11.7: Solución de sistemas con eliminación gaussiana

11.7: Solución de sistemas con eliminación gaussiana

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las diversas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como la suma, la multiplicación por una constante y el intercambio de filas.

La realización de operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma row-echelon , en la que hay unas hacia abajo en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda a la inferior esquina derecha y ceros en cada posición debajo de la diagonal principal como se muestra.

Utilizamos operaciones de fila correspondientes a operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es equivalente de fila en una forma más simple. Aquí están las pautas para obtener la forma de fila-escalón.

Para resolver un sistema de ecuaciones, podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes en forma de escalón de fila y hacer una sustitución hacia atrás para encontrar la solución.

Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que alcanzarán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma de escalones. Para obtener una matriz en forma fila-escalón para encontrar soluciones, utilizamos la eliminación gaussiana, un método que usa operaciones de fila para obtener un (1 ) como la primera entrada para que la fila (1 ) pueda usarse para convertir el filas restantes

 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolución de un sistema (2 × 2 ) mediante eliminación gaussiana

 

Resuelve el sistema dado por eliminación gaussiana.

 

[ begin {align *} 2x + 3y & = 6 \ x-y & = dfrac {1} {2} end {align *} ]

 

Solución

 

Primero, escribimos esto como una matriz aumentada.

 

( left [ begin {array} {cc | c} 2 y 3 y 6 \ 1 & −1 y 12 end {array} right] )

 

Queremos un (1 ) en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2.

 

(R_1 leftrightarrow R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 \ 2 & 3 & 6 end {array} right] )

 

Ahora tenemos un (1 ) como la primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora obtengamos un (0 ) en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por ( −2 ), y luego agregando el resultado a la fila 2.

 

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 \ 0 & 5 & 5 end {array} right] )

 

Solo tenemos un paso más, para multiplicar la fila 2 por ( dfrac {1} {5} ).

 

( dfrac {1} {5} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 \ 0 & 1 & 1 end {array} right] )

 

Utilice la sustitución de retorno. La segunda fila de la matriz representa (y = 1 ). Sustituye hacia atrás (y = 1 ) en la primera ecuación.

 

[ begin {align *} x- (1) & = dfrac {1} {2} \ x & = dfrac {3} {2} end {align *} ]

 

La solución es el punto ( left ( dfrac {3} {2}, 1 right) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones

 

Utilice Eliminación gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones (2 × 2 ) dado .

 

[ begin {align *} 2x + y & = 1 \ 4x + 2y & = 6 end {align *} ]

 

Solución

 

Escriba el sistema como una matriz aumentada .

 

( left [ begin {array} {cc | c} 2 y 1 y 1 \ 4 y 2 y 6 end {array} right] )

 

Obtenga un (1 ) en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por ( dfrac {1} {2} ).

 

( dfrac {1} {2} R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} 4 & 2 & 6 end {array} right] )

 

A continuación, queremos un (0 ) en la fila 2, columna 1. Multiplique la fila 1 por (- 4 ) y agregue la fila 1 a la fila 2.

 

(- 4R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} \ 0 & 0 y 4 end { matriz} right] )

 

La segunda fila representa la ecuación (0 = 4 ). Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver un sistema dependiente

 

Resuelve el sistema de ecuaciones.

 

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 \ 6x + 8y & = 24 end {align *} ]

 

Solución

 

Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para tratar de lograr forma fila-escalón .

 

(A = left [ begin {array} {cc | c} 3 y 4 y 12 \ 6 y 8 y 24 end {array} right] )

 

(- dfrac {1} {2} R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 0 & 0 & 0 \ 6 & 8 & 24 end {array} right] ) [19459003 ]  

(R_1 leftrightarrow R_2 = left [ begin {array} {cc | c} 6 & 8 & 24 \ 0 & 0 & 0 end {array} right] )

 

La matriz termina con todos los ceros en la última fila: (0y = 0 ). Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para encontrar la solución genérica, regrese a una de las ecuaciones originales y resuelva (y ).

 

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 \ 4y & = 12-3x \ y & = 3- dfrac {3} {4} x end {align *} ]

 

Entonces, la solución a este sistema es ( left (x, 3− dfrac {3} {4} x right) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Realización de operaciones de fila en una matriz aumentada (3 × 3 ) para obtener el formulario Row-Echelon

 

Realiza operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma escalonada de fila.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 \ 2 & -5 & 6 & 6 \ – 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

 

Solución

 

La primera fila ya tiene un (1 ) en la fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por (- 2 ) y agregarla a la fila 2. Luego reemplazar la fila 2 con el resultado .

 

(- 2R_1 + R_2 = R_2 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ – 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

 

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 1.

 

(3R_1 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 0 & -6 & 16 & 15 end {array} right] )

 

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 2.

 

(6R_2 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 4 & 15 end {array} right] )

 

El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3.

 

( dfrac {1} {3} R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 1 & dfrac {21} {2} end {array} right] )

 

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales usando matrices

 

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada , y luego cómo usar operaciones de fila y sustitución de espalda para obtener la forma escalonada de fila. Ahora, tomaremos forma fila-escalón un paso más para resolver un sistema de ecuaciones lineales (3 ) por (3 ). La idea general es eliminar todas las variables menos una utilizando las operaciones de fila y luego sustituirlas para resolver las otras variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices

 

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales usando matrices.

 

[ begin {align *} x-y + z & = 8 \ 2x + 3y-z & = -2 \ 3x-2y-9z & = 9 end {align *} ]

 

Solución

 

Primero, escribimos la matriz aumentada.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 y -1 y 1 y 8 \ 2 y 3 y -1 y -2 \ 3 y -2 y -9 y 9 end {array} right] )

 

A continuación, realizamos operaciones de fila para obtener la forma escalonada de fila.

 

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 \ 0 & 5 & -3 & -18 \ 3 & -2 & -9 & 9 end {array} right ] )

 

(- 3R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 \ 0 & 5 & -3 & -18 \ 0 & 1 & -12 & -15 end {array} right ] )

 

La forma más fácil de obtener un (1 ) en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar (R_2 ) y (R_3 ).

 

(Interchange space R_2 space y space R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -12 & -15 \ 0 & 5 & -3 & -18 end { matriz} right] )

 

Entonces

 

(- 5R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -12 & -15 \ 0 y 0 & 57 & 57 end {array} right] ) [ 19459003]  

(- dfrac {1} {57} R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -12 & -15 \ 0 & 0 & 1 & 1 end {array} right] )

 

La última matriz representa el sistema equivalente.

 

[ begin {align *} x − y + z & = 8 \ y − 12z & = −15 \ z & = 1 end {align *} ]

 

Utilizando la sustitución inversa, obtenemos la solución como ((4, −3,1) ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales usando matrices

 

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando matrices.

 

[ begin {align *} −x − 2y + z & = −1 \ 2x + 3y & = 2 \ y − 2z & = 0 end {align *} ]

 

Solución

 

Escribe la matriz aumentada.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} -1 & -2 & 1 & -1 \ 2 & 3 & 0 & 2 \ 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

 

Primero, multiplique la fila 1 por (- 1 ) para obtener un (1 ) en la fila 1, columna 1. Luego, realice operaciones de fila para obtener la forma fila-escalón.

 

(- R_1 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 2 & 3 & 0 & 2 \ 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

 

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 2 & 3 & 0 & 2 end {array} right] )

 

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 0 & -1 & 2 & 0 end {array} right] ) [ 19459003]  

(R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] )

 

La última matriz representa el siguiente sistema.

 

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 \ y − 2z & = 0 \ 0 & = 0 end {align *} ]

 

Vemos por la identidad (0 = 0 ) que este es un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego encontramos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación para (y ) y sustituirla en la primera ecuación podemos resolver (z ) en términos de (x ).

 

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 \ y & = 2z \ x + 2 (2z) −z & = 1 \ x + 3z & = 1 \ z & = dfrac {1 − x} {3} end {align *} ]

 

Ahora sustituimos la expresión por (z ) en la segunda ecuación para resolver (y ) en términos de (x ).

 

[ begin {align *} y − 2z & = 0 \ z & = dfrac {1 − x} {3} \ y − 2 left ( dfrac {1 − x} {3} right) & = 0 \ y & = dfrac {2−2x} {3} end {align *} ]

 

La solución genérica es ( left (x, dfrac {2−2x} {3}, dfrac {1 − x} {3} right) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve el sistema usando matrices.

 

[ begin {align *} x + 4y-z & = 4 \ 2x + 5y + 8z & = 1 \ 5x + 3y-3z & = 1 end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

((1,1,1) )

     
 
 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿Se puede resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación gaussiana?

 

Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño puede resolverse mediante eliminación gaussiana.

 
 
 

Cómo: dado un sistema de ecuaciones, resolver con matrices usando una calculadora

 
         
  1. Guarde la matriz aumentada como una variable de matriz ([A], [B], [C],…. )
  2.      
  3. Utilice la función ref ( en la calculadora, llamando cada variable de matriz según sea necesario.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9A} ): Resolver sistemas de ecuaciones con matrices usando una calculadora

 

Resuelve el sistema de ecuaciones.

 

[ begin {align *} 5x + 3y + 9z & = -1 \ -2x + 3y-z & = -2 \ -x-4y + 5z & = 1 end {align *} ] [19459003 ]  

Solución

 

Escribe la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 \ – 2 & 3 & -1 & -2 \ – 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] )

 

En la página de matriz de la calculadora, ingrese la matriz aumentada arriba como la variable de matriz ([A] ).

 

([A] = left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 \ – 2 & 3 & -1 & -2 \ – 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] ) [ 19459003]  

Use la función ref ( en la calculadora, llamando la variable de matriz ([A] ).

 

ref ([A])

 

Evaluar

 

[ begin {array} {cc} { left [ begin {array} {ccc | c} 1 & dfrac {3} {5} & dfrac {9} {5} & dfrac {1 } {5} \ 0 & 1 & dfrac {13} {21} & – dfrac {4} {7} \ 0 & 0 & 1 & – dfrac {24} {187} end {array} right] rightarrow} & { begin {align *} x + dfrac {3} {5} y + dfrac {9} {5} z & = – dfrac {1} {5} \ y + dfrac {13} {21} z & = – dfrac {4} {7} \ z & = – dfrac {24} {187} end {align *}} end {array} ]

 

Utilizando la sustitución posterior, la solución es ( left ( dfrac {61} {187}, – dfrac {92} {187}, – dfrac {24} {187} right) ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9B} ): Aplicación de matrices (2 × 2 ) a las finanzas

 

Carolyn invierte un total de ($ 12,000 ) en dos bonos municipales, uno que paga (10.5% ) intereses y el otro que paga (12% ) intereses. El interés anual ganado en las dos inversiones el año pasado fue de ($ 1,335 ). ¿Cuánto se invirtió en cada tasa?

 

Solución

 

Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Sea (x = ) la cantidad invertida a (10.5% ) de interés, y (y = ) la cantidad invertida a (12% ) de interés.

 

[ begin {align *} x + y & = 12,000 \ 0.105x + 0.12y & = 1,335 end {align *} ]

 

Como matriz, tenemos

 

( left [ begin {array} {cc | c} 1 y 1 y 12,000 \ 0.105 y 0.12 y 1,335 end {array} right] )

 

Multiplique la fila 1 por (- 0.105 ) y agregue el resultado a la fila 2.

 

( left [ begin {array} {cc | c} 1 y 1 y 12,000 \ 0 y 0.015 y 75 end {array} right] )

 

Entonces,

 

[ begin {align *} 0.015y & = 75 \ y & = 5,000 end {align *} ]

 

Entonces (12,000−5,000 = 7,000 ).

 

Por lo tanto, ($ 5,000 ) se invirtió a (12% ) intereses y ($ 7,000 ) a (10.5% ) intereses.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Aplicación de matrices (3 × 3 ) a las finanzas

 

Ava invierte un total de ($ 10,000 ) en tres cuentas, una que paga (5% ) intereses, otra que paga (8% ) intereses y la tercera que paga (9% ) intereses. El interés anual ganado en las tres inversiones el año pasado fue de ($ 770 ). La cantidad invertida en (9% ) fue el doble de la cantidad invertida en (5% ). ¿Cuánto se invirtió en cada tasa?

 

Solución

 

Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Sea (x ) la cantidad invertida a (5% ) de interés, deje (y ) la cantidad invertida a (8% ) de interés, y sea (z ) la cantidad invertida a (9% ) interés. Por lo tanto,

 

[ begin {align *} x + y + z & = 10,000 \ 0.05x + 0.08y + 0.09z & = 770 \ 2x − z & = 0 end {align *} ] [19459003 ]  

Como matriz, tenemos

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 y 1 y 1 y 10,000 \ 0.05 y 0.08 y 0.09 y 770 \ 2 y 0 y -1 y 0 end {array} right] )

 

Ahora, realizamos la eliminación gaussiana para lograr la forma escalonada.

 

(- 0.05R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 y 1 y 1 y 10,000 \ 0 y 0.03 y 0.04 y 270 \ 2 y 0 y -1 y 0 end {array} right] )

 

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 y 1 y 1 y 10,000 \ 0 y 0.03 y 0.04 y 270 \ 0 y -2 y -3 y -20,000 end {array} right] )

 

( dfrac {1} {0.03} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 \ 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9,000 \ 0 & -2 & -3 & -20,000 end {array} right] )

 

(2R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 \ 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9,000 \ 0 & 0 & – dfrac {1 } {3} & – 2,000 end {array} right] )

 

La tercera fila nos dice (- dfrac {1} {3} z = −2,000 ); así (z = 6,000 ).

 

La segunda fila nos dice (y + dfrac {4} {3} z = 9,000 ). Sustituyendo (z = 6,000 ), obtenemos

 

[ begin {align *} y + dfrac {4} {3} (6,000) & = 9,000 \ y + 8,000 & = 9,000 \ y & = 1,000 end {align *} ] [19459003 ]  

La primera fila nos dice (x + y + z = 10,000 ). Sustituyendo (y = 1,000 ) y (z = 6,000 ), obtenemos

 

[ begin {align *} x + 1,000 + 6,000 & = 10,000 \ x & = 3,000 end {align *} ]

 

La respuesta es ($ 3,000 ) invertido a (5% ) interés, ($ 1,000 ) invertido a (8% ), y ($ 6,000 ) invertido a (9% ) interés .

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Una pequeña compañía de zapatos sacó un préstamo de ($ 1,500,000 ) para expandir su inventario. Parte del dinero fue prestado en (7% ), parte fue prestada en (8% ) y parte fue prestada en (10% ). El monto prestado a (10% ) fue cuatro veces el monto prestado a (7% ), y el interés anual de los tres préstamos fue ($ 130,500 ). Use matrices para encontrar la cantidad prestada a cada tasa.

 
     
Respuesta
     
     

($ 150,000 ) en (7% ), ($ 750,000 ) en (8% ), ($ 600,000 ) en (10% )

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando la eliminación gaussiana.

 
 
]]>

,

Deja una respuesta