2.1: Relaciones, gráficos y funciones

2.1: Relaciones, gráficos y funciones

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Indique el dominio y el rango de una relación.
  •      
  • Identificar una función.
  •      
  • Usar notación de función
  •  
 
 

Gráficos, relaciones, dominio y rango

 

El sistema de coordenadas rectangulares 1 consta de dos líneas de números reales que se cruzan en ángulo recto. La recta numérica horizontal se llama eje x 2 , y la recta numérica vertical se llama eje y 3 . Estas dos líneas numéricas definen una superficie plana llamada plano 4 , y cada punto en este plano está asociado con un par ordenado [ 19459023] 5 de números reales ((x, y) ). El primer número se llama la coordenada (x ), y el segundo número se llama la coordenada (y ). La intersección de los dos ejes se conoce como el origen 6 , que corresponde al punto ((0, 0) ).

 

Los ejes (x ) – y (y ) – dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes 7 , nombrados con números romanos I, II, III y IV, como se muestra en la imagen. El par ordenado ((x, y) ) representa la posición de los puntos en relación con el origen. Por ejemplo, el par ordenado ((- 4, 3) ) representa la posición (4 ) unidades a la izquierda del origen, y (3 ) unidades arriba en el segundo cuadrante.

 
0ef85e2386362f67ce44e0f871bd4a6a.png
Figura 2.1.1
 

Este sistema a menudo se llama sistema de coordenadas cartesianas 8 , llamado así por el matemático francés René Descartes (1596–1650) .

 
b96e934e2d57d39b896dc35077fb4f66.png
Figura 2.1.2
 

A continuación, definimos una relación 9 como cualquier conjunto de pares ordenados. En el contexto del álgebra, las relaciones de interés son conjuntos de pares ordenados ((x, y) ) en el plano de coordenadas rectangular. Típicamente, las coordenadas están relacionadas por una regla expresada usando una ecuación algebraica. Por ejemplo, las ecuaciones algebraicas (y = | x | – 2 ) y (x = | y | + 1 ) definen relaciones entre (x ) y (y ). Los siguientes son algunos enteros que satisfacen ambas ecuaciones:

 
f0f80432cf5e496a04ecfd8ce9423065.png
Figura 2.1.3
 

Aquí se obtienen dos relaciones que consisten en siete soluciones de pares ordenados:

 

(y = | x | −2 tiene soluciones {(- 3,1), (- 2,0), (- 1, −1), (0, −2), (1, −1 ), (2,0), (3,1) } )

 

(y )

 

(x = | y | +1 tiene soluciones {(4, −3), (3, −2), (2, −1), (1,0), (2,1), ( 3,2), (4,3) } )

 

Podemos visualizar visualmente cualquier relación de este tipo en un plano de coordenadas trazando los puntos.

 
75e7c0d4a43891b5034d1ae802ec4d4d.png
Figura 2.1.4
 

Los conjuntos de soluciones de cada ecuación formarán una relación que consta de infinitos pares ordenados. Podemos usar las soluciones de pares ordenados para estimar todos los otros pares ordenados dibujando una línea a través de los puntos dados. Aquí colocamos una flecha en los extremos de nuestras líneas para indicar que este conjunto de pares ordenados continúa sin límites.

 
e809a240a72a74e6ff3f7a1c22cee502.png
Figura 2.1.5
 

La representación de una relación en un plano de coordenadas rectangular, como se ilustra arriba, se denomina gráfico 10 . Cualquier curva graficada en un plano de coordenadas rectangular representa un conjunto de pares ordenados y, por lo tanto, define una relación.

 

El conjunto que consta de todos los primeros componentes de una relación, en este caso los valores x , se denomina dominio 11 . Y el conjunto que consta de todos los segundos componentes de una relación, en este caso los valores y , se denomina rango 12 ( o codominio 13 ). A menudo, podemos determinar el dominio y el rango de una relación si se nos da su gráfico.

 
0e57f99fefa31bd42042a629754b34ef.png
Figura 2.1.6
 

Aquí podemos ver que la gráfica de (y = | x | −2 ) tiene un dominio que consiste en todos los números reales, (ℝ = (- ∞, ∞) ) y un rango de todos [ 19459038] y -valores mayores o iguales a (- 2, [−2, ∞) ). El dominio de la gráfica de (x = | y | +1 ) consiste en todos los valores x mayores o iguales a (1, [1, ∞) ), y el rango consiste de todos los números reales, (ℝ = (- ∞, ∞) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Determine el dominio y el rango de la siguiente relación:

 
8a7ec6522f803a6e89b3d2b29612077d.png
Figura 2.1.7
 

Solución

 

El valor mínimo (x ) – representado en el gráfico es (- 8 ) todos los demás son más grandes. Por lo tanto, el dominio consta de todos (x ) – valores en el intervalo ([- 8, ∞) ). El mínimo (y ) – valor representado en el gráfico es (0 ); por lo tanto, el rango es ([0, ∞) ).

 
14d99bcfb006e1d8e005f059688fe883.png
Figura 2.1.8
 

Respuesta :

 

Dominio: ([- 8, ∞) ); rango: ([0, ∞) )

 
 

Funciones

 

De especial interés son las relaciones donde cada (x ) – valor corresponde exactamente a un (y ) – valor. Una relación con esta propiedad se denomina función 14 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Determine el dominio y el rango de la siguiente relación y establezca si es una función o no: ( {(- 1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3) , (4, −2) } )

 

Solución

 

Aquí separamos el dominio ( valores x ) y el rango ( valores y ), y representamos la correspondencia entre los valores con flechas.

 
fff18399547f4bf4e5def2608adffa09.png
Figura 2.1.9
 

La relación es una función porque cada x -valor corresponde exactamente a un y -valor.

 

Respuesta :

 

El dominio es ( {- 1, 0, 2, 3, 4 } ) y el rango es ( {- 2, 3, 4, 7 } ). La relación es una función.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Determine el dominio y el rango de la siguiente relación y establezca si es una función o no: ( {(- 4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7) } )

 

Solución

 
3da94db02b0396792d46c9cc9146fac2.png
Figura 2.1.10
 

La relación dada no es una función porque el (x ) – valor (3 ) corresponde a dos (y ) – valores. También podemos reconocer funciones como relaciones donde no (x ) – los valores se repiten.

 

Respuesta :

 

El dominio es ( {- 4, −2, 0, 3 } ) y el rango es ( {- 3, 3, 5, 6, 7 } ). Esta relación no es una función.

 
 

Considere las relaciones que consisten en las siete soluciones de pares ordenados para (y = | x | – 2 ) y (x = | y | + 1 ). La correspondencia entre el dominio y el rango de cada uno se puede representar de la siguiente manera:

 
039020d81e4fc0175130a363b6e0e80d.png
Figura 2.1.11
 

Observe que cada elemento en el dominio del conjunto de soluciones de (y = | x | – 2 ) corresponde a un solo elemento en el rango; Es una función. Las soluciones a (x = | y | + 1 ), por otro lado, tienen valores en el dominio que corresponden a dos elementos en el rango. En particular, el valor x (4 ) corresponde a dos valores y (- 3 ) y (3 ). Por lo tanto, (x = | y | + 1 ) no define una función.

 

Podemos identificar visualmente las funciones por sus gráficos usando la prueba de línea vertical 15 . Si alguna línea vertical se cruza con el gráfico más de una vez, entonces el gráfico no representa una función.

 
f846af0c136e2aaae1af32a216be8edd.png
Figura 2.1.12
 

La línea vertical representa un valor en el dominio, y el número de intersecciones con el gráfico representa el número de valores a los que corresponde. Como podemos ver, cualquier línea vertical intersecará la gráfica de (y = | x | −2 ) solo una vez; por lo tanto, es una función. Una línea vertical puede cruzar la gráfica de (x = | y | +1 ) más de una vez; por lo tanto, no es una función. Como se muestra en la imagen, el valor (x ) (3 ) corresponde a más de un valor (y ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Dado el gráfico, indique el dominio y el rango y determine si representa o no una función:

 
1b08e322bcc95c3525202a738dee8bf2.png
Figura 2.1.13
 

Solución

 

En el gráfico podemos ver que el valor mínimo de (x ) es (- 1 ) y el valor máximo de (x ) es (5 ). Por lo tanto, el dominio consta de todos los números reales en el conjunto de ([- 1,5] ). El valor máximo (y ) es (3 ) y el mínimo es (- 3 ); por lo tanto, el rango consiste en (y ) – valores en el intervalo ([- 3,3] ).

 
e9298aeb12c1047f0cfa1e1d3bcc7bbf.png
Figura 2.1.14
 

Además, dado que podemos encontrar una línea vertical que se cruza con el gráfico más de una vez, concluimos que el gráfico no es una función. Hay muchos valores (x ) en el dominio que corresponden a dos valores (y ).

 

Respuesta :

 

Dominio: ([- 1,5] ); rango: ([- 3,3] ); función: no

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dado el gráfico, determine el dominio y el rango y establezca si es o no una función:

 
5d4b0078d93018b75fec4c10d17a1932.png
Figura 2.1.15
 
     
Respuesta
     
     

Dominio: ((- ∞, 15] ); rango: (ℝ ); función: no

     

     
 
 
 
 

Notación de función

 

Con la definición de una función viene una notación especial. Si consideramos que cada valor x es la entrada que produce exactamente una salida, entonces podemos usar la función notación 16 : [ 19459003]  

(f (x) = y )

 

La notación (f (x) ) dice: “ f de x ” y no debe confundirse con la multiplicación. El álgebra frecuentemente involucra funciones, por lo que la notación se vuelve útil cuando se realizan tareas comunes. Aquí (f ) es el nombre de la función, y (f (x) ) denota el valor en el rango asociado con el valor x en el dominio. Las funciones a menudo se nombran con letras diferentes; Algunos nombres comunes para las funciones son (f, g, h, C ) y (R ). Hemos determinado que el conjunto de soluciones para (y = | x | – 2 ) es una función; por lo tanto, usando la notación de función podemos escribir:

 

( begin {alineado} y & = | x | – 2 \ color {Cerulean} { downarrow} & \ f (x) & = | x | – 2 end {alineado} )

 

Es importante tener en cuenta que (y ) y (f (x) ) se usan indistintamente. Esta notación se utiliza de la siguiente manera:

 

( begin {array} {l} {f (x) : : = : : : | x | – 2} \ {: : : : : downarrow quad quad quad downarrow} \ {f ( color {Cerulean} {- 5} color {Black} {)} = | color {Cerulean} {- 5} color {Black} {|} – 2 = 5 – 2 = 3} end {array} )

 

Aquí la notación compacta (f (−5) = 3 ) indica que donde (x = −5 ) ( la entrada ), la función da como resultado (y = 3 ) ( la salida ). En otras palabras, reemplace la variable con el valor dado dentro de los paréntesis.

 
bb45c04b51f279a3c01a20a26e66bf4f.png
Figura 2.1.16
 

Las funciones se definen de manera compacta mediante una ecuación algebraica, como (f (x) = | x | – 2 ). Dados los valores para (x ) en el dominio, podemos calcular rápidamente los valores correspondientes en el rango. Como hemos visto, las funciones también se expresan mediante gráficos. En este caso, interpretamos (f (−5) = 3 ) de la siguiente manera:

 
Figura 2.1.17
 

La notación de funciones simplifica la tarea de evaluar. Por ejemplo, use la función (h ) definida por (h (x) = frac {1} {2} x – 3 ) para evaluar los valores de (x ) – en el conjunto ( { −2, 0, 7 } ).

 

( begin {array} {c} {h ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} = frac {1} {2} ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} – 3 = – 1 – 3 = – 4} \ {h ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} = frac {1} {2 } ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} – 3 = 0 – 3 = – 3} \ {h ( color {Cerulean} {7} color {Black} {)} = frac {1} {2} ( color {Cerulean} {7} color {Black} {)} – 3 = frac {7} {2} – 3 = frac {1} {2}} end {array} )

 

Dada cualquier función definida por (h (x) = y ), el valor (x ) se denomina argumento de la función [19459017 ] 17 . El argumento puede ser cualquier expresión algebraica. Por ejemplo:

 

( begin {alineado} h ( color {Cerulean} {4 a ^ {3}} color {Black} {)} & = frac {1} {2} ( color {Cerulean} { 4 a ^ {3}} color {Black} {)} – 3 = 2 a ^ {3} – 3 \ h ( color {Cerulean} {2 x – 1} color {Black} {)} & = frac {1} {2} ( color {Cerulean} {2 x – 1} color {Black} {)} – 3 = x – frac {1} {2} – 3 = x – frac { 7} {2} end {alineado} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Dado (g (x) = x ^ {2} ), encuentra (g (−2), g ( frac {1} {2}) ) y (g (x + h ) ).

 

Solución

 

Recuerde que al evaluar, es una buena práctica comenzar reemplazando las variables con paréntesis y luego sustituyendo los valores apropiados. Esto ayuda con el orden de las operaciones al simplificar expresiones.

 

( begin {alineado} g ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} & = ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} ^ {2} = 4 \ g ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} color {Black} {)} & = ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} color {Black} {)} ^ {2} = frac {1} {4} \ g ( color {Cerulean} {x + h} color {Black} {)} & = ( color {Cerulean } {x + h} color {Black} {)} ^ {2} = x ^ {2} + 2 xh + h ^ {2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(g (−2) = 4, : g ( frac {1} {2}) = frac {1} {4}, : g (x + h) = x ^ {2} + 2xh + h ^ {2} )

 
 

En este punto, es importante tener en cuenta que, en general, (f (x + h) ≠ f (x) + f (h) ). El ejemplo anterior, donde (g (x) = x ^ {2} ), ilustra esto muy bien

 

( begin {array} {l} {g (x + h) neq g (x) + g (h)} \ {(x + h) ^ {2} neq x ^ {2 } + h ^ {2}} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Dado (f (x) = sqrt {2 x + 4} ), encuentra (f (−2), f (0) ) y (f left ( frac {1} {2} a ^ {2} – 2 derecha) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} f ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} & = sqrt {2 ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} + 4} = sqrt {- 4 + 4} = sqrt {0} = 0 \ f ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} & = sqrt {2 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + 4} = sqrt {0 + 4} = sqrt {4} = 2 \ f ( color {Cerulean} { frac {1} {2} a ^ {2} – 2} color {Black} {)} & = sqrt {2 ( color {Cerulean} { frac {1} {2} a ^ {2} – 2} color {Negro} {)} + 4} = sqrt {a ^ {2} – 4 + 4} = sqrt {a ^ {2}} = | a | end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(f (−2) = 0, : f (0) = 2, : f left ( frac {1} {2} a ^ {2} – 2 right) = | a | )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Dada la gráfica de (g (x) ), encuentre (g (−8), g (0) ) y (g (8) ).

 
Figura 2.1.18
 

Solución

 

Usa la gráfica para encontrar los valores correspondientes de (y ) donde (x = −8, 0 ) y (8 ).

 
2ae1a81b920d840431b3e666ed233a14.png
Figura 2.1.19
 

Respuesta :

 

(g (−8) = – 2, : g (0) = 0, : g (8) = 2 )

 
 

A veces se proporciona la salida y se nos pide que encontremos la entrada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Dado (f (x) = 5x + 7 ), encuentra (x ) donde (f (x) = 27 ).

 

Solución

 

En este ejemplo, se proporciona la salida y se nos pide que encontremos la entrada. Sustituya (f (x) ) con (27 ) y resuelva.

 

( begin {array} {c} {f (x) = 5 x + 7} \ color {Cerulean} { downarrow} quad quad quad quad : : : \ { 27 = 5 x + 7} \ {20 = 5 x} \ {4 = x} end {array} )

 

Por lo tanto, (f (4) = 27 ). Como verificación, podemos evaluar (f (4) = 5 (4) + 7 = 27 ).

 

Respuesta :

 

(x = 4 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Dada la gráfica de (g ), encuentre (x ) donde (g (x) = 2 ).

 
6b86033755985609d66dbb9504cd2f79.png
Figura 2.1.20
 

Solución

 

Aquí se nos pide que encontremos el valor x dado un valor particular y . Comenzamos con 2 en el eje y y luego leemos el valor correspondiente x .

 
024e4b732542e7342f5d97a54f3da19d.png
Figura 2.1.21
 

Podemos ver que (g (x) = 2 ) donde (x = −5 ); en otras palabras, (g (−5) = 2 ).

 

Respuesta :

 

(x = −5 )

 
 

Puntos clave

 
         
  • Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Sin embargo, en este curso, trabajaremos con conjuntos de pares ordenados ((x, y) ) en el sistema de coordenadas rectangulares. El conjunto de (x ) – valores define el dominio y el conjunto de (y ) – valores define el rango.
  •      
  • Las relaciones especiales donde cada (x ) – valor (entrada) corresponde exactamente a un (y ) – valor (salida) se denominan funciones.
  •      
  • Podemos determinar fácilmente si una ecuación representa o no una función realizando la prueba de línea vertical en su gráfico. Si alguna línea vertical se cruza con el gráfico más de una vez, entonces el gráfico no representa una función.
  •      
  • Si una ecuación algebraica define una función, entonces podemos usar la notación (f (x) = y ). La notación (f (x) ) se lee « f de x » y no debe confundirse con la multiplicación. Al trabajar con funciones, es importante recordar que (y ) y (f (x) ) se usan indistintamente.
  •      
  • Si se le pide que busque (f (a) ), sustituimos el argumento (a ) por la variable y luego simplificamos. El argumento podría ser una expresión algebraica.
  •      
  • Si se le pide que busque (x ) donde (f (x) = a ), establecemos la función igual a (a ) y luego resolvemos (x ).
  •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Determine el dominio y el rango y establezca si la relación es una función o no.

 
         
  1. ( {(3,1), (5,2), (7,3), (9,4), (12,4) } )
  2.      
  3. ( {(2,0), (4,3), (6,6), (8,6), (10,9) } )
  4.      
  5. ( {(7,5), (8,6), (10,7), (10,8), (15,9) } )
  6.      
  7. ( {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1) } )
  8.      
  9. ( {(5,0), (5,2), (5,4), (5,6), (5,8) } )
  10.      
  11. ( {(- 3,1), (- 2,2), (- 1,3), (0,4), (0,5) } )
  12.      
  13.  
 
7e9cb4af3d74aa6248f6e7f618d27ba6.png
Figura 2.1.23
 

8.

 
92ad382da4f767c42c003964410cb9a5.png
Figura 2.1.24
 

9.

 
ad6fde9fa792a0fd30c2228d3bc7b507.png
Figura 2.1.25
 

10.

 
627cf21a63d182ad352dd09be44dc96e.png
Figura 2.1.26
 

11.

 
3fbf45886d7578c5f55916e0fc40a873.png
Figura 2.1.27
 

12.

 
c71fc02b36c3b15d57d66d42c17b9da4.png
Figura 2.1.28
 

13.

 
122d4d3921ca7292f9dd90c48876ffca.png
Figura 2.1.29
 

14.

 
78503cf93e77ab6aa0c81ef863644d45.png
Figura 2.1.30
 

15.

 
e9d76779f0573e64a277b870c9ab901c.png
Figura 2.1.31
 

16.

 
fabd2435493991a1d9278509649db7d8.png
Figura 2.1.32
 

17.

 
5e7b6424a7c064f401088f77e2206f5a.png
Figura 2.1.33
 

18.

 
f2d29e1370c6b7d1ee4afb6428d397c7.png
Figura 2.1.34
 

19.

 
3d8fe8234da4e62bf13771925eb25b90.png
Figura 2.1.35
 

20.

 
ec7f7efb0f3fc750a57e125fa51a20cb.png
Figura 2.1.36
 

21.

 
fbe818601db4537d30f6c2155f420f56.png
Figura 2.1.37
 

22.

 
1f1b1711a1cff655fa3752a986d89a32.png
Figura 2.1.38
 

23.

 
765456991d317220c9f9288ee69f108c.png
Figura 2.1.39
 

24.

 
b7321d57ee79c75cae25bc3bbbb162cc.png
Figura 2.1.40
 

25.

 
c935b1895995cd14ccec7d8e33d69d5c.png
Figura 2.1.41
 

26.

 
57a5fd7bcf0e225b10961c6534cd4545.png
Figura 2.1.42
 

27.

 
Figura 2.1.43
 

28.

 
Figura 2.1.44
 

29.

 
a278a3d5973bae00a32eea7ae2f4d5f7.png
Figura 2.1.45
 

30.

 
e23d2e0454b51f833959df209f30446d.png
Figura 2.1.46
 

31.

 
Figura 2.1.47
 

32.

 
Figura 2.1.48
 

33.

 
bc69f3eeb70d7e69b1a312f9cab1f022.png
Figura 2.1.49
 

34.

 
Figura 2.1.50
 
     
Respuesta
     
     

1. Dominio: ( {3,5,7,9,12 } ); rango: ( {1,2,3,4 } ); función: sí

     

3. Dominio: ( {7,8,10,15 } ); rango: ( {5,6,7,8,9 } ); función: no

     

5. Dominio: ( {5 } ); rango: ( {0,2,4,6,8 } ); función: no

     

7. Dominio: ( {- 4, – 1,0,2,3 } ); rango: ( {1,2,3 } ); función: sí

     

9. Dominio: ( {- 1, 0, 1, 2 } ); rango: ( {0, 1, 2, 3, 4 } ); función: no

     

11. Dominio: ( {- 2 } ); rango: ( {- 4, −2, 0, 2, 4 } ); función: no

     

13. Dominio: (ℝ ); rango: ([- 2, ∞) ); función: sí

     

15. Dominio: ((- ∞, −1] ); rango: (ℝ ); función: no

     

17. Dominio: ((- ∞, 0] ); rango: ([- 1, ∞) ); función: sí

     

19. Dominio: (ℝ ); rango: ((- ∞, 3] ); función: sí

     

21. Dominio: (ℝ ); rango: (ℝ ); función: sí

     

23. Dominio: ([- 5, −1] ); rango: ([- 2, 2] ); función: no

     

25. Dominio: (ℝ ); rango: ([0, ∞] ); función: sí

     

27. Dominio: (ℝ ); rango: (ℝ ); función: sí

     

29. Dominio: (ℝ ); rango: ([- 1, 1] ); función: sí

     

31. Dominio: ([- 8, 8] ); rango: ([- 3, 3] ); función: no

     

33. Dominio: (ℝ ); rango: ([- 8, ∞] ); función: sí

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evaluar.

 
         
  1. (g (x) = | x – 5 | text {find} g (- 5), g (0), text {y} g (5) )
  2.      
  3. (g (x) = | x | – 5; text {find} g (- 5), g (0), text {y} g (5) )
  4.      
  5. (g (x) = | 2 x – 3 |; text {find} g (- 1), g (0), text {y} g left ( frac {3} {2} right) )
  6.      
  7. (g (x) = 3 – | 2 x |; text {find} g (- 3), g (0), text {y} g (3) )
  8.      
  9. (f (x) = 2 x – 3; text {find} f (- 2), f (0), text {y} f (x – 3) )
  10.      
  11. (f (x) = 5 x – 1; text {find} f (- 2), f (0), text {y} f (x + 1) )
  12.      
  13. (g (x) = frac {2} {3} x + 1; text {find} g (- 3), g (0), text {y} f (9 x + 6) )
  14.      
  15. (g (x) = – frac {3} {4} x – frac {1} {2}; text {find} g (- 4), g (0), text {y } g (6 x – 2) )
  16.      
  17. (g (x) = x ^ {2}; text {find} g (- 5), g ( sqrt {3}), text {y} g (x – 5) ) [ 19459006]      
  18. (g (x) = x ^ {2} + 1; text {find} g (- 1), g ( sqrt {6}), text {y} g (2 x – 1) )
  19.      
  20. (f (x) = x ^ {2} – x – 2; text {find} f (0), f (2), text {y} f (x + 2) ) [19459006 ]      
  21. (f (x) = – 2 x ^ {2} + x – 4; text {find} f (- 2), f left ( frac {1} {2} right), texto {y} f (x – 3) )
  22.      
  23. (h (t) = – 16 t ^ {2} + 32; text {find} h left ( frac {1} {4} right), h left ( frac {1} {2} right), text {y} h (2 a – 1) )
  24.      
  25. (h (t) = – 16 t ^ {2} + 32; text {find} h (0), h ( sqrt {2}), h (2 a + 1) ) [19459006 ]      
  26. (f (x) = sqrt {x + 1} – 2 text {find} f (- 1), f (0), f (x – 1) )
  27.      
  28. (f (x) = sqrt {x – 3} + 1; text {find} f (12), f (3), f (x + 3) )
  29.      
  30. (g (x) = sqrt {x + 8}; text {find} g (0), g (- 8), text {y} g (x – 8) )
  31.      
  32. (g (x) = sqrt {3 x – 1}; text {find} g left ( frac {1} {3} right), g left ( frac {5} { 3} right), text {y} g left ( frac {1} {3} a ^ {2} + frac {1} {3} right) )
  33.      
  34. (f (x) = x ^ {3} + 1; text {find} f (- 1), f (0), f left (a ^ {2} right) ) [19459006 ]      
  35. (f (x) = x ^ {3} – 8; text {find} f (2), f (0), f left (a ^ {3} right) )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (g (- 5) = 10, g (0) = 5, g (5) = 0 )

     

3. (g (- 1) = 5, g (0) = 3, g left ( frac {3} {2} right) = 0 )

     

5. (f (- 2) = – 7, f (0) = – 3, f (x – 3) = 2 x – 9 )

     

7. (g (- 3) = – 1, g (0) = 1, g (9 x + 6) = 6 x + 5 )

     

9. (g (- 5) = 25, g ( sqrt {3}) = 3, g (x – 5) = x ^ {2} – 10 x + 25 )

     

11. (f (0) = – 2, f (2) = 0, f (x + 2) = x ^ {2} + 3 x )

     

13. (h left ( frac {1} {4} right) = 31, h left ( frac {1} {2} right) = 28, h (2 a – 1) = – 64 a ^ {2} + 64 a + 16 )

     

15. (f (- 1) = – 2, f (0) = – 1, f (x – 1) = sqrt {x} – 2 )

     

17. (g (0) = 2 sqrt {2}, g (- 8) = 0, g left (a ^ {2} – 8 right) = | a | )

     

19. (f (- 1) = 0, f (0) = 1, f left (a ^ {2} right) = a ^ {6} + 1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Dada la función find (f (x + h) ).

 
         
  1. (f (x) = 3 x – 1 )
  2.      
  3. (f (x) = – 5 x + 2 )
  4.      
  5. (f (x) = x ^ {2} + x + 1 )
  6.      
  7. (f (x) = 2 x ^ {2} – x – 1 )
  8.      
  9. (f (x) = x ^ {3} )
  10.      
  11. (f (x) = 2 x ^ {3} – 1 )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (f (x + h) = 3 x + 3 h – 1 )

     

3. (f (x + h) = x ^ {2} + 2 x h + h ^ {2} + x + h + 1 )

     

5. (f (x + h) = x ^ {3} + 3 h x ^ {2} + 3 h ^ {2} x + h ^ {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra (x ) dada la función.

 
         
  1. (f (x) = 2 x – 3; text {find} x text {where} f (x) = 25 )
  2.      
  3. (f (x) = 7 – 3 x; text {find} x text {where} f (x) = – 27 )
  4.      
  5. (f (x) = 2 x + 5; text {find} x text {where} f (x) = 0 )
  6.      
  7. (f (x) = – 2 x + 1; text {find} x text {where} f (x) = 0 )
  8.      
  9. (g (x) = 6 x + 2; text {find} x text {where} g (x) = 5 )
  10.      
  11. (g (x) = 4 x + 5; text {find} x text {where} g (x) = 2 )
  12.      
  13. (h (x) = frac {2} {3} x – frac {1} {2}; text {find} x text {where} h (x) = frac {1} {6} )
  14.      
  15. (h (x) = frac {5} {4} x + frac {1} {3}; text {find} x text {where} h (x) = frac {1} {2} )
  16.      
  17. El valor de un automóvil nuevo en dólares viene dado por la función (V (t) = −1,800t + 22,000 ) donde (t ) representa la edad del automóvil en años. Use la función para determinar el valor del automóvil cuando tenga (4 ) años. ¿Cuál fue el valor del auto nuevo?
  18.      
  19. El ingreso mensual en dólares de un vendedor de autos comisionados viene dado por la función (I (n) = 350n + 1,450 ) donde (n ) representa el número de autos vendidos en el mes. Use la función para determinar los ingresos del vendedor si vende (3 ) automóviles este mes. ¿Cuál es su ingreso si no vende ningún automóvil en un mes?
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x = 14 )

     

3. (x = – frac {5} {2} )

     

5. (x = frac {1} {2} )

     

7. (x = 1 )

     

9. Nuevo: ($ 22,000 ); (4 ) años: ($ 14,800 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dada la gráfica de la función (f ), encuentre los valores de la función.

 
         
  1. Encuentra (f (0), f (2) ) y (f (4) ).
  2.  
 
Figura 2.1.51
 

2. Encuentra (f (-1), f (0) ) y (f (1) ).

 
Figura 2.1.52
 

3. Encuentra (f (0), f (2) ) y (f (4) ).

 
991922a06978f60dbe3f2c1fc6523ef6.png
Figura 2.1.53
 

4. Encuentre (f (−3), f (0) ) y (f (3) ).

 
af6da4260303a113eddfc1ad654c772e.png
Figura 2.1.54
 

5. Encuentra (f (−4), f (0) ) y (f (2) ).

 
Figure 2.1.55
 

6. Find (f (−6), f (0)), and (f (6)).

 
d90346961994f6463806e6bdb6e62443.png
Figure 2.1.56
 

7. Find (f (−2), f (2)), and (f (7)).

 
853b5d857b748f8e7845884d421846c7.png
Figure 2.1.57
 

8. Find (f (0), f (5)), and (f (9)).

 
40d156f6e3e219fb3b8f2a54f7d68519.png
Figure 2.1.58
 

9. Find (f (−8), f (0)), and (f (8)).

 
Figure 2.1.59
 

10. Find (f (−12), f (0)), and (f (12)).

 
Figure 2.1.60
 
     
Answer
     
     

1. (f (0) = 5, f (2) = 1, f (4) = 5)

     

3. (f (0) = 0, f (2) = 2, f (4) = 0)

     

5. (f (−4) = 3, f (0) = 3, f (2) = 3)

     

7. (f (−2) = 1, f (2) = 3, f (7) = 4)

     

9. (f (−8) = 10, f (0) = 0, f (8) = 10)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Given the graph of a function (g), find the (x)-values:

 
         
  1. Find (x) where (g (x) = 3, g (x) = 0), and (g (x) = −2).
  2.  
 
cf8044a6aa1333a7ba91195e7973f472.png
Figure 2.1.61
 

2. Find (x) where (g (x) = 0, g (x) = 1), and (g (x) = 4).

 
23cc1c1364f91072179439d82c8251f1.png
Figure 2.1.62
 

3. Find (x) where (g (x) = −5, g (x) = 0), and (g (x) = 10).

 
Figure 2.1.63
 

4. Find (x) where (g (x) = 0, g (x) = 10), and (g (x) = 15).

 
Figure 2.1.64
 

5. Find (x) where (g (x) = −5, g (x) = −4), and (g (x) = 4).

 
d12ec7fce3f108cd33934c44f6fd597e.png
Figure 2.1.65
 

6. Find (x) where (g (x) = 1, g (x) = 0), and (g (x) = −3).

 
Figure 2.1.66
 

7. Find (x) where (g (x) = −4, g (x) = 3), and (g (x) = 4).

 
Figure 2.1.67
 

8. Find (x) where (g (x) = −5, g (x) = −4), and (g (x) = 4).

 
a4f584febcd95dc5ef92bbe2ef80df7c.png
Figure 2.1.68
 

9. Find (x) where (g (x) = −10) and (g (x) = 5).

 
Figure 2.1.69
 

10. Find (x) where (g(x)=2).

 
0b917a584a1e559b34e2fb3af5ee962a.png
Figure 2.1.70
 

The value of a certain automobile in dollars depends on the number of years since it was purchased in (1970) according to the following function:

 
79fbf6ea1482adbfbfbd40b747c3c95f.png
Figure 2.1.71
 

11. What was the value of the car when it was new in (1970)?

 

12. In what year was the value of the car at a minimum?

 

13. What was the value of the car in (2005)?

 

14. In what years was the car valued at ($4,000)?

 
     
Answer
     
     

1. (g (−4) = 3, g (2) = 0), and (g (6) = −2).

     

3. (g (10) = −5, g (5) = 0) and (g (15) = 0 , g (−5) = 10) and (g (25) = 10)

     

5. (g (−2) = −5, g (−3) = −4) and (g (−1) = −4 , g (−5) = 4) and (g (1) = 4)

     

7. (g (−2) = −4, g (−1) = 3, g (0) = 4)

     

9. (g (−10) = −10) and (g (5) = −10 ; g (−5) = 5) and (g (10) = 5)

     

11. ($5,000)

     

13. ($10,000)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Given the linear function defined by (f(x)=2x-5), simplify the following.

 
         
  1. (f ( 5 ) – f ( 3 ))
  2.      
  3. (f ( 0 ) – f ( 7 ))
  4.      
  5. (f ( x + 2 ) – f ( 2 ))
  6.      
  7. (f ( x + 7 ) – f ( 7 ))
  8.      
  9. (f ( x + h ) – f ( x ))
  10.      
  11. (frac { f ( x + h ) – f ( x ) } { h })
  12.      
  13. Simplify (frac { c ( x + h ) – c ( x ) } { h }) given (c ( x ) = 3 x + 1).
  14.      
  15. Simplify (frac { p ( x + h ) – p ( x ) } { h }) given (p ( x ) = 7 x – 3).
  16.      
  17. Simplify (frac { g ( x + h ) – g ( x ) } { h }) given (g ( x ) = m x + b).
  18.      
  19. Simplify (frac { q ( x + h ) – q ( x ) } { h }) given (q ( x ) = a x).
  20.  
 
     
Answer
     
     

1. (4)

     

3. (2x)

     

5. (2h)

     

7. (3)

     

9. (m)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 
         
  1. Who is credited with the introduction of the notation (y = f (x))? Provide a brief summary of his life and accomplishments.
  2.      
  3. Explain to a beginning algebra student what the vertical line test is and why it works.
  4.      
  5. Research and discuss the life and contributions of René Descartes.
  6.      
  7. Conduct an Internet search for the vertical line test, functions, and evaluating functions. Share a link to a page that you think others may find useful.
  8.  
 
     
Answer
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 
 

Footnotes

 

1 A system with two number lines at right angles specifying points in a plane using ordered pairs ((x, y)).

 

2 The horizontal number line used as reference in a rectangular coordinate system.

 

3 The vertical number line used as reference in a rectangular coordinate system.

 

4 The flat surface defined by (x)- and (y)-axes.

 

5 Pairs ((x, y)) that identify position relative to the origin on a rectangular coordinate plane.

 

6 The point where the (x)- and (y)-axes cross, denoted by ((0, 0)).

 

7 The four regions of a rectangular coordinate plane partly bounded by the (x)- and (y)-axes and numbered using the Roman numerals I, II, III, and IV.

 

8 Term used in honor of René Descartes when referring to the rectangular coordinate system.

 

9 Any set of ordered pairs.

 

10 A visual representation of a relation on a rectangular coordinate plane.

 

11 The set consisting of all of the first components of a relation. For relations consisting of points in the plane, the domain is the set of all (x)-values.

 

12 The set consisting of all of the second components of a relation. For relations consisting of points in the plane, the range is the set of all (y)-values.

 

13 Used when referencing the range.

 

14 A relation where each element in the domain corresponds to exactly one element in the range.

 

15 If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function.

 

16 The notation (f (x) = y) , which reads “(f) of (x) is equal to (y).” Given a function, (y) and (f (x)) can be used interchangeably.

 

17 The value or algebraic expression used as input when using function notation.

 
                                  
]]>

,

Deja una respuesta