Nuestro desarrollo del concepto de función es moderno, pero bastante rápido, particularmente a la luz del hecho de que la definición actual tardó más de 300 años en alcanzar su estado actual. Comenzamos con la definición de una relación.
Relaciones
Usamos la notación (2, 4) para denotar lo que se llama un par ordenado. Si piensa en las posiciones tomadas por los pares ordenados (4, 2) y (2, 4) en el plano de coordenadas (vea la Figura ( PageIndex {1} )), entonces es inmediatamente evidente por qué el orden es importante. El par ordenado (4, 2) simplemente no es lo mismo que el par ordenado (2, 4).
El primer elemento de un par ordenado se llama abscisa. El segundo elemento de un par ordenado se llama ordenada. Así, por ejemplo, la abscisa de (4, 2) es 4, mientras que la ordenada de (4, 2) es 2.
Definición: Relación
Una colección de pares ordenados se denomina relación .
Por ejemplo, la colección de pares ordenados [R = {(0,1), (0,2), (3,4) } ] es una relación.
Definición: Dominio
El dominio de una relación es la colección de todas las abscisas de cada par ordenado.
Por lo tanto, el dominio de la relación R en (2) es [ text {Domain} = {0,3 } ]
Tenga en cuenta que enumeramos cada abscisa solo una vez.
Definición: Rango
El rango de una relación es la colección de todas las ordenadas de cada par ordenado.
Por lo tanto, el rango de la relación R en (2) es [ text {Range} = {1,2,4 } ]
Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Considere la relación T definida por [T = {(1,2), (3,2), (4,5) } ]
¿Cuáles son el dominio y el rango de esta relación?
Solución
El dominio es la colección de abscisas de cada par ordenado. Por lo tanto, el dominio de (T ) es
[ text {Domain} = {1,3,4 } ]
El rango es la colección de ordenadas de cada par ordenado. Por lo tanto, el rango de (T ) es
[ text {Rango} = {2,5 } ]
Tenga en cuenta que enumeramos cada ordenada en el rango solo una vez.
En el ejemplo ( PageIndex {1} ), la relación se describe enumerando los pares ordenados. Esta no es la única forma en que se puede describir una relación. Por ejemplo, un gráfico ciertamente representa una colección de pares ordenados.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Considere la gráfica de la relación (S ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).
¿Cuáles son el dominio y el rango de la relación (S )?
Solución
Hay cinco pares ordenados (puntos) trazados en la Figura ( PageIndex {2} ). Son
[S = {(1,2), (2,1), (2,4), (3,3), (4,4) } nonumber ]
Por lo tanto, la relación S tiene Dominio = {1, 2, 3, 4} y Rango = {1, 2, 3, 4}. En el caso del rango, observe cómo hemos ordenado las ordenadas de cada par ordenado en orden ascendente, teniendo cuidado de no incluir ninguna ordenada más de una vez.
Funciones
Una función es un tipo de relación muy especial. Comenzamos con una definición formal.
Definición: Función
Una relación es una función si y solo si cada objeto en su dominio está emparejado con un solo objeto en su rango.
Esta no es una definición fácil, así que tomemos nuestro tiempo y consideremos algunos ejemplos. Considere, si lo desea, la relación R en (2), repetida aquí nuevamente por conveniencia.
[R = {(0,1), (0,2), (3,4) } ]
El dominio es {0, 3} y el rango es {1, 2, 4}. Tenga en cuenta que el número 0 en el dominio de R está emparejado con dos números del rango, a saber, 1 y 2. Por lo tanto, R no es una función.
Hay una construcción, llamada diagrama de mapeo, que puede ser útil para determinar si una relación es una función. Para elaborar un diagrama de mapeo, primero enumere el dominio a la izquierda, luego el rango a la derecha, luego use flechas para indicar los pares ordenados en su relación, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
Del diagrama de mapeo de la Figura ( PageIndex {3} ) queda claro que el número 0 en el dominio se está emparejando (mapeando) con dos objetos de rango diferentes, a saber, 1 y 2. Por lo tanto, R no es Una función.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
¿La relación descrita en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) es una función?
Solución
Primero, repitamos el listado de la relación T aquí por conveniencia.
[T = {(1,2), (3,2), (4,5) } nonumber ]
Luego, construya un diagrama de mapeo para la relación T. Enumere el dominio a la izquierda, el rango a la derecha, luego use flechas para indicar los emparejamientos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).
Del diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {4} ), podemos ver que cada objeto de dominio a la izquierda está emparejado (mapeado) con exactamente un objeto de rango a la derecha. Por lo tanto, la relación T es una función.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
¿Es la relación del Ejemplo ( PageIndex {2} ), representada en la Figura ( PageIndex {2} ), una función?
Solución
Primero, repetimos la gráfica de la relación del Ejemplo ( PageIndex {2} ) aquí por conveniencia. Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a). A continuación, enumeramos los pares ordenados de la relación S.
[S = {(1,2), (2,1), (2,4), (3,3), (4,4) } nonumber ]
Luego creamos un diagrama de mapeo enumerando primero el dominio a la izquierda, el rango a la derecha, luego usando flechas para indicar los emparejamientos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).
Cada objeto en el dominio de S se asigna a exactamente un objeto de rango con una excepción. El objeto de dominio 2 está emparejado con dos objetos de rango, a saber, 1 y 4. En consecuencia, S no es una función.
Este es un buen punto para resumir lo que hemos aprendido sobre las funciones hasta ahora.
Resumen
Una función consta de tres partes:
- un conjunto de objetos que los matemáticos llaman el dominio ,
- un segundo conjunto de objetos que los matemáticos llaman el rango ,
- y una regla que describe cómo asignar un objeto de rango único a cada objeto en el dominio.
La regla puede tomar muchas formas. Por ejemplo, podemos usar conjuntos de pares ordenados, gráficos y diagramas de mapeo para describir la función. En las siguientes secciones, exploraremos otras formas de describir una función, por ejemplo, mediante el uso de ecuaciones y descripciones de palabras simples.
Notación de función
Hemos usado la palabra “mapeo” varias veces en los ejemplos anteriores. Esta no es una palabra para tomar a la ligera; Es un concepto importante. En el caso del diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {5} ) (b), diríamos que el número 1 en el dominio de S está “mapeado” (o “enviado”) al número 2 en el gama de S.
Hay varias notaciones diferentes que podríamos usar para indicar que el número 1 en el dominio está “mapeado” o “enviado” al número 2 en el rango. Una notación posible es
[S: 1 longrightarrow 2 ]
que leeríamos de la siguiente manera: “La relación S asigna (envía) 1 a 2”. De manera similar, vemos en la Figura ( PageIndex {5} ) (b) que los objetos de dominio 3 y 4 se asignan (envían) a los objetos de rango 3 y 4, respectivamente. En símbolos, escribiríamos
[ begin {array} {l} {S: 3 longrightarrow 3, text {and}} \ {S: 4 longrightarrow 4} end {array} ]
Una dificultad surge cuando examinamos lo que le sucede al objeto de dominio 2. Hay dos posibilidades, ya sea
[S: 2 longrightarrow 1 ] o [S: 2 longrightarrow 4 ]
¿Cuál deberíamos elegir? El 1? O los 4? Por lo tanto, S no está bien definido y no es una función, ya que no sabemos qué objeto de rango emparejar con el objeto de dominio 1.
La idea de mapeo nos brinda una forma alternativa de describir una función. Podríamos decir que una función es una regla que asigna un objeto único en su rango a cada objeto en su dominio. Tomemos, por ejemplo, la función que asigna cada número real a su cuadrado. Si nombramos la función f, entonces f asigna 5 a 25, 6 a 36, −7 a 49, y así sucesivamente. En símbolos, escribiríamos
[f: 5 longrightarrow 25, quad f: 6 longrightarrow 36, quad text {y} quad f: -7 longrightarrow 49 ]
En general, podríamos escribir
[f: x longrightarrow x ^ {2} ]
Tenga en cuenta que cada número real x se asigna a un número único en el rango de f, a saber, (x ^ {2} ). En consecuencia, la función f está bien definida. Hemos logrado escribir una regla que define completamente la función f.
Como otro ejemplo, definamos una función que tome un número real, lo duplique y luego agregue 3. Si nombramos la función g, entonces g tomaría el número 7, lo duplicaría y luego sumaría 3. Es decir, [ 19459002]
[g: 7 longrightarrow 2 (7) +3 ]
Simplificando, (g: 7 longrightarrow 17 ). Del mismo modo, g tomaría el número 9, lo duplicaría y luego sumaría 3. Es decir,
[g: 9 longrightarrow 2 (9) +3 ]
Simplificando, (g: 9 longrightarrow 21 ). En general, g toma un número real x, lo duplica y luego suma tres. En símbolos, escribiríamos
[g: x longrightarrow 2 x + 3 ]
Observe que cada número real x está mapeado por g a un número único en su rango. Por lo tanto, nuevamente hemos definido una regla que define completamente la función g.
Es útil pensar en una función como una máquina. La máquina recibe información, la procesa de acuerdo con alguna regla y luego genera un resultado. Algo entra (entrada), luego sale algo (salida). En el caso de la función descrita por la regla (f: x longrightarrow x ^ {2} ), la “máquina f” recibe la entrada x, luego aplica su “regla cuadrada” a la entrada y salidas (x ^ {2} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a). En el caso de la función descrita por la regla (g: x longrightarrow 2 x + 3 ), la “máquina-g” recibe la entrada x, luego aplica las reglas “doble”, luego “agrega 3” en ese orden, luego genera (2x + 3 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Suponga que f está definida por la siguiente regla. Para cada número real x,
[f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x-3 ]
¿Dónde asigna f el número −3? ¿Es f una función?
Solución
Sustituimos −3 por x en la regla para f y obtenemos
[f: -3 longrightarrow (-3) ^ {2} -2 (-3) -3 ]
Simplificando,
[f: -3 longrightarrow 9 + 6-3 ]
o,
[f: -3 longrightarrow 12 ]
Por lo tanto, f asigna (envía) el número −3 al número 12. Debe quedar claro que cada número real x se asignará (enviará) a un número real único, tal como se define en la regla (f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x-3 ). Por lo tanto, f es una función.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Suponga que g está definida por la siguiente regla. Para cada número real x que sea mayor o igual a cero,
[g: x longrightarrow pm sqrt {x} ]
¿Dónde mapea g el número 4? ¿Es g una función?
Solución
Nuevamente, sustituimos 4 por x en la regla para g y obtenemos
[g: 4 longrightarrow pm sqrt {4} ]
Simplificando,
[g: 4 longrightarrow pm 2 ]
Por lo tanto, g asigna (envía) el número 4 a dos objetos diferentes en su rango, a saber, 2 y −2. En consecuencia, g no está bien definido y no es una función.
Veamos otro ejemplo
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Supongamos que tenemos funciones fyg, definidas por
[f: x longrightarrow x ^ {4} +11 quad text {y} quad g: x longrightarrow (x + 2) ^ {2} ]
¿Dónde envía g 5?
Solución
En este ejemplo, vemos una clara ventaja de la notación de funciones. Debido a que nuestras funciones tienen nombres distintos, simplemente podemos hacer referencia al nombre de la función que queremos que usen nuestros lectores. En este caso, se nos pregunta dónde la función g envía el número 5, por lo que sustituimos 5 por x en
[g: x longrightarrow (x + 2) ^ {2} ]
Es decir,
[g: 5 longrightarrow (5 + 2) ^ {2} ]
Simplificando, (g: 5 longrightarrow 49 ).
Notación moderna
La notación de funciones es relativamente nueva, y algunos de los primeros simbolismos se produjeron por primera vez en el siglo XVII. En una carta a Leibniz (1698), Johann Bernoulli escribió “Para denotar cualquier función de una cantidad variable x, prefiero usar la letra mayúscula que tiene el mismo nombre X o el griego ( xi ), porque aparece en una vez de qué variable es una función; esto alivia la memoria “.
Los matemáticos son aficionados a la notación [f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x ]
porque transmite una idea de lo que hace una función; a saber, “asigna” o “envía” el número x al número (x ^ {2} -2 x ). Esto es lo que hacen las funciones, emparejan cada objeto en su dominio con un objeto único en su rango. De manera equivalente, las funciones “envían” cada objeto en su dominio a un objeto único en su rango.
Sin embargo, en situaciones computacionales comunes, la notación de “flecha” puede ser un poco torpe, por lo que los matemáticos tienden a favorecer una notación ligeramente diferente. En lugar de escribir
[f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x ]
los matemáticos tienden a favorecer la notación
[f (x) = x ^ {2} -2 x ]
Es importante comprender desde el principio que estas dos notaciones diferentes son equivalentes; representan la misma función f, una que empareja cada número real x en su dominio con el número real (x ^ {2} -2 x ) en su rango.
La primera notación, (f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x ), transmite la sensación de que la función f es un mapeo. Si leemos esta notación en voz alta, deberíamos pronunciarla como “f envía (o asigna) x a (x ^ {2} -2 x )”. La segunda notación, (f (x) = x ^ {2} -2 x ), se pronuncia “f de x es igual a (x ^ {2} -2 x )”.
Nota
La frase “f de x” es desafortunada, ya que nuestros lectores pueden recordar haber sido entrenados desde una edad muy temprana para emparejar la palabra “de” con la operación de multiplicación. Por ejemplo, 1/2 de 12 es 6, como en (1/2 times 12 = 6 ). Sin embargo, en el contexto de la notación de funciones, aunque f (x) se lea en voz alta como “f de x”, significa no significa “f veces x”. De hecho, si nos recordamos que la notación (f (x) = x ^ {2} -2 x ) es equivalente a la notación (f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x ), entonces a pesar de que podríamos decir “f de x”, deberíamos estar pensando “f envía x” o “f mapas x”. Deberíamos no estar pensando “f veces x”.
Ahora, veamos cómo funciona cada una de estas anotaciones en el número 5. En el primer caso, usando la notación de “flecha”,
[f: x longrightarrow x ^ {2} -2 x ]
Para encontrar dónde f envía 5, sustituimos 5 por x de la siguiente manera.
[f: 5 longrightarrow (5) ^ {2} -2 (5) ]
Simplificando, (f: 5 longrightarrow 15 ). Ahora, debido a que ambas notaciones son equivalentes, para calcular f (5), nuevamente sustituimos 5 por x en
[f (x) = x ^ {2} -2 x ]
Por lo tanto,
[f (5) = (5) ^ {2} -2 (5) ]
Simplificando, (f (5) = 15 ). Este resultado se lee en voz alta como “f de 5 es igual a 15”, pero queremos pensar “f envía 5 a 15”.
Veamos ejemplos que usan esta notación moderna.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Dado (f (x) = x ^ {3} +3 x ^ {2} -5, ) determina (f (-2) )
Solución
Simplemente sustituye −2 por x. Es decir,
[ begin {alineado} f (-2) & = (- 2) ^ {3} +3 (-2) ^ {2} -5 \ & = – 8 + 3 (4) -5 \ & = – 8 + 12-5 \ & = – 1 end {alineado} ]
Por lo tanto, (f (−2) = −1 ). De nuevo, a pesar de que esto se pronuncia “f de −2 es igual a −1”, aún deberíamos pensar “f envía −2 a −1”.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Dado [f (x) = frac {x + 3} {2 x-5} ] determina f (6).
Solución
Simplemente sustituye 6 por x. Es decir, [ begin {alineado} f (6) & = frac {6 + 3} {2 (6) -5} \ & = frac {9} {12-5} \ & = frac {9} {7} end {alineado} ]
Por lo tanto, (f (6) = 9/7 ). Una vez más, a pesar de que esto se pronuncia “f de 6 es igual a 9/7”, aún deberíamos pensar “f envía 6 a 9/7”.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Dado (f (x) = 5 x-3, ) determina (f (a + 2) ).
Solución
Si estamos pensando en términos de notación de mapeo, entonces [f: x longrightarrow 5 x-3 ]
Piense en este mapeo como una “máquina”. Independientemente de lo que ingresemos en la máquina, primero se multiplica por 5, luego se resta 3 del resultado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ). Por ejemplo, si ponemos un 4 en la máquina, entonces la regla de la función requiere que multipliquemos la entrada 4 por 5, luego restemos 3 del resultado. Es decir,
[f: 4 longrightarrow 5 (4) -3 ]
Simplificando, (f: 4 longrightarrow 17 )
Del mismo modo, si ponemos un a + 2 en la máquina, entonces la regla de la función requiere que multipliquemos la entrada a + 2 por 5, luego restemos 3 del resultado. Es decir,
[f: a + 2 longrightarrow 5 (a + 2) -3 ]
Utilizando la notación de función moderna, escribiríamos
[f (a + 2) = 5 (a + 2) -3 ]
Tenga en cuenta que esto es nuevamente una simple sustitución, donde reemplazamos cada aparición de x en la fórmula (f (x) = 5x – 3 ) con la expresión a + 2. Finalmente, use la propiedad distributiva para multiplicar primero por 5, luego resta 3.
[ begin {alineado} f (a + 2) & = 5 a + 10-3 \ & = 5 a + 7 end {alineado} ]
A menudo tendremos que sustituir el resultado de una evaluación de función en una segunda función para evaluación. Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Dadas dos funciones definidas por (f (x) = 3x + 2 ) y (g (x) = 5 – 4x ), encuentre f (g (2)).
Solución
Los paréntesis anidados en la expresión f (g (2)) funcionan de la misma manera que lo hacen con las expresiones anidadas. La regla es trabajar primero los símbolos de agrupación más internos, procediendo hacia afuera a medida que trabaja. Primero evaluaremos g (2), luego evaluaremos f en el resultado.
Comenzamos. Primero, evalúe g (2) sustituyendo 2 por x en la ecuación de definición (g (x) = 5 – 4x ). Tenga en cuenta que (g (2) = 5 – 4 (2) ), luego simplifique.
[f (g (2)) = f (5-4 (2)) = f (5-8) = f (-3) ]
Para completar la evaluación, sustituimos −3 por x en la ecuación de definición (f (x) = 3x + 2 ), luego simplificamos.
[f (-3) = 3 (-3) + 2 = -9 + 2 = -7 ]
Por lo tanto, (f (g (2)) = – 7 ).
Es convencional organizar el trabajo en un bloque contiguo, como sigue.
[ begin {alineado} f (g (2)) & = f (5-4 (2)) \ & = f (-3) \ & = 3 (-3) +2 \ & = – 7 end {alineado} ]
Puede acortar la tarea aún más si está dispuesto a realizar la sustitución y simplificación de funciones en su cabeza. Primero, evalúe g en 2, luego f en el resultado.
[f (g (2)) = f (-3) = – 7 ]
Veamos otro ejemplo de esta forma única de combinar funciones.
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Dado (f (x) = 5x + 2 ) y (g (x) = 3 – 2x ), evalúa (g (f (a)) ) y simplifica el resultado.
Solución
Primero trabajamos la evaluación de la función interna en la expresión (g (f (a)) ). Por lo tanto, para evaluar f (a), sustituimos a por x en la definición (f (x) = 5x + 2 ) para obtener
[g (f (a)) = g (5 a + 2) ]
Ahora necesitamos evaluar (g (5a + 2) ). Para hacer esto, sustituimos (5a + 2 ) por x en la definición (g (x) = 3 – 2x ) para obtener
[g (5 a + 2) = 3-2 (5 a + 2) ]
Podemos ampliar este último resultado y simplificarlo. Por lo tanto,
[g (f (a)) = 3-10 a-4 = -10 a-1 ]
Nuevamente, es convencional organizar el trabajo en un bloque continuo, como sigue.
[ begin {alineado} g (f (a)) & = g (5 a + 2) \ & = 3-2 (5 a + 2) \ & = 3-10 a-4 & = – 10 a-1 end {alineado} ]
Por lo tanto, (g (f (a)) = – 10 a-1 ).
Extracción del dominio de una función
Hemos visto que el dominio de una relación o función es el conjunto de todas las primeras coordenadas de sus pares ordenados. Sin embargo, si una relación funcional se define mediante una ecuación como (f (x) = 3x – 4 ), entonces no es práctico enumerar todos los pares ordenados definidos por esta relación. Para cualquier valor x real, obtienes un par ordenado. Por ejemplo, si x = 5, entonces (f (5) = 3 (5) – 4 = 11 ), lo que lleva al par ordenado (5, f (5)) o (5, 11). Como puede ver, el número de tales pares ordenados es infinito. Para cada nuevo valor de x, obtenemos otro valor de función y otro par ordenado.
Por lo tanto, es más fácil dirigir nuestra atención a los valores de x que producen respuestas de números reales en la ecuación (f (x) = 3x – 4 ). Esto lleva a la siguiente idea clave.
Definición
Si una función se define mediante una ecuación, entonces el dominio de la función es el conjunto de “valores x permisibles”, los valores que producen una respuesta de número real definida por la ecuación.
A veces nos gusta decir que el dominio de una función es el conjunto de “OK valores x para usar en la ecuación”. Por ejemplo, si definimos una función con la regla (f (x) = 3x – 4 ), es inmediatamente evidente que podemos usar cualquier valor que queramos para x en la regla (f (x) = 3x – 4 ). Por lo tanto, el dominio de f es todos los números reales. Podemos escribir que el dominio (D = mathbb {R} ), o podemos usar la notación de intervalo y escribir que el dominio (D = (- infty, infty) ).
No es el caso de que x pueda ser cualquier número real en la función definida por la regla (f (x) = sqrt {x} ). No es posible sacar la raíz cuadrada de un número negativo.2 Por lo tanto, x debe ser cero o un número real positivo. En la notación de generador de conjuntos, podemos describir el dominio con (D = {x: x geq 0 } ). En notación de intervalo, escribimos (D = [0, infty) ).
También debemos ser conscientes del hecho de que no podemos dividir por cero. Si definimos una función con la regla (f (x) = x / (x-3) ), inmediatamente vemos que x = 3 pondrá un cero en el denominador. La división por cero no está definida. Por lo tanto, 3 no está en el dominio de f. Ningún otro valor de x causará un problema. El dominio de f se describe mejor con la notación de generador de conjuntos como (D = {x: x neq 3 } ).
Funciones sin fórmulas
En la sección anterior, definimos funciones mediante una fórmula, por ejemplo, como en
[f (x) = frac {x + 3} {2-3 x} ]
Euler estaría satisfecho con esta definición, ya que, como hemos dicho anteriormente, Euler pensó en las funciones como expresiones analíticas.
Sin embargo, realmente no es necesario proporcionar una expresión o fórmula para definir una función. Hay otras formas que podemos usar para expresar una relación funcional: un gráfico, una tabla o incluso una descripción narrativa. Lo único que es realmente importante es el requisito de que la función esté bien definida, y por “bien definida”, queremos decir que cada objeto en el dominio de la función está emparejado con un solo objeto en su rango.
Como ejemplo, veamos una función especial ( pi ) en los números naturales, 3 que devuelve el número de primos menor o igual a un número natural dado. Por ejemplo, los primos menores o iguales que el número 23 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23, nueve números en total. Por lo tanto, el número de primos menor o igual a 23 es nueve. En símbolos, escribiríamos
[ pi (23) = 9 ]
Tenga en cuenta la ausencia de una fórmula en la definición de esta función. De hecho, la definición es de naturaleza descriptiva, por lo que podríamos escribir
[ pi (n) = text {número de primos menor o igual que} n ]
Lo importante no es cómo definimos esta función especial π, sino el hecho de que está bien definida; es decir, para cada número natural n, hay un número fijo de primos menores o iguales a n. Por lo tanto, cada número natural en el dominio de π está emparejado con uno y solo un número en su rango.
Ahora, solo porque nuestra función no proporciona una expresión para calcular el número de primos menor o igual a un número natural dado n, no impide que los matemáticos busquen esa fórmula. Euclides de Alejandría (325-265 a. C.), un matemático griego, demostró que el número de números primos es infinito, pero fue el matemático y científico alemán, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), quien primero propuso que el número de números primos menor o igual que n puede ser aproximada por la fórmula
[ pi (n) aprox frac {n} { ln n} ]
donde ln n es el “logaritmo natural” de n (se explicará en el Capítulo 9). Esta aproximación mejora y mejora con valores cada vez mayores de n. La fórmula fue refinada por Gauss, quien no proporcionó una prueba, y el problema se conoció como el Teorema del número primo. No fue sino hasta 1896 que Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) y Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallee Poussin (1866-1962), trabajando de forma independiente, proporcionaron una prueba del Teorema del número primo.