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las matematicas

11.8: Comprender la pendiente de una línea (Parte 2)

Graficar una línea dada un punto y la pendiente

 

En este capítulo, graficamos líneas trazando puntos, usando intersecciones y reconociendo líneas horizontales y verticales.

 

Otro método que podemos usar para graficar líneas es el método de punto y pendiente. A veces, se nos dará un punto y la pendiente de la línea, en lugar de su ecuación. Cuando esto sucede, usamos la definición de pendiente para dibujar la gráfica de la línea.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (1, −1) cuya pendiente es m = ( dfrac {3} {4} ).

 

Solución

 

Trace el punto dado, (1, −1).

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -1 to 7. The y-axis runs from -3 to 4. A labeled point is drawn at “ordered pair 1, -1”.

 

Utilice la fórmula de la pendiente m = ( dfrac {rise} {run} ) para identificar el ascenso y la carrera.

 

$$ begin {split} m & = dfrac {3} {4} \ dfrac {rise} {run} & = dfrac {3} {4} \ rise & = 3 \ run & = 4 end {split} $$

 

Comenzando en el punto que trazamos, cuente el aumento y corra para marcar el segundo punto. Contamos 3 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. Two line segments are drawn. A vertical line segment connects the points “ordered pair 1, -1” and “order pair “1, 2”. It is labeled “3”. A horizontal line segment starts at the top of the vertical line segment and goes to the right, connecting the points “ordered pair 1, 2” and “ordered pair 5, 2”. It is labeled “4”.

 

Luego conectamos los puntos con una línea y dibujamos flechas en los extremos para mostrar que continúa.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -3 to 5. The y-axis runs from -1 to 7. Two unlabeled points are drawn at  “ordered pair 1, -1” and  “ordered pair 5, 2”.  A line passes through the points. Two line segments form a triangle with the line. A vertical line connects “ordered pair 1, -1” and “ordered pair 1, 2 ”.  A horizontal line segment connects “ordered pair 1, 2” and “ordered pair 5, 2”.

 

Podemos verificar nuestra línea comenzando en cualquier punto y contando hasta 3 y hacia la derecha 4. Deberíamos llegar a otro punto en la línea.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto con la pendiente dada:

 

(2, −2), m = ( dfrac {4} {3} )

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -12 to 12. The y-axis runs from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair -2, 3” and “ordered pair 8, 6”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto con la pendiente dada:

 

(−2, 3), m = ( dfrac {1} {4} )

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -12 to 12. The y-axis runs from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair -2, 3” and “ordered pair 2, 4”.

     
 
 
 
 
 

CÓMO: GRAFICAR UNA LÍNEA DADO UN PUNTO Y UNA PENDIENTE

 

Paso 1. Trazar el punto dado.

 

Paso 2. Usa la fórmula de la pendiente para identificar el ascenso y la carrera.

 

Paso 3. Comenzando en el punto dado, cuente el aumento y corra para marcar el segundo punto.

 

Paso 4. Conecta los puntos con una línea.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Representa gráficamente la línea con la intersección con el eje y (0, 2) y la pendiente m = (- dfrac {2} {3} ).

 

Solución

 

Trace el punto dado, la intersección en y (0, 2).

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -1 to 4. The y-axis runs from -1 to 3. The point “ordered pair 0, 2” is labeled.

 

Utilice la fórmula de la pendiente m = carrera de subida para identificar la subida y la carrera.

 

$$ begin {split} m & = – dfrac {2} {3} \ dfrac {rise} {run} & = dfrac {−2} {3} \ rise & = –2 \ run & = 3 end {split} $$

 

Comenzando en (0, 2), cuente el aumento y la carrera y marque el segundo punto.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. A vertical line segment connects points at “ordered pair 0, 2” and “ordered pair 0, 0” and is labeled “down 2”. A horizontal line segment connects “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 0, 3” and is labeled “right 3”.

 

Conecta los puntos con una línea.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. Two labeled points are drawn at  “ordered pair 0, 2” and  “ordered pair 3, 0”.  A line passes through the points. Two line segments form a triangle with the line. A vertical line connects “ordered pair 0, 2” and “ordered pair 0, 0 ”.  A horizontal line segment connects “ordered pair 0, 0” and “ordered pair 3, 0”.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Representa gráficamente la línea con la intersección y la pendiente indicadas:

 

intersección en y 4, m = (- dfrac {5} {2} )

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -12 to 12. The y-axis runs from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair 0, 4” and “ordered pair 4, -6”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Representa gráficamente la línea con la intersección y la pendiente indicadas:

 

intersección x −3, m = (- dfrac {3} {4} )

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -12 to 12. The y-axis runs from -12 to 12. A line passes through the points “ordered pair -3, 0” and “ordered pair 8, -8”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (−1, −3) cuya pendiente es m = 4.

 

Solución

 

Trace el punto dado.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. The point “ordered pair -1, -3” is labeled.

                                                                                                                                                              
Identifica el ascenso y la carrera. $$ m = 4 tag {11.4.44} $$
Escribe 4 como una fracción. $$ dfrac {subida} {run} = dfrac {4} {1} tag {11.4.45} $$
subida = 4, carrera = 1
 

Cuenta el ascenso y corre.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. The y-axis runs from -4 to 2. A vertical line segment connects points at “ordered pair -1,  -3” and “ordered pair -1, 1” and is labeled “up 4”. A horizontal line segment connects “ordered pair -1, 1” and “ordered pair 0, 1” and is labeled “over 1”.

 

Marque el segundo punto. Conecta los dos puntos con una línea.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. Both axes run from -5 to 5. Two labeled points are drawn at  “ordered pair -1, -3” and  “ordered pair -1, 1”.  A line passes through the points. Two line segments form a triangle with the line. A vertical line connects “ordered pair -1, -3” and “ordered pair -1, 1 ”. It is labeled “up 4” A horizontal line segment connects “ordered pair -1, 1” and “ordered pair 0, 1”. It is labeled “over 1”

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Representa gráficamente la línea con la intersección y la pendiente dadas: (−2, 1), m = 3.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -7 to 7. The y-axis runs from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair -2, 1” and “ordered pair 0, 7”.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Representa gráficamente la línea con la intersección y la pendiente dadas: (4, −2), m = −2.

 
     
Respuesta
     
     

The graph shows the x y-coordinate plane. The x-axis runs from -7 to 7. The y-axis runs from -7 to 7. A line passes through the points “ordered pair 0, 6” and “ordered pair 0, 3”.

     
 
 
 

Resolver aplicaciones de pendiente

 

Al comienzo de esta sección, dijimos que hay muchas aplicaciones de pendiente en el mundo real. Veamos algunos ahora.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

La inclinación del techo de un edificio es la pendiente del techo. Conocer el campo es importante en climas donde hay fuertes nevadas. Si el techo es demasiado plano, el peso de la nieve puede hacer que se colapse. ¿Cuál es la pendiente del techo que se muestra?

 

This figure shows a house with a sloped roof. The roof on one half of the building is labeled “pitch of the roof”. There is a line segment with arrows at each end measuring the vertical length of the roof and is labeled “rise = 9 feet”. There is a line segment with arrows at each end measuring the horizontal length of the root and is labeled “run = 18 feet”.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Usa la fórmula de la pendiente. $$ m = dfrac {subida} {ejecutar} tag {11.4.46} $$
Sustituya los valores de aumento y ejecución. $$ m = dfrac {9 ; ft} {18 ; ft} tag {11.4.47} $$
Simplifica. $$ m = dfrac {1} {2} tag {11.4.48} $$
La pendiente del techo es ( dfrac {1} {2} ).
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Encuentra la pendiente dada subida y corrida: un techo con una subida = 14 y corrida = 24.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7} {12} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Encuentra la pendiente dada subida y corrida: un techo con una subida = 15 y corrida = 36.

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5} {12} )

     
 
 
 

¿Alguna vez has pensado en las tuberías de alcantarillado que van de tu casa a la calle? Su pendiente es un factor importante en la forma en que eliminan los desechos de su casa.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Las tuberías de aguas residuales deben inclinarse hacia abajo ( dfrac {1} {4} ) pulgadas por pie para drenar adecuadamente. ¿Cuál es la pendiente requerida?

 

This figure shows a  right triangle. The short leg is vertical and is labeled “1 over 4 inch”. The long leg labeled “1 foot”.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Usa la fórmula de la pendiente. $$ m = dfrac {subida} {carrera} = dfrac {- dfrac {1} {4} ; En 1; ft} tag {11.4.49} $$
Convertir 1 pie a 12 pulgadas. $$ m = dfrac {- dfrac {1} {4} ; pulg.} {12 ; in} tag {11.4.50} $$
Simplifica. $$ m = – dfrac {1} {48} tag {11.4.51} $$
La pendiente de la tubería es (- dfrac {1} {48} ).
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Encuentre la pendiente de la tubería: la tubería se inclina hacia abajo ( dfrac {1} {3} ) pulgada por pie.

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {1} {36} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Encuentre la pendiente de la tubería: la tubería se inclina hacia abajo ( dfrac {3} {4} ) pulgadas por yarda.

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {1} {48} )

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Usar geoboards para modelar pendientes

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente modelada en cada geoboard.

 
         
  1. The figure shows a grid of evenly spaced dots. There are 5 rows and 5 columns. There is a rubber band style loop connecting the point in column 1 row 3 and the point in column 5 row 2.
  2.      
  3. The figure shows a grid of evenly spaced dots. There are 5 rows and 5 columns. There is a rubber band style loop connecting the point in column 2 row 4 and the point in column 5 row 2.
  4.      
  5. The figure shows a grid of evenly spaced dots. There are 5 rows and 5 columns. There is a rubber band style loop connecting the point in column 2 row 1 and the point in column 4 row 4.
  6.      
  7. The figure shows a grid of evenly spaced dots. There are 5 rows and 5 columns. There is a rubber band style loop connecting the point in column 2 row 1 and the point in column 4 row 4.
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, modele cada pendiente. Haz un dibujo para mostrar tus resultados.

 
         
  1. ( dfrac {2} {3} )
  2.      
  3. ( dfrac {3} {4} )
  4.      
  5. ( dfrac {1} {4} )
  6.      
  7. ( dfrac {4} {3} )
  8.      
  9. (- dfrac {1} {2} )
  10.      
  11. (- dfrac {3} {4} )
  12.      
  13. (- dfrac {2} {3} )
  14.      
  15. (- dfrac {3} {2} )
  16.  
 

Hallar la pendiente de las líneas horizontales y verticales

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente de cada línea.

 
         
  1. y = 3
  2.      
  3. y = 1
  4.      
  5. x = 4
  6.      
  7. x = 2
  8.      
  9. y = −2
  10.      
  11. y = −3
  12.      
  13. x = −5
  14.      
  15. x = −4
  16.  
 

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos

 

En los siguientes ejercicios, usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea entre cada par de puntos.

 
         
  1. (1, 4), (3, 9)
  2.      
  3. (2, 3), (5, 7)
  4.      
  5. (0, 3), (4, 6)
  6.      
  7. (0, 1), (5, 4)
  8.      
  9. (2, 5), (4, 0)
  10.      
  11. (3, 6), (8, 0)
  12.      
  13. (−3, 3), (2, −5)
  14.      
  15. (−2, 4), (3, −1)
  16.      
  17. (−1, −2), (2, 5)
  18.      
  19. (−2, −1), (6, 5)
  20.      
  21. (4, −5), (1, −2)
  22.      
  23. (3, −6), (2, −2)
  24.  
 

Graficar una recta dado un punto y la pendiente

 

En los siguientes ejercicios, grafica la línea dada un punto y la pendiente.

 
         
  1. (1, −2); m = ( dfrac {3} {4} )
  2.      
  3. (1, -1); m = ( dfrac {1} {2} )
  4.      
  5. (2, 5); m = (- dfrac {1} {3} )
  6.      
  7. (1, 4); m = (- dfrac {1} {2} )
  8.      
  9. (−3, 4); m = (- dfrac {3} {2} )
  10.      
  11. (−2, 5); m = (- dfrac {5} {4} )
  12.      
  13. . (−1, −4); m = ( dfrac {4} {3} )
  14.      
  15. (−3, −5); m = ( dfrac {3} {2} )
  16.      
  17. (0, 3); m = (- dfrac {2} {5} )
  18.      
  19. (0, 5); m = (- dfrac {4} {3} )
  20.      
  21. (−2, 0); m = (- dfrac {3} {4} )
  22.      
  23. (-1, 0); m = ( dfrac {1} {5} )
  24.      
  25. (−3, 3); m = 2
  26.      
  27. (−4, 2); m = 4
  28.      
  29. (1, 5); m = −3
  30.      
  31. (2, 3); m = −1
  32.  
 

Resolver aplicaciones de pendiente

 

En los siguientes ejercicios, resuelva estas aplicaciones de pendientes.

 
         
  1. Pendiente de un techo Una forma bastante fácil de determinar la pendiente es tomar un nivel de 12 pulgadas y colocarlo en un extremo de la superficie del techo. Luego tome una cinta métrica o regla, y mida desde el otro extremo del nivel hasta la superficie del techo. Puede usar estas medidas para calcular la pendiente del techo. ¿Cuál es la pendiente del techo en esta imagen?
  2.  
 

The figure shows a wood board at a diagonal representing a side-view slice of a pitched roof. A vertical line segment with arrows on both ends measures the vertical change in height of the roof and is labeled “4 inches”. A level tool is in a horizontal position above the board and above it is a line segment with arrows on both ends labeled “12 inches”.

 
         
  1. ¿Cuál es la pendiente del techo que se muestra?
  2.  
 

The figure shows a  diagonal side-view slice of a pitched roof. A ruler in vertical position is at the bottom of the roof segment and shows unit labels 1 through 8 and extends one further unit. A second ruler starts at the “7” label of the vertical ruler and extends horizontally until it hits the rising roof. The horizontal ruler has unit labels 1 through 11 and extends one further unit.

 
         
  1. Grado del camino Un camino local tiene un grado del 6%. El grado de una carretera es su pendiente expresada como un porcentaje.      
               
    1. Encuentra la pendiente del camino como una fracción y luego simplifica la fracción.
    2.          
    3. ¿Qué subida y carrera reflejarían esta pendiente o pendiente?
    4.      
         
  2.      
  3. Grado de carretera Una carretera local se eleva 2 pies por cada 50 pies de carretera.      
               
    1. ¿Cuál es la pendiente de la carretera?
    2.          
    3. El grado de una carretera es su pendiente expresada como porcentaje. ¿Cuál es el grado de esta carretera?
    4.      
         
  4.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Rampa para silla de ruedas Las reglas para las rampas para sillas de ruedas requieren un aumento máximo de 1 pulgada para una carrera de 12 pulgadas.      
               
    1. ¿Cuánto tiempo debe ser la rampa para acomodar una elevación de 24 pulgadas a la puerta?
    2.          
    3. Dibuja un modelo de esta rampa.
    4.      
         
  2.      
  3. Rampa para silla de ruedas Un aumento de 1 pulgada para una carrera de 16 pulgadas facilita que el usuario de la silla de ruedas suba la rampa.      
               
    1. ¿Qué tan larga debe ser la rampa para acomodar fácilmente una elevación de 24 pulgadas a la puerta?
    2.          
    3. Dibuja un modelo de esta rampa.
    4.      
         
  4.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. ¿Qué te dice el signo de la pendiente acerca de una línea?
  2.      
  3. ¿Cómo difiere la gráfica de una línea con pendiente m = ( dfrac {1} {2} ) de la gráfica de una línea con pendiente m = 2?
  4.      
  5. ¿Por qué la pendiente de una línea vertical no está definida?
  6.      
  7. Explica cómo puedes graficar una línea dado un punto y su pendiente.
  8.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

CNX_BMath_Figure_AppB_069.jpg

 

(b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?

 
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