Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando gráficos

Aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables mediante gráficos, sustitución y eliminación. Usaremos estos mismos métodos cuando veamos sistemas de ecuaciones no lineales con dos ecuaciones y dos variables. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.

Por ejemplo, cada uno de los siguientes sistemas es un sistema de ecuaciones no lineales .

( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 9} \ {x ^ {2} -y = 9} end {array} right. left { begin {array} {l} {9 x ^ {2} + y ^ {2} = 9} \ {y = 3 x-3} end {array} right. left { begin {array} {l} {x + y = 4} \ {y = x ^ {2} +2} end {array} right. )

Al igual que con los sistemas de ecuaciones lineales, una solución de un sistema no lineal es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. En un sistema no lineal, puede haber más de una solución. Veremos esto mientras resolvemos un sistema de ecuaciones no lineales mediante gráficos.

Cuando resolvimos sistemas de ecuaciones lineales, la solución del sistema era el punto de intersección de las dos líneas. Con los sistemas de ecuaciones no lineales, los gráficos pueden ser círculos, parábolas o hipérbolas y puede haber varios puntos de intersección y, por lo tanto, varias soluciones. Una vez que identifique las gráficas, visualice las diferentes formas en que las gráficas podrían cruzarse y cuántas soluciones podría haber.

Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales mediante gráficos, utilizamos básicamente los mismos pasos que con los sistemas de ecuaciones lineales modificados ligeramente para ecuaciones no lineales. Los pasos se enumeran a continuación como referencia.

Resuelve un sistema de ecuaciones no lineales mediante gráficas.

 

     
1. Identifica la gráfica de cada ecuación. Dibuje las posibles opciones para la intersección.
     
2. Representa gráficamente la primera ecuación.
     
3. Representa gráficamente la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
     
4. Determine si las gráficas se cruzan.
     
5. Identifica los puntos de intersección.
     
6. Comprueba que cada par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {xy = -2} \ {y = x ^ {2}} end {array} right. )

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Identifica cada gráfico.	( left { begin {array} {ll} {xy = -2} & { text {line}} \ {y = x ^ {2}} & { text {parabola}} end {array} right. )
Dibuje las posibles opciones para la intersección de una parábola y una línea.
Representa gráficamente la línea, (x-y = -2 ).               Forma pendiente-intersección (y = x + 2 ).               Representa gráficamente la parábola, (y = x ^ {2} ).
Identifica los puntos de intersección.	Los puntos de intersección parecen ser ((2,3) ) y ((- 1,1) ).
Verifique para asegurarse de que cada solución haga verdaderas ambas ecuaciones.               ((2,4) )               ( begin {array} {rl} {xy = -2} quad quad {y = x ^ {2}} \ {2-4 stackrel {?} {=} – 2} quad quad {4 stackrel {?} {=} 2 ^ {2}} \ {-2 = -2} quad quad : {4 = 4} end {array} )               ((- 1,1) )               ( begin {array} {ll} {xy = -2} quad quad {y = x ^ {2}} \ {-1-1 stackrel {?} {=} – 2} : quad {1 stackrel {?} {=} (- 1) ^ {2}} \ {-2 = -2} quad quad quad {1 = 1} end {array} )
	Las soluciones son ((2,4) ) y ((- 1,1) ).

 

Tabla 11.5.1

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {x + y = 4} \ {y = x ^ {2} +2} end {array} right . ).

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {xy = -1} \ {y = -x ^ {2} +3} end {array} right . )

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

Para identificar la gráfica de cada ecuación, tenga en cuenta las características de los términos (x ^ {2} ) y (y ^ {2} ) de cada cónica.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {y = -1} \ {(x-2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2 } = 4} end {array} right. ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Identifica cada gráfico.	( left { begin {array} {ll} {y = -1} & { text {line}} \ {(x-2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 4} & { text {circle}} end {array} right. )
Dibuje las posibles opciones para la intersección de un círculo y una línea.
Representa gráficamente el círculo, ((x-2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 4 )               Centro: ((2, -3) ) radio: (2 )               Representa gráficamente la línea, (y = -1 ).               Es una línea horizontal.
Identifica los puntos de intersección.	El punto de intersección parece ser ((2, -1) ).
Verifique para asegurarse de que la solución hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.               ((2, -1) )               ( begin {array} {rr} {(x-2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 4} quad quad {y = -1} \ {( 2-2) ^ {2} + (- 1 + 3) ^ {2} stackrel {?} {=} 4} quad {-1 = -1} \ {(0) ^ {2} + ( 2) ^ {2} stackrel {?} {=} 4} quad quad quad quad quad \ {4 = 4} quad quad quad quad quad end {array} )
	La solución es ((2, -1) )

 

Tabla 11.5.2

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {x = -6} \ {(x + 3) ^ {2} + (y-1) ^ {2 } = 9} end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelva el sistema graficando: ( left { begin {array} {l} {y = 4} \ {(x-2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 4} end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

           

     

 

 

 

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando la sustitución

El método de gráficos funciona bien cuando los puntos de intersección son enteros y son tan fáciles de leer en el gráfico. Pero más a menudo es difícil leer las coordenadas de los puntos de intersección. El método de sustitución es un método algebraico que funcionará bien en muchas situaciones. Funciona especialmente bien cuando es fácil resolver una de las ecuaciones para una de las variables.

El método de sustitución es muy similar al método de sustitución que utilizamos para los sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran a continuación como referencia.

Hasta ahora, cada sistema de ecuaciones no lineales ha tenido al menos una solución. El siguiente ejemplo mostrará otra opción.

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales utilizando la eliminación

Cuando estudiamos sistemas de ecuaciones lineales, utilizamos el método de eliminación para resolver el sistema. También podemos usar la eliminación para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Funciona bien cuando las ecuaciones tienen ambas variables al cuadrado. Cuando usamos la eliminación, tratamos de hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos, de modo que cuando sumamos las ecuaciones, esa variable se elimina.

El método de eliminación es muy similar al método de eliminación que usamos para los sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran como referencia.

Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

 

     
1. Identifica la gráfica de cada ecuación. Dibuje las posibles opciones para la intersección.
     
2. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
     
3. Haz los coeficientes de una variable opuesta.
   Decide qué variable eliminarás.
   Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
     
4. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
     
5. Resuelve la variable restante.
     
6. Sustituye cada solución del Paso 5 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve la otra variable.
     
7. Escribe cada solución como un par ordenado.
     
8. Comprueba que cada par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 4} \ {x ^ {2} -y = 4 } end {array} right. )

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Identifica cada gráfico.
Dibuje las posibles opciones para la intersección de un círculo y una parábola.
Ambas ecuaciones están en forma estándar.
Para obtener coeficientes opuestos de (x ^ {2} ), multiplicaremos la segunda ecuación por (- 1 ).
Simplificar.
Agregue las dos ecuaciones para eliminar (x ^ {2} ) /
Resuelve para (y ).
Sustituye (y = 0 ) y (y = -1 ) en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve para (x ).
Escribe cada solución como un par ordenado.	Los pares ordenados son ((- 2,0) (2,0) ). (( sqrt {3}, – 1) (- sqrt {3}, – 1) )
Comprueba que cada par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
Le dejaremos los controles de cada una de las cuatro soluciones.	Las soluciones son ((- 2,0), (2,0), ( sqrt {3}, – 1) ) y ((- sqrt {3}, – 1) ) .

 

Tabla 11.5.5

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 9} \ {x ^ {2} -y = 9 } end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

((- 3,0), (3,0), (- 2 sqrt {2}, – 1), (2 sqrt {2}, – 1) )

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 1} \ {-x + y ^ {2} = 1} end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

((- 1,0), (0,1), (0, -1) )

     

 

 

 

También hay cuatro opciones cuando consideramos un círculo y una hipérbola.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} \ {x ^ {2} -y ^ { 2} = 1} end {array} right. )

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Identifica cada gráfico.	( left { begin {array} {ll} {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} & { text {circle}} \ {x ^ {2} -y ^ {2} = 1} & { text {hipérbola}} end {array} right. )
Dibuje las posibles opciones para la intersección de un círculo y una hipérbola.
Ambas ecuaciones están en forma estándar.	( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} \ {x ^ {2} -y ^ {2} = 1} end {array} right. )
Los coeficientes de (y ^ {2} ) son opuestos, por lo que agregaremos las ecuaciones.	( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} \ {x ^ {2} -y ^ {2} = 1} end {array} right. )               (2 x ^ {2} = 8 )
Simplificar.	(x ^ {2} = 4 ) (x = pm 2 ) (x = 2 quad x = -2 )
Sustituye (x = 2 ) y (x = -2 ) en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve (y ).	( begin {array} {rl} {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} & quad {x ^ {2} + y ^ {2} = 7} \ {2 ^ {2} + y ^ {2} = 7} & quad {(- 2) ^ {2} + y ^ {2} = 7} \ {4 + y ^ {2} = 7} & quad {4 + y ^ {2} = 7} \ {y ^ {2} = 3} & quad {y ^ {2} = 3} \ {y = pm sqrt {3}} & quad {y = pm sqrt {3}} end {array} )
Escribe cada solución como un par ordenado.	Los pares ordenados son ((- 2, sqrt {3}), (- 2, – sqrt {3}) ), ((2, sqrt {3}), ) y ((2, – sqrt {3}) ).
Comprueba que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
Le dejaremos los controles de cada una de las cuatro soluciones.	Las soluciones son ((- 2, sqrt {3}), (- 2, – sqrt {3}), (2, sqrt {3}) ) y ((2, – sqrt {3}) ).

 

Tabla 11.5.6

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 25} \ {y ^ {2} -x ^ { 2} = 7} end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

((- 3, -4), (- 3,4), (3, -4), (3,4) )

     

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 4} \ {x ^ {2} -y ^ { 2} = 4} end {array} right. )

 

     

Respuesta

     

     

((- 2,0), (2,0) )

     

 

 

 

Use un sistema de ecuaciones no lineales para resolver aplicaciones

Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden usar para modelar y resolver muchas aplicaciones. Veremos una situación geométrica cotidiana como nuestro ejemplo.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de ecuaciones no lineales.

Conceptos clave

     
• Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante gráficos.      
           
  1. Identifica la gráfica de cada ecuación. Dibuje las posibles opciones para la intersección.
           
  2. Representa gráficamente la primera ecuación.
           
  3. Representa gráficamente la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
           
  4. Determine si las gráficas se cruzan.
           
  5. Identifica los puntos de intersección.
           
  6. Comprueba que cada par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
       
       
     
• Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución.      
           
  1. Identifica la gráfica de cada ecuación. Dibuje las posibles opciones para la intersección.
           
  2. Resuelve una de las ecuaciones para cualquier variable.
           
  3. Sustituye la expresión del Paso 2 en la otra ecuación.
           
  4. Resuelve la ecuación resultante.
           
  5. Sustituye cada solución en el Paso 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
           
  6. Escribe cada solución como un par ordenado.
           
  7. Comprueba que cada par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.
       
       
     
• Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación.      
           
  1. Identifica la gráfica de cada ecuación. Dibuje las posibles opciones para la intersección.
           
  2. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
           
  3. Haz los coeficientes de una variable opuesta.
     Decide qué variable eliminarás.
     Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
           
  4. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
           
  5. Resuelve la variable restante.
           
  6. Sustituye cada solución del Paso 5 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve la otra variable.
           
  7. Escribe cada solución como un par ordenado.
           
  8. Comprueba que cada par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.