las matematicas

2.10: Factorización prima y el mínimo común múltiplo (Parte 2)

2.10: Factorización prima y el mínimo común múltiplo (Parte 2)

Una de las razones por las que observamos los múltiplos y los primos es usar estas técnicas para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.

Listado del método de múltiplos

 

Un múltiplo común de dos números es un número que es múltiplo de ambos números. Supongamos que queremos encontrar múltiplos comunes de 10 y 25. Podemos enumerar los primeros múltiplos de cada número. Luego buscamos múltiplos que son comunes a ambas listas: estos son los múltiplos comunes.

 

[ begin {split} 10 & colon ; 10, 20, 30, 40, textbf {50}, 60, 70, 80, 90, textbf {100}, 110, ldots \ 25 & colon ; 25, textbf {50}, 75, textbf {100}, 125, ldots end {split} nonumber ]

 

Vemos que (50 ) y (100 ) aparecen en ambas listas. Son múltiplos comunes de (10 ​​) y (25 ). Encontraríamos múltiplos más comunes si continuamos la lista de múltiplos para cada uno.

 

El número más pequeño que es múltiplo de dos números se llama mínimo común múltiplo (LCM). Entonces, el mínimo LCM de (10 ​​) y (25 ) es (50 ).

 
 

CÓMO: ENCONTRAR EL MÚLTIPLE MÍNIMO COMÚN (LCM) DE DOS NÚMEROS LISTANDO MÚLTIPLES

 

Paso 1. Enumera los primeros múltiplos de cada número.

 

Paso 2. Busca múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.

 

Paso 3. Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.

 

Paso 4. Este número es el MCM.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): mcm

 

Encuentre el MCM de (15 ) y (20 ) enumerando múltiplos.

 

Solución

 

Enumere los primeros múltiplos de (15 ) y de (20 ). Identifica el primer múltiplo común.

 

[ begin {split} 15 & colon ; 15, 30, 45, textbf {60}, 75, 90, 105, 120 \ 20 & colon ; 20, 40, textbf {60}, 80, 100, 120, 140, 160 end {split} nonumber ]

 

El número más pequeño que aparece en ambas listas es (60 ), entonces (60 ) es el mínimo común múltiplo de (15 ) y (20 ). Observe que (120 ) también está en ambas listas. Es un múltiplo común, pero no es el mínimo común múltiplo.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los números dados: (9 ) y (12 )

 
     
Respuesta
     
     

(36 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los números dados: (18 ) y (24 )

 
     
Respuesta
     
     

(72 )

     
 
 
 
 

Método de los factores primos

 

Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo de dos números es usar sus factores primos. Utilizaremos este método para encontrar el MCM de (12 ) y (18 ).

 

Comenzamos por encontrar la factorización prima de cada número.

 

[12 = 2 cdot 2 cdot 3 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 nonumber ]

 

Luego, escribimos cada número como un producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.

 

[ begin {split} 12 & = 2 cdot 2 cdot 3 \ 18 & = 2 cdot quad ; 3 cdot 3 end {split} nonumber ]

 

Ahora bajamos los números primos en cada columna. El LCM es el producto de estos factores.

 

The image shows the prime factorization of 12 written as the equation 12 equals 2 times 2 times 3. Below this equation is another showing the prime factorization of 18 written as the equation 18 equals 2 times 3 times 3. The two equations line up vertically at the equal symbol. The first 2 in the prime factorization of 12 aligns with the 2 in the prime factorization of 18. Under the second 2 in the prime factorization of 12 is a gap in the prime factorization of 18. Under the 3 in the prime factorization of 12 is the first 3 in the prime factorization of 18. The second 3 in the prime factorization has no factors above it from the prime factorization of 12. A horizontal line is drawn under the prime factorization of 18. Below this line is the equation LCM equal to 2 times 2 times 3 times 3. Arrows are drawn down vertically from the prime factorization of 12 through the prime factorization of 18 ending at the LCM equation. The first arrow starts at the first 2 in the prime factorization of 12 and continues down through the 2 in the prime factorization of 18. Ending with the first 2 in the LCM. The second arrow starts at the next 2 in the prime factorization of 12 and continues down through the gap in the prime factorization of 18. Ending with the second 2 in the LCM. The third arrow starts at the 3 in the prime factorization of 12 and continues down through the first 3 in the prime factorization of 18. Ending with the first 3 in the LCM. The last arrow starts at the second 3 in the prime factorization of 18 and points down to the second 3 in the LCM.

 

Observe que los factores primos de (12 ) y los factores primos de (18 ) están incluidos en el MCM. Al combinar los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. Esto asegura que (36 ) es el mínimo común múltiplo.

 
 

CÓMO: ENCONTRAR EL LCM UTILIZANDO EL MÉTODO DE FACTORES PRINCIPALES

 

Paso 1. Halla la factorización prima de cada número.

 

Paso 2. Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible.

 

Paso 3. Baja los números primos en cada columna.

 

Paso 4. Multiplica los factores para obtener el MCM.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): mcm

 

Encuentre el MCM de (15 ) y (18 ) usando el método de factores primos.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Escribe cada número como un producto de primos. (15 = 3 cdot 5 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 )
Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible. ( begin {split} 15 & = quad ; 3 cdot qquad 5 \ 18 & = 2 cdot 3 cdot 3 end {split} )
Baja los números primos en cada columna.
Multiplica los factores para obtener el MCM.              

MCM = 2 • 3 • 3 • 5

             

El MCM de 15 y 18 es 90.

             
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (15 ) y (20 )

 
     
Respuesta
     
     

(60 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (15 ) y (35 )

 
     
Respuesta
     
     

(105 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): mcm

 

Encuentre el MCM de (50 ) y (100 ) usando el método de factores primos.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Escribe la factorización prima de cada número. (50 = 2 cdot 5 cdot 5 qquad 100 = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 )
Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible. ( begin {split} 50 & = quad ; 2 cdot 5 cdot 5 \ 100 & = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 end {split} )
Baja los números primos en cada columna.
Multiplica los factores para obtener el MCM.              

MCM = 2 • 2 • 5 • 5

             

El MCM de 50 y 100 es 100.

             
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (55, 88 )

 
     
Respuesta
     
     

(440 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: (60, 72 )

 
     
Respuesta
     
     

(360 )

     
 
 
 

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Conceptos clave

 
         
  • Encuentra la factorización prima de un número compuesto usando el método del árbol.      
               
    • Encuentra cualquier par de factores del número dado y usa estos números para crear dos ramas.
      •          
    • Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la prima.
      •          
    • Si un factor no es primo, escríbelo como el producto de un par de factores y continúa el proceso.
      •          
    • Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en un círculo.
      •      
         
    •      
  • Encuentre la factorización prima de un número compuesto usando el método de escalera.      
               
    • Divide el número por el primo más pequeño.
      •          
    • Continúa dividiendo por ese primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.
      •          
    • Divide entre el próximo primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.
      •          
    • Continúa hasta que el cociente sea primo.
      •          
    • Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en los lados y la parte superior de la escalera.
      •      
         
    •      
  • Encuentra el MCM enumerando múltiplos.      
               
    • Enumera los primeros múltiplos de cada número.
      •          
    • Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
      •          
    • Busque el número más pequeño que sea común en ambas listas.
      •          
    • Este número es el MCM.
      •      
         
    •      
  • Encuentre el MCM usando el método de factores primos.      
               
    • Halla la factorización prima de cada número.
      •          
    • Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir números primos verticalmente cuando sea posible.
      •          
    • Baja los números primos en cada columna.
      •          
    • Multiplica los factores para obtener el MCM.
      •      
         
    •  
 

Glosario

 
     
mínimo común múltiplo
     
     

El número más pequeño que es múltiplo de dos números se llama el mínimo común múltiplo (MCM).

     
     
factorización prima
     
     

La factorización prima de un número es el producto de números primos que es igual al número.

     
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Hallar la factorización prima de un número compuesto

 

En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando el método del árbol de factores.

 
         
  1. 86
    2.      
  2. 78
    3.      
  3. 132
    4.      
  4. 455
    5.      
  5. 693
    6.      
  6. 420
    7.      
  7. 115
    8.      
  8. 225
    9.      
  9. 2475
    10.      
  10. 1560
    11.  
 

En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando el método de escalera.

 
         
  1. 56
    2.      
  2. 72
    3.      
  3. 168
    4.      
  4. 252
    5.      
  5. 391
    6.      
  6. 400
    7.      
  7. 432
    8.      
  8. 627
    9.      
  9. 2160
    10.      
  10. 2520
    11.  
 

En los siguientes ejercicios, encuentre la factorización prima de cada número usando cualquier método.

 
         
  1. 150
    2.      
  2. 180
    3.      
  3. 525
    4.      
  4. 444
    5.      
  5. 36
    6.      
  6. 50
    7.      
  7. 350
    8.      
  8. 144
    9.  
 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números

 

En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) enumerando los múltiplos.

 
         
  1. 8, 12
    2.      
  2. 4, 3
    3.      
  3. 6, 15
    4.      
  4. 12, 16
    5.      
  5. 30, 40
    6.      
  6. 20, 30
    7.      
  7. 60, 75
    8.      
  8. 44, 55
    9.  
 

En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) utilizando el método de factores primos.

 
         
  1. 8, 12
    2.      
  2. 12, 16
    3.      
  3. 24, 30
    4.      
  4. 28, 40
    5.      
  5. 70, 84
    6.      
  6. 84, 90
    7.  
 

En los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) usando cualquier método.

 
         
  1. 6, 21
    2.      
  2. 9, 15
    3.      
  3. 24, 30
    4.      
  4. 32, 40
    5.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

 
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antonio1095

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