2.1: Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad

2.1: Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad

Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad

 

Vamos a utilizar un modelo para aclarar el proceso de resolución de una ecuación. Un sobre representa la variable, ya que su contenido es desconocido, y cada contador representa uno. Estableceremos un sobre y algunos contadores en nuestro espacio de trabajo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Ambos lados del espacio de trabajo tienen el mismo número de contadores, pero algunos contadores están «ocultos» en el sobre. ¿Puedes decir cuántos contadores hay en el sobre?

 
This image illustrates a workspace divided into two sides. The content of the left side is equal to the content of the right side. On the left side, there are three circular counters and an envelope containing an unknown number of counters. On the right side are eight counters.  
Figura ( PageIndex {1} ): La ilustración muestra un modelo de una ecuación con una variable. En el lado izquierdo del espacio de trabajo hay un desconocido (sobre) y tres contadores, mientras que en el lado derecho del espacio de trabajo hay ocho contadores.
 
 

¿Qué estás pensando? ¿Qué pasos estás tomando en cuenta para saber cuántos contadores hay en el sobre?

 

Quizás esté pensando: “Necesito quitar los 3 contadores en la parte inferior izquierda para obtener el sobre por sí mismo. Los 3 contadores de la izquierda se pueden combinar con 3 de la derecha, por lo que puedo quitarlos de ambos lados. Eso deja cinco a la derecha, por lo que debe haber 5 fichas en el sobre «. Consulte la Figura ( PageIndex {2} ) para ver una ilustración de este proceso.

 
This figure contains two illustrations of workspaces, divided each into two sides. On the left side of the first workspace there are three counters circled in purple and an envelope containing an unknown number of counters. On the right side are eight counters, three of which are also circled in purple. An arrow to the right of the workspace points to the second workspace. On the left side of the second workspace, there is just an envelope. On the right side are five counters. This workspace is identical to the first workspace, except that the three counters circled in purple have been removed from both sides.  
Figura ( PageIndex {2} ): La ilustración muestra un modelo para resolver una ecuación con una variable. En ambos lados del espacio de trabajo, elimine tres contadores, dejando solo el desconocido (sobre) y cinco contadores en el lado derecho. Lo desconocido es igual a cinco contadores.
 
 

¿Qué ecuación algebraica coincidiría con esta situación? En la Figura ( PageIndex {3} ) cada lado del espacio de trabajo representa una expresión y la línea central toma el lugar del signo igual. Llamaremos a los contenidos del sobre x.

 
This image illustrates a workspace divided into two sides. The content of the left side is equal to the content of the right side. On the left side, there are three circular counters and an envelope containing an unknown number of counters. On the right side are eight counters. Underneath the image is the equation modeled by the counters: x plus 3 equals 8.  
Figura ( PageIndex {3} ): La ilustración muestra un modelo para la ecuación (x + 3 = 8 ).
 
 

Vamos a escribir algebraicamente los pasos que tomamos para descubrir cuántos contadores había en el sobre: ​​

                                                                                                                                                              
.
Primero, quitamos tres de cada lado. .
Luego nos quedamos con cinco. .
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Verificación:

 

¡Cinco en el sobre más tres más equivalen a ocho!

 

[5 + 3 = 8 ]

 

Nuestro modelo nos ha dado una idea de lo que debemos hacer para resolver un tipo de ecuación. El objetivo es aislar la variable por sí misma en un lado de la ecuación. Para resolver matemáticamente ecuaciones como estas, utilizamos la Propiedad de igualdad de resta .

 
 
PROPIEDAD DE SUBTRACCIÓN DE IGUALDAD  

Para cualquier número a , b y c ,

 

[ begin {array} {ll} { text {If}} & {a = b} \ { text {then}} y {a – c = b – c} end {array} ]

 

Cuando resta la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad.

 
 
Nota  

Hacer la actividad de Matemática manipulativa «Propiedad de igualdad de la resta» te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de cómo resolver ecuaciones usando la Propiedad de igualdad de la resta .

 
 
 
 

Veamos cómo usar esta propiedad para resolver una ecuación. Recuerde, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación. Y verificamos nuestras soluciones sustituyendo el valor en la ecuación para asegurarnos de que tengamos una declaración verdadera.

 
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {4} )  

Resuelve: (y + 37 = −13 ).

 
     
Respuesta
     
     

Para obtener y por sí mismo, deshaceremos la suma de 37 utilizando la Propiedad de igualdad de resta.

          

Dado que y = −50 hace que y + 37 = −13 una declaración verdadera, tenemos la solución a esta ecuación.

     
 
 
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {5} )  

Resuelve: (x + 19 = −27 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −46 )

     
 
 
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {6} )  

Resuelve: (x + 16 = −34 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −50 )

     
 
 
 
 
 
 
 

¿Qué sucede cuando una ecuación tiene un número restado de la variable, como en la ecuación (x − 5 = 8 )? Usamos otra propiedad de ecuaciones para resolver ecuaciones donde se resta un número de la variable. Queremos aislar la variable, por lo que para «deshacer» la resta, agregaremos el número a ambos lados. Usamos la Propiedad de igualdad de la igualdad .

 
PROPIEDAD ADICIONAL DE IGUALDAD  

Para cualquier número a , b y c ,

 

[ begin {array} {ll} { text {If}} & {a = b} \ { text {then}} y {a + c = b + c} end {array} ]

 

Cuando agrega la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad.

 
 

En el ejercicio ( PageIndex {4} ), 37 se agregó a y y, por lo tanto, restamos 37 para «deshacer» la adición. En el ejercicio ( PageIndex {7} ), necesitaremos «deshacer» la resta usando la Propiedad de igualdad de la suma .

 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {7} )  

Resuelve: (a − 28 = −37 ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {8} )  

Resuelve: (n − 61 = −75 ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = −14 )

     
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {9} )  

Resuelve: (p − 41 = −73 ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = −32 )

     
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {10} )  

Resolver: (x – frac {5} {8} = frac {3} {4} )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {11} )  

Resuelve: (p− frac {2} {3} = frac {5} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {9} {6} p = frac {3} {2} )

     
 
 
 
Ejercicio ( PageIndex {12} )  

Resuelve: (q− frac {1} {2} = frac {5} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(q = frac {4} {3} )

     
 
 
 

El siguiente ejemplo será una ecuación con decimales.

 
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