Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
Usa el triángulo de Pascal para expandir un binomio
En nuestro trabajo anterior, tenemos binomios cuadrados ya sea usando FOIL o usando el Patrón de cuadrados binomiales. También podemos decir que expandimos ((a + b) ^ {2} ).
((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )
Para expandir ((a + b) ^ {3} ), reconocemos que esto es ((a + b) ^ {2} (a + b) ) y multiplicamos.
((a + b) ^ {3} )
((a + b) ^ {2} (a + b) )
( left (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} right) (a + b) )
(a ^ {3} +2 a ^ {2} b + ab ^ {2} + a ^ {2} b + 2 ab ^ {2} + b ^ {3} )
(a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 ab ^ {2} + b ^ {3} ) [ 19459007] ((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 ab ^ {2} + b ^ {3} )
Para encontrar un método que sea menos tedioso que funcione para expansiones más altas como ((a + b) ^ {7} ), nuevamente buscamos patrones en algunas expansiones.
Número de términos | Primer término | Último período | |
---|---|---|---|
((a + b) ^ {1} = a + b ) | (2 ) | (a ^ {1} ) | (b ^ {1} ) |
((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} ) | (3 ) | (a ^ {2} ) | (b ^ {2} ) |
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} ) | (4 ) | (a ^ {3} ) | (b ^ {3} ) |
((a + b) ^ {4} = a ^ {4} +4 a ^ {3} b + 6 a ^ {2} b ^ {2} +4 ab ^ {3} + b ^ {4} ) | (5 ) | (a ^ {4} ) | (b ^ {4} ) |
((a + b) ^ {5} = a ^ {5} +5 a ^ {4} b + 10 a ^ {3} b ^ {2} +10 a ^ {2} b ^ { 3} +5 ab ^ {4} + b ^ {5} ) | (6 ) | (a ^ {5} ) | (b ^ {5} ) |
((a + b) ^ {n} ) | (n ) | (a ^ {n} ) | (b ^ {n} ) |
Tabla 12.4.1
Observe que el primer y el último término muestran solo una variable. Recuerde que (a ^ {0} = 1 ), para que podamos reescribir el primer y el último término para incluir ambas variables. Por ejemplo, podríamos expandir ((a + b) ^ {3} ) para mostrar cada término con ambas variables.
En general, no mostramos los exponentes cero, tal como solemos escribir (x ) en lugar de (1x ).
Nota
Patrones en la expansión de ((a + b) ^ {n} )
- El número de términos es (n + 1 ).
- El primer término es (a ^ {n} ) y el último término es (b ^ {n} ).
- Los exponentes en (a ) disminuyen en uno en cada término que va de izquierda a derecha.
- Los exponentes en (b ) aumentan en uno en cada término que va de izquierda a derecha.
- La suma de los exponentes en cualquier término es (n ).
Veamos un ejemplo para resaltar los últimos tres patrones.
De los patrones que identificamos, vemos que las variables en la expansión de ((a + b) ^ {n} ) serían
((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} ).
Para encontrar los coeficientes de los términos, escribimos nuestras expansiones nuevamente enfocándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes.
La matriz a la derecha se llama Triángulo de Pascal . Observe que cada número en la matriz es la suma de los dos números más cercanos en la fila de arriba. Podemos encontrar la siguiente fila comenzando y terminando con uno y luego sumando dos números adyacentes.
Este triángulo da los coeficientes de los términos cuando expandimos binomios.
Definición ( PageIndex {1} )
Triángulo de Pascal
En el siguiente ejemplo, utilizaremos este triángulo y los patrones que reconocimos para expandir el binomio.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {6} ).
Solución :
Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. Los exponentes distintos de cero de (x ) comenzarán a las seis y disminuirán a uno. Los exponentes distintos de cero de (y ) comenzarán en uno y aumentarán a seis. La suma de los exponentes en cada término será seis. En nuestro patrón, (a = x ) y (b = y ).
( begin {array} {l} {(a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n}} \ {(x + y) ^ {6} = x ^ {6} + _ _ _ x ^ {5} y ^ {1} + _ _ _ x ^ {4} y ^ {2} + _ _ _ x ^ {3} y ^ {3} + _ _ _ x ^ {2} y ^ {4} + _ _ _ x ^ {1} y ^ {5} + y ^ {6}} end { matriz} )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {5} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3 }} {+5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((p + q) ^ {7} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {c} {p ^ {7} +7 p ^ {6} q + 21 p ^ {5} q ^ {2} +35 p ^ {4} q ^ {3 }} {+35 p ^ {3} q ^ {4} +21 p ^ {2} q ^ {5} +7 pq ^ {6} + q ^ {7}} end {array} ) [19459001 ]
En el siguiente ejemplo, queremos expandir un binomio con una variable y una constante. Necesitamos identificar los (a ) y (b ) para aplicar cuidadosamente el patrón.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 3) ^ {5} ).
Solución :
Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = 3 ).
Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. La suma de los exponentes en cada término será cinco.
((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )
((x + 3) ^ {5} = x ^ {5} + _ _ _ x ^ {4} cdot3 ^ {1} + _ _ _ x ^ {3} cdot3 ^ {2} + _ _ _ x ^ {2} cdot3 ^ {3} + _ _ _ x ^ {1} cdot3 ^ {4} + 3 ^ {5} )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 2) ^ {4} ).
- Respuesta
-
(x ^ {4} +8 x ^ {3} +24 x ^ {2} +32 x + 16 )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 1) ^ {6} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {x ^ {6} +6 x ^ {5} +15 x ^ {4} +20 x ^ {3} +15 x ^ {2}} {+ 6 x + 1} end {array} )
En el siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia y el primer término tiene una constante por la variable. Una vez que identificamos el (a ) y (b ) del patrón, debemos aplicar cuidadosamente el patrón nuevamente.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((3x-2) ^ {4} ).
Solución :
Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = 3x ) y (b = -2 ).
((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )
((3 x-2) ^ {4} = 1 cdot left ( stackrel {3} {x} +4 (3 x) ^ {3} (- 2) ^ {1} +6 (3 x) ^ {2} (- 2) ^ {2} +4 (3 x) ^ {1} (- 2) ^ {3} +1 cdot (-2) ^ {4} right. )
((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} +4 left (27 x ^ {3} right) (- 2) +6 left (9 x ^ {2 } right) (4) +4 (3 x) (- 8) +1 cdot 16 )
((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} -216 x ^ {3} +216 x ^ {2} -96 x + 16 )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((2x-3) ^ {4} ).
- Respuesta
-
(16 x ^ {4} -96 x ^ {3} +216 x ^ {2} -216 x + 81 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((2x-1) ^ {6} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {64 x ^ {6} -192 x ^ {5} +240 x ^ {4} -160 x ^ {3}} {+60 x ^ {2} -12 x + 1} end {array} )
Evaluar un coeficiente binomial
Si bien el Triángulo de Pascal es un método para expandir un binomio, también veremos otro método. Antes de llegar a eso, necesitamos introducir más notación factorial . Esta notación no solo se usa para expandir binomios, sino también en el estudio y uso de la probabilidad.
Para encontrar los coeficientes de los términos de binomios expandidos, necesitaremos poder evaluar la notación ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) que se llama coeficiente binomial . Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) como “ (n ) elegir (r )” o “ (n ) tomado (r ) a la vez «.
Definición ( PageIndex {1} )
Un coeficiente binomial ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ), donde (r ) y (b ) son enteros con (0 leq r leq n ), se define como
( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ) [ 19459001]
Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) como » (n ) elegir (r )» o » (n ) tomado (r ) a la vez».
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Evaluar:
- ( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) )
Solución :
a. Usaremos la definición de un coeficiente binomial,
( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ) [ 19459001]
( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) )
Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 5, r = 1 ).
( frac {5!} {1! (5-1)!} )
Simplificar.
( frac {5!} {1! (4)!} )
Reescribir (5! ) Como (5 cdot 4! )
( frac {5 cdot 4!} {1! Cdot 4!} )
Simplifica, eliminando factores comunes.
( frac {5 cdot cancel {4!}} {1! Cdot cancel {4!}} )
Simplificar.
(5 )
( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) = 5 )
b. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) )
Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 7, r = 7 ).
( frac {7!} {7! (7-7)!} )
Simplificar.
( frac {7!} {7! (0)!} )
Simplificar. Recuerda (0! = 1 ).
(1 )
( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) = 1 )
c. ( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) )
Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 4, r = 0 ).
( frac {4!} {0! (4-0)!} )
Simplificar.
( frac {4!} {0! (4)!} )
Simplificar.
(1 )
( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) = 1 )
d. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) )
Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 8, r = 5 ).
( frac {8!} {5! (8-5)!} )
Simplificar.
( frac {8!} {5! (3)!} )
Reescribe (8! ) Como (8 cdot 7 cdot 6 cdot 5! ) Y elimina los factores comunes.
( frac {8 cdot7 cdot cancel {6} cdot cancel {5!}} { Cancel {5!} Cdot cancel {3} cdot cancel {2} cdot1 } )
Simplificar.
(56 )
( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) = 56 )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Evalúe cada coeficiente binomial:
- ( left ( begin {array} {l} {6} \ {1} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {8} \ {8} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {7} \ {3} end {array} right) )
- Respuesta
-
- (6 )
- (1 )
- (1 )
- (35 )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Evalúe cada coeficiente binomial:
- ( left ( begin {array} {l} {2} \ {1} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {11} \ {11} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {9} \ {0} end {array} right) )
- ( left ( begin {array} {l} {6} \ {5} end {array} right) )
- Respuesta
-
- (2 )
- (1 )
- (1 )
- (6 )
En el ejemplo anterior, ((a) ), ((b) ), ((c) ) demuestran algunas propiedades especiales de los coeficientes binomiales.
Definición ( PageIndex {2} )
Propiedades de los coeficientes binomiales
( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n quad left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1 quad left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 ) [19459001 ]
Usa el teorema del binomio para expandir un binomio
Ahora estamos listos para usar el método alternativo de expandir binomios. El teorema Binomial usa el mismo patrón para las variables, pero usa el coeficiente binomial para el coeficiente de cada término.
Definición ( PageIndex {3} )
Teorema binomial
Para cualquier número real (a ) y (b ), y entero positivo (n ),
((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Usa el teorema binomial para expandir ((p + q) ^ {4} ).
Solución :
Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = p ) y (b = q ).
Utilizamos el teorema binomial.
((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )
Sustituir en los valores (a = p, b = q ) y (n = 4 ).
((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {c} {4} \ {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) p ^ {4-1} q ^ {1} + left ( begin {array} {c} { 4} \ {2} end {array} right) p ^ {4-2} q ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end { array} right) p ^ {4-3} q ^ {3} + left ( begin {array} {c} {4} \ {4} end {array} right) q ^ {4} )
Simplifica los exponentes.
((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) p ^ {3} q + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) p ^ {2} q ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end {array} right) pq ^ {3 } + left ( begin {array} {c} {4} \ {4} end {array} right) q ^ {4} )
Evalúe los coeficientes, recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} { l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 )
((p + q) ^ {4} = 1 p ^ {4} +4 p ^ {3} q ^ {1} + frac {4!} {2! (2)!} P ^ {2} q ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} P ^ {1} q ^ {3} +1 q ^ {4} )
(( p + q) ^ {4} = p ^ {4} +4 p ^ {3} q + 6 p ^ {2} q ^ {2} +4 pq ^ {3} + q ^ {4} ) [ 19459001]
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Usa el teorema binomial para expandir ((x + y) ^ {5} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3 }} {+5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Usa el teorema binomial para expandir ((m + n) ^ {6} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {m ^ {6} +6 m ^ {5} n + 15 m ^ {4} n ^ {2} +20 m ^ {3} n ^ {3 }} {+15 m ^ {2} n ^ {4} +6 mn ^ {5} + n ^ {6}} end {array} )
Observe que cuando expandimos ((p + q) ^ {4} ) en el último ejemplo, usando el Teorema binomial, obtuvimos los mismos coeficientes que obtendríamos usando Triángulo de Pascal .

El siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia. Cuando el binomio es una diferencia, debemos tener cuidado al identificar los valores que usaremos en el patrón.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Usa el teorema binomial para expandir ((x-2) ^ {5} ).
Solución :
Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = -2 ).
Utilizamos el teorema binomial.
((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )
Sustituir en los valores (a = x, b = -2 ) y (n = 5 ).
((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} \ {1} end {array} right) x ^ {5-1} (- 2) ^ {1} + left ( begin {array} { c} {5} \ {2} end {array} right) x ^ {5-2} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} \ {3} end {array} right) x ^ {5-3} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} \ {4} end {array } right) x ^ {5-4} (- 2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} \ {5} end {array} right) (- 2 ) ^ {5} )
Simplifique los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 ).
((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} \ {1} end {array} right) x ^ {4} (- 2) + left ( begin {array} {c} {5} {2} end {array} right) x ^ {3} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} \ {3} end {array} right) x ^ {2} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} \ {4} end {array} right) x (-2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} \ {5} end {array} right) (- 2) ^ {5} )
((x-2) ^ {5} = 1 x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} + frac {5!} {2! Cdot 3!} (- 2 ) ^ {2} x ^ {3} + frac {5!} {3! 2!} (- 2) ^ {3} x ^ {2} + frac {5!} {4! 1!} ( -2) ^ {4} x + 1 (-2) ^ {5} )
((x-2) ^ {5} = x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} +10 cdot 4 cdot x ^ {3} +10 (-8) x ^ {2} +5 cdot 16 cdot x + 1 (-32) )
((x-2) ^ {5} = x ^ {5} -10 x ^ {4} +40 x ^ {3} -80 x ^ {2} +80 x-32 ) [19459001 ]
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Usa el teorema binomial para expandir ((x-3) ^ {5} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {x ^ {5} -15 x ^ {4} +90 x ^ {3} -270 x ^ {2}} {+405 x-243} end {array} )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Usa el teorema binomial para expandir ((y-1) ^ {6} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {y ^ {6} -6 y ^ {5} +15 y ^ {4} -20 y ^ {3} +15 y ^ {2}} {- 6 y + 1} end {array} )
Las cosas pueden complicarse cuando ambos términos tienen un coeficiente y una variable.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Usa el teorema binomial para expandir ((2x-3y) ^ {4} ).
Solución :
Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = 2x ) y (b = -3y ).
Utilizamos el teorema binomial.
((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )
Sustituir en los valores (a = 2x, b = -3y ) y (n = 4 ).
((2 x-3 y) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) (2 x) ^ { 4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) (2 x) ^ {4-1} (- 3 y) ^ {1} + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) (2 x) ^ {4-2} (- 3 y) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end {array} right) (2 x) ^ {4-3} (- 3 y) ^ {3} + left ( begin { array} {c} {4} \ {4} end {array} right) (-3y) ^ {4} )
Simplifica los exponentes.
((2 x-3 y) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) (2 x) ^ { 4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {1} + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) (2 x) ^ {2} (- 3 y) ^ {2} + left ( begin {array } {c} {4} \ {3} end {array} right) (2 x) ^ {1} (- 3 y) ^ {3} + left ( begin {array} {c} { 4} \ {4} end {array} right) (- 3 y) ^ {4} )
Evalúa los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 )
((2 x-3 y) ^ {4} = 1 (2 x) ^ {4} +4 (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {1} + frac {4 !} {2! (2 x)!} (2 x) ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {3} +1 (-3 y) ^ {4} )
((2 x-3 y) ^ {4} = 16 x ^ {4} +4 cdot 8 x ^ {3} (- 3 y) +6 left (4 x ^ {2} derecha) izquierda (9 y ^ {2} derecha) +4 (2 x) izquierda (-27 y ^ {3} derecha) +81 y ^ {4} )
((2 x-3 y) ^ {4} = 16 x ^ {4} -96 x ^ {3} y + 216 x ^ {2} y ^ {2} -216 xy ^ {3} +81 y ^ {4} )
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Usa el teorema binomial para expandir ((3x-2y) ^ {5} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {243 x ^ {5} -810 x ^ {4} y + 1080 x ^ {3} y ^ {2}} {-720 x ^ {2} y ^ {3} +240 xy ^ {4} -32 y ^ {5}} end {array} )
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Usa el teorema binomial para expandir ((4x-3y) ^ {4} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {l} {256 x ^ {4} -768 x ^ {3} y + 864 x ^ {2} y ^ {2}} {-432 xy ^ {3} + 81 y ^ {4}} end {array} )
La verdadera belleza del teorema binomial es que proporciona una fórmula para cualquier término particular de la expansión sin tener que calcular la suma total. Busquemos un patrón en el Teorema binomial .

Observe que en cada caso el exponente en (b ) es uno menos que el número del término. El término ((r + 1) ^ {st} ) es el término donde el exponente de (b ) es (r ). Entonces podemos usar el formato del término ((r + 1) ^ {st} ) para encontrar el valor de un término específico.
Nota
Encuentre un término específico en una expansión binomial
El término ((r + 1) ^ {s t} ) en la expansión de ((a + b) ^ {n} ) es
( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {n-r} b ^ {r} )
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Encuentre el cuarto término de ((x + y) ^ {7} ).
Solución :
Tabla 12.4.1
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Encuentre el tercer término de ((x + y) ^ {6} ).
- Respuesta
-
(15x ^ {4} y ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Encuentre el quinto término de ((a + b) ^ {8} ).
- Respuesta
-
(8ab ^ {7} )
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Encuentre el coeficiente del término (x ^ {6} ) de ((x + 3) ^ {9} ).
Solución :
Tabla 12.4.2
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Encuentre el coeficiente del término (x ^ {5} ) de ((x + 4) ^ {8} ).
- Respuesta
-
(7,168 )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Encuentre el coeficiente del término (x ^ {4} ) de ((x + 2) ^ {7} ).
- Respuesta
-
(280 )
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