Determine si una secuencia es geométrica

 

Ahora estamos listos para mirar el segundo tipo especial de secuencia, la secuencia geométrica.

 

Una secuencia se denomina secuencia geométrica si la relación entre términos consecutivos es siempre la misma. La razón entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es (r ), la razón común , donde (n ) es mayor o igual que dos.

   

Considere estas secuencias.

 

 

   

       

Si conocemos el primer término, (a_ {1} ), y la razón común, (r ), podemos enumerar un número finito de términos de la secuencia.

       

Encuentre el término general ( (n ) th Término) de una secuencia geométrica

 

Así como encontramos una fórmula para el término general de una secuencia y una secuencia aritmética, también podemos encontrar una fórmula para el término general de una secuencia geométrica.

 

Vamos a escribir los primeros términos de la secuencia donde el primer término es (a_ {1} ) y la razón común es (r ). Luego buscaremos un patrón.

 

 

   

 

Al buscar un patrón en los cinco términos anteriores, vemos que cada uno de los términos comienza con (a_ {1} ).

 

El primer término, (a_ {1} ), no se multiplica por ningún (r ). En el segundo término, el (a_ {1} ) se multiplica por (r ). En el tercer término, el (a_ {1} ) se multiplica por (r ) dos veces ( (r⋅r ) o (r ^ {2} )). En el cuarto término, el (a_ {1} ) se multiplica por (r ) tres veces ( (r⋅r⋅r ) o (r ^ {3} )) y en el quinto término , (a_ {1} ) se multiplica por (r ) cuatro veces. En cada término, el número de veces que (a_ {1} ) se multiplica por (r ) es uno menos que el número del término. Esto nos lleva a lo siguiente

 

(a_ {n} = a_ {1} r ^ {n-1} )

   

Usaremos esta fórmula en el siguiente ejemplo para encontrar el decimocuarto término de una secuencia.

       

A veces no conocemos la razón común y debemos usar la información dada para encontrarla antes de encontrar el término solicitado.

       

Encuentre la suma de los primeros (n ) términos de una secuencia geométrica

 

Encontramos la suma de las secuencias generales y la secuencia aritmética. Ahora haremos lo mismo para las secuencias geométricas. La suma, (S_ {n} ), de los primeros (n ) términos de una secuencia geométrica se escribe como (S_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + ldots + a_ {n} ). Podemos escribir esta suma comenzando con el primer término, (a_ {1} ), y seguimos multiplicando por (r ) para obtener el siguiente término como:

 

(S_ {n} = a_ {1} + a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} )

 

También multipliquemos ambos lados de la ecuación por (r ).

 

(r S_ {n} = a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + a_ {1} r ^ {3} + ldots + a_ {1} r ^ {n} )

 

Luego, restamos estas ecuaciones. Veremos que cuando restamos, todos menos el primer término de la ecuación superior y el último término de la ecuación inferior restan a cero.

 

( begin {alineado} S_ {n} & = a_ {1} + a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + a_ {1} r ^ {3} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} \ r S_ {n} & = a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + a_ {1} r ^ {3} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} + a_ {1} r ^ {n} \ hline S_ {n} -r S_ {n} & = a_ {1} -a_ {1} r ^ {n} end {alineado} )

 

Factorizamos ambos lados.

 

(S_ {n} (1-r) = a_ {1} left (1-r ^ {n} right) )

 

Para obtener la fórmula para (S_ {n} ), divida ambos lados entre ((1-r) ).

 

(S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} )

   

Aplicamos esta fórmula en el siguiente ejemplo donde se dan los primeros términos de la secuencia. Observe que la suma de una secuencia geométrica generalmente se vuelve muy grande cuando la razón común es mayor que uno.

       

En el siguiente ejemplo, se nos da la suma en notación de suma. Si bien es posible agregar todos los términos, la mayoría de las veces es más fácil usar la fórmula para encontrar la suma de los primeros términos (n ).

 

Para usar la fórmula, necesitamos (r ). Podemos encontrarlo escribiendo los primeros términos de la secuencia y encontrar su relación. Otra opción es darse cuenta de que en notación de suma, una secuencia se escribe en la forma ( sum_ {i = 1} ^ {k} a (r) ^ {i} ), donde (r ) es lo común proporción.

       

Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

 

Si tomamos una secuencia geométrica y agregamos los términos, tenemos una suma que se llama una serie geométrica. Una serie geométrica infinita es una suma infinita cuyo primer término es (a_ {1} ) y la razón común es (r ) y se escribe

 

(a_ {1} + a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} + ldots ) ​​

   

Sabemos cómo encontrar la suma de los primeros (n ) términos de una serie geométrica usando la fórmula, (S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n } right)} {1-r} ). Pero, ¿cómo encontramos la suma de una suma infinita?

 

Veamos las series geométricas infinitas (3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 +…. ). Cada término se hace más y más grande, por lo que tiene sentido que la suma del número infinito de términos se haga más grande. Veamos algunas sumas parciales para esta serie. Vemos (a_ {1} = 3 ) y (r = 2 )

 

( begin {array} {lll} {S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r}} & {S_ { n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r}} & {S_ {n} = frac {a_ {1} (1-r ^ { n})} {1-r}} \ {S_ {10} = frac {3 left (1-2 ^ {10} right)} {1-2}} & {S_ {30} = frac {3 left (1-2 ^ {30} right)} {1-2}} & {S_ {50} = frac {3 left (1-2 ^ {50} right)} {1 -2}} \ {S_ {10} = 3,069} y {S_ {30} = 3,221,225,469} y {S_ {50} aprox 3.38 times 10 ^ {15}} end {array} )

 

A medida que (n ) aumenta y aumenta, la suma aumenta y aumenta. Esto es cierto cuando (| r | ≥1 ) y llamamos a la serie divergente. No podemos encontrar la suma de una serie geométrica infinita cuando (| r | ≥1 ).

 

Veamos una serie geométrica infinita cuya razón común es una fracción menor que uno,
( frac {1} {2} + frac {1} {4} + frac {1} {8 } + frac {1} {16} + frac {1} {32} + frac {1} {64} + ldots ). Aquí los términos se hacen cada vez más pequeños a medida que (n ) se hace más grande. Veamos algunas sumas finitas para esta serie. Vemos (a_ {1} = frac {1} {2} ) y (r = frac {1} {2} ).

 

( begin {array} {lll} {S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r}} & {S_ { n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r}} & {S_ {n} = frac {a_ {1} (1-r ^ { n})} {1-r}} \ {S_ {10} = frac { frac {1} {2} left (1- frac {1} {2} ^ {10} right)} {1- frac {1} {2}}} y {S_ {20} = frac { frac {1} {2} left (1- frac {1} {2} ^ {20} right )} {1- frac {1} {2}}} y {S_ {30} = frac { frac {1} {2} left (1- frac {1} {2} ^ {30} right)} {1- frac {1} {2}}} \ {S_ {10} aprox. 0.9990234375} y {S_ {20} aprox. 0.9999990463} y {S_ {30} aprox. 0.9999999991} end {array} )

 

Observe que la suma se hace más y más grande, pero también se acerca más y más a uno. Cuando (| r | <1 ), la expresión (r ^ {n} ) se hace cada vez más pequeña. En este caso, llamamos a la serie convergente. Cuando (n ) se acerca al infinito, (se hace infinitamente grande), (r ^ {n} ) se acerca cada vez más a cero. En nuestra fórmula de suma, podemos reemplazar el (r ^ {n} ) con cero y luego obtenemos una fórmula para la suma, (S ), para una serie geométrica infinita cuando (| r | <1 )

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} \ S & = frac { a_ {1} (1-0)} {1-r} \ S & = frac {a_ {1}} {1-r} end {alineado} )

 

Esta fórmula nos da la suma de la secuencia geométrica infinita. Observe que (S ) no tiene el subíndice (n ) como en (S_ {n} ) ya que no estamos agregando un número finito de términos.

         

Un uso interesante de series geométricas infinitas es escribir un decimal periódico como fracción.

       

Aplicar secuencias y series geométricas en el mundo real

 

Una aplicación de secuencias geométricas tiene que ver con el gasto del consumidor. Si se otorga una devolución de impuestos a cada hogar, el efecto en la economía es muchas veces el monto de la devolución individual.

       

Hemos analizado una fórmula de interés compuesto en la que un principal, (P ), se invierte a una tasa de interés, (r ), durante (t ) años. El nuevo saldo, (A ), es (A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt} ) cuando el interés se capitaliza (n ) veces al año . Esta fórmula se aplica cuando se invirtió una suma global por adelantado y nos dice el valor después de un cierto período de tiempo.

 

Una anualidad es una inversión que es una secuencia de depósitos periódicos iguales. Examinaremos las anualidades que pagan los intereses al momento de los depósitos. A medida que desarrollemos la fórmula para el valor de una anualidad, vamos a dejar que (n = 1 ). Eso significa que hay un depósito por año.

 

( begin {alineado} & A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt} \ text {Let} n = 1. Quad & A = P left (1+ frac {r} {1} right) ^ {1 t} \ text {Simplify.} quad & A = P (1 + r) ^ {t} end {alineado} )

 

Supongamos que se invierten (P ) dólares al final de cada año. Un año después, ese depósito vale (P (1 + r) ^ {1} ) dólares, y otro año después vale (P (1 + r) ^ {2} ) dólares. Después de (t ) años, valdrá (P (1 + r) ^ {t} ) dólares.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

	Fin de año (1 )	Fin de año (2 )	Fin de año (3 )
Primer depósito (P ) @ fin de año (1 )	(P )	Cantidad (1 ) año después (P (1 + r) ^ {1} )	Cantidad (2 ) años después (P (1 + r) ^ {2} )
(2 ) nd Depósito (P ) @ fin de año (2 )		(P )	Cantidad (1 ) año después (P (1 + r) ^ {1} )
(3 ) rd Depósito (P ) @ fin de año (3 )			(P )

 

Tabla 12.3.2

 

Después de tres años, el valor de la anualidad es

 

 

   

 

Esta es una suma de los términos de una secuencia geométrica donde el primer término es (P ) y la razón común es (1 + r ). Sustituimos estos valores en la fórmula de suma. Tenga cuidado, tenemos dos usos diferentes de (r ). El (r ) en la fórmula de suma es la razón común de la secuencia. En este caso, es (1 + r ) donde (r ) es la tasa de interés.

 

( begin {alineado} & S_ {t} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {t} right)} {1-r} \ text {Sustituir en los valores .} quad & S_ {t} = frac {P left (1- (1 + r) ^ {t} right)} {1- (1 + r)} \ text {Simplify.} quad & S_ {t} = frac {P left (1- (1 + r) ^ {t} right)} {- r} \ & S_ {t} = frac {P left ((1+ r) ^ {t} -1 right)} {r} end {alineado} )

 

Recuerde que nuestra premisa es que se realizó un depósito al final de cada año.

 

Podemos adaptar esta fórmula para (n ) depósitos realizados por año y los intereses se capitalizan (n ) veces al año.

         

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con secuencias.

 

Conceptos clave

 

     
• Término general ( (n ) th término) de una secuencia geométrica: El término general de una secuencia geométrica con el primer término (a_ {1} ) y la razón común (r ) es      

  (a_ {n} = a_ {1} r ^ {n-1} )

       
     
•      

  Suma de los primeros (n ) términos de una serie geométrica: La suma, (S_ {n} ), de los términos (n ) de una secuencia geométrica es

       

  (S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} )

      donde (a_ {1} ) es el primer término y (r ) es la razón común. Serie geométrica infinita: Una serie geométrica infinita es una suma infinita cuyo primer término es (a_ {1} ) y la razón común es (r ) y se escribe      

  (a_ {1} + a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} + ldots ) ​​

       
     
•      

  Suma de una serie geométrica infinita: Para una serie geométrica infinita cuyo primer término es (a_ {1} ) y relación común (r ), [19459011 ] Si (| r | <1 ), la suma es

       
 

 

(S = frac {a_ {1}} {1-r} )

 

Decimos que la serie converge.

 

Si (| r | ≥1 ), la serie geométrica infinita no tiene una suma. Decimos que la serie diverge.