Identificación de coeficientes binomiales

 

En el acceso directo para encontrar ({(x + y)} ^ n ), necesitaremos usar combinaciones para encontrar los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, usamos la notación ( dbinom {n} {r} ) en lugar de (C (n, r) ), pero se puede calcular de la misma manera. Entonces

 

[ dbinom {n} {r} = C (n, r) = dfrac {n!} {R! (N − r)!} ]

 

La combinación ( dbinom {n} {r} ) se denomina coeficiente binomial . Un ejemplo de coeficiente binomial es:

 

( dbinom {5} {2} = C (5,2) = 10 )

 

 

 

Definición: COEFICIENTES BINOMIALES

 

Si (n ) y (r ) son enteros mayores o iguales que (0 ) con (n≥r ), entonces el coeficiente binomial es

 

[ dbinom {n} {r} = C (n, r) = dfrac {n!} {R! (N − r)!} Label {binomial1} ]

 

 

       

Usando el teorema binomial

 

Cuando expandimos ({(x + y)} ^ n ) multiplicando, el resultado se denomina expansión binomial e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ({(x + y)} ^ {52} ), podríamos multiplicar ((x + y) ) por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos encontrar patrones que nos llevarán a un atajo para encontrar expansiones binomiales más complicadas.

 

[ begin {align *} {(x + y)} ^ 2 & = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 \ [4pt] {(x + y)} ^ 3 & = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 \ [4pt] {(x + y)} ^ 4 & = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + y ^ 4 end {align *} ]

 

Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente para (x ) disminuye y el exponente para (y ) aumenta. La suma de los dos exponentes es (n ) para cada término.

 

A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen en un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:

 

( dbinom {n} {0} ), ( dbinom {n} {1} ), ( dbinom {n} {2} ), …, ( dbinom {n} {n}. )

 

Estos patrones nos llevan al Teorema del binomio , que puede usarse para expandir cualquier binomio.

 

[ begin {align *} {(x + y)} ^ n & = sum_ {k = 0} ^ {n} dbinom {n} {k} x ^ {n − k} y ^ k \ [4pt] & = x ^ n + dbinom {n} {1} x ^ {n − 1} y + dbinom {n} {2} x ^ {n − 2} y ^ 2 + … + dbinom {n} {n − 1} xy ^ {n − 1} + y ^ n end {align *} ]

 

Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, (x + y ), a potencias sucesivas (1 ), (2 ), (3 ), y (4 ).

 

[ begin {align *} {(x + y)} ^ 1 & = x + y \ {(x + y)} ^ 2 & = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 \ { (x + y)} ^ 3 & = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 \ {(x + y)} ^ 4 & = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + y ^ 4 end {align *} ]

 

¿Puedes adivinar la próxima expansión para el binomio ({(x + y)} ^ 5 )?

 

 

Ver Figura ( PageIndex {1} ), que ilustra lo siguiente:

 

     
• Hay (n + 1 ) términos en la expansión de ({(x + y)} ^ n ).
     
• El grado (o suma de los exponentes) para cada término es (n ).
     
• Los poderes en (x ) comienzan con (n ) y disminuyen a (0 ).
     
• Los poderes en (y ) comienzan con (0 ) y aumentan a (n ).
     
• Los coeficientes son simétricos.
 

 

Para determinar la expansión en ({(x + y)} ^ 5 ), vemos (n = 5 ), por lo tanto, habrá (5 + 1 = 6 ) términos. Cada término tiene un grado combinado de (5 ). En orden descendente para las potencias de (x ), el patrón es el siguiente:

 

     
• Introduzca (x ^ 5 ), y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en (x ) por (1 ) hasta que se alcance (x ^ 0 = 1 ).
     
• Introduzca (y ^ 0 = 1 ), y luego aumente el exponente en yy en 1 hasta que se alcance (y ^ 5 ).      

  (x ^ 5, x ^ 4y, x ^ 3y ^ 2, x ^ 2y ^ 3, xy ^ 4, y ^ 5 )

       
 

 

La próxima expansión sería

 

({(x + y)} ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 )

 

Pero, ¿de dónde vienen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Podemos ver estos coeficientes en una matriz conocida como el Triángulo de Pascal, que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 

 

Para generar el Triángulo de Pascal, comenzamos escribiendo un (1 ). En la fila de abajo, fila 2, escribimos dos (1’s ). En la fila 3 ^rd , flanquea los extremos de las filas con (1’s ) y agrega (1 + 1 ) para encontrar el número del medio, (2 ). En la fila (n ^ {th} ), flanquea los extremos de la fila con (1’s ). Cada elemento en el triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.

 

Para ver la conexión entre el Triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales, revisemos la expansión de los binomios en forma general.

 

   

 

 

Cómo: dado un binomio, escríbelo en forma expandida.

 

     
1. Determine el valor de (n ) según el exponente.
     
2. Evalúe desde (k = 0 ) hasta (k = n ) usando la fórmula del teorema binomial.
     
3. Simplifica.
 

 

 

     

Usando el teorema binomial para encontrar un término único

 

Expandir un binomio con un exponente alto como ({(x + 2y)} ^ {16} ) puede ser un proceso largo. A veces solo nos interesa un cierto término de expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para encontrar un solo término específico.

 

Observe el patrón de coeficientes en la expansión de ({(x + y)} ^ 5 ).

 

({(x + y)} ^ 5 = x ^ 5 + dbinom {5} {1} x ^ 4y + dbinom {5} {2} x ^ 3y ^ 2 + dbinom {5} { 3} x ^ 2y ^ 3 + dbinom {5} {4} xy ^ 4 + y ^ 5 )

 

El segundo término es ( dbinom {5} {1} x ^ 4y ). El tercer término es ( dbinom {5} {2} x ^ 3y ^ 2 ). Podemos generalizar este resultado.

 

 

 

EL ((R + 1) ) TÉRMINO DE UNA EXPANSIÓN BINOMIAL

 

El término ((r + 1) ) th de la expansión binomial de ({(x + y)} ^ n ) es:

 

[ dbinom {n} {r} x ^ {n − r} y ^ r label {binomial5} ]

 

 

 

Cómo: dado un binomio, escribir un término específico sin expandirse por completo.

 

     
1. Determine el valor de nn según el exponente.
     
2. Determine ((r + 1) ).
     
3. Determine (r ).
     
4. Reemplaza (r ) en la fórmula para el término ((r + 1) ) de la expansión binomial.