2.2: Funciones lineales y sus gráficos

Una revisión de las líneas gráficas

 

Recuerde que el conjunto de todas las soluciones a una ecuación lineal puede representarse en un plano de coordenadas rectangular usando una línea recta a través de al menos dos puntos; Esta línea se llama su gráfico. Por ejemplo, para graficar la ecuación lineal (8x + 4y = 12 ) primero resolveríamos (y ).

 

( begin {alineado} 8 x + 4 y & = 12 quad quad quad quad color {Cerulean} {Restar : 8x : en : ambos : lados.} \ 4 y & = – 8 x + 12 quad color {Cerulean} {Divide : ambos : lados : por : 4.} \ y & = frac {- 8 x + 12} {4} quad color {Cerulean} {Simplify.} \ y & = frac {- 8 x} {4} + frac {12} {4} \ y & = – 2 x + 3 end {alineado} )

 

Escrito de esta forma, podemos ver que (y ) depende de (x ); en otras palabras, (x ) es la variable independiente ¹⁸ y (y ) es la dependencia variable ¹⁹ . Elija al menos dos valores (x ) y encuentre los valores (y ) correspondientes. Es una buena práctica elegir cero, algunos números negativos y algunos números positivos. Aquí elegiremos cinco valores (x ), determinaremos los valores (y ) correspondientes y luego formaremos un conjunto representativo de soluciones de pares ordenados.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

(x )	(y )	(y = -2x + 3 )	Soluciones
(- 2 )	(7 )	(y = −2 ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} + 3 = 4 + 3 = 7 )	((- 2, 7) )
(- 1 )	(5 )	(y = −2 ( color {Cerulean} {- 1} color {Black} {)} + 3 = 2 + 3 = 5 )	((- 1, 5) )
(0 )	(3 )	(y = −2 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + 3 = 0 + 3 = 3 )	((0, 3) )
(4 )	(- 5 )	(y = −2 ( color {Cerulean} {4} color {Black} {)} + 3 = −8 + 3 = −5 )	((4, −5) )
(6 )	(- 9 )	(y = −2 ( color {Cerulean} {6} color {Black} {)} + 3 = −12 + 3 = −9 )	((6, −9) )

 

Tabla 2.2.1

 

Trace los puntos y dibuje una línea a través de los puntos con una regla. Asegúrese de agregar flechas en cada extremo para indicar que el gráfico se extiende indefinidamente.

 

 

La línea resultante representa todas las soluciones a (8x + 4y = 12 ), de las cuales hay infinitas. El proceso anterior describe la técnica para graficar conocida como trazado de puntos ²⁰ . Esta técnica se usará para graficar funciones más complicadas a medida que avancemos en este curso.

 

La inclinación de cualquier inclinación puede medirse como la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal. Por ejemplo, una inclinación de (5 )% se puede escribir como ( frac {5} {100} ), lo que significa que por cada (100 ) pies hacia adelante, la altura aumenta (5 ) pies .

 

 

En matemáticas, llamamos a la inclinación de una línea la pendiente ²¹ , denotada por la letra m . El cambio vertical se llama la subida ²² y el cambio horizontal se llama la carrera ²³ . Dados cualquiera de los dos puntos ((x1, y1) ) y ((x2, y2) ), podemos obtener el aumento y la carrera restando las coordenadas correspondientes.

 

 

Esto nos lleva a la fórmula de la pendiente ²⁴ . Dados dos puntos cualquiera ((x1, y1) ) y ((x2, y2) ), la pendiente viene dada por:

 

( color {Cerulean} {Slope} : : : color {Black} {m} = frac {rise} {run} = frac {y _ {2} – y _ {1 }} {x _ {2} – x _ {1}} = frac { Delta y} { Delta x} quad begin {array} {ll} { color {Cerulean} { gets : : Change : in :} y} \ { color {Cerulean} { gets : : Change : in :} x} end {array} )

 

La letra griega delta ( (Δ )) se usa a menudo para describir el cambio en una cantidad. Por lo tanto, la pendiente a veces se describe usando la notación ( frac {Δy} {Δx} ), que representa el cambio en (y ) dividido por el cambio en (x ).

   

Verifique que la pendiente sea ( frac {6} {5} ) graficando la línea descrita en el ejemplo anterior.

 

 

Ciertamente, el gráfico es opcional; La belleza de la fórmula de la pendiente es que, dados dos puntos, podemos obtener la pendiente usando solo álgebra.

   

Hay cuatro casos geométricos para el valor de la pendiente.

 

 

Leyendo el gráfico de izquierda a derecha, las líneas con una inclinación hacia arriba tienen pendientes positivas y las líneas con una inclinación hacia abajo tienen pendientes negativas. Los otros dos casos involucran líneas horizontales y verticales. Recordemos que si (k ) es un número real tenemos

 

( begin {array} {l} {y = k color {Cerulean} {Horizontal line}} \ {x = k color {Cerulean} {Vertical line}} end {array} )

 

Por ejemplo, si graficamos (y = 2 ) obtenemos una línea horizontal, y si graficamos (x = −4 ) obtenemos una línea vertical.

 

 

De los gráficos podemos determinar dos puntos y calcular la pendiente usando la fórmula de la pendiente.

                                                                                                                           

Línea horizontal	Línea vertical
( begin {array} {ll} { left (x _ {1}, y _ {1} right)} & { left (x _ {2}, y _ {2} right )} \ {(- 3,2)} & {(3,2)} end {array} )                            ( begin {alineado} m & = frac {y _ {2} – y _ {1}} {x _ {2} – x _ {1}} \ & = frac {2 – (2)} {3 – (- 3)} \ & = frac {2 – 2} {3 + 3} \ & = frac {0} {6} = 0 end {alineado} ) [ 19459003]	( begin {array} {cc} { left (x _ {1}, y _ {1} right)} & { left (x _ {2}, y _ {2} right )} \ {(- 4, – 1)} & {(- 4,1)} end {array} )                            ( begin {alineado} m & = frac {y _ {2} – y _ {1}} {x _ {2} – x _ {1}} \ & = frac {1 – (- 1)} {- 4 – (- 4)} \ & = frac {1 + 1} {- 4 + 4} \ & = frac {2} {0} quad quad quad quad color {Cerulean} {Indefinido} end {alineado} )

 

Tabla 2.2.2

 

Observe que los puntos en la línea horizontal comparten los mismos valores (y ). Por lo tanto, el aumento es cero y, por lo tanto, la pendiente es cero. Los puntos en la línea vertical comparten los mismos valores de (x ). En consecuencia, la carrera es cero, lo que lleva a una pendiente indefinida. En general,

 

 

Funciones lineales

 

Dada cualquier ecuación lineal en estándar forma ²⁵ , (ax + by = c ), podemos resolver (y ) para obtener intercepción de pendiente forma ²⁶ , (y = mx + b ). Por ejemplo,

 

( begin {alineado} 3 x – 4 y & = 8 quad quad quad color {Cerulean} { gets : : Standard : form} \ – 4 y & = – 3 x + 8 \ y & = frac {- 3 x + 8} {- 4} \ y & = frac {- 3 x} {- 4} + frac {8} {- 4} \ y & = frac {3} {4} x – 2 quad color {Cerulean} { gets : : Slope-lntercept : Form} end {alineado} )

 

Donde (x = 0 ), podemos ver que (y = −2 ) y por lo tanto ((0, −2) ) es una solución de par ordenado. Este es el punto donde la gráfica intersecta el eje (y ) y se llama (y ) – intercepción ²⁷ . Podemos usar este punto y la pendiente como un medio para graficar rápidamente una línea. Por ejemplo, para graficar (y = frac {3} {4} x − 2 ), comience en (y ) – intercepte ((0, −2) ) y marque la pendiente para encontrar Un segundo punto. Luego use estos puntos para graficar la línea de la siguiente manera:

 

 

La prueba de línea vertical indica que este gráfico representa una función. Además, el dominio y el rango consisten en todos los números reales.

 

 

En general, una función lineal ²⁸ es una función que se puede escribir en la forma

 

(f (x) = m x + b : : color {Cerulean} {Linear : Function} )

 

donde la pendiente (m ) y (b ) representan cualquier número real. Como (y = f (x) ), podemos usar (y ) y (f (x) ) indistintamente, y se pueden escribir soluciones de pares ordenados en el gráfico ((x, y) ) en la forma ((x, f (x)) ).

 

((x, y) quad color {Cerulean} { Leftrightarrow} quad color {Black} {(} x, f (x)) )

 

Sabemos que cualquier (y ) – intercepción tendrá un (x ) – valor igual a cero. Por lo tanto, la intercepción (y ) – puede expresarse como el par ordenado ((0, f (0)) ). Para funciones lineales,

 

( begin {alineado} f ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} & = m ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + b \ & = b end {alineado} )

 

Por lo tanto, la intersección (y ) de cualquier función lineal es ((0, b) ). Para encontrar la intersección x ²⁹ , el punto donde la función intersecta el eje (x ), encontramos (x ) donde (y = 0 ) o (f (x) = 0 ).

     

A continuación, considere las líneas horizontales y verticales. Use la prueba de línea vertical para ver que cualquier línea horizontal representa una función y que una línea vertical no.

 

 

Dada cualquier línea horizontal, la prueba de línea vertical muestra que cada valor (x ) en el dominio corresponde exactamente a un valor (y ) en el rango; Es una función. Una línea vertical, por otro lado, falla la prueba de línea vertical; No es una función. Una línea vertical representa un conjunto de pares ordenados donde todos los elementos del dominio son iguales. Esto viola el requisito de que las funciones deben asociar exactamente un elemento del rango a cada elemento del dominio. Resumimos de la siguiente manera:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

	Línea horizontal	Línea vertical
Ecuación:	(y = 2 )	(x = -3 )
(x ) – intercepción:	Ninguno	((- 3,0) )
(y ) – intercepción:	((0,2) )	Ninguno
Dominio:	((- infty, infty) )	( {- 3 } )
Rango:	( {2 } )	((- infty, infty) )
Función:	Sí	No

 

Tabla 2.2.3

 

Una línea horizontal a menudo se denomina función constante . Dado cualquier número real (c ),

 

(f (x) = c : : : color {Cerulean} {Constant : Function} )

   

Ecuaciones lineales y desigualdades: una interpretación gráfica

 

Podemos usar las ideas de esta sección para desarrollar una comprensión geométrica de lo que significa resolver ecuaciones de la forma (f (x) = g (x) ), donde (f ) y (g ) son funciones lineales. Usando álgebra, podemos resolver la ecuación lineal ( frac {1} {2} x + 1 = 3 ) de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} frac {1} {2} x + 1 & = 3 \ frac {1} {2} x & = 2 \ ( color {Cerulean} {2} color {Black} {)} frac {1} {2} x & = ( color {Cerulean} {2} color {Black} {)} 2 \ x & = 4 end {alineado} ) [ 19459003]  

La solución a esta ecuación es (x = 4 ). Geométricamente, este es el valor (x ) de la intersección de los dos gráficos (f (x) = frac {1} {2} x + 1 ) y (g (x) = 3 ) . La idea es representar gráficamente las funciones lineales a cada lado de la ecuación y determinar dónde coinciden las gráficas.

   

Podemos extender la interpretación geométrica un poco más para resolver las desigualdades. Por ejemplo, podemos resolver la desigualdad lineal ( frac {1} {2} x + 1 ≥ 3 ), usando álgebra, de la siguiente manera:

 

( begin {array} {c} { frac {1} {2} x + 1 geq 3} \ { quad frac {1} {2} x geq 2} \ ( { color {Cerulean} {2} color {Black} {)} frac {1} {2} x geq ( color {Cerulean} {2} color {Black} {)} 2} \ { x geq 4} end {array} )

 

El conjunto de soluciones consta de todos los números reales mayores o iguales que (4 ). Geométricamente, estos son los valores (x ) para los cuales el gráfico (f (x) = 1 2 x + 1 ) se encuentra sobre el gráfico de (g (x) = 3 ).

   

Puntos clave

 

     
• Podemos graficar líneas trazando puntos. Elija algunos valores para (x ), encuentre los valores correspondientes de (y ), y luego trace las soluciones de par ordenadas resultantes. Dibuja una línea a través de los puntos con una regla para completar el gráfico.
     
• Dados dos puntos en una línea, podemos calcular la pendiente algebraicamente usando la fórmula de la pendiente, (m = frac {rise} {run} = frac {y_ {2} −y_ {1}} {x_ {2} −x_ {1}} = frac {Δy} {Δx} ).
     
• Use la forma pendiente-intersección (y = mx + b ) para dibujar rápidamente el gráfico de una línea. Desde (y ) – interceptar ((0, b) ), marque la pendiente para determinar un segundo punto. Dado que dos puntos determinan una línea, dibuje una línea a través de estos dos puntos con una regla para completar el gráfico.
     
• Las funciones lineales tienen la forma (f (x) = mx + b ), donde la pendiente (m ) y (b ) son números reales. Para encontrar la intercepción (x ) -, si existe, establezca (f (x) = 0 : ) y resuelva (x ).
     
• Dado que (y = f (x) ) podemos usar (y ) y (f (x) ) indistintamente. Cualquier punto en el gráfico de una función se puede expresar usando la notación de función ((x, f (x)) ).
 

                       

Footnotes

 

¹⁸ The variable that determines the values of other variables. Usually we think of the (x)-value of an ordered pair ((x, y)) as the independent variable.

 

¹⁹ The variable whose value is determined by the value of the independent variable. Usually we think of the (y)-value of an ordered pair ((x, y)) as the dependent variable.

 

²⁰ A way of determining a graph using a finite number of representative ordered pair solutions.

 

²¹ The incline of a line measured as the ratio of the vertical change to the horizontal change, often referred to as “rise over run.”

 

²² The vertical change between any two points on a line.

 

²³ The horizontal change between any two points on a line.

 

²⁴ The slope of the line through the points ((x1, y1)) and ((x2, y2)) is given by the formula (m = frac{y2−y1}{x2−x1}).

 

²⁵ Any nonvertical line can be written in the standard form (ax + by = c).

 

²⁶ Any nonvertical line can be written in the form (y = mx + b), where (m) is the slope and ((0, b)) is the (y)-intercept.

 

²⁷ The point (or points) where a graph intersects the y-axis, expressed as an ordered pair ((0, y)).

 

²⁸ Any function that can be written in the form f (x) = mx + b

 

²⁹ The point (or points) where a graph intersects the x-axis, expressed as an ordered pair (x, 0).