 & 9 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2C} ): Encontrar la diferencia de dos matrices

 

Encuentra la diferencia de (A ) y (B ).

 

(A = begin {bmatrix} −2 & 3 \ 0 & 1 end {bmatrix} ) y (B = begin {bmatrix} 8 & 1 \ 5 & 4 end {bmatrix} )

 

Solución

 

Restamos las entradas correspondientes de cada matriz.

 

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} −2 & 3 \ 0 & 1 end {bmatrix} – begin {bmatrix} 8 & 1 \ 5 & 4 end {bmatrix} nonumber \ [ 4pt] & = begin {bmatrix} −2−8 & 3−1 \ 0−5 & 1−4 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −10 & 2 \ – 5 & −3 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2D} ): Encontrar la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3

 

Dado (A ) y (B ):

 
         
  1. Encuentra la suma.
  2.      
  3. Encuentra la diferencia.
  4.  
 

[A = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 \ 14 & 12 & 10 \ 4 & −2 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 \ 0 & −12 & −4 \ – 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 
         
  1. Agregue las entradas correspondientes.
  2.  
 

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 \ 14 y 12 & 10 \ 4 & −2 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix } 6 y 10 y −2 \ 0 y −12 y −4 \ – 5 y 2 y −2 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 6 y −10 +10 & −2−2 \ 14 + 0 & 12−12 & 10−4 \ 4−5 & −2 + 2 & 2−2 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 8 y 0 y −4 \ 14 y 0 y 6 \ – 1 y 0 y 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
         
  1. Reste las entradas correspondientes.
  2.  
 

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 \ 14 & 12 & 10 \ 4 & −2 & 2 end {bmatrix} – begin {bmatrix} 6 y 10 y −2 \ 0 & −12 & −4 \ – 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 2−6 & −10−10 & −2 + 2 \ 14−0 & 12+ 12 y 10 + 4 \ 4 + 5 y −2−2 y 2 + 2 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −4 & −20 & 0 \ 14 y 24 & 14 \ 9 & −4 & 4 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Agregar matriz (A ) y matriz (B ).

 

[A = begin {bmatrix} 2 & 6 \ 1 & 0 \ 1 & −3 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} 3 & −2 \ 1 & 5 \ – 4 & 3 end {bmatrix} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & 6 \ 1 & 0 \ 1 & −3 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 & -2 \ 1 & 5 \ – 4 & 3 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 3 & 6 + (- 2) \ 1 + 1 & 0 + 5 \ 1 + (- 4) & – 3 + 3 end {bmatrix } nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 5 & 4 \ 2 & 5 \ – 3 & 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

     
 
 
 

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

 

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recuerde que un escalar es una cantidad numérica real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de la multiplicación escalar.

 

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita agregar a su inventario de computadoras, mesas de computadoras y sillas en dos de los laboratorios del campus debido a una mayor inscripción. Estiman que se necesita (15% ) más equipo en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la Tabla ( PageIndex {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {2} )
Laboratorio A Laboratorio B
Computadoras 15 27
Tablas de computadora 16 34
Sillas 16 34
 

Convirtiendo los datos a una matriz, tenemos

 

[C_ {2013} = begin {bmatrix} 15 y 27 \ 16 y 34 \ 16 y 34 end {bmatrix} nonumber ]

 

Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas en la matriz (C ) por (0.15 ).

 

[(0.15) C_ {2013} = begin {bmatrix} (0.15) 15 y (0.15) 27 \ (0.15) 16 y (0.15) 34 \ (0.15) 16 y (0.15) 34 end { bmatrix} = begin {bmatrix} 2.25 y 4.05 \ 2.4 y 5.1 \ 2.4 y 5.1 end {bmatrix} nonumber ]

 

Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es

 

[ begin {bmatrix} 3 y 5 \ 3 y 6 \ 3 y 6 end {bmatrix} nonumber ]

 

Agregando las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.

 

[ begin {bmatrix} 15 y 27 \ 16 y 34 \ 16 y 34 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 y 5 \ 3 y 6 \ 3 y 6 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 18 y 32 \ 19 y 40 \ 19 y 40 end {bmatrix} nonumber ]

 

Esto significa

 

[C_ {2014} = begin {bmatrix} 18 y 32 \ 19 y 40 \ 19 y 40 end {bmatrix} nonumber ]

 

Por lo tanto, el Laboratorio A tendrá (18 ) computadoras, (19 ) mesas de computadora y (19 ) sillas; El laboratorio B tendrá (32 ) computadoras, (40 ) mesas de computadora y (40 ) sillas.

 
 

MULTIPLICACIÓN ESCALAR

 

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado

 

[A = begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} \ a_ {21} y a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

 

el escalar múltiple (cA ) es

 

[cA = c begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} \ a_ {21} y a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

 

[= begin {bmatrix} ca_ {11} & ca_ {12} \ ca_ {21} & ca_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

 

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices (A ), (B ) y (C ) con escalares (a ) y (b ),

 

[a (A + B) = aA + aB ]

 

[(a + b) A = aA + bA ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Multiplicar la matriz por un escalar

 

Multiplica la matriz (A ) por el escalar (3 ).

 

[A = begin {bmatrix} 8 & 1 \ 5 & 4 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 

Multiplique cada entrada en (A ) por el escalar (3 ).

 

[ begin {align} 3A & = 3 begin {bmatrix} 8 & 1 \ 5 & 4 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3⋅8 & 3⋅1 \ 3⋅ 5 & ​​3⋅4 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 24 & 3 \ 15 & 12 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Dada la matriz (B ), encuentre (- 2B ) donde

 

[B = begin {bmatrix} 4 & 1 \ 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

[- 2B = begin {bmatrix} −8 & −2 \ – 6 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar la suma de múltiplos escalares

 

Encuentra la suma (3A + 2B ).

 

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 & 0 \ 0 & −1 & 2 \ 4 & 3 & −6 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} −1 & 2 & 1 \ 0 & −3 & 2 \ 0 & 1 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 

Primero, encuentre (3A ), luego (2B ).

 

[ begin {align} 3A & = begin {bmatrix} 3⋅1 & 3 (−2) & 3⋅0 \ 3⋅0 & 3 (−1) & 3⋅2 \ 3⋅4 & 3⋅3 & 3 (−6) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 \ 0 & −3 & 6 \ 12 & 9 & −18 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ] [19459001 ]  

[ begin {align} 2B & = begin {bmatrix} 2 (−1) & 2⋅2 & 2⋅1 \ 2⋅0 & 2 (−3) & 2⋅2 \ 2⋅0 & 2⋅1 & 2 (−4) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −2 & 4 & 2 \ 0 & −6 & 4 \ 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 

Ahora, agregue (3A + 2B ).

 

[ begin {align} 3A + 2B & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 \ 0 & −3 & 6 \ 12 & 9 & −18 end {bmatrix} + begin {bmatrix} −2 & 4 y 2 \ 0 & −6 & 4 \ 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3−2 & −6 + 4 & 0 + 2 \ 0 + 0 & −3−6 & 6 + 4 \ 12 + 0 & 9 + 2 & −18−8 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & −2 & 2 \ 0 & −9 & 10 \ 12 & 11 & −26 end {bmatrix} nonumber end {align} no número ]

 
 

Encontrar el producto de dos matrices

 

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Encontrar el producto de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son las mismas, lo que significa que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si (A ) es una matriz (m × r ) y (B ) es una matriz (r × n ), entonces la matriz del producto (AB ) es una (m × n ) matriz. Por ejemplo, el producto (AB ) es posible porque el número de columnas en (A ) es el mismo que el número de filas en (B ). Si las dimensiones internas no coinciden, el producto no está definido.

 

 

Multiplicamos las entradas de (A ) con las entradas de (B ) de acuerdo con un patrón específico como se describe a continuación. El proceso de multiplicación de matrices se vuelve más claro cuando se trabaja un problema con números reales.

 

Para obtener las entradas en la fila (i ) de (AB ), multiplicamos las entradas en la fila (i ) de (A ) por la columna (j ) en (B ) y añadir. Por ejemplo, las matrices dadas (A ) y (B ), donde las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 times 3 ), el producto de (AB ) será una matriz (2 times 3 ).

 

[A = begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} \ a_ {21} y a_ {22} y a_ {23} end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & b_ {13} \ b_ {21} y b_ {22} y b_ {23} \ b_ {31} y b_ {32} y b_ { 33} end {bmatrix} nonumber ]

 

Multiplique y agregue lo siguiente para obtener la primera entrada de la matriz del producto (AB ).

 
         
  1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de (AB ), multiplique la primera fila en (A ) por la primera columna en (B ) y agregue.      

    [ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {11} \ b_ {21} \ b_ {31} end {bmatrix} = a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} nonumber ]

         
  2.      
  3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la segunda columna en (B ) y agregue.      

    [ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {12} \ b_ {22} \ b_ {32} end {bmatrix} = a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ {12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} nonumber ]

         
  4.      
  5. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la tercera columna en (B ) y agregue.      

    [ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {13} \ b_ {23} \ b_ {33} end {bmatrix} = a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} nonumber ]

         
  6.  
 

Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de (AB ). En otras palabras, la fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 1 de (B ); fila 2 de (A ) veces columna 2 de (B ); fila 2 de (A ) veces la columna 3 de (B ). Cuando se complete, la matriz del producto será

 

[AB = begin {bmatrix} a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} y a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ {12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} y a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} a_ {21} ⋅b_ {11} + a_ {22} ⋅b_ {21} + a_ {23} ⋅b_ {31} y a_ {21} ⋅b_ {12} + a_ {22} ⋅b_ {22} + a_ {23} ⋅b_ {32} y a_ {21} ⋅b_ {13} + a_ {22} ⋅b_ {23} + a_ {23} ⋅b_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

 
 
 

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN MATRIZ

 

Para la matriz (A, B ) y (C ) se mantienen las siguientes propiedades.

 
         
  • La ​​multiplicación matricial es asociativa : [(AB) C = A (BC). ]
  •      
  • La ​​multiplicación matricial es distributiva : [C (A + B) = CA + CB ] [(A + B) C = AC + BC. ]
  •  
 

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5A} ): Multiplicar dos matrices

 

Multiplicar matriz (A ) y matriz (B ).

 

[A = begin {bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} 5 y 6 \ 7 y 8 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 

Primero, verificamos las dimensiones de las matrices. La matriz (A ) tiene dimensiones (2 × 2 ) y la matriz (B ) tiene dimensiones (2 × 2 ). Las dimensiones internas son las mismas para que podamos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones (2 × 2 ).

 

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

 

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5B} ): Multiplicar dos matrices

 

Dado (A ) y (B ):

 
         
  1. Encuentra (AB ).
  2.      
  3. Encuentra (BA ).
  4.  
 

[A = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 \ 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} 5 & −1 \ – 4 & 0 \ 2 & 3 end {bmatrix} nonumber ]

 

Solución

 
         
  1. Como las dimensiones de (A ) son (2 por 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 por 2 ), estas matrices se pueden multiplicar juntas debido a la cantidad de Las columnas en (A ) coinciden con el número de filas en (B ). El producto resultante será una matriz (2 times 2 ), el número de filas en (A ) por el número de columnas en (B ).
  2.  
 

[ begin {align} AB & = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 \ 4 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & −1 \ – 4 & 0 \ 2 & 3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −1 (5) +2 (−4) +3 (2) & – 1 (−1) +2 (0) +3 (3) \ 4 (5) +0 (−4) +5 (2) y 4 (−1) +0 (0) +5 (3) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −7 & 10 \ 30 y 11 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 
         
  1. Las dimensiones de (B ) son (3 times 2 ) y las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ). Las dimensiones internas coinciden para que el producto esté definido y será una matriz (3 times 3 ).
  2.  
 

[ begin {align} BA & = begin {bmatrix} 5 & −1 \ – 4 & 0 \ 2 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 \ 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 5 (−1) + – 1 (4) y 5 (2) + – 1 (0) y 5 (3) + – 1 (5) \ – 4 (−1) +0 (4) y – 4 (2) +0 (0) y – 4 (3) +0 (5) \ 2 (−1) +3 (4) y 2 (2) +3 (0) y 2 (3) +3 (5) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −9 & 10 & 10 \ 4 & −8 & −12 \ 10 & 4 y 21 end {bmatrix} nonumber end {align } nonumber ]

 

Análisis

 

Observe que los productos (AB ) y (BA ) no son iguales.

 

[AB = begin {bmatrix} −7 & 10 \ 30 & 11 end {bmatrix} ≠ begin {bmatrix} −9 & 10 & 10 \ 4 & −8 & −12 \ 10 & 4 & 21 end {bmatrix} = BA nonumber ]

 

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices es no conmutativa.

 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿Es posible definir AB pero no BA?

 

Sí, considere una matriz (A ) con dimensión (3 × 4 ) y una matriz (B ) con dimensión (4 × 2 ). Para el producto (AB ) las dimensiones internas son (4 ) y el producto está definido, pero para el producto (BA ) las dimensiones internas son (2 ) y (3 ) por lo que el producto es indefinido.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de matrices en problemas del mundo real

 

Volvamos al problema presentado en la apertura de esta sección. Tenemos la Tabla ( PageIndex {3} ), que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {3} )
Gatos monteses Gatos de barro
Objetivos 6 10
Bolas 30 24
Jerseys 14 20
 

También se nos dan los precios del equipo, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {4} ).

                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {4} )
Objetivo $ 300
Bola $ 10
Jersey $ 30
 

Convertiremos los datos a matrices. Por lo tanto, la matriz de necesidad de equipo se escribe como

 

[E = begin {bmatrix} 6 y 10 \ 30 y 24 \ 14 y 20 end {bmatrix} nonumber ]

 

La matriz de costos se escribe como

 

[C = begin {bmatrix} 300 y 10 y 30 end {bmatrix} nonumber ]

 

Realizamos la multiplicación de matrices para obtener costos para el equipo.

 

[ begin {align} CE & = begin {bmatrix} 300 y 10 y 30 end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} 6 y 10 \ 30 y 24 \ 14 y 20 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 300 (6) +10 (30) +30 (14) y 300 (10) +10 (24) +30 (20) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin { bmatrix} 2,520 y 3,840 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

 

El costo total de equipo para los gatos monteses es ($ 2,520 ), y el costo total de equipo para los gatos de barro es ($ 3,840 ).

 
 
 

Cómo: dada una operación matricial, evaluar usando una calculadora

 
         
  1. Guarde cada matriz como una variable de matriz ([A], [B], [C], … )
  2.      
  3. Ingrese la operación en la calculadora, llamando cada variable de matriz según sea necesario.
  4.      
  5. Si se define la operación, la calculadora presentará la matriz de solución; Si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de una calculadora para realizar operaciones matriciales

 

Encontrar (AB − C ) dado

 

(A = begin {bmatrix} −15 & 25 & 32 \ 41 & −7 & −28 \ 10 & 34 & −2 end {bmatrix} ), (B = begin {bmatrix} 45 & 21 & −37 \ – 24 & 52 & 19 \ 6 & −48 & −31 end {bmatrix} ), y (C = begin {bmatrix} −100 & −89 & −98 \ 25 & −56 & 74 \ – 67 & 42 y −75 end {bmatrix} ) [ 19459001]  

Solución

 

En la página de matriz de la calculadora, ingresamos la matriz (A ) arriba como la variable matriz ([A] ), la matriz (B ) arriba como la variable matriz ([B] ) y matriz (C ) anterior como la variable matriz ([C] ).

 

En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y activamos cada variable de matriz según sea necesario.

 

[[A] × [B] – [C] nonumber ]

 

La calculadora nos da la siguiente matriz.

 

[ begin {bmatrix} −983 & −462 & 136 \ 1,820 & 1,897 & −856 \ – 311 & 2,032 & 413 end {bmatrix} nonumber ]

 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con matrices y operaciones matriciales.

 
 
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