13.2: Secuencias y sus anotaciones

13.2: Secuencias y sus anotaciones

Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Ellos predicen que el número de visitas en línea a su sitio web, o visitas, se duplicará cada día. El modelo que están utilizando muestra (2 ) hits el primer día, (4 ) hits el segundo día, (8 ) hits el tercer día, y así sucesivamente (Tabla ( PageIndex {1} ) )

Si su modelo continúa, ¿cuántos éxitos habrá a fin de mes? Para responder a esta pregunta, primero necesitaremos saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección, exploraremos este tipo de listas ordenadas.

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

 

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia . Una secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números de conteo. La secuencia establecida por el número de visitas en el sitio web es

 

( {2,4,8,16,32,… } )

 

La elipsis (…) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada número en la secuencia se llama término. Los primeros cinco términos de esta secuencia son (2 ), (4 ), (8 ), (16 ) y (32 ).

 

Listar todos los términos para una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, encontrar el número de visitas en el sitio web a fin de mes requeriría incluir hasta (31 ) términos. Una forma más eficiente de determinar un término específico es escribiendo una fórmula para definir la secuencia.

 

Un tipo de fórmula es una fórmula explícita , que define los términos de una secuencia utilizando su posición en la secuencia. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos encontrar un término específico de una secuencia sin encontrar todos los términos anteriores. Podemos usar la fórmula para encontrar el enésimo término de la secuencia , donde nn es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número en la secuencia es el doble del número anterior, por lo que podemos usar potencias de 2 para escribir una fórmula para el enésimo término.

 

Sequence of {2, 4, 8, 16, 32, ...} expressed in exponential form (i.e., {2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^n, ...}

 

El primer término de la secuencia es (2 ^ 1 = 2 ), el segundo término es (2 ^ 2 = 4 ), el tercer término es (2 ^ 3 = 8 ), y así en. El enésimo término de la secuencia se puede encontrar elevando 2 a la enésima potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se nombra con una letra minúscula (a ), (b ), (c ) … con el subíndice (n ). La fórmula explícita para esta secuencia es

 

(a_n = 2 ^ n )

 

Ahora que tenemos una fórmula para el enésimo término de la secuencia, podemos responder a la pregunta planteada al comienzo de esta sección. Nos pidieron que encontráramos la cantidad de visitas a fin de mes, lo que demoraremos 31 días. Para encontrar el número de visitas en el último día del mes, necesitamos encontrar el término 31 st de la secuencia. Sustituiremos 31 por (n ) en la fórmula.

 

[ begin {align *} a_ {31} = 2 ^ {31} \ [5pt] & = 2,147,483,648 end {align *} ]

 

Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá (2,147,483,648 ) visitas el último día del mes. ¡Eso es más de (2.1 ) billones de visitas! El gran número es probablemente poco realista porque no tiene en cuenta el interés del consumidor y la competencia. Sin embargo, le da a la compañía un punto de partida para considerar las decisiones comerciales.

 

Otra forma de representar la secuencia es mediante el uso de una tabla. Los primeros cinco términos de la secuencia y el enésimo término de la secuencia se muestran en la Tabla ( PageIndex {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {2} )
(n ) 1 2 3 4 5 (n )
(n ^ {th} ) término de la secuencia, (a_n ) 2 4 8 16 32 (2 ^ n )
 

La representación gráfica proporciona una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la Figura ( PageIndex {1} ) que el número de visitas aumenta a una tasa exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.

 
Graph of a plotted exponential function, f(n) = 2^n, where the x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {1} )
 

Por último, podemos escribir esta secuencia particular como

 

( {2,4,8,16,32,…, 2 ^ n,… } )

 

Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita . El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de números de conteo. Si consideramos solo los primeros (10 ​​) términos de la secuencia, podríamos escribir

 

( {2,4,8,16,32, …, 2 ^ n, …, 1024 } )

 

Esta secuencia se denomina secuencia finita porque no continúa indefinidamente.

 
 

SECUENCIA

 

Una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Una secuencia finita es una secuencia cuyo dominio consiste solo en los primeros (n ) enteros positivos. Los números en una secuencia se llaman términos . La variable (a ) con un subíndice numérico se utiliza para representar los términos en una secuencia y para indicar la posición del término en la secuencia.

 

[a_1, a_2, a_3, …, a_n, … ]

 

Llamamos a (a_1 ) el primer término de la secuencia, (a_2 ) el segundo término de la secuencia, (a_3 ) el tercer término de la secuencia, y así sucesivamente. El término (a_n ) se llama el enésimo término de la secuencia, o el término general de la secuencia. Una fórmula explícita define el enésimo término de una secuencia utilizando la posición del término. Una secuencia que continúa indefinidamente es una secuencia infinita.

 
 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿una secuencia siempre tiene que comenzar con (a_1 )?

 

No. En ciertos problemas, puede ser útil definir el término inicial como (a_0 ) en lugar de (a_1 ). En estos problemas, el dominio de la función incluye (0 ).

 
 
 
 

Cómo: dada una fórmula explícita, escribir los primeros términos (n ) de una secuencia

 
         
  1. Sustituye cada valor de (n ) en la fórmula. Comience con (n = 1 ) para encontrar el primer término, (a_1 ).
  2.      
  3. Para encontrar el segundo término, (a_2 ), use (n = 2 ).
  4.      
  5. Continúa de la misma manera hasta que hayas identificado todos los términos nn.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula explícita (a_n = −3n + 8 ).

 

Solución

 

Sustituye (n = 1 ) en la fórmula. Repita con los valores (2 ) a (5 ) para (n ).

 

( begin {array} {ll} n = 1 & a_1 = −3 (1) + 8 = 5 \ n = 2 & a_2 = −3 (2) + 8 = 2 \ n = 3 & a_3 = −3 (3) + 8 = −1 \ n = 4 & a_4 = −3 (4) + 8 = −4 \ n = 5 & a_5 = −3 (5) + 8 = −7 end {array} )

 

Los primeros cinco términos son ( {5,2, −1, −4, −7 } ).

 

Análisis

 

Los valores de secuencia se pueden enumerar en una tabla. Una tabla, como Table ( PageIndex {3} ), es una forma conveniente de ingresar la función en una utilidad gráfica.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {3} )
(n ) 1 2 3 4 5
(a_n ) 5 2 –1 –4 –7
 

Se puede hacer un gráfico a partir de esta tabla de valores. En el gráfico de la Figura ( PageIndex {2} ), podemos ver que esta secuencia representa una función lineal, pero observe que el gráfico no es continuo porque el dominio está sobre los enteros positivos solamente.

 
Graph of a scattered plot where the x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula explícita (t_n = 5n − 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

Los primeros cinco términos son ( {1,6, 11, 16, 21 } ).

     
 
 
 

Investigación de secuencias alternativas

 

A veces las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en signos. Los pasos para encontrar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento o disminución a medida que (n ) aumente. Echemos un vistazo a la siguiente secuencia.

 

( {2, −4,6, −8 } )

 

Observe que el primer término es mayor que el segundo término, el segundo término es menor que el tercer término y el tercer término es mayor que el cuarto término. Esta tendencia continúa para siempre. No reorganice los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.

 
 

Cómo: dada una fórmula explícita con términos alternos, escriba los primeros nn términos de una secuencia

 
         
  1. Sustituye cada valor de nn en la fórmula. Comience con (n = 1 ) para encontrar el primer término, (a_1 ). El signo del término viene dado por ({(- 1)} ^ n ) en la fórmula explícita.
  2.      
  3. Para encontrar el segundo término, (a_2 ), use (n = 2 ).
  4.      
  5. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los términos (n ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escribir los términos de una secuencia alterna definida por una fórmula explícita

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia.

 

(a_n = dfrac {{(- 1)} ^ nn ^ 2} {n + 1} )

 

Solución

 

Sustituye (n = 1 ), (n = 2 ), y así sucesivamente en la fórmula.

 

( begin {array} {ll} n = 1 & a_1 = dfrac {{(- 1)} ^ 12 ^ 2} {1 + 1} = – dfrac {1} {2} \ n = 2 & a_2 = dfrac {{(- 1)} ^ 22 ^ 2} {2 + 1} = dfrac {4} {3} \ n = 3 & a_3 = dfrac {{(- 1) } ^ 33 ^ 2} {3 + 1} = – dfrac {9} {4} \ n = 4 & a_4 = dfrac {{(- 1)} ^ 44 ^ 2} {4 + 1} = dfrac {16} {5} \ n = 5 & a_5 = dfrac {{(- 1)} ^ 55 ^ 2} {5 + 1} = – dfrac {25} {6} end {array} )

 

Los primeros cinco términos son ( {- 12,43, −94,165, −256 } ).

 

Análisis

 

El gráfico de esta función, que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ), se ve diferente de los que hemos visto anteriormente en esta sección porque los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos.

 
Graph of a scattered plot with labeled points: (1, -1/2), (2, 4/3), (3, -9/4), (4, 16/5), and (5, -25/6). The x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 

Preguntas y respuestas: En el ejemplo anterior, ¿el ((- 1) ) al poder de (n ) explica las oscilaciones de los signos?

 

Sí, el poder podría ser (n ), (n + 1 ), (n − 1 ), y así sucesivamente, pero resultará cualquier poder extraño en un término negativo, y cualquier poder uniforme dará como resultado un término positivo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia:

 

(a_n = dfrac {4n} {{(- 2)} ^ n} )

 
     
Respuesta
     
     

Los primeros cinco términos son ( {- 2, 2, −32, 1, −58 } ).

     
 
 
 

Investigación de fórmulas explícitas por partes

 

Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones por partes. Recuerde que una función por partes es una función definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.

 
 

Cómo: dada una fórmula explícita para una función por partes, escribir los primeros términos (n ) de una secuencia

 
         
  1. Identifique la fórmula a la que se aplica (n = 1 ).
  2.      
  3. Para encontrar el primer término, (a_1 ), use (n = 1 ) en la fórmula apropiada.
  4.      
  5. Identifique la fórmula a la que se aplica (n = 2 ).
  6.      
  7. Para encontrar el segundo término, (a_2 ), use (n = 2 ) en la fórmula apropiada.
  8.      
  9. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los términos (n ).
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita por partes

 

Escribe los primeros seis términos de la secuencia.

 

(a_n = begin {cases} n ^ 2 space text {si n no es divisible por} 3 \ dfrac {n} {3} text {si n es divisible por} 3 end {casos} )

 

Solución

 

Sustituye (n = 1 ), (n = 2 ), y así sucesivamente en la fórmula apropiada. Use (n ^ 2 ) cuando (n ) no es un múltiplo de (3 ). Use (n ^ 3 ) cuando (n ) es un múltiplo de (3 ).

 

( begin {array} {ll} a_1 = 1 ^ 2 = 1 & 1 text {no es un múltiplo de} 3. Text {Use} n ^ 2. \ a_2 = 2 ^ 2 = 4 & 2 text {no es un múltiplo de} 3 text {. Use} n ^ 2. \ a_3 = dfrac {3} {3} = 1 & 3 text {es un múltiplo de} 3 text {. Use} dfrac {n} {3}. \ a_4 = 4 ^ 2 = 16 & 4 text {no es un múltiplo de} 3. Text {Use} n ^ 2. \ a_5 = 5 ^ 2 = 25 & 5 text {no es un múltiplo de} 3. text {Use} n ^ 2. \ a_6 = dfrac {6} {3} = 2 & 6 text {es un múltiplo de} 3 . text {Use} dfrac {n} {3} end {array} )

 

Los primeros seis términos son ( {1, 4, 1, 16, 25, 2 } ).

 

Análisis

 

Cada tercer punto en el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) se destaca de los dos puntos cercanos. Esto ocurre porque la secuencia fue definida por una función por partes.

 
Graph of a scattered plot where the x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escribe los primeros seis términos de la secuencia.

 

(a_n = begin {cases} 2n ^ 3 text {if} n text {es impar} \ dfrac {5n} {2} text {if} n text {es par} fin {casos} )

 
     
Respuesta
     
     

Los primeros seis términos son ( {2, 5, 54, 10, 250, 15 } ).

     
 
 
 

Encontrar una fórmula explícita

 

Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que encontremos varios términos de la secuencia. A veces, no se da la fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto sucede, podemos trabajar a la inversa para encontrar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para encontrar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede implicar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases.

 
 

Cómo: dados los primeros términos de una secuencia, encontrar una fórmula explícita para la secuencia

 
         
  1. Busque un patrón entre los términos.
  2.      
  3. Si los términos son fracciones, busque un patrón separado entre los numeradores y denominadores.
  4.      
  5. Busque un patrón entre los signos de los términos.
  6.      
  7. Escribe una fórmula para (a_n ) en términos de (n ). Pruebe su fórmula para (n = 1 ), (n = 2 ) y (n = 3 ).
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir una fórmula explícita para el n a término de una secuencia

 

Escribe una fórmula explícita para el enésimo término de cada secuencia.

 
         
  1. ( {- dfrac {2} {11}, dfrac {3} {13}, – dfrac {4} {15}, dfrac {5} {17}, – dfrac {6 } {19},… } )
  2.      
  3. ( {- dfrac {2} {25}, – dfrac {2} {125}, – dfrac {2} {625}, – dfrac {2} {3,125}, – dfrac {2} {15,625},… } )
  4.      
  5. ( {e ^ 4, e ^ 5, e ^ 6, e ^ 7, e ^ 8,… } )
  6.  
 

Solución

 

Busque el patrón en cada secuencia.

 
         
  1. Los términos alternan entre positivo y negativo. Podemos usar ({(- 1)} ^ n ) para alternar los términos. El numerador puede ser representado por (n + 1 ). El denominador puede ser representado por (2n + 9 ).      

    (a_n = dfrac {{(- 1)} ^ n (n + 1)} {2n + 9} )

         
  2.      
  3.      

    Los términos son todos negativos.

               

    Entonces sabemos que la fracción es negativa, el numerador es (2 ) y el denominador puede representarse por (5n + 1 ).

         

    (a_n = – dfrac {2} {5 ^ {n + 1}} )

         
  4.      
  5.      

    Los términos son poderes de (e ). Para (n = 1 ), el primer término es (e ^ 4 ), por lo que el exponente debe ser (n + 3 ).

         

    (a_n = e ^ {n + 3} )

         
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4A} )

Escribe una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia.  

( {9, −81,729, −6,561,59,049,… } )

 
     
Respuesta
     
     

(a_n = {(- 1)} ^ {n + 1} 9 ^ n )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4B} )

 

Escribe una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia.

 

( {- 34, −98, −2712, −8116, −24320, … } )

 
     
Respuesta
     
     

(a_n = – dfrac {3 ^ n} {4n} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4C} )

 

Escribe una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia.

 

( left { dfrac {1} {e ^ 2}, dfrac {1} {e}, 1, e, e ^ 2, … right } )

 
     
Respuesta
     
     

(a_n = e ^ {n − 3} )

     
 
 
 

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

 

Las secuencias ocurren naturalmente en los patrones de crecimiento de conchas de nautilus, piñas, ramas de árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de hojas o ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras en una concha de nautilus. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una secuencia famosa en la que cada término se puede encontrar agregando los dos términos anteriores. Los números en la secuencia son (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…. ) Otros ejemplos del mundo natural que exhiben la secuencia de Fibonacci son el Calla Lily, que tiene solo uno pétalo, la Susan de Ojos Negros con (13 ) pétalos, y diferentes variedades de margaritas que pueden tener (21 ) o (34 ) pétalos.

 

Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos anteriores. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente usando una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia usando una fórmula recursiva , una fórmula que define los términos de una secuencia usando términos anteriores.

 

Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término (o términos) inicial y una ecuación que define (a_n ) en términos de términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente:

 

[ begin {align *} a_1 & = 3 \ a_n & = 2a_ {n − 1} −1, text {for} n≥2 end {align *} ]

 

Podemos encontrar los términos subsiguientes de la secuencia usando el primer término.

 

[ begin {align *} a_1 & = 3 \ a_2 & = 2a_1−1 = 2 (3) −1 = 5 \ a_3 & = 2a_2−1 = 2 (5) −1 = 9 a_4 & = 2a_3−1 = 2 (9) −1 = 17 end {align *} ]

 

Entonces, los primeros cuatro términos de la secuencia son ( {3, 5, 9, 17 } ).

 

La fórmula recursiva para la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores.

 

[ begin {align *} a_1 & = 1 \ a_2 & = 1 \ a_n & = a_ {n − 1} + a_ {n − 2} text {, para} n≥3 ​​end {alinear *} ]

 

Para encontrar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, necesitaríamos agregar los términos octavo y noveno. Anteriormente nos dijeron que los términos octavo y noveno son (21 ) y (34 ), entonces

 

(a_ {10} = a_9 + a_8 = 34 + 21 = 55 )

 
 
 

FÓRMULA RECURSIVA

 

Una fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de una secuencia usando los términos anteriores. Las fórmulas recursivas siempre deben indicar el término o términos iniciales de la secuencia.

 
 
 

P y R: ¿Deben los dos primeros términos siempre darse en una fórmula recursiva?

 

No. La secuencia de Fibonacci define cada término usando los dos términos anteriores, pero muchas fórmulas recursivas definen cada término usando solo un término precedente. Estas secuencias solo necesitan que se defina el primer término.

 
 
 

Cómo: dada una fórmula recursiva con solo el primer término proporcionado, escribir los primeros n términos de una secuencia

 
         
  1. Identifique el término inicial, (a_1 ), que se proporciona como parte de la fórmula. Este es el primer término.
  2.      
  3. Para encontrar el segundo término, (a_2 ), sustituya el término inicial en la fórmula por (a_ {n − 1} ). Resolver.
  4.      
  5. Para encontrar el tercer término, (a_3 ), sustituya el segundo término en la fórmula. Resolver.
  6.      
  7. Repita hasta que haya resuelto el enésimo término.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

 

[ begin {align *} a_1 & = 9 \ a_n & = 3a_ {n − 1} −20, text {for} n≥2 end {align *} ]

 

Solución

 

El primer término se da en la fórmula. Para cada término posterior, reemplazamos (a_n − 1 ) con el valor del término anterior.

 

( begin {array} {ll} n = 1 & a_1 = 9 \ n = 2 & a_2 = 3a_1−20 = 3 (9) −20 = 27−20 = 7 \ n = 3 & a_3 = 3a_2−20 = 3 (7) −20 = 21−20 = 1 \ n = 4 & a_4 = 3a_3−20 = 3 (1) −20 = 3−20 = −17 \ n = 5 y a_5 = 3a_4−20 = 3 (−17) −20 = −51−20 = −71 end {array} )

 

Los primeros cinco términos son ( {9, 7, 1, –17, –71 } ). Ver Figura ( PageIndex {5} ).

 
Graph of a scattered plot with labeled points: (1, 9), (2, 7), (3, 1), (4, -17), and (5, -71). The x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {5} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

 

[ begin {align *} a_1 & = 2 \ a_n & = 2a_ {n − 1} +1, text {for} n≥2 end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

( {2, 5, 11, 23, 47 } )

     
 
 
 
 

Cómo: dada una fórmula recursiva con dos términos iniciales, escriba los primeros términos (n ) de una secuencia

 
         
  1. Identifique el término inicial, (a_1 ), que se proporciona como parte de la fórmula.
  2.      
  3. Identifique el segundo término, (a_2 ), que se proporciona como parte de la fórmula.
  4.      
  5. Para encontrar el tercer término, sustituya el término inicial y el segundo término en la fórmula. Evaluar.
  6.      
  7. Repita hasta que haya evaluado el enésimo término.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

 

Escribe los primeros seis términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

 

[ begin {align *} a_1 & = 1 \ a_2 & = 2 \ a_n & = 3a_ {n − 1} + 4a_ {n − 2}, text {for} n≥3 ​​end {alinear *} ]

 

Solución

 

Se dan los dos primeros términos. Para cada término posterior, reemplazamos (a_ {n − 1} ) y (a_ {n − 2} ) con los valores de los dos términos anteriores.

 

( begin {array} {ll} n = 3 & a_3 = 3a_2 + 4a_1 = 3 (2) +4 (1) = 10 \ n = 4 & a_4 = 3a_3 + 4a_2 = 3 (10) +4 (2) = 38 \ n = 5 & a_5 = 3a_4 + 4a_3 = 3 (38) +4 (10) = 154 \ n = 6 & a_6 = 3a_5 + 4a_4 = 3 (154) +4 (38 ) = 614 end {array} )

 

Los primeros seis términos son ( {1,2,10,38,154,614 } ). Ver Figura ( PageIndex {6} ).

 
Graph of a scattered plot with labeled points: (1, 1), (2, 2), (3, 10), (4, 38), (5, 154) and (6, 614). The x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {6} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escribe los primeros (8 ) términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

 

[ begin {align *} a_1 & = 0 \ a_2 & = 1 \ a_3 & = 1 \ a_n & = dfrac {a_ {n − 1}} {a_ {n − 2}} + a_ {n − 3}, text {para} n≥4 end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

( left {0, 1, 1, 1, 2, 3, 52, 176 right } ).

     
 
 
 

Usando la notación factorial

 

Las fórmulas para algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. (n ) factorial , escrito como (n! ), Es el producto de los enteros positivos de (1 ) a (n ). Por ejemplo,

 

[ begin {align *} 4! & = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 \ 5! & = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 end {align *} ]

 

Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es (a_n = (n + 1)! ). El sexto término de la secuencia se puede encontrar sustituyendo (6 ) por (n ).

 

(a_6 = (6 + 1)! = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 )

 

El factorial de cualquier número entero (n ) es (n (n − 1)! ) Por lo tanto, también podemos pensar en (5! ) Como (5⋅4! ).

 
 

FACTORIAL

 

(n ) factorial es una operación matemática que se puede definir usando una fórmula recursiva. El factorial de (n ), denotado (n! ), Se define para un entero positivo (n ) como:

 

[ begin {align} 0! & = 1 \ 1! & = 1 \ n! & = n (n − 1) (n − 2) ⋯ (2) (1), text {for} n≥2 end {align} ]

 

El caso especial (0! ) Se define como (0! = 1 ).

 
 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿Siempre se pueden encontrar factoriales usando una calculadora?

 

No. ¡Los factoriales se agrandan muy rápidamente, más rápido que incluso las funciones exponenciales! Cuando la salida es demasiado grande para la calculadora, no podrá calcular el factorial.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Escribir los términos de una secuencia usando factoriales

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula explícita (a_n = dfrac {5n} {(n + 2)!} ).

 

Solución

 

Sustituye (n = 1 ), (n = 2 ), y así sucesivamente en la fórmula.

 

( begin {array} {ll} n = 1 & a_1 = dfrac {5 (1)} {(1 + 2)!} = Dfrac {5} {3!} = Dfrac {5 } {3 · 2 · 1} = dfrac {5} {6} \ n = 2 & a_2 = dfrac {5 (2)} {(2 + 2)!} = Dfrac {10} {4! } = dfrac {10} {4 · 3 · 2 · 1} = dfrac {5} {12} \ n = 3 & a_3 = dfrac {5 (3)} {(3 + 2)!} = dfrac {15} {5!} = dfrac {15} {5 · 4 · 3 · 2 · 1} = dfrac {1} {8} \ n = 4 y a_4 = dfrac {5 (4) } {(4 + 2)!} = Dfrac {20} {6!} = Dfrac {20} {6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1} = dfrac {1} {36} \ n = 5 & a_5 = dfrac {5 (5)} {(5 + 2)!} = Dfrac {25} {7!} = Dfrac {25} {7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1} = dfrac {5} {1,008} end {array} )

 

Los primeros cinco términos son ( left { dfrac {5} {6}, dfrac {5} {12}, dfrac {1} {8}, dfrac {1} {36}, dfrac {5} {1,008} right } ).

 

Análisis

 

La figura ( PageIndex {7} ) muestra el gráfico de la secuencia. Observe que, dado que los factoriales crecen muy rápidamente, la presencia del término factorial en el denominador da como resultado que el denominador se vuelva mucho más grande que el numerador a medida que nn aumenta. Esto significa que el cociente se hace más pequeño y, como lo muestra la gráfica de los términos, los términos están disminuyendo y se están acercando a cero.

 
13.2.7.pngGraph of a scattered plot with labeled points: (1, 5/6), (2, 5/12), (3, 1/8), (4, 1/36),  and (5, 5/1008). The x-axis is labeled n and the y-axis is labeled a_n.
Figura ( PageIndex {7} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Escriba los primeros cinco términos de la secuencia definida por la fórmula explícita (a_n = dfrac {(n + 1)!} {2n} ).

 
     
Respuesta
     
     

Los primeros cinco términos son ( left {1, dfrac {3} {2}, 4, 15, 72 right } ).

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con secuencias.

 
 
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