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las matematicas

12.3: Secuencias aritméticas

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Determine si una secuencia es aritmética

 

La última sección introdujo secuencias y ahora veremos dos tipos específicos de secuencias que tienen propiedades especiales. En esta sección veremos secuencias aritméticas y en la siguiente sección, secuencias geométricas.

 

Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. La diferencia entre términos consecutivos en una secuencia aritmética, a_ {n} -a_ {n-1}, es (d ), la diferencia común , para (n ) mayor o igual que dos.

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma.

 

La diferencia entre términos consecutivos, a_ {n} -a_ {n-1}, es (d ), la diferencia común , para (n ) mayor o igual que dos.

 
 
This figure has two rows and three columns. The first row reads “7”, “10”,”13”, “16”, “19”, “22”, and an ellipsis, “10 minus 7, divided by 3”, “13 minus 10, divided by 3”, “16 minus 13, divided by 3”, nth term equals nth term minus 1 divided by d”  
Figura 12.2.1
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Determine si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

 
         
  1. (5,9,13,17,21,25, puntos )
  2.      
  3. (4,9,12,17,20,25, puntos )
  4.      
  5. (10,3, -4, -11, -18, -25, puntos )
  6.  
 

Solución :

 

Para determinar si la secuencia es aritmética, encontramos la diferencia de los términos consecutivos mostrados.

 

a. ( begin {array} {cccccc} {5,} & {9,} & {13,} & {17} & {21,} & {25, ldots} \ { text {Encuentre la diferencia de los términos consecutivos.}} y {9-5} y {13-9} y {17-13} y {21-17} y {25-21} \ & {4} y {4} y {4} & {4} y {4} end {array} )

 

La secuencia es aritmética. La diferencia común es (d = 4 ).

 

b. ( begin {array} {cccccc} {4,} & {9,} & {12,} & {17} & {20,} & {25, ldots} \ { text {Encuentre la diferencia de los términos consecutivos.}} y {9-4} y {12-9} y {17-12} y {20-17} y {25-20} \ & {2} y {3} y {5} & {3} y {5} end {array} )

 

La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas. No hay diferencia común.

 

c. ( begin {array} {cccccc} {10,} & {3,} & {-4,} & {-11} & {-18,} & {-25, ldots} \ { text { Encuentre la diferencia de los términos consecutivos.}} Y {3-10} y {-4-3} y {-11 – (- 4)} y {-18 – (- 11)} y {-25 – (- 18)} \ & {-7} y {-7} y {-7} y {-7} y {- 7} end {array} )

 

Respuesta :

 

La secuencia es aritmética. La diferencia común es (d = -7 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Determine si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

 
         
  1. (9,20,31,42,53,64, puntos )
  2.      
  3. (12,6,0, -6, -12, -18, puntos )
  4.      
  5. (7,1,10,4,13,7, puntos )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. La secuencia es aritmética con diferencia común (d = 11 ).
  2.          
  3. La secuencia es aritmética con diferencia común (d = -6 ).
  4.          
  5. La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas.
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Determine si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

 
         
  1. (- 4,4,2,10,8,16, puntos )
  2.      
  3. (- 3, -1,1,3,5,7, puntos )
  4.      
  5. (7,2, -3, -8, -13, -18, puntos )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas.
  2.          
  3. La secuencia es aritmética con diferencia común (d = 2 ).
  4.          
  5. La secuencia es aritmética con diferencia común (d = −5 ).
  6.      
     
 
 
 

Si conocemos el primer término, (a_ {1} ), y la diferencia común, (d ), podemos enumerar un número finito de términos de la secuencia.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia donde el primer término es (5 ) y la diferencia común es (d = −6 ).

 

Solución :

 

Comenzamos con el primer término y agregamos la diferencia común. Luego agregamos la diferencia común a ese resultado para obtener el siguiente término, y así sucesivamente.

 

( begin {array} {cccc} {a_ {1}} y {a_ {2}} y {a_ {3}} y {a_ {4}} y {a_ {5}} \ { 5} y {5 + (- 6)} y {-1 + (- 6)} y {-7 + (- 6)} y {-13 + (- 6)} \ {} y {- 1} & {-7} y {-13} y {-19} end {array} )

 

Respuesta :

 

La secuencia es (5, -1, -7, -13, -19, puntos )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia donde el primer término es (7 ) y la diferencia común es (d = −4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(7,3, -1, -5, -9, puntos )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia donde el primer término es (11 ) y la diferencia común es (d = −8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(11,3, -5, -13, -21, puntos )

     
 
 
 

Encuentre el término general ( (n ) th Término) de una secuencia aritmética

 

Así como encontramos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos encontrar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.

 

Vamos a escribir los primeros términos de una secuencia donde el primer término es (a_ {1} ) y la diferencia común es (d ). Luego buscaremos un patrón.

 

Cuando buscamos un patrón, vemos que cada término comienza con (a_ {1} ).

 

 

This figures shows an image of a sequence.  
Figura 12.2.2
 
 

El primer término agrega (0d ) a (a_ {1} ), el segundo término agrega (1d ), el tercer término agrega (2d ), el cuarto término agrega (3d ), y el quinto término agrega (4d ). El número de (ds ) que se agregaron a (a_ {1} ) es uno menos que el número del término. Esto nos lleva a lo siguiente

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d )

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

El término general de una secuencia aritmética con el primer término (a_ {1} ) y la diferencia común (d ) es

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d )

 
 

Usaremos esta fórmula en el siguiente ejemplo para encontrar el término 15 th de una secuencia.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el decimoquinto término de una secuencia donde el primer término es (3 ) y la diferencia común es (6 ).

 

Solución :

 

( begin {array} {cc} { text {Para encontrar el decimoquinto término,} a_ {15} text {, use la fórmula con} a_ {1} = 3 : text {y} : d = 6.} & {a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d} \ { text {Sustituir en los valores.}} & {a_ {15} = 3 + (15 -1) 6} \ { text {Simplify.}} & {A_ {15} = 3 + (14) 6} \ {} & {a_ {15} = 87} end {array} ) [ 19459001]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el vigésimo séptimo término de una secuencia donde el primer término es (7 ) y la diferencia común es (9 ).

 
     
Respuesta
     
     

(241 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre el decimoctavo término de una secuencia donde el primer término es (13 ) y la diferencia común es (- 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 106 )

     
 
 
 

A veces no conocemos el primer término y debemos utilizar otra información dada para encontrarlo antes de encontrar el término solicitado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentre el duodécimo término de una secuencia donde el séptimo término es (10 ​​) y la diferencia común es (- 2 ). Da la fórmula para el término general.

 

Solución :

 

Para encontrar primero el primer término, (a_ {1} ), use la fórmula con (a_ {7} = 10 ), (n = 7 ) y (d = −2 ) Sustituir en los valores. Simplificar.

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d )
(10 ​​= a_ {1} + (7-1) (- 2) )
(10 = a_ {1} + (6) (- 2) )
(10 ​​= a_ {1} -12 )
(a_ {1} = 22 )

 

Encuentre el duodécimo término, (a_ {12} ), usando la fórmula con (a_ {1} = 22 ), (n = 12 ) y (d = -2 ). Sustituir en los valores. Simplificar.

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d )
(a_ {12} = 22 + (12-1) (- 2) )
(a_ {12} = 22 + (11) (- 2) )
(a_ {12} = 0 )

 

El duodécimo término de la secuencia es (0, a_ {12} = 0 )

 

Para encontrar el término general, sustituya los valores en la fórmula.

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d )
(a_ {n} = 22 + (n-1) (- 2) )
(a_ {n} = 22-2 n + 2 )

 

Respuesta :
El término general es (a_ {n} = – 2 n + 24 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el undécimo término de una secuencia donde el noveno término es (8 ) y la diferencia común es (- 3 ). Da la fórmula para el término general.

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {11} = 2. ) El término general es (a_ {n} = – 3 n + 35 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre el decimonoveno término de una secuencia donde el quinto término es (1 ) y la diferencia común es (- 4 ). Dé la fórmula para el término general.

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {19} = – 55. ) El término general es (a_ {n} = – 4 n + 21 )

     
 
 
 

A veces la información dada nos lleva a dos ecuaciones en dos incógnitas. Luego usamos nuestros métodos para resolver sistemas de ecuaciones para encontrar los valores necesarios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el primer término y la diferencia común de una secuencia donde el quinto término es (19 ) y el undécimo término es (37 ). Da la fórmula para el término general.

 

Solución :

 

Como conocemos dos términos, podemos hacer un sistema de ecuaciones usando la fórmula para el término general.

 

Tabla 12.2.1

 

Respuesta :

 

El término general de la secuencia es (a_ {n} = 3n + 4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el primer término y la diferencia común de una secuencia donde el cuarto término es (17 ) y el decimotercer término es (53 ). Da la fórmula para el término general.

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {1} = 5, d = 4. ) El término general es (a_ {n} = 4 n + 1 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre el primer término y la diferencia común de una secuencia donde el tercer término es (2 ) y el duodécimo término es (- 25 ). Da la fórmula para el término general.

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {1} = 8, d = -3. ) El término general es (a_ {n} = – 3 n + 11 ).

     
 
 
 

Encuentre la suma de los primeros (n ) términos de una secuencia aritmética

 

Al igual que con las secuencias generales, a menudo es útil encontrar la suma de una secuencia aritmética. La suma, (S_ {n} ), de los primeros (n ) términos de cualquier secuencia aritmética se escribe como (S_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + ldots + a_ {n} ). Encontrar la suma simplemente agregando todos los términos puede ser tedioso. Entonces, también podemos desarrollar una fórmula para encontrar la suma de una secuencia usando el primer y el último término de la secuencia.

 

Podemos desarrollar esta nueva fórmula escribiendo primero la suma comenzando con el primer término, (a_ {1} ), y agregando a (d ) para obtener el siguiente término como:

 

(S_ {n} = a_ {1} + left (a_ {1} + d right) + left (a_ {1} +2 d right) + ldots + a_ {n} )

 

También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma comenzando con (a_ {n} ) y restando (d ) para obtener el siguiente término como

 

(S_ {n} = a_ {n} + left (a_ {n} -d right) + left (a_ {n} -2 d right) + ldots + a_ {1} )

 

Si sumamos estas dos expresiones para la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de cualquier serie aritmética.

 

( begin {alineado} & S_ {n} = a_ {1} quad + left (a_ {1} + d right) + left (a_ {1} +2 d right) + ldots + a_ {n} \ + & S_ {n} = a_ {n} quad + left (a_ {n} -d right) + left (a_ {n} -2 d right) + ldots + a_ {1} \ hline \ & 2S_ {n} = (a_ {1} + a_ {n}) + (a_ {1} + a_ {n}) + (a_ {1} + a_ {n}) + dots + (a_ {1} + a_ {n}) end {alineado} )

 

Debido a que hay (n ) sumas de ((a_ {1} + a_ {n}) ) en el lado derecho de la ecuación, reescribimos el lado derecho como (n (a_ {1} + a_ {n}) ).

 

(2 S_ {n} = n left (a_ {1} + a_ {n} right) )

 

Dividimos por dos para resolver (S_ {n} ).

 

(S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) )

 

Esto nos da una fórmula general para la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia aritmética.

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

La suma, (S_ {n} ), de los primeros (n ) términos de una secuencia aritmética es

 

(S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) )

 

donde (a_ {1} ) es el primer término y (a_ {n} ) es el término (n ).

 
 

Aplicamos esta fórmula en el siguiente ejemplo donde se dan los primeros términos de la secuencia.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre la suma de los primeros (30 ) términos de la secuencia aritmética: (8, 13, 18, 23, 28,… )

 

Solución :

 

Para encontrar la suma, usaremos la fórmula (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). Sabemos (a_ {1} = 8, d = 5 ) y (n = 30 ), pero necesitamos encontrar (a_ {n} ) para usar la fórmula de suma.

 

Encuentra (a_ {n} ) donde (a_ {1} = 8, d = 5 ) y (n = 30 ). Simplificar.

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ a_ {30} & = 8 + (30-1) 5 \ a_ {30} & = 8 + (29) 5 \ a_ {30} & = 153 end {alineado} )

 

Conociendo (a_ {1} = 8, n = 30 ) y (a_ {30} = 153 ), usa la fórmula de la suma. Sustituir en los valores. Simplificar. Simplificar.

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) \ S_ {30} & = frac { 30} {2} (8 + 153) \ S_ {30} & = 15 (161) \ S_ {30} & = 2,415 end {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentre la suma de los primeros (30 ) términos de la secuencia aritmética: (5, 9, 13, 17, 21,… )

 
     
Respuesta
     
     

(1,890 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentre la suma de los primeros (30 ) términos de la secuencia aritmética: (7, 10, 13, 16, 19,… )

 
     
Respuesta
     
     

(1,515 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, se nos da el término general para la secuencia y se nos pide que encontremos la suma de los primeros términos (50 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Encuentre la suma de los primeros términos (50 ) de la secuencia aritmética cuyo término general es (a_ {n} = 3n − 4 ).

 

Solución :

 

Para encontrar la suma, usaremos la fórmula (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). Sabemos (n = 50 ), pero necesitamos encontrar (a_ {1} ) y (a_ {n} ) para usar la fórmula de suma.

 

Tabla 12.2.2

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Encuentre la suma de los primeros (50 ) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es (a_ {n} = 2n − 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2,300 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Encuentre la suma de los primeros términos (50 ) de la secuencia aritmética cuyo término general es (a_ {n} = 4n + 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(5,250 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, se nos da la suma en notación de suma. Agregar todos los términos sería tedioso, por lo que extraemos la información necesaria para usar la fórmula para encontrar la suma de los primeros términos (n ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentra la suma: ( sum_ {i = 1} ^ {25} (4 i + 7) ).

 

Solución :

 

Para encontrar la suma, usaremos la fórmula (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). Sabemos (n = 25 ), pero necesitamos encontrar (a_ {1} ) y (a_ {n} ) para usar la fórmula de suma.

 

Tabla 12.2.3

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentre la suma: ( sum_ {i = 1} ^ {30} (6 i-4) ).

 
     
Respuesta
     
     

(2,670 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Encuentra la suma: ( sum_ {i = 1} ^ {35} (5 i-3) ).

 
     
Respuesta
     
     

(3,045 )

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con secuencias aritméticas

 
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