Uso de la notación de suma

 

Para encontrar la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, necesitamos agregar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se denomina serie . Considere, por ejemplo, la siguiente serie.

 

(3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ldots nonumber )

 

La (n ^ {th} ) suma parcial de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos que comienzan con el primer término. La notación (S_n ) representa la suma parcial.

 

[ begin {align} S_1 & = 3 nonumber \ S_2 & = 3 + 7 = 10 nonumber \ S_3 & = 3 + 7 + 11 = 21 nonumber \ S_4 & = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 nonumber end {align} nonumber ]

 

La notación de suma se utiliza para representar series. La notación de suma a menudo se conoce como notación sigma porque usa la letra mayúscula griega sigma , ( sum ), para representar la suma. La notación de suma incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de la sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Una variable llamada índice de suma se escribe debajo de la sigma. El índice de suma se establece igual al límite inferior de suma , que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número sobre el sigma, llamado límite superior de suma , es el número utilizado para generar el último término de una serie.

 

 

Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide que encontremos la suma de los términos en la serie (a_k = 2k ) para (k = 1 ) hasta (k = 5 ). Podemos comenzar sustituyendo los términos por (k ) y enumerando los términos de esta serie.

 

[ begin {align} a_1 & = 2 (1) = 2 nonumber \ a_2 & = 2 (2) = 4 nonumber \ a_3 & = 2 (3) = 6 nonumber \ a_4 & = 2 (4) = 8 nonumber \ a_5 & = 2 (5) = 10 nonumber end {align} nonumber ]

 

Podemos encontrar la suma de la serie agregando los términos:

 

[ sum_ {k = 1} ^ {5} 2k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 nonumber ]

   

 

 

P y R: ¿El límite inferior de suma tiene que ser 1?

 

No. El límite inferior de suma puede ser cualquier número, pero (1 ) se usa con frecuencia. Veremos ejemplos con límites inferiores de suma que no sean (1 ).

 

 

       

Usando la fórmula para la serie aritmética

 

Así como estudiamos tipos especiales de secuencias, veremos tipos especiales de series. Recuerde que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es la diferencia común , (d ). La suma de los términos de una secuencia aritmética se denomina serie aritmética . Podemos escribir la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética como:

 

[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + (a_n – d) + a_n. nonumber ]

 

También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como

 

[S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_1 + d) + a_1. nonumber ]

 

Si sumamos estas dos expresiones para la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de cualquier serie aritmética.

 

[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + (a_n – d) + a_n nonumber ]

 

[ subrayado {+ S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_1 + d) + a_1} nonumber ]

 

[2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + … + (a_1 + a_n) nonumber ]

 

Debido a que hay (n ) términos en la serie, podemos simplificar esta suma a

 

[2S_n = n (a_1 + a_n). nonumber ]

 

Dividimos por (2 ) para encontrar la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética.

 

[S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} nonumber ]

   

 

 

Cómo: dados los términos de una serie aritmética, encontrar la suma de los primeros términos (n )

 

     
1. Identifique (a_1 ) y (a_n ).
     
2. Determinar (n ).
     
3. Sustituya los valores de (a_1 ), (a_n ) y (n ) en la fórmula (S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} ).
     
4. Simplifica para encontrar (S_n ).
 

 

 

   

Usa la fórmula para encontrar la suma de cada serie aritmética.

           

Uso de la fórmula para series geométricas

 

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se denomina serie aritmética, la suma de los términos en una secuencia geométrica se denomina serie geométrica . Recuerde que una secuencia geométrica es una secuencia en la cual la razón de dos términos consecutivos es la razón común , (r ). Podemos escribir la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica como

 

(S_n = a_1 + ra_1 + r ^ 2a_1 + … + r ^ {n – 1} a_1 ).

 

Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer alguna manipulación algebraica para derivar una fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por (r ).

 

(rS_n = ra_1 + r ^ 2a_1 + r ^ 3a_1 + … + r ^ na_1 )

 

Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.

 

[ begin {align *} S_n & = a_1 + ra_1 + r ^ 2a_1 + … + r ^ {n-1} a_1 \ underline {-rS_n} & = underline {- (ra_1 + r ^ 2a_1 + r ^ 3a_1 + … + r ^ na_1)} \ (1-r) S_n & = a_1-r ^ na_1 end {align *} ]

 

Observe que cuando restamos, todos excepto el primer término de la ecuación superior y el último término de la ecuación inferior se cancelan. Para obtener una fórmula para (S_n ), divida ambos lados entre ((1 − r) ).

 

(S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) (r ≠ 1 )

   

 

 

Cómo: dada una serie geométrica, encontrar la suma de los primeros términos (n ).

 

     
1. Identificar (a_1 ), (r ) y (n ).
     
2. Sustituya los valores de (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula (S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) .
     
3. Simplifica para encontrar (S_n ).
 

 

 

   

Usa la fórmula para encontrar la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

         

Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita

 

Hasta ahora, solo hemos visto series finitas. A veces, sin embargo, estamos interesados ​​en la suma de los términos de una secuencia infinita en lugar de la suma de los primeros términos (n ). Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita . Un ejemplo de una serie infinita es (2 + 4 + 6 + 8 + … )

 

Esta serie también se puede escribir en notación de suma como ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 2k ), donde el límite superior de suma es infinito. Debido a que los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que agregamos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge .

 

Encontrar sumas de series infinitas

 

Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula para la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica.

 

[S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ]

 

Examinaremos una serie infinita con (r = dfrac {1} {2} ). ¿Qué le sucede a (r ^ n ) cuando (n ) aumenta?

 

[ begin {align *} left ( dfrac {1} {2} right) ^ 2 & = dfrac {1} {4} \ left ( dfrac {1} {2} derecha) ^ 3 & = dfrac {1} {8} \ left ( dfrac {1} {2} right) ^ 4 & = dfrac {1} {16} end {align *} ] [19459003 ]  

El valor de (r ^ n ) disminuye rápidamente. ¿Qué sucede para valores mayores de (n )?

 

[ begin {align *} { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ {10} & = dfrac {1} {1,024} \ { left ( dfrac { 1} {2} right)} ^ {20} & = dfrac {1} {1,048,576} \ { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ {30} & = dfrac { 1} {1,073,741,824} end {align *} ]

 

Como (n ) se vuelve muy grande, (r ^ n ) se vuelve muy pequeño. Decimos que, a medida que (n ) aumenta sin límite, (r ^ n ) se acerca a 0. A medida que (r ^ n ) se aproxima a (0 ), (1 ), (- r ^ n ) enfoques (1 ). Cuando esto sucede, el numerador se acerca a (a_1 ). Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.

   

 

 

Cómo: dada una serie geométrica infinita, encontrar su suma

 

     
1. Identifique (a_1 ) y (r ).
     
2. Confirme que (- 1      
3. Sustituya los valores de (a_1 ) y (r ) en la fórmula, (S = dfrac {a_1} {1 − r} ).
     
4. Simplifica para encontrar (S ).
 

 

 

     

Encuentra la suma, si existe.

       

Solución de problemas de anualidades

 

Al comienzo de la sección, vimos un problema en el que una pareja invirtió una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo universitario durante seis años. Una anualidad es una inversión en la cual el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para encontrar el monto de una anualidad, necesitamos encontrar la suma de todos los pagos y los intereses ganados. En el ejemplo, la pareja invierte ($ 50 ) cada mes. Este es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba (6 % ) interés anual, compuesto mensualmente. Para encontrar la tasa de interés por período de pago, debemos dividir la tasa de interés anual (APR) (6 % ) por (12 ). Entonces, la tasa de interés mensual es (0.5 % ). Podemos multiplicar el monto en la cuenta cada mes por (100.5 % ) para encontrar el valor de la cuenta después de que se hayan agregado los intereses.

 

Podemos encontrar el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con (a_1 = 50 ) y (r = 100.5% = 1.005 ). Después del primer depósito, el valor de la anualidad será ($ 50 ). Veamos si podemos determinar la cantidad en el fondo universitario y los intereses ganados.

 

Podemos encontrar el valor de la anualidad después de nn depósitos usando la fórmula para la suma de los primeros nn términos de una serie geométrica. En (6 ) años, hay (72 ) meses, entonces (n = 72 ). Podemos sustituir (a_1 = 50 ), (r = 1.005 ) y (n = 72 ) en la fórmula, y simplificar para encontrar el valor de la anualidad después de 6 años.

 

(S_ {72} = dfrac {50 (1− {1.005} ^ {72})} {1−1.005} ≈4,320.44 )

 

Después del último depósito, la pareja tendrá un total de ($ 4,320.44 ) en la cuenta. Observe que la pareja realizó (72 ) pagos de ($ 50 ) cada uno por un total de (72 (50) = $ 3,600 ). Esto significa que debido a la anualidad, la pareja ganó ($ 720.44 ) interés en su fondo universitario.

         

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                              

suma de los primeros (n ) términos de una serie aritmética	(S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} )
suma de los primeros (n ) términos de una serie geométrica	(S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) ⋅ (r ≠ 1 )
suma de una serie geométrica infinita con (- 1	(S_n = dfrac {a_1} {1 − r} ) ⋅ (r ≠ 1 )

 

Conceptos clave

 

     
• La suma de los términos en una secuencia se llama serie.
     
• Una notación común para series se llama notación de suma, que usa la letra griega sigma para representar la suma. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
     
• La suma de los términos en una secuencia aritmética se denomina serie aritmética.
     
• La suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética se puede encontrar usando una fórmula. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
     
• La suma de los términos en una secuencia geométrica se denomina serie geométrica.
     
• La suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica se puede encontrar usando una fórmula. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {4} ) y el Ejemplo ( PageIndex {5} ).
     
• La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con (- 1      
• Si existe la suma de una serie infinita, se puede encontrar usando una fórmula. Vea el Ejemplo ( PageIndex {6} ), el Ejemplo ( PageIndex {7} ) , y el Ejemplo ( PageIndex {8} ).
     
• Una anualidad es una cuenta en la cual el inversor realiza una serie de pagos programados regularmente. El valor de una anualidad se puede encontrar usando series geométricas. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ).