Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad

 

Vamos a utilizar un modelo para aclarar el proceso de resolución de una ecuación. Un sobre representa la variable, ya que su contenido es desconocido, y cada contador representa uno. Estableceremos un sobre y algunos contadores en nuestro espacio de trabajo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Ambos lados del espacio de trabajo tienen el mismo número de contadores, pero algunos contadores están «ocultos» en el sobre. ¿Puedes decir cuántos contadores hay en el sobre?

 

   

 

¿Qué estás pensando? ¿Qué pasos estás tomando en cuenta para saber cuántos contadores hay en el sobre?

 

Quizás esté pensando: “Necesito quitar los 3 contadores en la parte inferior izquierda para obtener el sobre por sí mismo. Los 3 contadores de la izquierda se pueden combinar con 3 de la derecha, por lo que puedo quitarlos de ambos lados. Eso deja cinco a la derecha, por lo que debe haber 5 fichas en el sobre «. Consulte la Figura ( PageIndex {2} ) para ver una ilustración de este proceso.

 

   

 

¿Qué ecuación algebraica coincidiría con esta situación? En la Figura ( PageIndex {3} ) cada lado del espacio de trabajo representa una expresión y la línea central toma el lugar del signo igual. Llamaremos a los contenidos del sobre x.

 

   

 

Vamos a escribir algebraicamente los pasos que tomamos para descubrir cuántos contadores había en el sobre: ​​

                                                                                                                                                              

Primero, quitamos tres de cada lado.
Luego nos quedamos con cinco.

 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Verificación:

 

¡Cinco en el sobre más tres más equivalen a ocho!

 

[5 + 3 = 8 ]

 

Nuestro modelo nos ha dado una idea de lo que debemos hacer para resolver un tipo de ecuación. El objetivo es aislar la variable por sí misma en un lado de la ecuación. Para resolver matemáticamente ecuaciones como estas, utilizamos la Propiedad de igualdad de resta .

 

 

PROPIEDAD DE SUBTRACCIÓN DE IGUALDAD

 

Para cualquier número a , b y c ,

 

[ begin {array} {ll} { text {If}} & {a = b} \ { text {then}} y {a – c = b – c} end {array} ]

 

Cuando resta la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad.

 

 

Nota

 

Hacer la actividad de Matemática manipulativa «Propiedad de igualdad de la resta» te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de cómo resolver ecuaciones usando la Propiedad de igualdad de la resta .

 

 

 

 

Veamos cómo usar esta propiedad para resolver una ecuación. Recuerde, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación. Y verificamos nuestras soluciones sustituyendo el valor en la ecuación para asegurarnos de que tengamos una declaración verdadera.

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (y + 37 = −13 ).

 

     

Respuesta

     

     

Para obtener y por sí mismo, deshaceremos la suma de 37 utilizando la Propiedad de igualdad de resta.

          

Dado que y = −50 hace que y + 37 = −13 una declaración verdadera, tenemos la solución a esta ecuación.

     

 

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (x + 19 = −27 ).

 

     

Respuesta

     

     

(x = −46 )

     

 

 

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (x + 16 = −34 ).

 

     

Respuesta

     

     

(x = −50 )

     

 

 

 

 

 

 

 

¿Qué sucede cuando una ecuación tiene un número restado de la variable, como en la ecuación (x − 5 = 8 )? Usamos otra propiedad de ecuaciones para resolver ecuaciones donde se resta un número de la variable. Queremos aislar la variable, por lo que para «deshacer» la resta, agregaremos el número a ambos lados. Usamos la Propiedad de igualdad de la igualdad .

 

PROPIEDAD ADICIONAL DE IGUALDAD

 

Para cualquier número a , b y c ,

 

[ begin {array} {ll} { text {If}} & {a = b} \ { text {then}} y {a + c = b + c} end {array} ]

 

Cuando agrega la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad.

 

 

En el ejercicio ( PageIndex {4} ), 37 se agregó a y y, por lo tanto, restamos 37 para «deshacer» la adición. En el ejercicio ( PageIndex {7} ), necesitaremos «deshacer» la resta usando la Propiedad de igualdad de la suma .

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: (a − 28 = −37 ).

 

     

Respuesta

     

          

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (n − 61 = −75 ).

 

     

Respuesta

     

     

(n = −14 )

     

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: (p − 41 = −73 ).

 

     

Respuesta

     

     

(p = −32 )

     

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resolver: (x – frac {5} {8} = frac {3} {4} )

 

     

Respuesta

     

          

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve: (p− frac {2} {3} = frac {5} {6} ).

 

     

Respuesta

     

     

(p = frac {9} {6} p = frac {3} {2} )

     

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve: (q− frac {1} {2} = frac {5} {6} ).

 

     

Respuesta

     

     

(q = frac {4} {3} )

     

 

 

 

El siguiente ejemplo será una ecuación con decimales.