¿Sabías que la antorcha olímpica se enciende varios meses antes del comienzo de los juegos? El método ceremonial para encender la llama es el mismo que en la antigüedad. La ceremonia tiene lugar en el Templo de Hera en Olimpia, Grecia, y tiene sus raíces en la mitología griega, rindiendo homenaje a Prometeo, quien robó el fuego de Zeus para dárselo a todos los humanos. Una de las once sacerdotisas que actúan coloca la antorcha en el foco de un espejo parabólico (Figura ( PageIndex {1} )), que enfoca los rayos de luz del sol para encender la llama.
Los espejos parabólicos (o reflectores) pueden capturar energía y enfocarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se evidencian en la vasta lista de objetos parabólicos que usamos todos los días: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por nombrar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas solares y calentadores de agua, porque son económicos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, incluidos los diseños solares de bajo costo y eficiencia energética.
Graficar parábolas con vértices en el origen
Anteriormente , vimos que se forma una elipse cuando un plano corta a través de un cono circular derecho. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva sin límites. Esta curva es una parábola (Figura ( PageIndex {2} )).
Al igual que la elipse y hipérbola , la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada directriz , y un punto fijo (el foco ) no en la directriz.
Anteriormente, aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola (Figura ( PageIndex {3} )). Observe que el eje de simetría pasa a través del foco y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco. El segmento de línea que pasa a través del foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum . Los puntos finales del latus recto se encuentran en la curva. Por definición, la distancia d del foco a cualquier punto (P ) en la parábola es igual a la distancia desde (P ) a la directriz.
Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas , consideramos dos casos: aquellos con un vértice en el origen y aquellos con un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero.
Sea ((x, y) ) un punto en la parábola con vértice ((0,0) ), foco ((0, p) ) y directriz (y = −p ) Como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). La distancia d del punto ((x, y) ) al punto ((x, −p) ) en la directriz es la diferencia de los valores y : (d = y + pags). La distancia desde el foco ((0, p) ) al punto ((x, y) ) también es igual a (d ) y puede expresarse usando la fórmula de distancia .
[ begin {align *} d & = sqrt {{(x − 0)} ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} \ [4pt] & = sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} end {align *} ]
Establezca las dos expresiones para (d ) iguales entre sí y resuelva para (y ) para derivar la ecuación de la parábola. Hacemos esto porque la distancia de ((x, y) ) a ((0, p) ) es igual a la distancia de ((x, y) ) a ((x, −p) ) .
[ sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} = y + p ]
Luego cuadramos ambos lados de la ecuación, expandimos los términos al cuadrado y simplificamos combinando términos similares.
[ begin {align *} x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2 & = {(y + p)} ^ 2 \ [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−2py + p ^ 2 & = y ^ 2 + 2py + p ^ 2 \ [4pt] x ^ 2−2py & = 2py \ [4pt] x ^ 2 & = 4py end {align *} ]
Las ecuaciones de parábolas con vértice ((0,0) ) son (y ^ 2 = 4px ) cuando el eje x es el eje de simetría y (x ^ 2 = 4py ) cuando el eje y es el eje de simetría. Estos formularios estándar se dan a continuación, junto con sus gráficos generales y características clave.
FORMAS ESTÁNDAR DE PARABOLAS CON VERTEX ((0,0) )
La Tabla ( PageIndex {1} ) y la Figura ( PageIndex {5} ) resumen las características estándar de las parábolas con un vértice en el origen.
| Eje de simetría | Ecuación | Enfoque | Directrix | Puntos finales del Latus Rectum |
|---|---|---|---|---|
| x -axis | (y ^ 2 = 4px ) | ((p, 0) ) | (x = −p ) | ((p, pm 2p) ) |
| y -axis | (x ^ 2 = 4py ) | ((0, p) ) | (y = −p ) | (( pm 2p, p) ) |
Las características clave de una parábola son su vértice, eje de simetría, foco, directriz y latus rectum (Figura ( PageIndex {5} )). Cuando se le da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para representar gráficamente la parábola. Se dice que una línea es tangente a una curva si interseca la curva exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos finales del recto recto , estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).
Cómo: dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en ((0,0) ), dibuje el gráfico
- Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: (y ^ 2 = 4px ) o (x ^ 2 = 4py ).
- Use la forma estándar identificada en el Paso 1 para determinar el eje de simetría, enfoque, ecuación de la directriz y puntos finales del recto latus.
- Si la ecuación tiene la forma (y ^ 2 = 4px ), entonces
- el eje de simetría es el eje (x ), (y = 0 )
- establezca (4p ) igual al coeficiente de (x ) en la ecuación dada para resolver (p ). Si (p> 0 ), la parábola se abre a la derecha. Si (p <0 ), la parábola se abre a la izquierda.
- use (p ) para encontrar las coordenadas del foco, ((p, 0) )
- usa (p ) para encontrar la ecuación de la directriz, (x = −p )
- use (p ) para encontrar los puntos finales del recto latus, ((p, pm 2p) ). Alternativamente, sustituya (x = p ) en la ecuación original.
- Si la ecuación tiene la forma (x ^ 2 = 4py ), entonces
- el eje de simetría es el eje (y ), (x = 0 )
- establezca (4p ) igual al coeficiente de (y ) en la ecuación dada para resolver (p ). Si (p> 0 ), la parábola se abre. Si (p <0 ), la parábola se abre.
- use (p ) para encontrar las coordenadas del foco, ((0, p) )
- usa (p ) para encontrar la ecuación de la directriz, (y = −p )
- use (p ) para encontrar los puntos finales del recto latus, (( pm 2p, p) )
- Si la ecuación tiene la forma (y ^ 2 = 4px ), entonces
- Trace el foco, la directriz y el recto latus, y dibuje una curva suave para formar la parábola.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Graficando una parábola con vértice ((0,0) ) y el eje x como eje de simetría
Gráfico (y ^ 2 = 24x ). Identifique y etiquete el foco, la directriz y los puntos finales del latus recto .
Solución
La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es (y ^ 2 = 4px ). Por lo tanto, el eje de simetría es el eje x . Se sigue que:
- (24 = 4p ), entonces (p = 6 ). Desde (p> 0 ), la parábola se abre a la derecha
- las coordenadas del foco son ((p, 0) = (6,0) )
- la ecuación de la directriz es (x = −p = −6 )
- los puntos finales del latus recto tienen el mismo x -coordinado en el foco. Para encontrar los puntos finales, sustituya (x = 6 ) en la ecuación original: ((6, pm 12) )
A continuación, graficamos el foco, la directriz y el recto latus, y dibujamos una curva suave para formar la parábola (Figura ( PageIndex {7} )).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Gráfico (y ^ 2 = −16x ). Identifique y etiquete el foco, la directriz y los puntos finales del latus recto .
- Respuesta
-
- Enfoque: ((- 4,0) )
- Directrix: (x = 4 )
- Puntos finales del latus recto: ((- 4, pm 8) )
Figura ( PageIndex {8} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficando una parábola con vértice ((0,0) ) y el eje y como eje de simetría
Gráfico (x ^ 2 = −6y ). Identifique y etiquete el foco, la directriz y los puntos finales del latus recto .
Solución
La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es (x ^ 2 = 4py ). Por lo tanto, el eje de simetría es el eje (y ). Se sigue que:
- (- 6 = 4p ), entonces (p = – dfrac {3} {2} ). Desde (p <0 ), la parábola se abre hacia abajo.
- las coordenadas del foco son ((0, p) = (0, – dfrac {3} {2}) )
- la ecuación de la directriz es (y = −p = dfrac {3} {2} )
- los puntos finales del latus recto se pueden encontrar sustituyendo (y = dfrac {3} {2} ) en la ecuación original, (( pm 3, – dfrac {3} {2}) )
A continuación, graficamos el foco, la directriz y el latus rectum , y dibujamos una curva suave para formar la parábola.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Gráfico (x ^ 2 = 8y ). Identifique y etiquete el foco, la directriz y los puntos finales del latus recto .
- Respuesta:
-
- Enfoque: ((0,2) )
- Directriz: (y = −2 )
- Puntos finales del latus recto: (( pm 4,2) ).
Figura ( PageIndex {10} )
Graficar parábolas con vértices no en el origen
Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede traducir. Si una parábola se traduce (h ) unidades horizontalmente y (k ) unidades verticalmente, el vértice será ((h, k) ). Esta traducción da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con (x ) reemplazado por ((x − h) ) y (y ) reemplazado por ((y − k) ).
Para graficar parábolas con un vértice ((h, k) ) distinto del origen, utilizamos la forma estándar ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje (x ) – y ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al (y ) – eje. Estos formularios estándar se dan a continuación, junto con sus gráficos generales y características clave.
FORMAS ESTÁNDAR DE PARABOLAS CON VERTEX ((H, K) )
La Tabla ( PageIndex {2} ) y la Figura ( PageIndex {11} ) resumen las características estándar de las parábolas con un vértice en un punto ((h, k) ).
| Eje de simetría | Ecuación | Enfoque | Directrix | Puntos finales del Latus Rectum |
|---|---|---|---|---|
| (y = k ) | ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) | ((h + p, k) ) | (x = h − p ) | ((h + p, k pm 2p) ) |
| (x = h ) | ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) | ((h, k + p) ) | (y = k − p ) | ((h pm 2p, k + p) ) |
Cómo: dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en ((h, k) ), dibuje el gráfico
- Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) o ({(x − h)} ^ 2 = 4p ( y − k) ).
- Use la forma estándar identificada en el Paso 1 para determinar el vértice, el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos finales del recto latus.
- Si la ecuación tiene la forma ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ), entonces:
- usa la ecuación dada para identificar (h ) y (k ) para el vértice, ((h, k) )
- use el valor de (k ) para determinar el eje de simetría, (y = k )
- establezca (4p ) igual al coeficiente de ((x − h) ) en la ecuación dada para resolver (p ). Si (p> 0 ), la parábola se abre a la derecha. Si (p <0 ), la parábola se abre a la izquierda.
- use (h ), (k ) y (p ) para encontrar las coordenadas del foco, ((h + p, k) )
- usa (h ) yp p para encontrar la ecuación de la directriz, (x = h − p )
- use (h ), (k ) y (p ) para encontrar los puntos finales del recto latus, ((h + p, k pm 2p) )
- Si la ecuación tiene la forma ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ), entonces:
- usa la ecuación dada para identificar (h ) y (k ) para el vértice, ((h, k) )
- use el valor de (h ) para determinar el eje de simetría, (x = h )
- establezca (4p ) igual al coeficiente de ((y − k) ) en la ecuación dada para resolver (p ). Si (p> 0 ), la parábola se abre. Si (p <0 ), la parábola se abre.
- use (h ), (k ) y (p ) para encontrar las coordenadas del foco, ((h, k + p) )
- usa (k ) y (p ) para encontrar la ecuación de la directriz, (y = k − p )
- use (h ), (k ) y (p ) para encontrar los puntos finales del recto latus, ((h pm 2p, k + p) )
- Si la ecuación tiene la forma ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ), entonces:
- Dibuja el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el recto latus, y dibuja una curva suave para formar la parábola.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando una parábola con vértice ((h, k) ) y eje de simetría paralelos al eje (x )
Gráfico ({(y − 1)} ^ 2 = −16 (x + 3) ). Identifique y etiquete el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del recto latus.
Solución
La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ). Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje (x ). Se sigue que:
- el vértice es ((h, k) = (- 3,1) )
- el eje de simetría es (y = k = 1 )
- (- 16 = 4p ), entonces (p = −4 ). Desde (p <0 ), la parábola se abre a la izquierda.
- las coordenadas del foco son ((h + p, k) = (- 3 + (- 4), 1) = (- 7,1) )
- la ecuación de la directriz es (x = h − p = −3 – (- 4) = 1 )
- los puntos finales del latus recto son ((h + p, k pm 2p) = (- 3 + (- 4), 1 pm 2 (−4)) ), o ((- 7 , −7) ) y ((- 7,9) )
A continuación, graficamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el recto latus, y dibujamos una curva suave para formar la parábola (Figura ( PageIndex {10} )).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Gráfico ({(y + 1)} ^ 2 = 4 (x − 8) ). Identifique y etiquete el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del recto latus .
- Respuesta:
-
- Vértice: ((8, −1) )
- Eje de simetría: (y = −1 )
- Enfoque: ((9, −1) )
- Directrix: (x = 7 )
- Puntos finales del latus recto : ((9, −3) ) y ((9,1) ).
Figura ( PageIndex {13} )
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficando una parábola a partir de una ecuación dada en forma general
Gráfico (x ^ 2−8x − 28y − 208 = 0 ). Identifique y etiquete el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del recto latus .
Solución
Comience escribiendo la ecuación de la parábola en forma estándar. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ). Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje (y ). Para expresar la ecuación de la parábola en esta forma, comenzamos aislando los términos que contienen la variable (x ) para completar el cuadrado.
[ begin {align *} x ^ 2−8x − 28y − 208 & = 0 \ [4pt] x ^ 2−8x & = 28y + 208 \ [4pt] x ^ 2−8x + 16 & = 28y + 208 + 16 \ [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28y + 224 \ [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28 (y + 8) \ [4pt] (x −4) ^ 2 & = 4⋅7⋅ (y + 8) end {align *} ]
Se deduce que:
- el vértice es ((h, k) = (4, −8) )
- el eje de simetría es (x = h = 4 )
- desde (p = 7 ), (p> 0 ) y así se abre la parábola
- las coordenadas del foco son ((h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, −1) )
- la ecuación de la directriz es (y = k − p = −8−7 = −15 )
- los puntos finales del recto latus son ((h pm 2p, k + p) = (4 pm 2 (7), – 8 + 7) ), o ((- 10, −1) ) Y ((18, −1) )
A continuación, graficamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el recto latus, y dibujamos una curva suave para formar la parábola (Figura ( PageIndex {14} )).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Gráfico ({(x + 2)} ^ 2 = −20 (y − 3) ). Identifique y etiquete el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del recto latus .
- Respuesta
-
- Vértice: ((- 2,3) )
- Eje de simetría: (x = −2 )
- Enfoque: ((- 2, −2) )
- Directrix: (y = 8 )
- Puntos finales del latus recto : ((- 12, −2) ) y ((8, −2) ).
Figura ( PageIndex {15} )
Solución de problemas aplicados que involucran parábolas
Como mencionamos al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que usamos todos los días, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos , como el que se usa para encender la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco (Figura ( PageIndex {16} )). Es por eso que la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.
Los espejos parabólicos tienen la capacidad de enfocar la energía del sol en un solo punto, elevando la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Por lo tanto, los espejos parabólicos se presentan en muchos productos solares de bajo costo y energéticamente eficientes, como cocinas solares, calentadores solares e incluso arrancadores de fuego del tamaño de un viaje.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Solución de problemas aplicados que involucran parábolas
En la Figura ( PageIndex {17} ) se muestra una sección transversal de un diseño para un iniciador de fuego solar de tamaño de viaje. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia un objeto conectado al encendedor. Debido a que el encendedor está ubicado en el foco de la parábola, los rayos reflejados hacen que el objeto se queme en solo segundos.
- Encuentra la ecuación de la parábola que modela el iniciador de fuego. Suponga que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas.
- Usa la ecuación encontrada en la parte (a) para encontrar la profundidad del iniciador de fuego.
Solución
- El vértice del plato es el origen del plano de coordenadas, por lo que la parábola tomará la forma estándar (x ^ 2 = 4py ), donde (p> 0 ). El encendedor, que es el foco, está (1.7 ) pulgadas por encima del vértice del plato. Así tenemos (p = 1.7 ).
[ begin {align *} x ^ 2 & = 4py qquad text {Forma estándar de parábola hacia arriba con vértice} (0,0) \ x ^ 2 & = 4 (1.7) y qquad text {Substitute} 1.7 text {for} p \ x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Multiply.} end {align *} ]
- El plato se extiende ( dfrac {4.5} {2} = 2.25 ) pulgadas a cada lado del origen. Podemos sustituir (2.25 ) por (x ) en la ecuación de la parte (a) para encontrar la profundidad del plato.
[ begin {align *} x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Ecuación encontrada en la parte} (a) \ {(2.25)} ^ 2 & = 6.8y qquad text {Substitute} 2.25 text {for} x \ y & approx 0.74 qquad text {Resolver para} y end {align *} ]
El plato tiene aproximadamente (0,74 ) pulgadas de profundidad.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Las cocinas solares del tamaño de un balcón se han diseñado para familias que viven en la India. La parte superior de un plato tiene un diámetro de (1600 ) mm. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia la “cocina”, que se coloca (320 ) mm desde la base.
- Encuentre una ecuación que modele una sección transversal de la cocina solar. Suponga que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas y que la parábola se abre a la derecha (es decir, tiene el eje x como eje de simetría).
- Usa la ecuación encontrada en la parte (a) para encontrar la profundidad de la cocina.
- Responda a
-
(y ^ 2 = 1280x )
- Respuesta b
-
La profundidad de la cocina es (500 ) mm