Comencemos con la definición de una ecuación.
Ecuación
Una ecuación es una declaración matemática que iguala dos expresiones algebraicas.
La diferencia clave entre una expresión algebraica y una ecuación es la presencia de un signo igual. Entonces, por ejemplo,
[2 x + 3, quad x- (3-2 x), quad text {y} quad 2 (y + 3) -3 (1-y) nonumber ]
son expresiones algebraicas, mientras que
[2 x + 3 = 0, quad x- (3-2 x) = 4, quad text {y} quad 2 (y + 3) -3 (1-y) = – 11 nonumber ]
son ecuaciones. Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene un signo igual, pero las expresiones algebraicas no.
A continuación tenemos la definición de una solución de una ecuación.
Lo que significa ser una solución de una ecuación
Una solución de una ecuación es un valor numérico que satisface la ecuación. Es decir, cuando la variable en la ecuación se reemplaza por la solución, se obtiene un enunciado verdadero.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Demuestre que (8 ) es una solución de la ecuación (x-12 = -4 ).
Solución
Sustituye (8 ) por (x ) en la ecuación dada y simplifica.
[ begin {alineado} x-12 & = – 4 quad color {Rojo} text {La ecuación dada. } \ 8-12 & = – 4 quad color {Rojo} text {Sustituir} 8 text {para} x. \ -4 & = – 4 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Dado que los lados izquierdo y derecho de la última línea son iguales, esto muestra que cuando (8 ) se sustituye por (x ) en la ecuación, se obtiene un enunciado verdadero. Por lo tanto, (8 ) es una solución de la ecuación
Ejercicio ( PageIndex {1} )
¿Cuál de los números ( {1,2,3,4,5 } ) es una solución de la ecuación (2 y + 3 = 7 ).
- Respuesta
-
(2 )
Ecuaciones equivalentes
Ahora que sabemos cómo identificar una solución de una ecuación, definamos lo que significa cuando decimos que dos ecuaciones son equivalentes.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
¿Son equivalentes las ecuaciones (x-3 = 6 ) y (x = 9 )?
Solución
El número (9 ) es la única solución de la ecuación (x – 3 = 6 ). Del mismo modo, (9 ) es la única solución de la ecuación (x = 9 ). Por lo tanto, (x − 3 = 6 ) y (x = 9 ) tienen los mismos conjuntos de soluciones y son equivalentes.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
¿Son equivalentes las ecuaciones (x = 5 ) y (x-7 = 10 )?
- Respuesta
-
No
Ejemplo ( PageIndex {3} )
¿Son equivalentes las ecuaciones (x ^ 2 = 1 ) y (x = 1 )?
Solución
Por inspección, la ecuación (x ^ 2 = 1 ) tiene dos soluciones, (- 1 ) y (1 ).
((- 1) ^ {2} = 1 quad ) y ( quad (1) ^ {2} = 1 )
Por otro lado, la ecuación (x = 1 ) tiene una única solución, a saber, (1 ). Por lo tanto, las ecuaciones (x ^ 2 = 1 ) y (x = 1 ) no tienen los mismos conjuntos de soluciones y no son equivalentes.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
¿Son equivalentes las ecuaciones (x = 1 ) y (x ^ 2 = x )?
- Respuesta
-
No
Como veremos pronto, las ecuaciones equivalentes juegan un papel importante en la búsqueda de la solución de una ecuación.
Envolver y desenvolver, hacer y deshacer
Supón que estás envolviendo un regalo para tu primo. Realiza los siguientes pasos en orden.
- Pon el papel de regalo.
- Ponte la cinta.
- Ponte el lazo decorativo.
Cuando le damos el regalo envuelto a nuestro primo, educadamente desenvuelve el presente, “deshaciendo” cada uno de nuestros tres pasos en orden inverso.
- Quita el arco decorativo.
- Quita la cinta.
- Toma el papel de regalo.
Esta envoltura y desenvolvimiento de un regalo aparentemente frívola contiene algunas ideas matemáticas profundamente poderosas. Considere la expresión matemática (x + 4 ). Para evaluar esta expresión en un valor particular de (x ), comenzaríamos con el valor dado de (x ), luego agregaríamos (4 ).
- Establezcamos (x ) igual al número (7 ). Si agregamos (4 ), llegamos al siguiente resultado: (11 )
Ahora, ¿cómo podríamos “desenvolver” este resultado para volver a nuestro número original? Comenzaríamos con nuestro resultado, a saber, (11 ), luego restaríamos (4 ).
- Tome nuestro resultado de arriba, (11 ). Si restamos (4 ), volvemos a nuestro valor original de (x ): (7 )
La discusión anterior nos lleva a dos observaciones extremadamente importantes.
Nota
El inverso de la suma es la resta . Si comenzamos con un número (x ) y agregamos un número (a ), restando (a ) del resultado nos devolverá al número original (x ). En símbolos,
(x + a – a = x )
Es decir, restando (a ) “deshace” el efecto de sumar (a ) y nos devuelve al número original (x ).
La inversa de la resta es la suma . Si comenzamos con un número (x ) y restamos un número (a ), entonces agregar (a ) al resultado nos devolverá al número original (x ). En símbolos,
(x – a + a = x )
Es decir, agregar (a ) “deshace” el efecto de restar (a ) y nos devuelve al número original (x ).
Operaciones que producen ecuaciones equivalentes
En el ejemplo ( PageIndex {1} ) , vimos que (x = 8 ) era una solución de la ecuación (x-12 = -4 ). De hecho, las ecuaciones (x = 8 ) y (x-12 = -4 ) son ecuaciones equivalentes porque ambas tienen los mismos conjuntos de soluciones.
En el caso de la ecuación (x-12 = -4 ), es bastante fácil “adivinar” que la solución es (x = 8 ), pero a medida que las ecuaciones se vuelvan más complicadas, querremos para saber exactamente qué operaciones podemos realizar en la ecuación que no cambiarán el conjunto de soluciones. El objetivo es comenzar con una ecuación como
(x-12 = -4 )
luego, a través de una serie de pasos que no cambian la solución, llegue a la solución
(x = 8 )
Con estos pensamientos en mente, hay una serie de operaciones que producirán ecuaciones equivalentes (ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones). Los dos primeros que emplearemos son sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación.
Agregando la misma cantidad a ambos lados de una ecuación
Agregar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
(a = b )
luego agregar (c ) a ambos lados de la ecuación produce la ecuación equivalente
(a + c = b + c )
Restando la misma cantidad de ambos lados de una ecuación
Restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
(a = b )
luego restando c de ambos lados de la ecuación produce la ecuación equivalente
(a-c = b-c )
Veamos un ejemplo en el que agregar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación produce una ecuación equivalente que es la solución a la ecuación original.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve (x-7 = 12 ) para (x ).
Solución
Para deshacer el efecto de restar (7 ), agregamos (7 ) a ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} x-7 & = 12 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ x-7 + 7 & = 12 + 7 quad color {Rojo} text {Agregar} 7 text {a ambos lados de la ecuación produce una ecuación equivalente. } \ x & = 19 quad color {Rojo} text {A la izquierda, sumando} 7 text {“deshace” el efecto de restar} 7 text {y devuelve} x. text {A la derecha,} 12 + 7 = 19 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es (19 ).
Verificar: Para verificar, sustituir la solución (19 ) en la ecuación original.
[ begin {alineado} x-7 & = 12 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 19-7 & = 12 quad color {Rojo} text {Sustituir} 19 text {para} x \ 12 & = 12 quad color {Rojo} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
El hecho de que la última línea del cheque sea una declaración verdadera garantiza que (19 ) es una solución de (x-7 = 12 ).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve para (x: x-6 = 4 ).
- Respuesta
-
(10 )
En la solución del Ejemplo ( PageIndex {4} ) , utilizamos el concepto de “inverso”. Si comenzamos con (x ), restamos (7 ), luego agregamos (7 ), regresamos al número (x ). En símbolos, (x-7 + 7 = x ). Regresamos a x porque “restar (7 )” y “sumar (7 )” son operaciones inversas entre sí. Es decir, haga lo que uno haga, el otro “deshace”.
A continuación, veamos un ejemplo en el que restar la misma cantidad de ambos lados de la ecuación produce una ecuación equivalente que es la solución a la ecuación original.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve (x + dfrac {2} {3} = dfrac {1} {2} ) para (x ).
Solución
Para deshacer el efecto de sumar (2/3 ), restamos (2/3 ) de ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado}
x + dfrac {2} {3} & = dfrac {1} {2} quad color {Red} text {Ecuación original. } \
x + dfrac {2} {3} – dfrac {2} {3} & = dfrac {1} {2} – dfrac {2} {3} quad color {Rojo} text {Restando} 2/3 text {de ambos lados produce una ecuación equivalente.} \
x & = dfrac {3} {6} – dfrac {4} {6} color {Red} text {A la izquierda, restando} 2/3 text {“deshace” el efecto de sumar} 2/3 text {y devuelve} x text {. A la derecha, haga fracciones equivalentes con un denominador común.} \
x & = – dfrac {1} {6} quad color {Red} text {Restar:} dfrac {3} {6} – dfrac {4} {6} = – dfrac {1} {6}
end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es (- 1/6 ).
Verifique: Usemos la calculadora gráfica TI-84 para verificar esta solución.
- Almacene el valor (- 1/6 ) en la variable (X ) usando las siguientes teclas. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).
- Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: x +2 / 3. Use las siguientes pulsaciones de teclas. El resultado se muestra en la Figura 2.1.
- Presione el botón MATH en su calculadora (vea la Figura ( PageIndex {2} )), luego seleccione 1: Frac y presione el botón ENTER. Esto convertirá el resultado decimal a una fracción (ver Figura ( PageIndex {2} )).
Tenga en cuenta que el resultado es ( dfrac {1} {2}, ) que muestra que (- dfrac {1} {6} ) es una solución de (x + dfrac {2} {3 } = dfrac {1} {2} ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelva para (x: x + dfrac {1} {2} = dfrac {3} {5} ).
- Respuesta
-
(1/10 )
Más operaciones que producen ecuaciones equivalentes
Aquí hay dos operaciones más que producen ecuaciones equivalentes.
Multiplicar ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero
Multiplicar ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
(a = b )
y (c neq 0 ), luego multiplicando ambos lados de la ecuación por (c ) produce la ecuación equivalente
(ac = bc )
Dividiendo ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero
Dividir ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
(a = b )
y (c neq 0 ), luego dividiendo ambos lados de la ecuación por (c ) produce la ecuación equivalente
( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c} )
Al igual que la suma y la resta, la multiplicación y la división son operaciones inversas.
Nota
La inversa de la multiplicación es la división . Si comenzamos con un número (x ) y multiplicamos por un número (a ), dividir el resultado por el mismo número (a ) nos devuelve al número original (x ). En símbolos,
( dfrac {a cdot x} {a} = x )
Es decir, dividir por un “deshace” el efecto de multiplicar por (a ) y nos devuelve al número original (x ).
El inverso de la división es la multiplicación . Si comenzamos con un número (x ) y lo dividimos por un número (a ), entonces multiplicando el resultado por el mismo número (a ) nos devuelve al número original (x ). En símbolos,
(a cdot dfrac {x} {a} = x )
Es decir, multiplicar por un “deshace” el efecto de dividir por (a ) y nos devuelve al número original (x ).
Veamos un ejemplo en el que dividir ambos lados de la ecuación por la misma cantidad produce una ecuación equivalente que es la solución a la ecuación original.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelve (- 2.1 x = 0.42 ) para (x ).
Solución
Para deshacer el efecto de multiplicar por (- 2.1 ), dividimos ambos lados de la ecuación por (- 2.1 ).
[ begin {alineado} -2.1 x & = 0.42 quad color {Rojo} text {Ecuación original.} \ frac {-2.1 x} {- 2.1} & = frac {0.42} {-2.1} quad color {Red} text {Dividiendo ambos lados por} -2.1 text {produce una ecuación equivalente.} \ x & = – 2 quad color {Red} text {A la izquierda , dividiendo por} -2.1 text {“deshace” el efecto de multiplicar por} -2.1 text {y devuelve} x. text {A la derecha, divide:} 0.42 /(-2.1)=-2 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es (- 2 ).
Verificar: Para verificar, sustituir la solución (- 2 ) en la ecuación original.
[ begin {alineado} -2.1 x & = 0.42 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ -2.1 (-2) & = 0.42 quad color {Rojo} text {Sustituir} -2 text {para} x \ 0.42 & = 0.42 quad color {Rojo} text {En el izquierda, multiplicar:} -2.1 (-2) = 0.42 end {alineado} nonumber ]
El hecho de que la última línea del cheque sea una declaración verdadera garantiza que (- 2 ) es una solución de (- 2.1x = 0.42 ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelva para (x: -3.6 x = 0.072 ).
- Respuesta
-
(- 0,02 )
A continuación, veamos un ejemplo en el que multiplicar ambos lados de la ecuación por la misma cantidad produce una ecuación equivalente que es la solución a la ecuación original.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelve ( dfrac {x} {5} = – 10 ) para (x ).
Solución
Para deshacer el efecto de dividir entre (5 ), multiplicamos ambos lados de la ecuación por (5 ).
[ begin {alineado} dfrac {x} {5} & = – 10 quad color {Rojo} text {Ecuación original.} \ 5 left [ dfrac {x} {5} right] & = [- 10] 5 quad color {Red} text {Multiplicar ambos lados por} 5 text {produce una ecuación equivalente.} \ x & = – 50 quad color {Red} text {A la izquierda, multiplicando por} 5 text {“deshace” el efecto de dividir por} 5 text {y devuelve} x text {. A la derecha, multiplique:} [-10] 5 = -50 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es (- 50 ).
Verifique: Usemos la calculadora gráfica TI-84 para verificar esta solución.
- Almacene el valor (- 50 ) en la variable (X ) usando las siguientes teclas. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
- Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: ( frac {x} {5} ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
Tenga en cuenta que el resultado es (- 10 ), que muestra que (- 50 ) es una solución de (x / 5 = -10 ).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelva para (x: dfrac {x} {7} = – 2 ).
- Respuesta
-
(- 14 )
Escritura de matemáticas
Al resolver ecuaciones, observe las siguientes reglas al presentar su trabajo.
- Una ecuación por línea . Esto significa que no debe organizar su trabajo horizontalmente de la siguiente manera: [x + 3 = 7 quad x + 3-3 = 7-3 quad x = 4 nonumber ] Eso son tres ecuaciones en una línea. En cambio, trabaje verticalmente, escribiendo una ecuación por línea. En la siguiente presentación, observe cómo alineamos los signos iguales en una columna. [ begin {alineado} x + 3 & = 7 \ x + 3-3 & = 7-3 \ x & = 4 end {alineado} nonumber ]
- Sumar y restar en línea . No agregue (7 ) a ambos lados de la ecuación de la siguiente manera: [ begin {array} {r} {x-7 = 12} \ {+7 ; ; ; + 7} \ hline x = 19 end {array} nonumber ] En su lugar, agregue (7 ) “en línea” a ambos lados de la ecuación de la siguiente manera: [ begin {alineado} x-7 & = 12 x-7 + 7 & = 12 + 7 \ x & = 19 end {alineado} nonumber ]