Saltar al contenido
las matematicas

2.1: Usa el lenguaje de álgebra (Parte 1)

Usar variables y símbolos algebraicos

 

Greg y Alex tienen el mismo cumpleaños, pero nacieron en años diferentes. Este año Greg tiene (20 ) años y Alex tiene (23 ), por lo que Alex tiene (3 ) años más que Greg. Cuando Greg era (12 ), Alex era (15 ). Cuando Greg es (35 ), Alex será (38 ). No importa la edad de Greg, la edad de Alex siempre será (3 ) años más, ¿verdad?

 

En el lenguaje del álgebra, decimos que la edad de Greg y la edad de Alex son variables y las tres son una constante. Las edades cambian o varían, por lo que la edad es una variable. Los (3 ) años entre ellos siempre se mantienen igual, por lo que la diferencia de edad es la constante.

 

En álgebra, las letras del alfabeto se usan para representar variables. Supongamos que llamamos la edad de Greg (g ). Entonces podríamos usar (g + 3 ) para representar la edad de Alex. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Edad de Greg La edad de Alex
12 15
20 23
35 38
g g + 3
 

Las letras se usan para representar variables. Las letras que se usan con frecuencia para las variables son (x, y, a, b, ) y (c ).

 
 

Definición: Variables y constantes

 

Una variable es una letra que representa un número o una cantidad cuyo valor puede cambiar.

 

Una constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.

 
 

Para escribir algebraicamente, necesitamos algunos símbolos, así como números y variables. Hay varios tipos de símbolos que usaremos. En Números enteros , presentamos los símbolos para las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Los resumiremos aquí, junto con las palabras que usamos para las operaciones y el resultado.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} )
Operación Notación Di: El resultado es …
Además a + b a más b la suma de ayb
Resta a – b a menos b la diferencia de ayb
Multiplicación a • b, (a) (b), (a) b, a (b) a veces b el producto de ayb
División a ÷ b, a / b, ( dfrac {a} {b} ), (b overline {) a} ) a dividido por b el cociente de ayb
 

En álgebra, el símbolo de la cruz, (× ), no se usa para mostrar la multiplicación porque ese símbolo puede causar confusión. ¿ (3xy ) significa (3 × y ) (tres veces (y )) o (3 • x • y ) (tres veces (x ) veces (y ))? Para que quede claro, use (• ) o paréntesis para la multiplicación.

 

Realizamos estas operaciones en dos números. Cuando traduzca de forma simbólica a palabras, o de palabras a forma simbólica, preste atención a las palabras de o y para ayudarlo a encontrar los números.

 

La suma de (5 ) y (3 ) significa sumar (5 ) más (3 ), que escribimos como (5 + 3 ).

 

La diferencia de (9 ) y (2 ) significa restar (9 ) menos (2 ), que escribimos como (9 – 2 ).

 

El producto de (4 ) y (8 ) significa multiplicar (4 ) veces (8 ), que podemos escribir como (4 • 8 ).

 

El cociente de (20 ) y (5 ) significa dividir (20 ) por (5 ), que podemos escribir como (20 ÷ 5 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): traducir a palabras

 

Traducir del álgebra a las palabras:

 
         
  1. (12 + 14 )
  2.      
  3. ((30) (5) )
  4.      
  5. (64 ÷ 8 )
  6.      
  7. (x – y )
  8.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                    
12 + 14
12 más 14
la suma de doce y catorce
 
         
  1.  
                                                                                                                    
(30) (5)
30 veces 5
el producto de treinta y cinco
 
         
  1.  
                                                                                                                    
64 ÷ 8
64 dividido por 8
el cociente de sesenta y cuatro y ocho
 
         
  1.  
                                                                                                                    
x – y
x menos y
la diferencia de x e y
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Traducir del álgebra a las palabras.

 
         
  1. (18 + 11 )
  2.      
  3. ((27) (9) )
  4.      
  5. (84 ÷ 7 )
  6.      
  7. (p – q )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(18 ) más (11 ); la suma de dieciocho y once

     
     
Respuesta b
     
     

(27 ) veces (9 ); el producto de veintisiete y nueve

     
     
Respuesta c
     
     

(84 ) dividido por (7 ); el cociente de ochenta y cuatro y siete

     
     
Respuesta d
     
     

(p ) menos (q ); la diferencia de (p ) y (q )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Traducir del álgebra a las palabras.

 
         
  1. (47 – 19 )
  2.      
  3. (72 ÷ 9 )
  4.      
  5. (m + n )
  6.      
  7. ((13) (7) )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(47 ) menos (19 ); la diferencia de cuarenta y siete y diecinueve

     
     
Respuesta b
     
     

(72 ) dividido por (9 ); el cociente de setenta y dos y nueve

     
     
Respuesta c
     
     

(m ) más (n ); la suma de (m ) y (n )

     
     
Respuesta d
     
     

(13 ) veces (7 ); el producto de trece y siete

     
 
 
 
 

Cuando dos cantidades tienen el mismo valor, decimos que son iguales y las conectamos con un signo igual .

 
 

Definición: Símbolo de igualdad

 

(a = b ) se lee (a ) es igual a (b )

 

El símbolo (= ) se llama signo igual.

 
 

Se utiliza una desigualdad en álgebra para comparar dos cantidades que pueden tener valores diferentes. La recta numérica puede ayudarlo a comprender las desigualdades. Recuerde que en la recta numérica los números se hacen más grandes a medida que van de izquierda a derecha. Entonces, si sabemos que (b ) es mayor que (a ), significa que (b ) está a la derecha de (a ) en la recta numérica. Usamos los símbolos ” (<)" y " (> )” para las desigualdades.

 
 

Definición: Desigualdad

 

(a  

(a ) está a la izquierda de (b ) en la línea numérica

 

The figure shows a horizontal number line that begins with the letter a on the left then the letter b to its right.

 

(a> b ) se lee (a ) es mayor que (b )

 

(a ) está a la derecha de (b ) en la línea numérica

 

The figure shows a horizontal number line that begins with the letter b on the left then the letter a to its right.

 
 

Las expresiones (a b ) pueden leerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, aunque en inglés generalmente leemos de izquierda a derecha. En general, (a a ). Por ejemplo, (7 <11 ) es equivalente a (11> 7 ). (a> b ) es equivalente a (b 4 ) es equivalente a (4 <17 ).

 

Cuando escribimos un símbolo de desigualdad con una línea debajo de él, como (a ≤ b ), significa (a  

Resumimos los símbolos de igualdad y desigualdad en la Tabla ( PageIndex {3} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {3} )
Notación algebraica Di
a = b a es igual a b
a ≠ b a no es igual a b
a               a es menor que b
a> b a es mayor que b
a ≤ b a es menor o igual que b
a ≥ b a es mayor o igual que b
 
 

Definición: Símbolos (<) y (> )

 

Los símbolos (<) y (> ) tienen cada uno un lado más pequeño y un lado más grande.

 

lado más pequeño (<) lado más grande

 

lado más grande (> ) lado más pequeño

 

El lado más pequeño del símbolo se enfrenta al número más pequeño y el más grande se enfrenta al número más grande.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): traducir a palabras

 

Traducir del álgebra a las palabras:

 
         
  1. (20 ≤ 35 )
  2.      
  3. (11 ≠ 15 – 3 )
  4.      
  5. (9> 10 ÷ 2 )
  6.      
  7. (x + 2 <10 )
  8.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                  
20 ≤ 35
20 es menor o igual que 35
 
         
  1.  
                                                                                  
11 ≠ 15 – 3
11 no es igual a 15 menos 3
 
         
  1.  
                                                                                  
9> 10 ÷ 2
9 es mayor que 10 dividido por 2
 
         
  1.  
                                                                                  
x + 2 <10
x más 2 es menor que 10
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Traducir del álgebra a las palabras.

 
         
  1. (14 ≤ 27 )
  2.      
  3. (19 – 2 ≠ 8 )
  4.      
  5. (12> 4 ÷ 2 )
  6.      
  7. (x – 7 <1 )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

catorce es menor o igual que veintisiete

     
     
Respuesta b
     
     

diecinueve menos dos no es igual a ocho

     
     
Respuesta c
     
     

doce es mayor que cuatro dividido por dos

     
     
Respuesta d
     
     

(x ) menos siete es menos de uno

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Traducir del álgebra a las palabras.

 
         
  1. (19 ≥ 15 )
  2.      
  3. (7 = 12 – 5 )
  4.      
  5. (15 ÷ 3 <8 )
  6.      
  7. (y – 3> 6 )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

diecinueve es mayor o igual que quince

     
     
Respuesta b
     
     

siete es igual a doce menos cinco

     
     
Respuesta c
     
     

quince dividido por tres es menos que ocho

     
     
Respuesta d
     
     

(y ) menos tres es mayor que seis

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): traducir

 

La información en la Figura ( PageIndex {1} ) compara la economía de combustible en millas por galón (mpg) de varios automóviles. Escriba el símbolo apropiado =, en cada expresión para comparar la economía de combustible de los automóviles.

 

This table has two rows and six columns. The first column is a header column and it labels each row The first row is labeled “Car” and the second “Fuel economy (mpg)”. To the right of the ‘Car’ row are the labels: “Prius”, “Mini Cooper”, “Toyota Corolla”, “Versa”, “Honda Fit”. Each of these columns contains an image of the labeled car model. To the right of the “Fuel economy (mpg)” row are the algebraic equations: the letter p, the equals symbol, the number forty-eight; the letter m, the equals symbol, the number twenty-seven; the letter c, the equals symbol, the number twenty-eight; the letter v, the equals symbol, the number twenty-six; and the letter f, the equals symbol, the number twenty-seven.

 

Figura ( PageIndex {1} ): (crédito: modificación del trabajo de Bernard Goldbach, Wikimedia Commons)

 
         
  1. MPG de Prius _____ MPG de Mini Cooper
  2.      
  3. MPG de Versa _____ MPG de ajuste
  4.      
  5. MPG de Mini Cooper _____ MPG de ajuste
  6.      
  7. MPG de Corolla _____ MPG de Versa
  8.      
  9. MPG de Corolla_____ MPG de Prius
  10.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
MPG de Prius____MPG de Mini Cooper
Encuentra los valores en la tabla. 48____27
Comparar. 48> 27
MPG de Prius> MPG de Mini Cooper
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                    
MPG de Versa____MPG de ajuste
Encuentra los valores en la tabla. 26____27
Comparar. 26 <27
MPG de Versa          
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
MPG de Mini Cooper____MPG de ajuste
Encuentra los valores en la tabla. 27____27
Comparar. 27 = 27
MPG de Mini Cooper = MPG de ajuste
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
MPG de Corolla____MPG de Versa
Encuentra los valores en la tabla. 28____26
Comparar. 28> 26
MPG de Corolla> MPG de Versa
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                    
MPG de Corolla____MPG de Prius
Encuentra los valores en la tabla. 28____48
Comparar. 28 <48
MPG de Corolla          
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Use la Figura ( PageIndex {1} ) para completar el símbolo apropiado, (= ), (<) o (> ).

 
         
  1. MPG de Prius_____MPG de Versa
  2.      
  3. MPG de Mini Cooper_____ MPG de Corolla
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(> )

     
     
Respuesta b
     
     

(<)

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Use la Figura ( PageIndex {1} ) para completar el símbolo apropiado, (= ), (<) o (> ).

 
         
  1. MPG de ajuste_____ MPG de Prius
  2.      
  3. MPG de Corolla _____ MPG de ajuste
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(<)

     
     
Respuesta b
     
     

(<)

     
 
 
 
 

Los símbolos de agrupación en álgebra son muy parecidos a las comas, los dos puntos y otros signos de puntuación en el lenguaje escrito. Indican qué expresiones deben mantenerse juntas y separadas de otras expresiones. La tabla ( PageIndex {4} ) enumera tres de los símbolos de agrupación más utilizados en álgebra.

                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {4} )
Símbolos de agrupación comunes
paréntesis ()
soportes []
llaves {}
 

Estos son algunos ejemplos de expresiones que incluyen símbolos de agrupación. Simplificaremos expresiones como estas más adelante en esta sección.

 

[8 (14 – 8) qquad 21 – 3 [2 + 4 (9 – 8)] qquad 24 div {13 – 2 [1 (6 – 5) + 4]} nonumber ]

 

Identificar expresiones y ecuaciones

 

¿Cuál es la diferencia en inglés entre una frase y una oración? Una frase expresa un solo pensamiento que está incompleto por sí mismo, pero una oración hace una declaración completa. “Correr muy rápido” es una frase, pero “El jugador de fútbol corría muy rápido” es una oración. Una oración tiene un sujeto y un verbo.

 

En álgebra, tenemos expresiones y ecuaciones . Una expresión es como una frase. Estos son algunos ejemplos de expresiones y cómo se relacionan con frases de palabras:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {5} )
Expresión Palabras Frase
3 + 5 3 más 5 la suma de tres y cinco
n – 1 n menos uno la diferencia de ny uno
6 • 7 6 veces 7 el producto de seis y siete
( dfrac {x} {y} ) x dividido por y el cociente de x e y
 

Observe que las frases no forman una oración completa porque la frase no tiene un verbo. Una ecuación son dos expresiones vinculadas con un signo igual. Cuando lees las palabras que los símbolos representan en una ecuación, tienes una oración completa en inglés. El signo igual da el verbo. Estos son algunos ejemplos de ecuaciones:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {6} )
Ecuación Sentencia
3 + 5 = 8 La suma de tres y cinco es igual a ocho.
n – 1 = 14 n menos uno es igual a catorce.
6 • 7 = 42 El producto de seis y siete es igual a cuarenta y dos.
x = 53 x es igual a cincuenta y tres.
y + 9 = 2y – 3 y más nueve es igual a dos y menos tres.
 
 

Definición: Expresiones y ecuaciones

 

Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables y símbolos de operación.

 

Una ecuación se compone de dos expresiones conectadas por un signo igual.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): expresión o ecuación

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (16 – 6 = 10 )
  2.      
  3. (4 • 2 + 1 )
  4.      
  5. (x ÷ 25 )
  6.      
  7. (y + 8 = 40 )
  8.  
 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
(a) 16 – 6 = 10 Esta es una ecuación: dos expresiones están conectadas con un signo igual.
(b) 4 • 2 + 1 Esta es una expresión, sin signo igual.
(c) x ÷ 25 Esta es una expresión, sin signo igual.
(d) y + 8 = 40 Esta es una ecuación: dos expresiones están conectadas con un signo igual.
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (23 + 6 = 29 )
  2.      
  3. (7 • 3 – 7 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

ecuación

     
     
Respuesta b
     
     

expresión

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (y ÷ 14 )
  2.      
  3. (x – 6 = 21 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

expresión

     
     
Respuesta b
     
     

ecuación

     
 
 
 
 

Simplificar expresiones con exponentes

 

Simplificar una expresión numérica significa hacer todas las matemáticas posibles. Por ejemplo, para simplificar (4 • 2 + 1 ), primero debemos multiplicar (4 • 2 ) para obtener (8 ) y luego agregar (1 ) para obtener (9 ). Un buen hábito para desarrollar es trabajar en la página, escribiendo cada paso del proceso debajo del paso anterior. El ejemplo que se acaba de describir se vería así:

 

$$ begin {split} 4 cdot 2 + & 1 \ 8 + & 1 \ & 9 end {split} $$

 

Supongamos que tenemos la expresión (2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 ). Podríamos escribir esto de manera más compacta usando notación exponencial. La notación exponencial se usa en álgebra para representar una cantidad multiplicada por sí misma varias veces. Escribimos (2 • 2 • 2 ) como (2 ^ 3 ) y (2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 ) como (2 ^ 9 ). En expresiones como (2 ^ 3 ), el (2 ) se llama la base y el (3 ) se llama el exponente . El exponente nos dice cuántos factores de la base tenemos que multiplicar.

 

The image shows the number two with the number three, in superscript, to the right of the two. The number two is labeled as “base” and the number three is labeled as “exponent”.

 

significa multiplicar tres factores de (2 )

 

Decimos que (2 ^ 3 ) está en notación exponencial y (2 • 2 • 2 ) está en notación expandida.

 
 

Definición: Notación exponencial

 

Para cualquier expresión (a ^ n ), (a ) es un factor multiplicado por sí mismo (n ) veces si (n ) es un entero positivo.

 

At the top of the image is the letter a with the letter n, in superscript, to the right of the a. The letter a is labeled as “base” and the letter n is labeled as “exponent”. Below this is the letter a with the letter n, in superscript, to the right of the a set equal to n factors of a.

 

La expresión (a ^ n ) se lee (a ) a la potencia (n ^ {th} ).

 
 

Para los poderes de (n = 2 ) y (n = 3 ), tenemos nombres especiales. (a ^ 2 ) se lee como ” (a ) al cuadrado” (a ^ 3 ) se lee como ” (a ) al cubo” La tabla ( PageIndex {7} ) enumera algunos ejemplos de expresiones escritas en notación exponencial.

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {7} )
Notación exponencial En palabras
(7 ^ 2 ) 7 a la segunda potencia, o 7 al cuadrado
(5 ^ 3 ) 5 a la tercera potencia, o 5 en cubos
(9 ^ 4 ) 9 a la cuarta potencia
(12 ^ 5 ) 12 a la quinta potencia
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): forma exponencial

 

Escribe cada expresión en forma exponencial:

 
         
  1. (16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16 )
  2.      
  3. (9 • 9 • 9 • 9 • 9 )
  4.      
  5. (x • x • x • x )
  6.      
  7. (a • a • a • a • a • a • a • a )
  8.  
 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
(a) La base 16 es un factor 7 veces. (16 ^ 7 )
(b) La base 9 es un factor 5 veces. (9 ^ 5 )
(c) La base x es un factor 4 veces. (x ^ 4 )
(d) La base a es un factor 8 veces. (a ^ 8 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escribe cada expresión en forma exponencial: (41 • 41 • 41 • 41 • 41 )

 
     
Respuesta
     
     

(41 ^ 5 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Escribe cada expresión en forma exponencial: (7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 )

 
     
Respuesta
     
     

(7 ^ 9 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): forma expandida

 

Escribe cada expresión exponencial en forma expandida:

 
         
  1. (8 ^ 6 )
  2.      
  3. (x ^ 5 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. La base es (8 ) y el exponente es (6 ), entonces (8 ^ 6 ) significa (8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 )
  2.      
  3. La base es (x ) y el exponente es (5 ), entonces (x ^ 5 ) significa (x • x • x • x • x )
  4.  
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Escribe cada expresión exponencial en forma expandida:

 
         
  1. (4 ^ 8 )
  2.      
  3. (a ^ 7 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 )

     
     
Respuesta b
     
     

(a cdot a cdot a cdot a cdot a cdot a cdot a )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Escribe cada expresión exponencial en forma expandida:

 
         
  1. (8 ^ 8 )
  2.      
  3. (b ^ 6 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(8 cdot 8 cdot 8 cdot 8 cdot 8 cdot 8 cdot 8 cdot 8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(b cdot b cdot b cdot b cdot b cdot b )

     
 
 
 
 

Para simplificar una expresión exponencial sin usar una calculadora, la escribimos en forma expandida y luego multiplicamos los factores.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

 

Simplifica: (3 ^ 4 ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Expande la expresión. 3 4 = 3 • 3 • 3 • 3
Multiplica de izquierda a derecha. 9 • 3 • 3 = 27 • 3
Multiplica. 81
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (5 ^ 3 )
  2.      
  3. (1 ^ 7 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(125 )

     
     
Respuesta b
     
     

(1 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (7 ^ 2 )
  2.      
  3. (0 ^ 5 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(49 )

     
     
Respuesta b
     
     

(0 )

     
 
 
 
 
]]>

series , secuencias , trigonometria , factoriales , ecuaciones