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las matematicas

12.2: Secuencias

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Escriba los primeros términos de una secuencia

 

Veamos la función (f (x) = 2x ) y evaluémosla solo para los números de conteo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = 2x )
(x ) (2x )
(1 ) (2 )
(2 ) (4 )
(3 ) (6 )
(4 ) (8 )
(5 ) (10 ​​)
(… ) (… )
 

Tabla 12.1.1

 

Si enumeramos los valores de la función en orden como (2, 4, 6, 8 ) y (10 ​​), … tenemos una secuencia. Una secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo.

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Una secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo.

 
 

Una secuencia también se puede ver como una lista ordenada de números y cada número en la lista es un término . Una secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (puntos suspensivos) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números de conteo, entonces la secuencia es una secuencia infinita . Su dominio son todos los números de conteo y hay un número infinito de números de conteo.

 

(2,4,6,8,10, puntos )

 

Si limitamos el dominio a un número finito de números contables, entonces la secuencia es una secuencia finita . Si utilizamos solo los primeros cuatro números de conteo, (1, 2, 3, 4 ) nuestra secuencia sería la secuencia finita,

 

(2,4,6,8 )

 

A menudo, cuando trabajamos con secuencias, no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos (f (x) = 2x ) y dijimos que la expresión (2x ) era la regla que definía los valores en el rango. Si bien una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En lugar de escribir la función como (f (x) = 2x ), la escribiríamos como (a_ {n} = 2n ). El (a_ {n} ) es el término (n ) de la secuencia, el término en la posición (n ) th donde (n ) es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el término (n ) th de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

El término general de la secuencia se encuentra en la fórmula para escribir el término (n ) de la secuencia. El término (n ) th de la secuencia, (a_ {n} ), es el término en la posición (n ) th donde (n ) es un valor en el dominio.

 
 

Cuando se nos da el término general de la secuencia, podemos encontrar los términos reemplazando (n ) con los números de conteo en orden. Para (a_ {n} = 2 n ),

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
(n ) (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 )
(a_ {n} ) 2 ( cdot 1 ) 2 ( cdot 2 ) 2 ( cdot 3 ) 2 ( cdot 4 ) 2 ( cdot 5 ) 2 ( cdot 6 )
(2 ) (4 ) (6 ) (8 ) (10 ​​)
 

Tabla 12.1.2

 

(a_ {1}, quad a_ {2}, quad a_ {3}, quad a_ {4}, quad a_ {5}, ldots, quad a_ {n}, dots )

 

(2, quad 4, quad 6, quad 8, quad10, dots ) ​​

 

Para encontrar los valores de una secuencia, sustituimos los números de cuenta en orden en el término general de la secuencia.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 4 n-3 ).

 

Solución :

 

Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4 ) y (5 ) en la fórmula, (a_ {n} = 4n − 3 ), en orden.

 

 

This figure shows three rows and five columns. The first row reads nth term equals 4 times n minus 3 written five times. The second row reads a sub 1 equals 4 times g times 1 minus 3, a sub 2 equals 4 times g times 2 minus 3, a sub 3 equals 4 times g times 3 minus 3, a sub 4 equals 4 times g times 4 minus 3, a sub 5 equals 4 times g times 5 minus 3. The third row reads, a sub 1 equals 1, a sub 2 equals 5, a sub 3 equals 9, a sub 4 equals 13, a sub 5 equals 17.  
Figura 12.1.1
 
 

Respuesta :

 

Los primeros cinco términos de la secuencia son (1, 5, 9, 13 ) y (17 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 3n-4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1,2,5,8,11 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 2n-5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 3, -1,1,3,5 )

     
 
 
 

Para algunas secuencias, la variable es un exponente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 2 ^ {n} +1 ).

 

Solución :

 

Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4 ) y (5 ) en la fórmula, (a_ {n} = 2 ^ {n} +1 ), en orden.

 

 

This figure shows three rows and five columns. The first row reads “nth term equals 2 to the nth power plus 1” written five times. The second row reads, “a sub 1 equals 2 times 1 plus 1, a sub 2 equals 2 to the power of 2 plus 1, a sub 3 equals 2 to the power 3 plus 1, a sub 4 equals 2 to the power of 4 plus 1, a sub 5 equals 2 to the power 5 plus 1”. The last row reads “a sub 1 equals 3, a sub 2 equals 5, a sub 3 equals 9, a sub 4 equals 17, a sub 5 equals 33”.  
Figura 12.1.2
 
 

Respuesta :

 

Los primeros cinco términos de la secuencia son (3, 5, 9, 17 ) y (33 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 3 ^ {n} +4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(7,13,31,85,247 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = 2 ^ {n} -5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 3, -1,3,11,27 )

     
 
 
 

No es raro ver las expresiones ((- 1) ^ {n} ) o ((- 1) ^ {n + 1} ) en el término general para una secuencia. Si evaluamos cada una de estas expresiones para algunos valores, vemos que esta expresión alterna el signo de los términos.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
(n ) (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 )
((- 1) ^ {n} ) ((- 1) ^ {1} )
(- 1 )
((- 1) ^ {2} )
1
((- 1) ^ {3} )
(- 1 )
((- 1) ^ {4} )
(1 )
((- 1) ^ {5} )
(- 1 )
((- 1) ^ {n + 1} ) ((- 1) ^ {1 + 1} )
1
((- 1) ^ {2 + 1} )
(- 1 )
((- 1) ^ {3 + 1} )
1
((- 1) ^ {4 + 1} )
(- 1 )
((- 1) ^ {5 + 1} )
1
 

Tabla 12.1.3

 

(a_ {1}, quad a_ {2}, quad a_ {3}, quad a_ {4}, quad a_ {5}, dots, quad a_ {n}, dots )

 

( begin {array} {rrrr} {- 1,} & {1,} & {-1,} & {1,} & {-1 ldots} \ {1,} & {- 1,} y {1,} y {-1,} y {1 ldots} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {3} ).

 

Solución :

 

Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4 ) y (5 ) en la fórmula, (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {3} ), en orden.

 

 

This figure shows three rows and five columns. The first row reads “nth term equals negative 1 to the nth power times n cubed” written five times. The second row reads a sub 1 equals negative 1 to the power of 1 times g times 1 cubed, a sub 2 equals negative 1 squared time g times 2 cubed, a sub 3 equals negative 1 cubed times g times 23 cubed, a sub 4 equals negative 1 to the power of 4 times g times 4 cubed, a sub 5 equals negative 1 to the power of 5 times g times 5 cubed. The last row reads, “a sub 1 equals negative 1, a sub 2 equals 8, a sub 3 equals negative 27, a sub 4 equals 64, and a sub 5 equals negative 125.  
Figura 12.1.3
 
 

Respuesta :

 

Los primeros cinco términos de la secuencia son (- 1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64 ) y (- 125 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1,4, -9,16, -25 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} n ^ {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(1, -8,27, -64,125 )

     
 
 
 

Encuentre una fórmula para el término general ( (n ) th Término) de una secuencia

 

A veces tenemos algunos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o (n ) th término. Para encontrar el término general, buscamos patrones en los términos. A menudo, los patrones involucran múltiplos o poderes. También buscamos un patrón en los signos de los términos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. (4,8,12,16,20, puntos )

 

Solución :

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
.
Buscamos un patrón en los términos. .
Los números son todos múltiplos de (4 ). .
El término general de la secuencia es (a_ {n} = 4n ).
     

Tabla 12.1.4

     

Respuesta :

     

El término general de la secuencia es (a_ {n} = 4n ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 

(3,6,9,12,15, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = 3 n )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 

(5,10,15,20,25, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = 5 n )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. (2, -4,8, -16,32, puntos )

 

Solución :

 
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
                 
.                  
Figura 12.1.8
                 
                 
                 
.                  
Figura 12.1.9
                 
                 
Buscamos un patrón en los términos.                  
.                  
Figura 12.1.10
                 
                 
Los números son potencias de (2 ). Los signos son alternos, con incluso (n ) negativo.                  
.                  
Figura 12.1.11
                 
                 
El término general de la secuencia es (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} )
     

Tabla 12.1.5

     

Respuesta :

     

El término general de la secuencia es (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 

(- 3,9, -27,81, -243, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = (- 1) ^ {n} 3 ^ {n} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran

 

(1, -4,9, -16,25, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} n ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. ( frac {1} {3}, frac {1} {9}, frac {1} {27}, frac {1} {81}, frac {1} {243}, dots )

 

Solución :

 
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
                 
.                  
Figura 12.1.12
                 
                 
                 
.                  
Figura 12.1.13
                 
                 
Buscamos un patrón en los términos.                  
.                  
Figura 12.1.14
                 
                 
Los numeradores son todos (1 ).                  
.                  
Figura 12.1.15
                 
                 
Los denominadores son potencias de (3 ). El término general de la secuencia es (a_ {n} = frac {1} {3 ^ {n}} ).
     

Tabla 12.1.6

     

Respuesta :

     

El término general de la secuencia es (a_ {n} = frac {1} {3 ^ {n}} ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 

( frac {1} {2}, frac {1} {4}, frac {1} {8}, frac {1} {16}, frac {1} {32}, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = frac {1} {2 ^ {n}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

 

( frac {1} {1}, frac {1} {4}, frac {1} {9}, frac {1} {16}, frac {1} {25}, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = frac {1} {n ^ {2}} )

     
 
 
 

Usar notación factorial

 

Las secuencias a menudo tienen términos que son productos de enteros consecutivos. Indicamos estos productos con una notación especial llamada notación factorial . Por ejemplo, (5! ), Lea (5 ) factorial, significa (5⋅4⋅3⋅2⋅1 ). El signo de exclamación no es puntuación aquí; indica la notación factorial .

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Si (n ) es un entero positivo, entonces (n! ) Es

 

(n! = N (n-1) (n-2) dots ) ​​

 

Definimos (0! ) Como (1 ), entonces (0! = 1 ).

 
 

Se muestran los valores de (n! ) Para los primeros (5 ) enteros positivos.

 

( begin {array} {ccccc} {1!} & {2!} & {3!} & {4!} & {5!} \ {1} & quad {2 cdot 1 } & quad {3 cdot 2 cdot 1} & quad {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} y quad {5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} \ {1 } & {2} y {6} y {24} y {120} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {1} {n!} ).

 

Solución :

 

Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4, 5 ) en la fórmula, (a_ {n} = frac {1} {n!} ), En orden.

 

 

This figure shows four rows and five columns. The first row reads, “nth term equals one divided by n factorial” written five times. The second row reads “a sub 1 equals one divided by 1 factorial, a sub 2 equals 1 divided by 2 factorial, a sub 3 equals 1 divided by 3 factorial, a sub 4 equals 1 divided by 4 factorial, a sub 5 equals 1 divided by 5 factorial”. The third row reads “a sub 1 equals 1 divided 1”, “a sub 2 equals 1 divided by 2 times g times 1”, “a sub 3 equals 1 divided by 3 times g times 2 g times 1”, “a sub 4 equals 1 divided 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1”, “a sub 5 equals 1 divided by 5 g times 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1”, “a sub 1 equals 1, a sub 2 equals one-half”, “a sub 3 equals one-sixth”, “a sub 4 equals 1 divided by 24”, “a sub 5 equals 1 divided by 120”.  
Figura 12.1.16
 
 

Respuesta :

 

Los primeros cinco términos de la secuencia son (1, frac {1} {2}, frac {1} {6}, frac {1} {24}, frac {1} {120} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {2} {n!} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2,1, frac {1} {3}, frac {1} {12}, frac {1} {60} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {3} {n!} ).

 
     
Respuesta
     
     

(3, frac {3} {2}, frac {1} {2}, frac {1} {8}, frac {1} {40} )

     
 
 
 

Cuando hay una fracción con factoriales en el numerador y el denominador, alineamos los factores verticalmente para facilitar nuestros cálculos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {(n + 1)!} {(N-1)!} ).

 

Solución :

 

Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4, 5 ) en la fórmula, (a_ {n} = frac {(n + 1)!} {(N-1)!} ), en orden.

 

 

This figure shows five columns and five rows. The first row shows the sequence “nth term equals n plus 1 times factorial divided by n minus 1 times factorial” written five times. The second row is “a sub 1 equals 1 plus 1 times factorial divided by 1 minus 1 times factorial”, “a sub 2 equals 2 plus 1 times factorial divided by 2 minus 1 times factorial”, “a sub 3 equals 3 plus 1 times factorial divided by 3 minus 1 times factorial”, “a sub 4 equals 4 plus 1 times factorial divided by 4 minus 1 times factorial”, “a sub 5 equals 5 plus 1 times factorial divided by 5 minus 1 times factorial”. The third row reads “a sub 1 equals 2 times factorial divided by 0 times factorial”, “a sub 2 equals 3 times factorial divided by 1 times factorial”, “a sub 3 equals 4 times factorial divided by 2 times factorial”, “a sub 3 equals 4 times factorial divided by 2 times factorial”, “a sub 4 equals 5 times factorial divided by 3 times factorial”, “a sub 5 equals 6 times factorial divided by 4 times factorial”. The fourth row reads, “a sub 1 equals 2 times g time 1 divided by 1”, “a sub 2 equals 3 times g times 2 times g times 1 divided by 1”, “a sub 3 equals 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1 divided by 2 times g times 1”, “a sub 4 equals 5 times g times 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1 divided by 3 g times 2 times g times 1”, and “a sub 5 equals 6 times g times 5 times g times 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1 divided by 4 times g times 3 times g times 2 times g times 1”. The fifth row reads “a sub 1 equals 2”, “a sub 2 equals 6”, “a sub 3 equals 12”, “a sub 4 equals 20”, “a sub 5 equals 30”.  
Figura 12.1.17
 
 

Respuesta :

 

Los primeros cinco términos de la secuencia son (2, 6, 12, 20 ) y (30 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {(n-1)!} {(N + 1)!} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {2}, frac {1} {6}, frac {1} {12}, frac {1} {20}, frac {1} {30} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es (a_ {n} = frac {n!} {(N + 1)!} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}, frac {1} {6} )

     
 
 
 

Encuentre la suma parcial

 

A veces, en las aplicaciones, en lugar de simplemente enumerar los términos, es importante para nosotros agregar los términos de una secuencia. En lugar de simplemente conectar los términos con signos más, podemos usar la notación de suma .

 

Por ejemplo, (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ {5} ) se puede escribir como ( sum_ {i = 1} ^ {5 } a_ {i} ). Leemos esto como “la suma de (a ) sub (i ) de (i ) es igual a uno a cinco”. El símbolo (∑ ) significa sumar y el (i ) es el índice de suma. El (1 ) nos dice dónde comenzar (valor inicial) y el (5 ) nos dice dónde terminar (valor terminal).

 
 

Definición ( PageIndex {4} )

 

La suma de los primeros (n ) términos de una secuencia cuyo (n ) th término es (a_ {n} ) se escribe en notación de suma como:

 

( sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ {5} + ldots + a_ {n} )

 

El (i ) es el índice de suma y el (1 ) nos dice dónde comenzar y el (n ) nos dice dónde terminar.

 
 

Cuando agregamos un número finito de términos, llamamos a la suma una suma parcial .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i ).

 

Solución :

 
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i )
Sustituimos los valores (1, 2, 3, 4, 5 ) en orden. (2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 2 cdot 5 )
Simplificar. (2 + 4 + 6 + 8 + 10 )
Agregar. ( begin {array} {c} 30 \ sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i = 30 end {array} )
     

Tabla 12.1.7

     

Respuesta :

     ( begin {array} {c} 30 \ sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i = 30 end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 3 i ).

 
     
Respuesta
     
     

(45 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 4 i ).

 
     
Respuesta
     
     

(60 )

     
 
 
 

El índice no siempre tiene que ser (i ), podemos usar cualquier letra, pero (i ) y (k ) se usan comúnmente. El índice tampoco tiene que comenzar con (1 ); puede comenzar y terminar con cualquier número entero positivo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!} ).

 

Solución :

 

( begin {array} {cc} {} & { sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!}} \ {Nosotros : sustituto : el : valores : 0,1,2,3 : en : orden.} & { frac {1} {1} + frac {1} {1!} + frac {1} {2!} + frac {1} {3!}} \ {Evalúe : the : factorials.} & { frac {1} {1} + frac {1} {1} + frac {1} {2!} + frac {1} {6}} \ {Simplify.} & {1 + 1 + frac {3} {6} + frac {1} {6}} \ {Simplify.} & { frac {16} {6}} \ {Simplificar.} Y { frac {8} {3}} \ {} y { sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!} = frac {8} {3}} end {array} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {2} {k!} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {16} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Expande la suma parcial y encuentra su valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {3} {k!} ).

 
     
Respuesta
     
     

(8 )

     
 
 
 

Usar la notación de suma para escribir una suma

 

En los últimos dos ejemplos, pasamos de la notación de suma a escribir la suma. Ahora comenzaremos con una suma y la cambiaremos a notación de suma. Esto es muy similar a encontrar el término general de una secuencia. Tendremos que mirar los términos y encontrar un patrón. A menudo, los patrones involucran múltiplos o poderes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Escriba la suma usando la notación de sumatoria: (1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5} )

 

Solución :

 

( begin {array} {} & {1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5 }} \ {} & {n: 1,2,3,4,5} \ { text {Buscamos un patrón en los términos.}} & { text {Términos:} 1, frac { 1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}} \ { text {Los numeradores son uno.}} & { texto {Patrón:} frac {1} {1}, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}, ldots frac {1} {n}} \ { text {Los denominadores son los números contados del uno al cinco.}} & { text {La suma escrita en notación de suma}} \ {} & {1 + frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5} = sum ^ {5} _ {n = 1} frac {1} {n}.} end {array} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Escribe la suma usando la notación de sumatoria: ( frac {1} {2} + frac {1} {4} + frac {1} {8} + frac {1} {16} + frac {1} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

( sum_ {n = 1} ^ {5} frac {1} {2 ^ {n}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Escriba la suma usando la notación de sumatoria: (1+ frac {1} {4} + frac {1} {9} + frac {1} {16} + frac {1} {25} )

 
     
Respuesta
     
     

( sum_ {n = 1} ^ {5} frac {1} {n ^ {2}} )

     
 
 
 

Cuando los términos de una suma tienen coeficientes negativos, debemos analizar cuidadosamente el patrón de los signos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Escribe la suma usando la notación de sumatoria: (- 1 + 8-27 + 64-125 ).

 

Solución :

 
          

Tabla 12.1.8

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Escribe cada suma usando la notación de suma: (1-4 + 9-16 + 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

( sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n + 1} n ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Escribe cada suma usando la notación de sumatoria: (- 2 + 4-6 + 8-10 ).

 
     
Respuesta
     
     

( sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n} 2 n )

     
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con secuencias.

 

https://openstax.org/l/37serseqfindpat

 
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