Una vieja historia describe cómo el filósofo / matemático del siglo XVII René Descartes inventó el sistema que se convirtió en la base del álgebra mientras estaba enfermo en la cama. Según la historia, Descartes estaba mirando una mosca que se arrastraba por el techo cuando se dio cuenta de que podía describir la ubicación de la mosca en relación con las líneas perpendiculares formadas por las paredes adyacentes de su habitación. Él veía las líneas perpendiculares como ejes horizontales y verticales. Además, al dividir cada eje en unidades de igual longitud, Descartes vio que era posible ubicar cualquier objeto en un plano bidimensional utilizando solo dos números: el desplazamiento desde el eje horizontal y el desplazamiento desde el eje vertical.
Si bien existe evidencia de que ideas similares al sistema de cuadrícula de Descartes existieron siglos antes, fue Descartes quien introdujo los componentes que comprenden el sistema de coordenadas cartesianas, un sistema de cuadrícula con ejes perpendiculares. Descartes llamó al eje horizontal el eje (x ) y el eje vertical al eje (y ).
El sistema de coordenadas cartesianas, también llamado sistema de coordenadas rectangular , se basa en un plano bidimensional que consiste en el eje (x ) – y el (y ) – eje. Perpendiculares entre sí, los ejes dividen el plano en cuatro secciones. Cada sección se llama un cuadrante; los cuadrantes están numerados en sentido antihorario como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).
El centro del plano es el punto en el que se cruzan los dos ejes. Se conoce como el origen, o punto ((0,0) ). Desde el origen, cada eje se divide en unidades iguales: números crecientes y positivos a la derecha en el eje (x ) y hacia arriba en el eje (y ); números negativos decrecientes a la izquierda en el eje (x ) y hacia abajo en el eje (y ). Los ejes se extienden al infinito positivo y negativo como se muestra por las puntas de flecha en la Figura ( PageIndex {3} ).
Cada punto en el plano se identifica por su (x ) – coordenada, o desplazamiento horizontal desde el origen, y su (y ) – coordenada, o desplazamiento vertical desde el origen. Juntos, los escribimos como un par ordenado que indica la distancia combinada desde el origen en la forma ((x, y) ). Un par ordenado también se conoce como un par de coordenadas porque consta de coordenadas (x ) – e (y ). Por ejemplo, podemos representar el punto ((3, −1) ) en el plano moviendo tres unidades a la derecha del origen en dirección horizontal y una unidad hacia abajo en dirección vertical. Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Al dividir los ejes en incrementos igualmente espaciados, tenga en cuenta que el eje (x ) puede considerarse por separado del eje (y ). En otras palabras, mientras que el eje (x ) puede dividirse y etiquetarse de acuerdo con enteros consecutivos, el eje (y ) puede dividirse y etiquetarse por incrementos de (2 ) o (10 ) o (100 ). De hecho, los ejes pueden representar otras unidades, como años contra el saldo en una cuenta de ahorros, o cantidad contra el costo, etc. Considere el sistema de coordenadas rectangulares principalmente como un método para mostrar la relación entre dos cantidades.
Sistema de coordenadas cartesianas
Un plano bidimensional donde el
- (x ) – eje es el eje horizontal
- (y ) – eje es el eje vertical
Un punto en el plano se define como un par ordenado, ((x, y) ), de modo que (x ) está determinado por su distancia horizontal desde el origen y (y ) está determinado por su distancia vertical desde el origen.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Trazado de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares
Trace los puntos ((- 2,4) ), ((3,3) ) y ((0, −3) ) en el plano.
Solución
Para trazar el punto ((- 2,4) ), comience en el origen. La coordenada (x ) – es (- 2 ), así que mueva dos unidades hacia la izquierda. La coordenada (y ) – es (4 ), entonces mueva cuatro unidades hacia arriba en la dirección positiva (y ).
Para trazar el punto ((3,3) ), comience nuevamente en el origen. La coordenada (x ) – es (3 ), así que mueva tres unidades hacia la derecha. La coordenada (y ) también es (3 ), así que mueva tres unidades hacia arriba en la dirección positiva (y ).
Para trazar el punto ((0, −3) ), comience nuevamente en el origen. La coordenada (x ) – es (0 ). Esto nos dice que no debemos movernos en ninguna dirección a lo largo del eje (x ). La coordenada (y ) – es (- 3 ), así que mueva tres unidades hacia abajo en la dirección negativa (y ). Vea el gráfico en la Figura ( PageIndex {5} ).
Tenga en cuenta que cuando cualquiera de las coordenadas es cero, el punto debe estar en un eje. Si la coordenada (x ) es cero, el punto está en el eje (y ). Si la coordenada (y ) es cero, el punto está en el eje (x ).
Representación gráfica de ecuaciones por puntos de trazado
Podemos trazar un conjunto de puntos para representar una ecuación. Cuando dicha ecuación contiene una variable (x ) y una variable (y ), se llama ecuación en dos variables . Su gráfico se llama gráfico en dos variables . Cualquier gráfico en un plano bidimensional es un gráfico en dos variables.
Supongamos que queremos graficar la ecuación (y = 2x − 1 ). Podemos comenzar sustituyendo un valor de (x ) en la ecuación y determinando el valor resultante de (y ). Cada par de valores de (x ) – y (y ) – es un par ordenado que se puede trazar. La tabla ( PageIndex {1} ) enumera los valores de (x ) de (- 3 ) a (3 ) y los valores resultantes para (y ).
| (x ) | (y = 2x − 1 ) | ((x, y) ) |
|---|---|---|
| (- 3 ) | (y = 2 (−3) −1 = −7 ) | ((- 3, −7) ) |
| (- 2 ) | (y = 2 (−2) −1 = −5 ) | ((- 2, −5) ) |
| (- 1 ) | (y = 2 (−1) −1 = −3 ) | ((- 1, −3) ) |
| (0 ) | (y = 2 (0) −1 = −1 ) | ((0, −1) ) |
| (1 ) | (y = 2 (1) −1 = 1 ) | ((1,1) ) |
| (2 ) | (y = 2 (2) −1 = 3 ) | ((2,3) ) |
| (3 ) | (y = 2 (3) −1 = 5 ) | ((3,5) ) |
Podemos trazar los puntos en la tabla. Los puntos para esta ecuación en particular forman una línea, por lo que podemos conectarlos (Figura ( PageIndex {6} )). Esto no es cierto para todas las ecuaciones.
Tenga en cuenta que los valores (x ) elegidos son arbitrarios, independientemente del tipo de ecuación que estemos graficando. Por supuesto, algunas situaciones pueden requerir que se tracen valores particulares de (x ) para ver un resultado particular. De lo contrario, es lógico elegir valores que puedan calcularse fácilmente, y siempre es una buena idea elegir valores que sean negativos y positivos. No hay una regla que dicte cuántos puntos se deben trazar, aunque necesitamos al menos dos para representar gráficamente una línea. Sin embargo, tenga en cuenta que cuantos más puntos grafiquemos, más exactamente podremos dibujar el gráfico.
Cómo: dada una ecuación, graficar por puntos de trazado
- Haz una tabla con una columna etiquetada (x ), una segunda columna etiquetada con la ecuación y una tercera columna que enumera los pares ordenados resultantes.
- Ingrese (x ) – valores en la primera columna usando valores positivos y negativos. Al seleccionar los valores (x ) en orden numérico, la gráfica será más simple.
- Seleccione (x ) – valores que producirán (y ) – valores con poco esfuerzo, preferiblemente valores que puedan calcularse mentalmente.
- Trace los pares ordenados.
- Conecte los puntos si forman una línea.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficando una ecuación en dos variables por puntos de trazado
Representa gráficamente la ecuación (y = −x + 2 ) al trazar puntos.
Solución
Primero, construimos una tabla similar a Table ( PageIndex {2} ). Elija los valores (x ) y calcule (y ).
| (x ) | (y = −x + 2 ) | ((x, y) ) |
|---|---|---|
| (- 5 ) | (y = – (- 5) + 2 = 7 ) | ((- 5,7) ) |
| (- 3 ) | (y = – (- 3) + 2 = 5 ) | ((- 3,5) ) |
| (- 1 ) | (y = – (- 1) + 2 = 3 ) | ((- 1,3) ) |
| (0 ) | (y = – (0) + 2 = 2 ) | ((0,2) ) |
| (1 ) | (y = – (1) + 2 = 1 ) | ((1,1) ) |
| (3 ) | (y = – (3) + 2 = −1 ) | ((3, −1) ) |
| (5 ) | (y = – (5) + 2 = −3 ) | ((5, −3) ) |
Ahora, grafica los puntos. Conéctelos si forman una línea. Ver Figura ( PageIndex {7} ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Construya una tabla y grafique la ecuación trazando puntos: (y = dfrac {1} {2} x + 2 ) .
- Respuesta
-
Consulte la Tabla ( PageIndex {3} ) y el gráfico a continuación.
Tabla ( PageIndex {3} ) (x ) (y = 12x + 2 ) ((x, y) ) (- 2 ) (y = 12 (−2) + 2 = 1 ) ((- 2,1) ) (- 1 ) (y = 12 (−1) + 2 = 32 ) ((- 1,32) ) (0 ) (y = 12 (0) + 2 = 2 ) ((0,2) ) (1 ) (y = 12 (1) + 2 = 52 ) ((1,52) ) (2 ) (y = 12 (2) + 2 = 3 ) ((2,3) ) 
Figura ( PageIndex {8} )
Representación gráfica de ecuaciones con una utilidad gráfica
La mayoría de las calculadoras gráficas requieren técnicas similares para graficar una ecuación. Las ecuaciones a veces tienen que ser manipuladas para que estén escritas en el estilo (y = ) _____. La TI-84 Plus, y muchas otras marcas y modelos de calculadoras, tienen una función de modo, que permite modificar la ventana (la pantalla para ver el gráfico) para poder ver las partes pertinentes de un gráfico.
Por ejemplo, la ecuación (y = 2x − 20 ) se ingresó en la TI-84 Plus que se muestra en la Figura ( PageIndex {9a} ). En la Figura ( PageIndex {9b} ), se muestra el gráfico resultante. Observe que no podemos ver en la pantalla dónde el gráfico cruza los ejes. La pantalla de ventana estándar en la TI-84 Plus muestra (- 10≤x≤10 ) y (- 10≤y≤10 ). Ver Figura ( PageIndex {9 c} ).
Al cambiar la ventana para mostrar más del eje positivo (x ) y más del eje negativo (y ), tenemos una vista mucho mejor del gráfico y del (x ) – y (y ) – intercepta. Consulte la Figura ( PageIndex {10a} ) y la Figura ( PageIndex {10b} ).
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de una utilidad gráfica para graficar una ecuación
Use una utilidad gráfica para representar gráficamente la ecuación: (y = – dfrac {2} {3} x− dfrac {4} {3} ).
Solución
Ingrese la ecuación en (y = text {function} ) de la calculadora. Establezca la configuración de la ventana para que tanto las intersecciones (x ) – como (y ) – se muestren en la ventana. Ver Figura ( PageIndex {11} ).
Encontrando (x ) – intercepciones e (y ) – intercepciones
Las interceptan de un gráfico son puntos en los que el gráfico cruza los ejes. La intersección (x ) – es el punto en el cual la gráfica cruza el eje ( x ). En este punto, la coordenada (y ) es cero. La intersección con (y ) es el punto en el que la gráfica cruza el eje (y ). En este punto, la coordenada (x ) es cero.
Para determinar la intersección (x ), establecemos (y ) igual a cero y resolvemos (x ). De manera similar, para determinar la intersección con (y ), establecemos (x ) igual a cero y resolvemos (y ). Por ejemplo, busquemos las intersecciones de la ecuación (y = 3x − 1 ).
Para encontrar la intercepción (x ) -, configure (y = 0 ).
[ begin {align *} y & = 3x – 1 \ 0 & = 3x – 1 \ 1 & = 3x \ dfrac {1} {3} & = x end {align *} ]
(x ) – intercepción: ( left ( dfrac {1} {3}, 0 right) )
Para encontrar la intercepción (y ) -, configure (x = 0 ).
[ begin {align *} y & = 3x – 1 \ y & = 3 (0) – 1 \ y & = -1 end {align *} ]
(y ) −intercept: ((0, −1) )
Podemos confirmar que nuestros resultados tienen sentido al observar un gráfico de la ecuación como en la Figura ( PageIndex {12} ). Observe que el gráfico cruza los ejes donde predijimos que lo haría.
Cómo: DAR UNA ECUACIÓN, ENCONTRAR LOS INTERCEPTOS
- Encuentre la intercepción (x ) – estableciendo (y = 0 ) y resolviendo (x ).
- Encuentre la intercepción (y ) – estableciendo (x = 0 ) y resolviendo (y ).
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar las intersecciones de la ecuación dada
Encuentre las intersecciones de la ecuación (y = −3x − 4 ). Luego dibuja el gráfico usando solo las intersecciones.
Solución
Establezca (y = 0 ) para encontrar la intersección con (x ).
[ begin {align *} y & = -3x – 4 \ 0 & = -3x – 4 \ 4 & = -3x \ dfrac {4} {3} & = x end { alinear *} ]
(x ) – intercepción: ( left (- dfrac {4} {3}, 0 right) )
Establezca (x = 0 ) para encontrar la intercepción (y ).
[ begin {align *} y & = -3x – 4 \ y & = -3 (0) – 4 \ y & = -4 end {align *} ]
(y ) −intercept: ((0, −4) )
Trace ambos puntos y dibuje una línea que los atraviese como en la Figura ( PageIndex {13} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentra las intersecciones de la ecuación y dibuja el gráfico: (y = – dfrac {3} {4} x + 3 ).
- Respuesta
-
(x ) – la intersección es ((4,0) ); (y ) – la intersección es ((0,3) )
Figura ( PageIndex {14} )
Usando la fórmula de la distancia
Derivado del Teorema de Pitágoras , la fórmula de distancia se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano. El teorema de Pitágoras, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), se basa en un triángulo rectángulo donde (a ) y (b ) son las longitudes de las patas adyacentes al ángulo recto, y (c ) es la longitud de la hipotenusa. Ver Figura ( PageIndex {15} ).
La relación de los lados (| x_2 − x_1 | ) y (| y_2 − y_1 | ) con el lado (d ) es la misma que la de los lados (a ) y (b ) al lado (c ). Usamos el símbolo de valor absoluto para indicar que la longitud es un número positivo porque el valor absoluto de cualquier número es positivo. (Por ejemplo, (| -3 | = 3 ).) Los símbolos (| x_2 − x_1 | ) y (| y_2 − y_1 | ) indican que las longitudes de los lados del triángulo son positivas. Para encontrar la longitud (c ), toma la raíz cuadrada de ambos lados del Teorema de Pitágoras.
[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 rightarrow c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ]
Se deduce que la fórmula de distancia se da como
[d ^ 2 = {(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2 rightarrow d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1 )} ^ 2} ]
No tenemos que usar los símbolos de valor absoluto en esta definición porque cualquier número al cuadrado es positivo.
distancia entre dos puntos
Dados los puntos finales ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ), la distancia entre dos puntos viene dada por
[d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2} ]
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar la distancia entre dos puntos
Encuentre la distancia entre los puntos ((- 3, −1) ) y ((2,3) ).
Solución
Veamos primero la gráfica de los dos puntos. Conecte los puntos para formar un triángulo rectángulo como en la Figura ( PageIndex {16} )
Luego, calcule la longitud de (d ) usando la fórmula de la distancia.
[ begin {align *} d & = sqrt {{(x_2 – x_1)} ^ 2 + {(y_2 – y_1)} ^ 2} \ & = sqrt {{(2 – (- 3 ))} ^ 2 + {(3 – (- 1))} ^ 2} \ & = sqrt {{(5)} ^ 2 + {(4)} ^ 2} \ & = sqrt {25 +16} \ & = sqrt {41} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentre la distancia entre dos puntos: ((1,4) ) y ((11,9) ).
- Respuesta
-
( sqrt {125} = 5 sqrt {5} )
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar la distancia entre dos ubicaciones
Volvamos a la situación presentada al comienzo de esta sección.
Tracie salió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. En el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada se indica con un punto rojo en la Figura ( PageIndex {1} ). Encuentra la distancia total que recorrió Tracie. Compare esto con la distancia entre sus posiciones iniciales y finales.
Solución
Lo primero que debemos hacer es identificar pares ordenados para describir cada posición. Si establecemos la posición inicial en el origen, podemos identificar cada uno de los otros puntos contando las unidades este (derecha) y norte (arriba) en la cuadrícula. Por ejemplo, la primera parada es (1 ) bloquear al este y (1 ) bloquear al norte, por lo que está en ((1,1) ). La siguiente parada es (5 ) bloques al este, por lo que está en ((5,1) ). Después de eso, ella viajó (3 ) cuadras hacia el este y (2 ) cuadras hacia el norte hasta ((8,3) ). Finalmente, ella viajó (4 ) cuadras hacia el norte hasta ((8,7) ). Podemos etiquetar estos puntos en la cuadrícula como en la Figura ( PageIndex {17} ).
A continuación, podemos calcular la distancia. Tenga en cuenta que cada unidad de cuadrícula representa (1,000 ) pies.
- Desde su ubicación inicial hasta su primera parada en ((1,1) ), Tracie podría haber conducido hacia el norte (1,000 ) pies y luego hacia el este (1,000 ) pies, o viceversa. De cualquier manera, condujo (2,000 ) pies hasta su primera parada.
- Su segunda parada es en ((5,1) ). Entonces, desde ((1,1) ) hasta ((5,1) ), Tracie condujo hacia el este (4,000 ) pies.
- Su tercera parada es en ((8,3) ). Hay varias rutas desde ((5,1) ) hasta ((8,3) ). Cualquiera que sea la ruta que Tracie decidió usar, la distancia es la misma, ya que no hay calles angulares entre los dos puntos. Digamos que condujo hacia el este (3,000 ) pies y luego hacia el norte (2,000 ) pies para un total de (5,000 ) pies.
- La última parada de Tracie es en ((8,7) ). Este es un viaje directo al norte desde ((8,3) ) para un total de (4,000 ) pies.
A continuación, agregaremos las distancias enumeradas en la Tabla ( PageIndex {4} ).
| Desde / Hasta | Número de pies impulsados |
|---|---|
| ((0,0) ) a ((1,1) ) | (2,000 ) |
| ((1,1) ) a ((5,1) ) | (4,000 ) |
| ((5,1) ) a ((8,3) ) | (5,000 ) |
| ((8,3) ) a ((8,7) ) | (4,000 ) |
| Total | (15,000 ) |
La distancia total que manejó Tracie es (15,000 ) pies, o (2.84 ) millas. Sin embargo, esta no es la distancia real entre sus posiciones iniciales y finales. Para encontrar esta distancia, podemos usar la fórmula de distancia entre los puntos ((0,0) ) y ((8,7) ).
[ begin {align *} d & = sqrt {{(0-8)} ^ 2 + {(7-0)} ^ 2} \ & = sqrt {64 + 49} \ & = sqrt {113} \ & = 10.63 text {unidades} end {align *} ]
A (1,000 ) pies por unidad de cuadrícula, la distancia entre Elmhurst, IL, y Franklin Park es (10,630.14 ) pies, o (2.01 ) millas. La fórmula de la distancia resulta en un cálculo más corto porque se basa en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, una diagonal recta desde el origen hasta el punto ((8,7) ). Tal vez haya escuchado el dicho “mientras el cuervo vuela”, lo que significa la distancia más corta entre dos puntos porque un cuervo puede volar en línea recta a pesar de que una persona en el suelo tiene que recorrer una distancia más larga en las carreteras existentes.
Usando la fórmula del punto medio
Cuando se conocen los puntos finales de un segmento de línea, podemos encontrar el punto a medio camino entre ellos. Este punto se conoce como el punto medio y la fórmula se conoce como la fórmula del punto medio . Dados los puntos finales de un segmento de línea, ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ), la fórmula del punto medio indica cómo encontrar las coordenadas del punto medio M.
[M = left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) ]
En la Figura ( PageIndex {18} ) se muestra una vista gráfica de un punto medio. Observe que los segmentos de línea a cada lado del punto medio son congruentes.
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el punto medio del segmento de línea
Encuentre el punto medio del segmento de línea con los puntos finales ((7, −2) ) y ((9,5) ).
Solución
Usa la fórmula para encontrar el punto medio del segmento de línea.
[ begin {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {7 + 9} {2}, dfrac {-2 + 5} {2} right) \ & = left (8, dfrac {3} {2} right) end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentre el punto medio del segmento de línea con los puntos finales ((- 2, −1) ) y ((- 8,6) ).
- Respuesta
-
( left (-5, dfrac {5} {2} right) )
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar el centro de un círculo
El diámetro de un círculo tiene puntos finales ((- 1, −4) ) y ((5, −4) ). Encuentra el centro del círculo.
Solución
El centro de un círculo es el centro, o punto medio, de su diámetro. Por lo tanto, la fórmula del punto medio producirá el punto central.
[ begin {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {-1 + 5 } {2}, dfrac {-4-4} {2}) right) \ & = left ( dfrac {4} {2}, – dfrac {8} {2} right) \ & = (2,4) end {align *} ]
Conceptos clave
- Podemos localizar o trazar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas utilizando pares ordenados, que se definen como desplazamiento desde el eje (x ) – y desplazamiento desde el eje (y ) [ 19459002] – eje. Ver Ejemplo .
- Se puede graficar una ecuación en el plano creando una tabla de valores y puntos de trazado. Ver Ejemplo .
- El uso de una calculadora gráfica o un programa de computadora hace que las ecuaciones gráficas sean más rápidas y precisas. Las ecuaciones generalmente deben ingresarse en la forma (y = ) _____. Ver Ejemplo .
- Encontrar las intersecciones (x ) – e (y ) – puede definir el gráfico de una línea. Estos son los puntos donde la gráfica cruza los ejes. Ver Ejemplo .
- La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras y se usa para encontrar la longitud de un segmento de línea. Ver Ejemplo y Ejemplo .
- La fórmula del punto medio proporciona un método para encontrar las coordenadas del punto medio dividiendo la suma de las coordenadas (x ) y la suma de las coordenadas (y ) de los puntos finales por (2 ). Ver Ejemplo y Ejemplo .