Una de las razones por las que observamos los múltiplos y los primos es usar estas técnicas para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.
Listado del método de múltiplos
Un múltiplo común de dos números es un número que es múltiplo de ambos números. Supongamos que queremos encontrar múltiplos comunes de 10 y 25. Podemos enumerar los primeros múltiplos de cada número. Luego buscamos múltiplos que son comunes a ambas listas: estos son los múltiplos comunes.
[ begin {split} 10 & colon ; 10, 20, 30, 40, textbf {50}, 60, 70, 80, 90, textbf {100}, 110, ldots \ 25 & colon ; 25, textbf {50}, 75, textbf {100}, 125, ldots end {split} nonumber ]
Vemos que (50 ) y (100 ) aparecen en ambas listas. Son múltiplos comunes de (10 ) y (25 ). Encontraríamos múltiplos más comunes si continuamos la lista de múltiplos para cada uno.
El número más pequeño que es múltiplo de dos números se llama mínimo común múltiplo (LCM). Entonces, el mínimo LCM de (10 ) y (25 ) es (50 ).
CÓMO: ENCONTRAR EL MÚLTIPLE MÍNIMO COMÚN (LCM) DE DOS NÚMEROS LISTANDO MÚLTIPLES
Paso 1. Enumera los primeros múltiplos de cada número.
Paso 2. Busca múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
Paso 3. Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.
Paso 4. Este número es el MCM.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): mcm
Encuentre el MCM de (15 ) y (20 ) enumerando múltiplos.
Solución
Enumere los primeros múltiplos de (15 ) y de (20 ). Identifica el primer múltiplo común.
[ begin {split} 15 & colon ; 15, 30, 45, textbf {60}, 75, 90, 105, 120 \ 20 & colon ; 20, 40, textbf {60}, 80, 100, 120, 140, 160 end {split} nonumber ]
El número más pequeño que aparece en ambas listas es (60 ), entonces (60 ) es el mínimo común múltiplo de (15 ) y (20 ). Observe que (120 ) también está en ambas listas. Es un múltiplo común, pero no es el mínimo común múltiplo.
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los números dados: (9 ) y (12 )
- Respuesta
-
(36 )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los números dados: (18 ) y (24 )
- Respuesta
-
(72 )
Método de los factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo de dos números es usar sus factores primos. Utilizaremos este método para encontrar el MCM de (12 ) y (18 ).
Comenzamos por encontrar la factorización prima de cada número.
[12 = 2 cdot 2 cdot 3 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 nonumber ]
Luego, escribimos cada número como un producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
[ begin {split} 12 & = 2 cdot 2 cdot 3 \ 18 & = 2 cdot quad ; 3 cdot 3 end {split} nonumber ]
Ahora bajamos los números primos en cada columna. El LCM es el producto de estos factores.
Observe que los factores primos de (12 ) y los factores primos de (18 ) están incluidos en el MCM. Al combinar los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. Esto asegura que (36 ) es el mínimo común múltiplo.
CÓMO: ENCONTRAR EL LCM UTILIZANDO EL MÉTODO DE FACTORES PRINCIPALES
Paso 1. Halla la factorización prima de cada número.
Paso 2. Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible.
Paso 3. Baja los números primos en cada columna.
Paso 4. Multiplica los factores para obtener el MCM.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): mcm
Encuentre el MCM de (15 ) y (18 ) usando el método de factores primos.
Solución
Escribe cada número como un producto de primos. | (15 = 3 cdot 5 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 ) |
Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible. | ( begin {split} 15 & = quad ; 3 cdot qquad 5 \ 18 & = 2 cdot 3 cdot 3 end {split} ) |
Baja los números primos en cada columna. | ![]() |
Multiplica los factores para obtener el MCM. |
MCM = 2 • 3 • 3 • 5 El MCM de 15 y 18 es 90. |
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (15 ) y (20 )
- Respuesta
-
(60 )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (15 ) y (35 )
- Respuesta
-
(105 )
Ejemplo ( PageIndex {7} ): mcm
Encuentre el MCM de (50 ) y (100 ) usando el método de factores primos.
Solución
Escribe la factorización prima de cada número. | (50 = 2 cdot 5 cdot 5 qquad 100 = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 ) |
Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible. | ( begin {split} 50 & = quad ; 2 cdot 5 cdot 5 \ 100 & = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 end {split} ) |
Baja los números primos en cada columna. | ![]() |
Multiplica los factores para obtener el MCM. |
MCM = 2 • 2 • 5 • 5 El MCM de 50 y 100 es 100. |
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (55, 88 )
- Respuesta
-
(440 )
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (60, 72 )
- Respuesta
-
(360 )
Acceda a recursos adicionales en línea
Conceptos clave
- Encuentra la factorización prima de un número compuesto usando el método del árbol.
- Encuentra cualquier par de factores del número dado y usa estos números para crear dos ramas.
- Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la prima.
- Si un factor no es primo, escríbelo como el producto de un par de factores y continúa el proceso.
- Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en un círculo.
- Encuentre la factorización prima de un número compuesto usando el método de escalera.
- Divide el número por el primo más pequeño.
- Continúa dividiendo por ese primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.
- Divide entre el próximo primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.
- Continúa hasta que el cociente sea primo.
- Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en los lados y la parte superior de la escalera.
- Encuentra el MCM enumerando múltiplos.
- Enumera los primeros múltiplos de cada número.
- Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
- Busque el número más pequeño que sea común en ambas listas.
- Este número es el MCM.
- Encuentre el MCM usando el método de factores primos.
- Halla la factorización prima de cada número.
- Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible.
- Baja los números primos en cada columna.
- Multiplica los factores para obtener el MCM.
Glosario
- mínimo común múltiplo
-
El número más pequeño que es múltiplo de dos números se llama el mínimo común múltiplo (MCM).
- factorización prima
-
La factorización prima de un número es el producto de números primos que es igual al número.
La práctica hace la perfección
Hallar la factorización prima de un número compuesto
En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando el método del árbol de factores.
- 86
- 78
- 132
- 455
- 693
- 420
- 115
- 225
- 2475
- 1560
En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando el método de escalera.
- 56
- 72
- 168
- 252
- 391
- 400
- 432
- 627
- 2160
- 2520
En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando cualquier método.
- 150
- 180
- 525
- 444
- 36
- 50
- 350
- 144
Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números
En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) enumerando los múltiplos.
- 8, 12
- 4, 3
- 6, 15
- 12, 16
- 30, 40
- 20, 30
- 60, 75
- 44, 55
En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) utilizando el método de factores primos.
- 8, 12
- 12, 16
- 24, 30
- 28, 40
- 70, 84
- 84, 90
En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) usando cualquier método.
- 6, 21
- 9, 15
- 24, 30
- 32, 40
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?