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las matematicas

13.5: Series y sus anotaciones

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Usa la notación de sumatoria.
  •      
  • Usa la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética.
  •      
  • Usa la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica.
  •      
  • Usa la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.
  •      
  • Resolver problemas de anualidad.
  •  
 
 

Una pareja decide comenzar un fondo universitario para su hija. Planean invertir ($ 50 ) en el fondo cada mes. El fondo paga (6 % ) interés anual, compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero habrán ahorrado cuando su hija esté lista para comenzar la universidad en (6 ) años? En esta sección, aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para hacerlo, debemos considerar la cantidad de dinero invertido y la cantidad de intereses ganados.

 

Uso de la notación de suma

 

Para encontrar la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, necesitamos agregar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se denomina serie . Considere, por ejemplo, la siguiente serie.

 

(3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ldots nonumber )

 

La (n ^ {th} ) suma parcial de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos que comienzan con el primer término. La notación (S_n ) representa la suma parcial.

 

[ begin {align} S_1 & = 3 nonumber \ S_2 & = 3 + 7 = 10 nonumber \ S_3 & = 3 + 7 + 11 = 21 nonumber \ S_4 & = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 nonumber end {align} nonumber ]

 

La notación de suma se utiliza para representar series. La notación de suma a menudo se conoce como notación sigma porque usa la letra mayúscula griega sigma , ( sum ), para representar la suma. La notación de suma incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de la sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Una variable llamada índice de suma se escribe debajo de la sigma. El índice de suma se establece igual al límite inferior de suma , que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número sobre el sigma, llamado límite superior de suma , es el número utilizado para generar el último término de una serie.

 

Explanation of summation notion as described in the text.

 

Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide que encontremos la suma de los términos en la serie (a_k = 2k ) para (k = 1 ) hasta (k = 5 ). Podemos comenzar sustituyendo los términos por (k ) y enumerando los términos de esta serie.

 

[ begin {align} a_1 & = 2 (1) = 2 nonumber \ a_2 & = 2 (2) = 4 nonumber \ a_3 & = 2 (3) = 6 nonumber \ a_4 & = 2 (4) = 8 nonumber \ a_5 & = 2 (5) = 10 nonumber end {align} nonumber ]

 

Podemos encontrar la suma de la serie agregando los términos:

 

[ sum_ {k = 1} ^ {5} 2k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 nonumber ]

 
 

Definición: NOTA DE RESUMEN

 

La suma de los primeros (n ) términos de una serie se puede expresar en notación de suma de la siguiente manera:

 

[ sum_ {k = 1} ^ {n} a_k ]

 

Esta notación nos dice que encontremos la suma de (a_k ) de (k = 1 ) a (k = n ).

 

(k ) se denomina índice de suma, (1 ) es el límite inferior de suma y (n ) es el límite superior de suma.

 
 
 
 

P y R: ¿El límite inferior de suma tiene que ser 1?

 

No. El límite inferior de suma puede ser cualquier número, pero (1 ) se usa con frecuencia. Veremos ejemplos con límites inferiores de suma que no sean (1 ).

 
 
 
 

Cómo: dada la notación de suma para una serie, evaluar el valor

 
         
  1. Identifica el límite inferior de suma.
  2.      
  3. Identifica el límite superior de la sumatoria.
  4.      
  5. Sustituye cada valor de (k ) desde el límite inferior al límite superior en la fórmula.
  6.      
  7. Suma para encontrar la suma.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la notación de suma

 

Evaluar

 

( sum_ {k = 3} ^ {7} k ^ 2 )

 

Solución

 

Según la notación, el límite inferior de suma es (3 ) y el límite superior es (7 ). Entonces necesitamos encontrar la suma de (k ^ 2 ) de (k = 3 ) a (k = 7 ). Encontramos los términos de la serie sustituyendo (k = 3, 4, 5, 6, ) y (7 ) en la función (k ^ 2 ). Agregamos los términos para encontrar la suma.

 

[ begin {align} sum_ {k = 3} ^ {7} k ^ 2 & = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 + 7 ^ 2 nonumber \ [ 4pt] & = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 nonumber \ [4pt] & = 135 nonumber end {align} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Evaluar

 

( sum_ {k = 2} ^ {5} (3k – 1) )

 
     
Respuesta
     
     

(38 )

     
 
 
 

Usando la fórmula para la serie aritmética

 

Así como estudiamos tipos especiales de secuencias, veremos tipos especiales de series. Recuerde que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es la diferencia común , (d ). La suma de los términos de una secuencia aritmética se denomina serie aritmética . Podemos escribir la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética como:

 

[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + (a_n – d) + a_n. nonumber ]

 

También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como

 

[S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_1 + d) + a_1. nonumber ]

 

Si sumamos estas dos expresiones para la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de cualquier serie aritmética.

 

[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + (a_n – d) + a_n nonumber ]

 

[ subrayado {+ S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_1 + d) + a_1} nonumber ]

 

[2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + … + (a_1 + a_n) nonumber ]

 

Debido a que hay (n ) términos en la serie, podemos simplificar esta suma a

 

[2S_n = n (a_1 + a_n). nonumber ]

 

Dividimos por (2 ) para encontrar la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética.

 

[S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} nonumber ]

 
 

FORMULA PARA LA SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS (N ) DE UNA SERIE ARITMÉTICA

 

Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética. La fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia aritmética es

 

[S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} ]

 
 
 
 

Cómo: dados los términos de una serie aritmética, encontrar la suma de los primeros términos (n )

 
         
  1. Identifique (a_1 ) y (a_n ).
  2.      
  3. Determinar (n ).
  4.      
  5. Sustituya los valores de (a_1 ), (a_n ) y (n ) en la fórmula (S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} ).
  6.      
  7. Simplifica para encontrar (S_n ).
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar los primeros n Términos de una serie aritmética

 

Encuentra la suma de cada serie aritmética.

 
         
  1. (5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 )
  2.      
  3. (20 + 15 + 10 +… + −50 )
  4.      
  5. ( sum_ {k = 1} ^ {12} 3k − 8 )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Se nos da (a_1 = 5 ) y (a_n = 32 ).
  2.  
 

Cuente el número de términos en la secuencia para encontrar (n = 10 ).

 

Sustituya los valores de (a_1 ), (a_n ) y (n ) en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} \ S_ {10} & = dfrac {10 (5 + 32)} {2} \ & = 185 end {alinear *} ]

 
         
  1. Se nos da (a_1 = 20 ) y (a_n = −50 ).
  2.  
 

Usa la fórmula para el término general de una secuencia aritmética para encontrar (n ).

 

[ begin {align *} a_n & = a_1 + (n-1) d \ -50 & = 20 + (n-1) (- 5) \ -70 & = (n-1) (- 5) \ 14 & = n-1 \ 15 & = n end {align *} ]

 

Sustituya los valores de (a_1 ), (a_n ), (n ) en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} \ S_ {15} & = dfrac {15 (20-50)} {2} \ & = -225 end {align *} ]

 
         
  1. Para encontrar (a_1 ), sustituya (k = 1 ) en la fórmula explícita dada.
  2.  
 

[ begin {align *} a_k & = 3k-8 \ a_1 & = 3 (1) -8 \ & = – 5 end {align *} ]

 

Se nos da que (n = 12 ). Para encontrar (a_12 ), sustituya (k = 12 ) en la fórmula explícita dada.

 

[ begin {align *} a_k & = 3k-8 \ a_ {12} & = 3 (12) -8 \ & = 28 end {align *} ]

 

Sustituya los valores de (a_1 ), (a_n ) y (n ) en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} \ S_ {12} & = dfrac {12 (-5 + 28)} {2} \ & = 138 end {alinear *} ]

 
 

Usa la fórmula para encontrar la suma de cada serie aritmética.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {2A} )

 

(1.4 + 1.6 + 1.8 + 2.0 + 2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.8 + 3.0 + 3.2 + 3.4 )

 
     
Respuesta
     
     

(26,4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2B} )

 

(13 + 21 + 29 +… + 69 )

 
     
Respuesta
     
     

(328 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2C} )

 

( sum_ {k = 1} {10} 5−6k )

 
     
Respuesta
     
     

(- 280 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolución de problemas de aplicación con series aritméticas

 

El domingo después de una cirugía menor, una mujer puede caminar media milla. Cada domingo, ella camina un cuarto de milla adicional. Después de (8 ) semanas, ¿cuál será el número total de millas que ha caminado?

 

Solución

 

Este problema puede ser modelado por una serie aritmética con (a_1 = dfrac {1} {2} ) y (d = dfrac {1} {4} ). Estamos buscando el número total de millas caminadas después de (8 ) semanas, por lo que sabemos que (n = 8 ), y estamos buscando (S_8 ). Para encontrar (a_8 ), podemos usar la fórmula explícita para una secuencia aritmética.

 

[ begin {align *} a_n & = a_1 + d (n-1) \ a_8 & = dfrac {1} {2} + dfrac {1} {4} (8-1) \ & = dfrac {9} {4} end {align *} ]

 

Ahora podemos usar la fórmula para series aritméticas.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} \ S_8 & = dfrac {8 left ( dfrac {1} {2} + dfrac {9 } {4} right)} {2} \ & = 11 end {align *} ]

 

Ella habrá caminado un total de (11 ) millas.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Un hombre gana ($ 100 ) en la primera semana de junio. Cada semana gana ($ 12.50 ) más que la semana anterior. Después de (12 ) semanas, ¿cuánto ha ganado?

 
     
Respuesta
     
     

($ 2,025 )

     
 
 
 

Uso de la fórmula para series geométricas

 

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se denomina serie aritmética, la suma de los términos en una secuencia geométrica se denomina serie geométrica . Recuerde que una secuencia geométrica es una secuencia en la cual la razón de dos términos consecutivos es la razón común , (r ). Podemos escribir la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica como

 

(S_n = a_1 + ra_1 + r ^ 2a_1 + … + r ^ {n – 1} a_1 ).

 

Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer alguna manipulación algebraica para derivar una fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por (r ).

 

(rS_n = ra_1 + r ^ 2a_1 + r ^ 3a_1 + … + r ^ na_1 )

 

Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.

 

[ begin {align *} S_n & = a_1 + ra_1 + r ^ 2a_1 + … + r ^ {n-1} a_1 \ underline {-rS_n} & = underline {- (ra_1 + r ^ 2a_1 + r ^ 3a_1 + … + r ^ na_1)} \ (1-r) S_n & = a_1-r ^ na_1 end {align *} ]

 

Observe que cuando restamos, todos excepto el primer término de la ecuación superior y el último término de la ecuación inferior se cancelan. Para obtener una fórmula para (S_n ), divida ambos lados entre ((1 − r) ).

 

(S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) (r ≠ 1 )

 
 

FORMULA PARA LA SUMA DEL PRIMER N TÉRMINOS DE UNA SERIE GEOMÉTRICA

 

Una serie geométrica es la suma de los términos en una secuencia geométrica. La fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una secuencia geométrica se representa como

 

(S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) (r ≠ 1 )

 
 
 
 

Cómo: dada una serie geométrica, encontrar la suma de los primeros términos (n ).

 
         
  1. Identificar (a_1 ), (r ) y (n ).
  2.      
  3. Sustituya los valores de (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula (S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) .
  4.      
  5. Simplifica para encontrar (S_n ).
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar los primeros n Términos de una serie geométrica

 

Usa la fórmula para encontrar la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

 
         
  1. (S_ {11} ) para la serie (8 + -4 + 2 +… )
  2.      
  3. ( sum_ {6} ^ {k = 1} 3⋅2k )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. (a_1 = 8 ), y se nos da que (n = 11 ).
  2.  
 

Podemos encontrar (r ) dividiendo el segundo término de la serie por el primero.

 

(r = dfrac {−4} {8} = – dfrac {1} {2} )

 

Sustituya valores para (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {a_1 (1-r ^ n)} {1-r} \ S_ {11} & = dfrac {8 left (1 – { left (- dfrac {1} {2} right)} ^ {11} right)} {1- left (- dfrac {1} {2} right)} \ & approx 5.336 end { alinear *} ]

 
         
  1. Encuentra (a_1 ) sustituyendo (k = 1 ) en la fórmula explícita dada.
  2.  
 

(a_1 = 3⋅2 ^ 1 = 6 )

 

Podemos ver en la fórmula explícita dada que (r = 2 ). El límite superior de suma es (6 ), entonces (n = 6 ).

 

Sustituya los valores de (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula, y simplifique.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {a_1 (1-r ^ n)} {1-r} \ S_6 & = dfrac {6 (1-2 ^ 6)} {1-2 } \ & = 378 end {align *} ]

 
 

Usa la fórmula para encontrar la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4A} )

 

(S_ {20} ) para la serie (1,000 + 500 + 250 +… )

 
     
Respuesta
     
     

(≈2,000.00 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4B} )

 

( sum_ {k = 1} ^ {8} 3 ^ k )

 
     
Respuesta
     
     

(9,840 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Solución de un problema de aplicación con una serie geométrica

 

En un nuevo trabajo, el salario inicial de un empleado es ($ 26,750 ). Recibe un aumento anual de (1.6 % ). Encuentre sus ganancias totales al final de (5 ) años.

 

Solución

 

El problema puede ser representado por una serie geométrica con (a_1 = 26,750 ); (n = 5 ); y (r = 1.016 ). Sustituya los valores de (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula y simplifique para encontrar la cantidad total ganada al final de (5 ) años.

 

[ begin {align *} S_n & = dfrac {a_1 (1-r ^ n)} {1-r} \ S_5 & = dfrac {26,750 (1- {1.016} ^ 5)} {1 -1.016} \ & approx 138,099.03 end {align *} ]

 

Habrá ganado un total de ($ 138,099.03 ) al final de (5 ) años.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

En un nuevo trabajo, el salario inicial de un empleado es ($ 32,100 ). Ella recibe un aumento anual de (2 % ). ¿Cuánto habrá ganado al final de (8 ) años?

 
     
Respuesta
     
     

($ 275,513.31 )

     
 
 
 

Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita

 

Hasta ahora, solo hemos visto series finitas. A veces, sin embargo, estamos interesados ​​en la suma de los términos de una secuencia infinita en lugar de la suma de los primeros términos (n ). Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita . Un ejemplo de una serie infinita es (2 + 4 + 6 + 8 + … )

 

Esta serie también se puede escribir en notación de suma como ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 2k ), donde el límite superior de suma es infinito. Debido a que los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que agregamos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge .

 

Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

 

Si los términos de una serie geométrica infinita se aproximan a (0 ), se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos en esta serie abordan (0 ):

 

(1 + 0.2 + 0.04 + 0.008 + 0.0016 + … )

 

La razón común (r = 0.2 ). Como (n ) se vuelve muy grande, los valores de (r ^ n ) se vuelven muy pequeños y se acercan a (0 ). Cada término sucesivo afecta a la suma menor que el término anterior. A medida que cada término siguiente se acerca a (0 ), la suma de los términos se aproxima a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con (- 1  

 

DETERMINANDO SI SE DEFINE LA SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

 

La suma de una serie infinita se define si la serie es geométrica y (- 1  

 
 
 

Cómo: dados los primeros términos de una serie infinita, determinar si existe la suma de la serie.

 
         
  1. Halla la razón del segundo término al primer término.
  2.      
  3. Halla la razón del tercer término al segundo término.
  4.      
  5. Continúe este proceso para garantizar que la relación entre un término y el término anterior sea constante en todo momento. Si es así, la serie es geométrica.
  6.      
  7. Si se encontró una proporción común, (r ), en el paso 3, verifique si (- 1  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Determinar si la suma de una serie infinita está definida

 

Determine si se define la suma de cada serie infinita.

 
         
  1. (12 + 8 + 4 +… )
  2.      
  3. ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} + … )
  4.      
  5. ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 27⋅ {( dfrac {1} {3})} ^ k )
  6.      
  7. ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 5k )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. La razón del segundo término al primero es ( dfrac {2} {3} ), que no es lo mismo que la razón del tercer término al segundo, ( dfrac {1} { 2} ). La serie no es geométrica.
  2.      
  3.      

    La relación entre el segundo término y el primero es la misma que la relación entre el tercer término y el segundo. La serie es geométrica con una proporción común de ( dfrac {2} {3} ). Se define la suma de las series infinitas.

         
  4.      
  5. La fórmula dada es exponencial con una base de ( dfrac {1} {3} ); la serie es geométrica con una proporción común de ( dfrac {1} {3} ). Se define la suma de las series infinitas.
  6.      
  7. La fórmula dada no es exponencial; la serie no es geométrica porque los términos están aumentando y, por lo tanto, no pueden producir una suma finita.
  8.  
 
 

Determine si se define la suma de las series infinitas.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {6A} )

 

( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {2} + dfrac {3} {4} + dfrac {9} {8} + … )

 
     
Respuesta
     
     

La suma está definida. Es geométrico.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6B} )

 

(24 + (- 12) +6 + (- 3) + … )

 
     
Respuesta
     
     

Se define la suma de las series infinitas.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6C} )

 

( sum_ {k = 1} ^ { infty} 15⋅ {(- 0.3)} ^ k )

 
     
Respuesta
     
     

Se define la suma de las series infinitas.

     
 
 
 

Encontrar sumas de series infinitas

 

Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula para la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica.

 

[S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ]

 

Examinaremos una serie infinita con (r = dfrac {1} {2} ). ¿Qué le sucede a (r ^ n ) cuando (n ) aumenta?

 

[ begin {align *} left ( dfrac {1} {2} right) ^ 2 & = dfrac {1} {4} \ left ( dfrac {1} {2} derecha) ^ 3 & = dfrac {1} {8} \ left ( dfrac {1} {2} right) ^ 4 & = dfrac {1} {16} end {align *} ] [19459003 ]  

El valor de (r ^ n ) disminuye rápidamente. ¿Qué sucede para valores mayores de (n )?

 

[ begin {align *} { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ {10} & = dfrac {1} {1,024} \ { left ( dfrac { 1} {2} right)} ^ {20} & = dfrac {1} {1,048,576} \ { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ {30} & = dfrac { 1} {1,073,741,824} end {align *} ]

 

Como (n ) se vuelve muy grande, (r ^ n ) se vuelve muy pequeño. Decimos que, a medida que (n ) aumenta sin límite, (r ^ n ) se acerca a 0. A medida que (r ^ n ) se aproxima a (0 ), (1 ), (- r ^ n ) enfoques (1 ). Cuando esto sucede, el numerador se acerca a (a_1 ). Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.

 
 

FORMULA PARA LA SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

 

La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita con (- 1  

[S = dfrac {a_1} {1 − r} ]

 
 
 
 

Cómo: dada una serie geométrica infinita, encontrar su suma

 
         
  1. Identifique (a_1 ) y (r ).
  2.      
  3. Confirme que (- 1      
  4. Sustituya los valores de (a_1 ) y (r ) en la fórmula, (S = dfrac {a_1} {1 − r} ).
  5.      
  6. Simplifica para encontrar (S ).
  7.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7A} ): Encontrar la suma de una serie geométrica infinita

 

Encuentre la suma, si existe, para lo siguiente:

 
         
  1. (10 ​​+ 9 + 8 + 7 +… )
  2.      
  3. (248,6 + 99,44 + 39,776 +… )
  4.      
  5. ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 4,374⋅ {(- dfrac {1} {3})} ^ {k – 1} )
  6.      
  7. ( sum_ {k = 1} ^ { infty} dfrac {1} {9} ⋅ {( dfrac {4} {3})} ^ k )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. No hay una relación constante; La serie no es geométrica.
  2.      
  3. Hay una relación constante; La serie es geométrica. (a_1 = 248.6 ) y (r = dfrac {99.44} {248.6} = 0.4 ), entonces la suma existe. Sustituya (a_1 = 248.6 ) y (r = 0.4 ) en la fórmula y simplifique para encontrar la suma:
  4.  
 

[ begin {align *} S & = dfrac {a_1} {1 − r} \ [4pt] & = dfrac {248.6} {1−0.4} \ [4pt] & = 414. overline {3} end {align *} ]

 
         
  1. La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica con (r = – dfrac {1} {3} ). Encuentre (a_1 ) sustituyendo (k = 1 ) en la fórmula explícita dada:
  2.  
 

(a_1 = 4,374⋅ {(- dfrac {1} {3})} ^ {1–1} = 4,374 )

 

Sustituye (a_1 = 4,374 ) y (r = – dfrac {1} {3} ) en la fórmula, y simplifica para encontrar la suma:

 

[ begin {align *} S & = dfrac {a_1} {1 − r} \ [4pt] & = dfrac {4,374} {1− left (- dfrac {1} {3} right)} \ [4pt] & = 3,280.5 end {align *} ]

 
         
  1. La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica, pero (r> 1 ). La suma no existe.
  2.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7B} ): Encontrar una fracción equivalente para un decimal repetido

 

Encuentre una fracción equivalente para el decimal repetido (0. overline {3} )

 

Solución

 

Notamos el decimal repetitivo (0. overline {3} = 0.333 … ) para que podamos reescribir el decimal repetitivo como una suma de términos.

 

(0. overline {3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + … )

 

Buscando un patrón, reescribimos la suma, notando que vemos el primer término multiplicado a (0.1 ) en el segundo término, y el segundo término multiplicado a (0.1 ) en el tercer término.

 

...

 

Observe el patrón; multiplicamos cada término consecutivo por una razón común de (0.1 ) comenzando con el primer término de (0.3 ). Entonces, sustituyendo en nuestra fórmula una suma geométrica infinita, tenemos

 

(S_n = dfrac {a_1} {1 − r} = dfrac {0.3} {1−0.1} = dfrac {0.3} {0.9} = dfrac {1} {3} ).

 
 

Encuentra la suma, si existe.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7A} )

 

(2 + 23 + 29 + … )

 
     
Respuesta
     
     

(3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7B} )

 

( sum_ {k = 1} ^ { infty} 0.76k + 1 )

 
     
Respuesta
     
     

La serie no es geométrica.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7C} )

 

( sum_ {k = 1} ^ { infty} { left (- dfrac {3} {8} right)} ^ k )

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3} {11} )

     
 
 
 

Solución de problemas de anualidades

 

Al comienzo de la sección, vimos un problema en el que una pareja invirtió una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo universitario durante seis años. Una anualidad es una inversión en la cual el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para encontrar el monto de una anualidad, necesitamos encontrar la suma de todos los pagos y los intereses ganados. En el ejemplo, la pareja invierte ($ 50 ) cada mes. Este es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba (6 % ) interés anual, compuesto mensualmente. Para encontrar la tasa de interés por período de pago, debemos dividir la tasa de interés anual (APR) (6 % ) por (12 ). Entonces, la tasa de interés mensual es (0.5 % ). Podemos multiplicar el monto en la cuenta cada mes por (100.5 % ) para encontrar el valor de la cuenta después de que se hayan agregado los intereses.

 

Podemos encontrar el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con (a_1 = 50 ) y (r = 100.5% = 1.005 ). Después del primer depósito, el valor de la anualidad será ($ 50 ). Veamos si podemos determinar la cantidad en el fondo universitario y los intereses ganados.

 

Podemos encontrar el valor de la anualidad después de nn depósitos usando la fórmula para la suma de los primeros nn términos de una serie geométrica. En (6 ) años, hay (72 ) meses, entonces (n = 72 ). Podemos sustituir (a_1 = 50 ), (r = 1.005 ) y (n = 72 ) en la fórmula, y simplificar para encontrar el valor de la anualidad después de 6 años.

 

(S_ {72} = dfrac {50 (1− {1.005} ^ {72})} {1−1.005} ≈4,320.44 )

 

Después del último depósito, la pareja tendrá un total de ($ 4,320.44 ) en la cuenta. Observe que la pareja realizó (72 ) pagos de ($ 50 ) cada uno por un total de (72 (50) = $ 3,600 ). Esto significa que debido a la anualidad, la pareja ganó ($ 720.44 ) interés en su fondo universitario.

 
 

Cómo: dado un depósito inicial y una tasa de interés, encontrar el valor de una anualidad.

 
         
  1. Determine (a_1 ), el valor del depósito inicial.
  2.      
  3. Determine (n ), el número de depósitos.
  4.      
  5. Determinar (r ).      
               
    • Divida la tasa de interés anual por el número de veces por año que el interés se capitaliza.
    •          
    • Agregue 1 a esta cantidad para encontrar (r ).
    •      
         
  6.      
  7. Sustituya los valores de (a_1 ), (r ) y (n ) en la fórmula para la suma de los primeros nn términos de una serie geométrica, (S_n = dfrac {a_1 (1 –R ^ n)} {1 – r} ).
  8.      
  9. Simplifique para encontrar (S_n ), el valor de la anualidad después de (n ) depósitos.
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Solución de un problema de anualidad

 

Un depósito de ($ 100 ) se coloca en un fondo universitario al comienzo de cada mes durante (10 ​​) años. El fondo gana (9 % ) interés anual, compuesto mensualmente y pagado al final del mes. ¿Cuánto hay en la cuenta justo después del último depósito?

 

Solución

 

El valor del depósito inicial es ($ 100 ), entonces (a_1 = 100 ). Se realiza un total de (120 ) depósitos mensuales en los (10 ​​) años, entonces (n = 120 ). Para encontrar (r ), divida la tasa de interés anual entre (12 ) para encontrar la tasa de interés mensual y agregue (1 ) para representar el nuevo depósito mensual.

 

(r = 1 + dfrac {0.09} {12} = 1.0075 )

 

Sustituye (a_1 = 100 ), (r = 1.0075 ) y (n = 120 ) en la fórmula para la suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica, y simplifica para encontrar el valor de la anualidad.

 

(S_ {120} = dfrac {100 (1− {1.0075} ^ {120})} {1−1.0075} ≈19,351.43 )

 

Entonces, la cuenta tiene $ 19,351.43 después del último depósito.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Al comienzo de cada mes, ($ 200 ) se deposita en un fondo de jubilación. El fondo gana (6 % ) interés anual, compuesto mensualmente y pagado en la cuenta al final del mes. ¿Cuánto hay en la cuenta si se realizan depósitos durante (10 ​​) años?

 
     
Respuesta
     
     

($ 92,408.18 )

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con series.

 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                              
             

suma de los primeros (n ) términos de una serie aritmética

             
             

(S_n = dfrac {n (a_1 + a_n)} {2} )

             
             

suma de los primeros (n ) términos de una serie geométrica

             
             

(S_n = dfrac {a_1 (1 − r ^ n)} {1 − r} ) ⋅ (r ≠ 1 )

             
             

suma de una serie geométrica infinita con (- 1              

             

(S_n = dfrac {a_1} {1 − r} ) ⋅ (r ≠ 1 )

             
 

Conceptos clave

 
         
  • La suma de los términos en una secuencia se llama serie.
  •      
  • Una notación común para series se llama notación de suma, que usa la letra griega sigma para representar la suma. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • La suma de los términos en una secuencia aritmética se denomina serie aritmética.
  •      
  • La suma de los primeros términos (n ) de una serie aritmética se puede encontrar usando una fórmula. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • La suma de los términos en una secuencia geométrica se denomina serie geométrica.
  •      
  • La suma de los primeros términos (n ) de una serie geométrica se puede encontrar usando una fórmula. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {4} ) y el Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con (- 1      
  • Si existe la suma de una serie infinita, se puede encontrar usando una fórmula. Vea el Ejemplo ( PageIndex {6} ), el Ejemplo ( PageIndex {7} ) , y el Ejemplo ( PageIndex {8} ).
  •      
  • Una anualidad es una cuenta en la cual el inversor realiza una serie de pagos programados regularmente. El valor de una anualidad se puede encontrar usando series geométricas. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ).
  •  
 
                                  
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