Evaluación del determinante de una matriz 2 × 2

Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como el cálculo de área, volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos determinantes para revelar si una matriz es invertible al usar las entradas de una matriz cuadrada para determinar si hay una solución para el sistema de ecuaciones. Quizás una de las aplicaciones más interesantes, sin embargo, es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros a veces se envían codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestros propósitos, nos enfocamos en el determinante como una indicación de la invertibilidad de la matriz. Calcular el determinante de una matriz implica seguir los patrones específicos que se describen en esta sección.

Usando la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables

Ahora presentaremos un método final para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como Regla de Cramer , esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), quien la introdujo en 1750 en Introducción à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . La Regla de Cramer es un método viable y eficiente para encontrar soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que incógnitas.

La regla de Cramer nos dará la solución única a un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, se deberá utilizar otro método, como la eliminación.

Para comprender la regla de Cramer, veamos de cerca cómo resolvemos sistemas de ecuaciones lineales utilizando operaciones de fila básicas. Considere un sistema de dos ecuaciones en dos variables.

[ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) label {eq1} \ a_2x + b_2y & = c_2 (2) label {eq2} \ end {align} ]

Eliminamos una variable usando operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para (x ). Si la ecuación ref {eq2} se multiplica por el opuesto del coeficiente de (y ) en la ecuación ref {eq1}, la ecuación ref {eq1} se multiplica por el coeficiente de (y ) en la ecuación ref {eq2}, y sumamos las dos ecuaciones, la variable (y ) será eliminada.

[ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} b_2 \ – & underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & text {Multiply} R_2 text {by} −b_1 \ & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 end {align *} ]

Ahora, resuelve (x ).

[ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 \ x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 \ x & = dfrac {b_2c_1 − b_12_ {{b }_2_2} dfrac { begin {bmatrix} c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {align *} ]

Del mismo modo, para resolver (y ), eliminaremos (x ).

[ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} a_2 \ – & underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & text {Multiply} R_2 text {by} −a_1 \ & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 end {align *} ]

Resolver para (y ) da

[ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 \ y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 \ y & = dfrac {a_2c_1 − a_1c_} {2} dfrac {a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_ix end} bma {end {btr alinear *} ]

Observe que el denominador tanto para (x ) como para (y ) es el determinante de la matriz de coeficientes.

Podemos usar estas fórmulas para resolver (x ) e (y ), pero la Regla de Cramer también introduce una nueva notación:

     
• (D ): determinante de la matriz de coeficientes
     
• (D_x ): determinante del numerador en la solución de (x )      

  [x = dfrac {D_x} {D} ]

       
     
• (D_y ): determinante del numerador en la solución de (y )      

  [y = dfrac {D_y} {D} ]

       
 

La clave de la regla de Cramer es reemplazar la columna de interés variable con la columna constante y calcular los determinantes. Entonces podemos expresar (x ) y (y ) como un cociente de dos determinantes.

Evaluación del determinante de una matriz 3 × 3

Encontrar el determinante de una matriz de 2 × 2 es sencillo, pero encontrar el determinante de una matriz de 3 × 3 es más complicado. Un método es aumentar la matriz 3 × 3 con una repetición de las dos primeras columnas, dando una matriz 3 × 5. Luego calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo cada una de las tres diagonales (superior izquierda a inferior derecha), y restamos los productos de las entradas hacia arriba cada una de las tres diagonales (inferior De izquierda a derecha superior). Esto se entiende más fácilmente con un visual y un ejemplo.

Encuentra el determinante de la matriz 3 × 3.

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end {bmatrix} )

     
1. Aumento (A ) con las dos primeras columnas.      

   ( det (A) = left | begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 end {array} right9 ] [19}      

     
2. Desde la parte superior izquierda a la inferior derecha: multiplique las entradas hacia abajo en la primera diagonal. Agregue el resultado al producto de las entradas en la segunda diagonal. Agregue este resultado al producto de las entradas en la tercera diagonal.
     
3. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas hasta la primera diagonal. De este resultado, reste el producto de las entradas hasta la segunda diagonal. De este resultado, reste el producto de las entradas hasta la tercera diagonal.
 

El álgebra es el siguiente:

(| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 )

Usando la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables

Ahora que podemos encontrar el determinante de una matriz (3 × 3 ), podemos aplicar la Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables. La regla de Cramer es sencilla, siguiendo un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices (2 × 2 ). Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a (3 × 3 ), se requieren muchos más cálculos.

Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no indica si el sistema no tiene solución o si tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que realizar la eliminación en el sistema.

Considere un sistema de ecuaciones (3 × 3 ).

[ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = color {blue} d_1 \ a_2x + b_2y + c_2z & = color {blue} d_2 \ a_3x + b_3y + c_3z & = color { azul} d_3 \ end {align} ]

(x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ), ( D ≠ 0 )

donde

[D = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_x = begin {vmatrix} color {blue} d_1 & b_1 & c_1 \ color {blue} d_2 & b_2 & c_2 \ color {blue} d_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_y = begin {vmatrix} a_1 & color {blue} d_1 & c_1 \ a_2 & color {blue} d_2 & c_2 \ a_3 & color {blue} d_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_z = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & color {blue} d_1 \ a_2 & b_2 & color {blue} d_2 \ a_3 & b_3 & color {blue} d_3 end {vmatrix} ] [19459003 ]  

Si estamos escribiendo el determinante (D_x ), reemplazamos la columna (x ) con la columna constante. Si estamos escribiendo el determinante (D_y ), reemplazamos su columna y con la columna constante. Si estamos escribiendo el determinante (D_z ), reemplazamos la columna (z ) con la columna constante. Siempre revisa la respuesta.

 

Ejemplo ( PageIndex {5A} ): Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema inconsistente

 

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer.

 

[ begin {align} 3x-2y & = 4 label {eq3} \ 6x-4y & = 0 label {eq4} end {align} ]

 

Solución

 

Comenzamos por encontrar los determinantes (D ), (D_x ) y (D_y ).

 

(D = begin {vmatrix} 3 & −2 \ 6 & −4 end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 )

 

Sabemos que un determinante de cero significa que el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para ver cuál, utilizamos el proceso de eliminación. Nuestro objetivo es eliminar una de las variables.

 

     
1. Multiplica la ecuación ref {eq3} por (- 2 ).
     
2. Agregue el resultado a la ecuación ref {eq4}.
 

 

[ begin {align *} & −6x + 4y = −8 \ & ; ; ; underline {6x − 4y = 0} \ & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = −8 end {align *} ]

 

Obtenemos la ecuación (0 = −8 ), que es falsa. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Graficar el sistema revela dos líneas paralelas. Ver Figura ( PageIndex {1} ).

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5B} ): Use la regla de Cramer para resolver un sistema dependiente

 

Resuelve el sistema con un número infinito de soluciones.

 

[ begin {align} x-2y + 3z & = 0 label {eq5} \ 3x + y-2z & = 0 label {eq6} \ 2x-4y + 6z & = 0 label {eq7} end {align} ]

 

Solución

 

Primero, encontremos el determinante. Configure una matriz aumentada por las dos primeras columnas.

 

( left | begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 \ 3 & 1 & −2 & 3 & 1 \ 2 & −4 & 6 & 2 & -4 end {array} right | )

 

Entonces,

 

(1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) – (- 4) (- 2) (1) −6 (3) (- 2) = 0 )

 

Como el determinante es igual a cero, no hay solución o hay un número infinito de soluciones. Tenemos que realizar la eliminación para averiguarlo.

 

1. Multiplica la ecuación ref {eq5} por (- 2 ) y agrega el resultado a la ecuación ref {eq7}:

 

[ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 \ & ; ; underline {2x − 4y + 6z = 0} \ & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = 0 end {align *} ]

 

2. Obtener una respuesta de (0 = 0 ), una afirmación que siempre es verdadera, significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Graficando el sistema, podemos ver que dos de los planos son iguales y ambos cruzan el tercer plano en una línea. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 

 

Comprender las propiedades de los determinantes

Hay muchas propiedades de los determinantes. A continuación se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz.

Conceptos clave

     
• El determinante para ( begin {bmatrix} a & b \ c & d end {bmatrix} ) es (ad − bc ). Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
     
• La regla de Cramer reemplaza una columna variable con la columna constante. Las soluciones son (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ). Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
     
• Para encontrar el determinante de una matriz (3 × 3 ), aumente con las dos primeras columnas. Agregue las tres entradas diagonales (superior izquierda a inferior derecha) y reste las tres entradas diagonales (inferior izquierda a superior derecha). Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
     
• Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables usando la Regla de Cramer, reemplace una columna variable con la columna constante para cada solución deseada: (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ). Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
     
• La regla de Cramer también es útil para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o soluciones infinitas. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ) y Ejemplo ( PageIndex {6} ).
     
• Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo:      
           
  • Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas en la diagonal principal.
           
  • Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo.
           
  • Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero.
           
  • Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero.
           
  • El determinante de una matriz inversa (A ^ {- 1} ) es el recíproco del determinante de la matriz (A ).
           
  • Si alguna fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Ver Ejemplo ( PageIndex {7} ) y Ejemplo ( PageIndex {8} ).