las matematicas

12.5: Teorema binomial

12.5: Teorema binomial

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Usa el triángulo de Pascal para expandir un binomio

 

En nuestro trabajo anterior, tenemos binomios cuadrados ya sea usando FOIL o usando el Patrón de cuadrados binomiales. También podemos decir que expandimos ((a + b) ^ {2} ).

 

((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )

 

Para expandir ((a + b) ^ {3} ), reconocemos que esto es ((a + b) ^ {2} (a + b) ) y multiplicamos.

 

((a + b) ^ {3} )
((a + b) ^ {2} (a + b) )
( left (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} right) (a + b) )
(a ^ {3} +2 a ^ {2} b + ab ^ {2} + a ^ {2} b + 2 ab ^ {2} + b ^ {3} )
(a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 ab ^ {2} + b ^ {3} ) [ 19459007] ((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 ab ^ {2} + b ^ {3} )

 

Para encontrar un método que sea menos tedioso que funcione para expansiones más altas como ((a + b) ^ {7} ), nuevamente buscamos patrones en algunas expansiones.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Número de términos Primer término Último período
((a + b) ^ {1} = a + b ) (2 ) (a ^ {1} ) (b ^ {1} )
((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} ) (3 ) (a ^ {2} ) (b ^ {2} )
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} ) (4 ) (a ^ {3} ) (b ^ {3} )
((a + b) ^ {4} = a ^ {4} +4 a ^ {3} b + 6 a ^ {2} b ^ {2} +4 ab ^ {3} + b ^ {4} ) (5 ) (a ^ {4} ) (b ^ {4} )
((a + b) ^ {5} = a ^ {5} +5 a ^ {4} b + 10 a ^ {3} b ^ {2} +10 a ^ {2} b ^ { 3} +5 ab ^ {4} + b ^ {5} ) (6 ) (a ^ {5} ) (b ^ {5} )
((a + b) ^ {n} ) (n ) (a ^ {n} ) (b ^ {n} )
 

Tabla 12.4.1

 

Observe que el primer y el último término muestran solo una variable. Recuerde que (a ^ {0} = 1 ), para que podamos reescribir el primer y el último término para incluir ambas variables. Por ejemplo, podríamos expandir ((a + b) ^ {3} ) para mostrar cada término con ambas variables.

 

 

This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.  
Figura 12.4.1
 
 

En general, no mostramos los exponentes cero, tal como solemos escribir (x ) en lugar de (1x ).

 
 

Nota

 

Patrones en la expansión de ((a + b) ^ {n} )

 
         
  • El número de términos es (n + 1 ).
    •      
  • El primer término es (a ^ {n} ) y el último término es (b ^ {n} ).
    •      
  • Los exponentes en (a ) disminuyen en uno en cada término que va de izquierda a derecha.
    •      
  • Los exponentes en (b ) aumentan en uno en cada término que va de izquierda a derecha.
    •      
  • La ​​suma de los exponentes en cualquier término es (n ).
    •  
 
 

Veamos un ejemplo para resaltar los últimos tres patrones.

 

 

This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.  
Figura 12.4.2
 
 

De los patrones que identificamos, vemos que las variables en la expansión de ((a + b) ^ {n} ) serían

 

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} ).

 

Para encontrar los coeficientes de los términos, escribimos nuestras expansiones nuevamente enfocándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes.

 

 

A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal’s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal’s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal’s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal’s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal’s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal’s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.  
Figura 12.4.3
 
 

La matriz a la derecha se llama Triángulo de Pascal . Observe que cada número en la matriz es la suma de los dos números más cercanos en la fila de arriba. Podemos encontrar la siguiente fila comenzando y terminando con uno y luego sumando dos números adyacentes.

 

 

This figure shows Pascal’s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.  
Figura 12.4.4
 
 

Este triángulo da los coeficientes de los términos cuando expandimos binomios.

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Triángulo de Pascal

 
This figure shows Pascal’s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.  
Figura 12.4.5
 
 
 

En el siguiente ejemplo, utilizaremos este triángulo y los patrones que reconocimos para expandir el binomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {6} ).

 

Solución :

   

Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. Los exponentes distintos de cero de (x ) comenzarán a las seis y disminuirán a uno. Los exponentes distintos de cero de (y ) comenzarán en uno y aumentarán a seis. La suma de los exponentes en cada término será seis. En nuestro patrón, (a = x ) y (b = y ).

 

( begin {array} {l} {(a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n}} \ {(x + y) ^ {6} = x ^ {6} + _ _ _ x ^ {5} y ^ {1} + _ _ _ x ^ {4} y ^ {2} + _ _ _ x ^ {3} y ^ {3} + _ _ _ x ^ {2} y ^ {4} + _ _ _ x ^ {1} y ^ {5} + y ^ {6}} end { matriz} )

 

 

This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.  
Figura 12.4.6
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3 }} {+5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((p + q) ^ {7} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {c} {p ^ {7} +7 p ^ {6} q + 21 p ^ {5} q ^ {2} +35 p ^ {4} q ^ {3 }} {+35 p ^ {3} q ^ {4} +21 p ^ {2} q ^ {5} +7 pq ^ {6} + q ^ {7}} end {array} ) [19459001 ]      

 
 
 

En el siguiente ejemplo, queremos expandir un binomio con una variable y una constante. Necesitamos identificar los (a ) y (b ) para aplicar cuidadosamente el patrón.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 3) ^ {5} ).

 

Solución :

 

Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

 
This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.  
Figura 12.4.7
 
 

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = 3 ).

 

Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. La suma de los exponentes en cada término será cinco.

 

 

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

 

((x + 3) ^ {5} = x ^ {5} + _ _ _ x ^ {4} cdot3 ^ {1} + _ _ _ x ^ {3} cdot3 ^ {2} + _ _ _ x ^ {2} cdot3 ^ {3} + _ _ _ x ^ {1} cdot3 ^ {4} + 3 ^ {5} )

 

 

This figure shows Pascal’s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.  
Figura 12.4.8
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 2) ^ {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {4} +8 x ^ {3} +24 x ^ {2} +32 x + 16 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((x + 1) ^ {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {x ^ {6} +6 x ^ {5} +15 x ^ {4} +20 x ^ {3} +15 x ^ {2}} {+ 6 x + 1} end {array} )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia y el primer término tiene una constante por la variable. Una vez que identificamos el (a ) y (b ) del patrón, debemos aplicar cuidadosamente el patrón nuevamente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((3x-2) ^ {4} ).

 

Solución :

 

Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

 
This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.  
Figura 12.4.9
 
 

En nuestro patrón, (a = 3x ) y (b = -2 ).

 

 

This figure shows Pascal’s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.  
Figura 12.4.10
 
 

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2 } b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

 

((3 x-2) ^ {4} = 1 cdot left ( stackrel {3} {x} +4 (3 x) ^ {3} (- 2) ^ {1} +6 (3 x) ^ {2} (- 2) ^ {2} +4 (3 x) ^ {1} (- 2) ^ {3} +1 cdot (-2) ^ {4} right. )

 

((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} +4 left (27 x ^ {3} right) (- 2) +6 left (9 x ^ {2 } right) (4) +4 (3 x) (- 8) +1 cdot 16 )

 

((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} -216 x ^ {3} +216 x ^ {2} -96 x + 16 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((2x-3) ^ {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(16 x ^ {4} -96 x ^ {3} +216 x ^ {2} -216 x + 81 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Usa el Triángulo de Pascal para expandir ((2x-1) ^ {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {64 x ^ {6} -192 x ^ {5} +240 x ^ {4} -160 x ^ {3}} {+60 x ^ {2} -12 x + 1} end {array} )

     
 
 
 

Evaluar un coeficiente binomial

 

Si bien el Triángulo de Pascal es un método para expandir un binomio, también veremos otro método. Antes de llegar a eso, necesitamos introducir más notación factorial . Esta notación no solo se usa para expandir binomios, sino también en el estudio y uso de la probabilidad.

 

Para encontrar los coeficientes de los términos de binomios expandidos, necesitaremos poder evaluar la notación ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) que se llama coeficiente binomial . Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) como “ (n ) elegir (r )” o “ (n ) tomado (r ) a la vez «.

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Un coeficiente binomial ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ), donde (r ) y (b ) son enteros con (0 leq r leq n ), se define como

 

( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ) [ 19459001]  

Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) ) como » (n ) elegir (r )» o » (n ) tomado (r ) a la vez».

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) )
    2.      
  2. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) )
    3.      
  3. ( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) )
    4.      
  4. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) )
    5.  
 

Solución :

 

a. Usaremos la definición de un coeficiente binomial,

 

( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ) [ 19459001]  

( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) )

 

Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 5, r = 1 ).

 

( frac {5!} {1! (5-1)!} )

 

Simplificar.

 

( frac {5!} {1! (4)!} )

 

Reescribir (5! ) Como (5 cdot 4! )

 

( frac {5 cdot 4!} {1! Cdot 4!} )

 

Simplifica, eliminando factores comunes.

 

( frac {5 cdot cancel {4!}} {1! Cdot cancel {4!}} )

 

Simplificar.

 

(5 )

 

( left ( begin {array} {l} {5} \ {1} end {array} right) = 5 )

 

b. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) )

 

Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 7, r = 7 ).

 

( frac {7!} {7! (7-7)!} )

 

Simplificar.

 

( frac {7!} {7! (0)!} )

 

Simplificar. Recuerda (0! = 1 ).

 

(1 )

 

( left ( begin {array} {l} {7} \ {7} end {array} right) = 1 )

 

c. ( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) )

 

Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 4, r = 0 ).

 

( frac {4!} {0! (4-0)!} )

 

Simplificar.

 

( frac {4!} {0! (4)!} )

 

Simplificar.

 

(1 )

 

( left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) = 1 )

 

d. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) )

 

Use la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 8, r = 5 ).

 

( frac {8!} {5! (8-5)!} )

 

Simplificar.

 

( frac {8!} {5! (3)!} )

 

Reescribe (8! ) Como (8 cdot 7 cdot 6 cdot 5! ) Y elimina los factores comunes.

 

( frac {8 cdot7 cdot cancel {6} cdot cancel {5!}} { Cancel {5!} Cdot cancel {3} cdot cancel {2} cdot1 } )

 

Simplificar.

 

(56 )

 

( left ( begin {array} {l} {8} \ {5} end {array} right) = 56 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Evalúe cada coeficiente binomial:

 
         
  1. ( left ( begin {array} {l} {6} \ {1} end {array} right) )
    2.      
  2. ( left ( begin {array} {l} {8} \ {8} end {array} right) )
    3.      
  3. ( left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) )
    4.      
  4. ( left ( begin {array} {l} {7} \ {3} end {array} right) )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 )
    2.          
  2. (1 )
    3.          
  3. (1 )
    4.          
  4. (35 )
    5.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Evalúe cada coeficiente binomial:

 
         
  1. ( left ( begin {array} {l} {2} \ {1} end {array} right) )
    2.      
  2. ( left ( begin {array} {l} {11} \ {11} end {array} right) )
    3.      
  3. ( left ( begin {array} {l} {9} \ {0} end {array} right) )
    4.      
  4. ( left ( begin {array} {l} {6} \ {5} end {array} right) )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 )
    2.          
  2. (1 )
    3.          
  3. (1 )
    4.          
  4. (6 )
    5.      
     
 
 
 

En el ejemplo anterior, ((a) ), ((b) ), ((c) ) demuestran algunas propiedades especiales de los coeficientes binomiales.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Propiedades de los coeficientes binomiales

 

( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n quad left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1 quad left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 ) [19459001 ]  

 

Usa el teorema del binomio para expandir un binomio

 

Ahora estamos listos para usar el método alternativo de expandir binomios. El teorema Binomial usa el mismo patrón para las variables, pero usa el coeficiente binomial para el coeficiente de cada término.

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Teorema binomial

 

Para cualquier número real (a ) y (b ), y entero positivo (n ),

 

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((p + q) ^ {4} ).

 

Solución :

 

Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

 
This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.  
Figura 12.4.11
 
 

En nuestro patrón, (a = p ) y (b = q ).

 

Utilizamos el teorema binomial.

 

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )

 

Sustituir en los valores (a = p, b = q ) y (n = 4 ).

 

((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {c} {4} \ {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) p ^ {4-1} q ^ {1} + left ( begin {array} {c} { 4} \ {2} end {array} right) p ^ {4-2} q ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end { array} right) p ^ {4-3} q ^ {3} + left ( begin {array} {c} {4} \ {4} end {array} right) q ^ {4} )

 

Simplifica los exponentes.

 

((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) p ^ {3} q + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) p ^ {2} q ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end {array} right) pq ^ {3 } + left ( begin {array} {c} {4} \ {4} end {array} right) q ^ {4} )

 

Evalúe los coeficientes, recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} { l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 )

 

((p + q) ^ {4} = 1 p ^ {4} +4 p ^ {3} q ^ {1} + frac {4!} {2! (2)!} P ^ {2} q ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} P ^ {1} q ^ {3} +1 q ^ {4} )
(( p + q) ^ {4} = p ^ {4} +4 p ^ {3} q + 6 p ^ {2} q ^ {2} +4 pq ^ {3} + q ^ {4} ) [ 19459001]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((x + y) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3 }} {+5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((m + n) ^ {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {m ^ {6} +6 m ^ {5} n + 15 m ^ {4} n ^ {2} +20 m ^ {3} n ^ {3 }} {+15 m ^ {2} n ^ {4} +6 mn ^ {5} + n ^ {6}} end {array} )

     
 
 
 

Observe que cuando expandimos ((p + q) ^ {4} ) en el último ejemplo, usando el Teorema binomial, obtuvimos los mismos coeficientes que obtendríamos usando Triángulo de Pascal .

 
The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal’s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.  
Figura 12.4.12
 
 

El siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia. Cuando el binomio es una diferencia, debemos tener cuidado al identificar los valores que usaremos en el patrón.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((x-2) ^ {5} ).

 

Solución :

 

Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

 
This figure shows x minus 2 to the power of 5.  
Figura 12.4.13
 
 

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = -2 ).

 

Utilizamos el teorema binomial.

 

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )

 

Sustituir en los valores (a = x, b = -2 ) y (n = 5 ).

 

((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} \ {1} end {array} right) x ^ {5-1} (- 2) ^ {1} + left ( begin {array} { c} {5} \ {2} end {array} right) x ^ {5-2} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} \ {3} end {array} right) x ^ {5-3} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} \ {4} end {array } right) x ^ {5-4} (- 2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} \ {5} end {array} right) (- 2 ) ^ {5} )

 

Simplifique los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 ).

 

((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} \ {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} \ {1} end {array} right) x ^ {4} (- 2) + left ( begin {array} {c} {5} {2} end {array} right) x ^ {3} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} \ {3} end {array} right) x ^ {2} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} \ {4} end {array} right) x (-2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} \ {5} end {array} right) (- 2) ^ {5} )

 

((x-2) ^ {5} = 1 x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} + frac {5!} {2! Cdot 3!} (- 2 ) ^ {2} x ^ {3} + frac {5!} {3! 2!} (- 2) ^ {3} x ^ {2} + frac {5!} {4! 1!} ( -2) ^ {4} x + 1 (-2) ^ {5} )

 

((x-2) ^ {5} = x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} +10 cdot 4 cdot x ^ {3} +10 (-8) x ^ {2} +5 cdot 16 cdot x + 1 (-32) )

 

((x-2) ^ {5} = x ^ {5} -10 x ^ {4} +40 x ^ {3} -80 x ^ {2} +80 x-32 ) [19459001 ]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((x-3) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {x ^ {5} -15 x ^ {4} +90 x ^ {3} -270 x ^ {2}} {+405 x-243} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((y-1) ^ {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {y ^ {6} -6 y ^ {5} +15 y ^ {4} -20 y ^ {3} +15 y ^ {2}} {- 6 y + 1} end {array} )

     
 
 
 

Las cosas pueden complicarse cuando ambos términos tienen un coeficiente y una variable.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((2x-3y) ^ {4} ).

 

Solución :

 

Identificamos el (a ) y (b ) del patrón.

 
This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.  
Figura 12.4.14
 
 

En nuestro patrón, (a = 2x ) y (b = -3y ).

 

Utilizamos el teorema binomial.

 

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} \ {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} \ {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} { n} \ {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} \ {n} end {array} right) b ^ { n} )

 

Sustituir en los valores (a = 2x, b = -3y ) y (n = 4 ).

 

((2 x-3 y) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) (2 x) ^ { 4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) (2 x) ^ {4-1} (- 3 y) ^ {1} + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) (2 x) ^ {4-2} (- 3 y) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {4} \ {3} end {array} right) (2 x) ^ {4-3} (- 3 y) ^ {3} + left ( begin { array} {c} {4} \ {4} end {array} right) (-3y) ^ {4} )

 

Simplifica los exponentes.

 

((2 x-3 y) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} \ {0} end {array} right) (2 x) ^ { 4} + left ( begin {array} {c} {4} \ {1} end {array} right) (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {1} + left ( begin {array} {c} {4} \ {2} end {array} right) (2 x) ^ {2} (- 3 y) ^ {2} + left ( begin {array } {c} {4} \ {3} end {array} right) (2 x) ^ {1} (- 3 y) ^ {3} + left ( begin {array} {c} { 4} \ {4} end {array} right) (- 3 y) ^ {4} )

 

Evalúa los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} \ {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} \ {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} \ {0} end {array} right) = 1 )

 

((2 x-3 y) ^ {4} = 1 (2 x) ^ {4} +4 (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {1} + frac {4 !} {2! (2 x)!} (2 x) ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} (2 x) ^ {3} (- 3 y) ^ {3} +1 (-3 y) ^ {4} )

 

((2 x-3 y) ^ {4} = 16 x ^ {4} +4 cdot 8 x ^ {3} (- 3 y) +6 left (4 x ^ {2} derecha) izquierda (9 y ^ {2} derecha) +4 (2 x) izquierda (-27 y ^ {3} derecha) +81 y ^ {4} )

 

((2 x-3 y) ^ {4} = 16 x ^ {4} -96 x ^ {3} y + 216 x ^ {2} y ^ {2} -216 xy ^ {3} +81 y ^ {4} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((3x-2y) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {243 x ^ {5} -810 x ^ {4} y + 1080 x ^ {3} y ^ {2}} {-720 x ^ {2} y ^ {3} +240 xy ^ {4} -32 y ^ {5}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Usa el teorema binomial para expandir ((4x-3y) ^ {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} {256 x ^ {4} -768 x ^ {3} y + 864 x ^ {2} y ^ {2}} {-432 xy ^ {3} + 81 y ^ {4}} end {array} )

     
 
 
 

La verdadera belleza del teorema binomial es que proporciona una fórmula para cualquier término particular de la expansión sin tener que calcular la suma total. Busquemos un patrón en el Teorema binomial .

 
This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.  
Figura 12.4.15
 
 

Observe que en cada caso el exponente en (b ) es uno menos que el número del término. El término ((r + 1) ^ {st} ) es el término donde el exponente de (b ) es (r ). Entonces podemos usar el formato del término ((r + 1) ^ {st} ) para encontrar el valor de un término específico.

 
 

Nota

 

Encuentre un término específico en una expansión binomial

 

El término ((r + 1) ^ {s t} ) en la expansión de ((a + b) ^ {n} ) es

 

( left ( begin {array} {l} {n} \ {r} end {array} right) a ^ {n-r} b ^ {r} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentre el cuarto término de ((x + y) ^ {7} ).

 

Solución :

 

Tabla 12.4.1

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentre el tercer término de ((x + y) ^ {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(15x ^ {4} y ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Encuentre el quinto término de ((a + b) ^ {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

(8ab ^ {7} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el coeficiente del término (x ^ {6} ) de ((x + 3) ^ {9} ).

 

Solución :

 

Tabla 12.4.2

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Encuentre el coeficiente del término (x ^ {5} ) de ((x + 4) ^ {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

(7,168 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Encuentre el coeficiente del término (x ^ {4} ) de ((x + 2) ^ {7} ).

 
     
Respuesta
     
     

(280 )

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con secuencias.

 
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antonio1095

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