2.2: Resolver ecuaciones – Múltiples pasos

2.2: Resolver ecuaciones – Múltiples pasos

                 

Recordemos la discusión sobre “Ajustar” y “Desenvolver” de Sección 2.1 . Para envolver un regalo, colocamos el papel de regalo, colocamos la cinta y colocamos el lazo decorativo. Para desenvolver el regalo, debemos «deshacer» cada uno de estos pasos en orden inverso. Por lo tanto, para desenvolver el regalo, quitamos el lazo decorativo, quitamos la cinta y quitamos el papel de regalo.

 

Ahora, imagine una máquina que multiplica su entrada por (3 ), luego agrega (5 ) al resultado. Esta máquina se muestra a la izquierda en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
fig 2.2.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): La segunda máquina «desenvuelve» la primera máquina.
 

Para «desenvolver» el efecto de la máquina de la izquierda, necesitamos una máquina que «deshaga» cada uno de los pasos de la primera máquina, pero en orden inverso. La máquina de «desenvolver» se muestra a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} ). Primero restará (5 ) de su entrada, luego dividirá el resultado por (3 ). Tenga en cuenta que cada una de estas operaciones «deshace» la operación correspondiente de la primera máquina, pero en orden inverso.

 

El siguiente argumento muestra que la segunda máquina «deshace» la operación de la primera máquina.

 
         
  1. Coloque el número entero (4 ) en la máquina a la izquierda en la Figura ( PageIndex {1} ). Esta máquina multiplicará primero (4 ) por (3 ), luego agregará (5 ) al resultado. El resultado es (3 (4) + 5 ), o (17 ).
  2.      
  3. Para «desenvolver» este resultado, suelte (17 ) en la máquina de la derecha. Esta máquina primero resta (5 ), luego divide el resultado por (3 ). El resultado es ((17-5) / 3 ), o (4 ), el entero original que se colocó en la primera máquina.
  4.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve para (x: 3 x + 5 = 14 ).

 

Solución

 

A la izquierda, el orden de las operaciones exige que primero multipliquemos (x ) por (3 ), luego agreguemos (5 ). Para resolver esta ecuación para (x ), debemos «deshacer» cada una de estas operaciones en orden inverso. Por lo tanto, primero restaremos (5 ) de ambos lados de la ecuación, luego dividiremos ambos lados entre (3 ).

 

[ begin {alineado} 3x + 5 & = 14 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 3x + 5-5 & = 14-5 quad color {Red} text {Para «deshacer» la suma de 5, reste 5 de ambos lados de la ecuación. } \ 3x & = 9 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } \ dfrac {3 x} {3} & = dfrac {9} {3} quad color {Red} text {Para «deshacer» multiplicando por 3, divida ambos lados de la ecuación por 3.} \ x & = 3 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Verifique: Para verificar la solución, sustituya (3 ) por (x ) en la ecuación original y simplifique.

 

[ begin {alineado} 3x + 5 & = 14 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 3 (3) +5 & = 14 quad color {Rojo} text {Sustituye x por 3. } \ 9 + 5 & = 14 quad color {Rojo} text {Multiplicar primero: 3 (3) = 9.} \ 14 & = 14 quad color {Rojo} text {Agregar: 9 + 5 = 14.} end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que la última línea del cheque es una declaración verdadera, esto garantiza que (3 ) es una solución de la ecuación original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve para (x: 2 x + 3 = 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 2 )

     
 
 
 

Probemos una ecuación con fracciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelva para (x: dfrac {x} {5} – dfrac {2} {3} = dfrac {1} {2} ).

 

Solución

 

A la izquierda, el orden de las operaciones exige que primero dividamos (x ) por (5 ), luego restemos (2/3 ). Para resolver esta ecuación para (x ), debemos «deshacer» cada una de estas operaciones en orden inverso. Por lo tanto, primero agregaremos (2/3 ) a ambos lados de la ecuación, luego multiplicaremos ambos lados de la ecuación resultante por (5 ).

 

[ begin {alineado} dfrac {x} {5} – dfrac {2} {3} & = dfrac {1} {2} quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ dfrac {x} {5} – dfrac {2} {3} + dfrac {2} {3} & = dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3} quad color {Red} text {Para «deshacer» restando 2/3, agregue 2/3 a ambos lados de la ecuación. } end {alineado} nonumber ]

 

A la izquierda, simplificamos. A la derecha, hacemos fracciones equivalentes con un denominador común.

 

[ begin {alineado} dfrac {x} {5} & = dfrac {3} {6} + dfrac {4} {6} quad color {Rojo} text {Haga fracciones equivalentes } \ dfrac {x} {5} & = dfrac {7} {6} quad color {Red} text {Agregar:} dfrac {3} {6} + dfrac {4} {6 } = dfrac {7} {6} end {alineado} nonumber ]

 

Ahora «deshacemos» dividiendo por cinco multiplicando ambos lados de la ecuación por (5 ).

 

[ begin {alineado} left ( dfrac {x} {5} right) & = 5 left ( dfrac {7} {6} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 5 \ x & = dfrac {35} {6} quad color {Red} text {A la izquierda, simplifica. A la derecha, multiplique:} 5 left ( dfrac {7} {6} right) = dfrac {35} {6} end {alineado} nonumber ]

 

Verificar: Usemos la TI-84 para verificar esta solución.

 
         
  1. Almacene el valor (35/6 ) en la variable (X ) usando las siguientes teclas.
  2.  
 
fig 2.2.2a.png
Figura ( PageIndex {2} ).
 
         
  1. Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: (x / 5 – 2/3 ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
  2.  
 
fig 2.2.2b.png
Figura ( PageIndex {2} ).
 
fig 2.2.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Verificando la solución para x / 5−2 / 3 = 1/2.
 
         
  1. Presione el botón MATH en su calculadora (vea la Figura ( PageIndex {3} )), luego seleccione 1: ►Frac, luego presione el botón ENTER. Esto convertirá el resultado decimal a una fracción (ver Figura ( PageIndex {3} )).
  2.  
 
fig 2.2.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Cambiar el resultado a una fracción.
 

Tenga en cuenta que el resultado es ( dfrac {1} {2}, ) que muestra que ( dfrac {35} {6} ) es una solución de ( dfrac {x} {5} – dfrac {2} {3} = dfrac {1} {2} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelva para (x: dfrac {x} {2} – dfrac {3} {5} = dfrac {1} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 17/10 )

     
 
 
 

Probemos una ecuación con decimales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelva para (x: 5.2 x + 2.3 = -3.94 ).

 

Solución

 

A la izquierda, el orden de las operaciones exige que primero multipliquemos (x ) por (5.2 ), luego agregue 2.3. Para resolver esta ecuación para (x ), debemos «deshacer» cada una de estas operaciones en orden inverso. Por lo tanto, primero restaremos (2.3 ) de ambos lados de la ecuación, luego dividiremos ambos lados entre (5.2 ).

 

[ begin {alineado} 5.2 x + 2.3 & = – 3.94 quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 5.2 x + 2.3-2.3 & = – 3.94-2.3 quad color {Red} text {Para «deshacer» la suma de 2.3, reste 2.3 de ambos lados.} \ 5.2 x & = – 6.24 quad color {Red} text {A la izquierda, simplifique. A la derecha, agregue: -3.94-2.3 = -6.24. } \ frac {5.2 x} {5.2} & = frac {-6.24} {5.2} quad color {Red} text {Para deshacer la multiplicación por 5.2, divida ambos lados entre 5.2. } \ x & = – 1.2 quad color {Red} text {A la izquierda, simplifique. A la derecha, divide: -6.24 / 5.2 = -1.2. } end {alineado} nonumber ]

 

Verifique: Para verificar la solución, sustituya (- 1.2 ) por (x ) en la ecuación original y simplifique.

 

[ begin {alineado} 5.2 x + 2.3 & = – 3.94 quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 5.2 (-1.2) +2.3 & = – 3.94 quad color {Red} text {Sustituya x por x1.2. } \ -6.24 + 2.3 & = – 3.94 quad color {Rojo} text {Multiplicar: 5.2 (-1.2) = – 6.24} \ -3.94 & = – 3.94 quad color {Rojo} text { Agregar: -6.24 + 2.3 = -3.94} end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que la última línea del cheque es una declaración verdadera, esto garantiza que (- 1.2 ) es una solución de la ecuación original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelva para (x: 3.25-1.2 x = 0.37 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 2.4 )

     
 
 
 

Variables en ambos lados de la ecuación

 

No es raro que la variable que está resolviendo aparezca en términos a ambos lados de la ecuación. Considere, por ejemplo, la ecuación (2x + 3 = 5−7x ). En casos como este, es útil tener una comprensión general de lo que significa «resolver para (x )».

 
 

Resolver para x

 

Cuando se le pide que resuelva una ecuación para (x ), el objetivo es manipular la ecuación en la forma final

 

(x = text {«Stuff»} )

 

donde “Stu ff” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no debe contener ninguna ocurrencia de la variable (x ).

 
 

En esta sección, «Stu ff» siempre será un número único, pero en Sección 2.4, Fórmulas , «Stu ff» tomará complejidad adicional, incluidas variables distintas de (X).

 
 

Estrategia para resolver para (x )

 

Cuando se le pide que resuelva una ecuación para (x ), una estrategia común es aislar todos los términos que contienen la variable (x ) en un lado de la ecuación y mover todos los términos que no contienen la variable (x ) al otro lado de la ecuación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (3-2 x = 5 x + 9 ) para (x ).

 

Solución

 

Necesitamos aislar todos los términos que contienen (x ) en un lado de la ecuación. Podemos eliminar (5x ) del lado derecho de (3−2x = 5x + 9 ) restando (5x ) de ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 3-2x & = 5x + 9 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 3-2x-5x & = 5x + 9-5x quad color {Rojo} text {Restar} 5x text {de ambos lados. } \ 3-7x & = 9 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Luego, elimine (3 ) del lado izquierdo de la última ecuación restando (3 ) de ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 3-7x-3 & = 9-3 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados. } \ -7x & = 6 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo hemos aislado todos los términos que contienen (x ) en un lado de la ecuación.

 

[ begin {alineado} dfrac {-7 x} {- 7} & = dfrac {6} {- 7} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} -7 x & = – dfrac {6} {7} quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Verifique: Para verificar la solución, sustituya (- 6/7 ) por (x ) en la ecuación original.

 

[ begin {alineado}
3-2 x & = 5 x + 9 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \
3-2 left (- dfrac {6} {7} right) & = 5 left (- dfrac {6} {7} right) +9 quad color {Red { } text {Sustituye -6/7 por x. } \
3+ dfrac {12} {7} & = – dfrac {30} {7} +9 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -2 (-6/7) = 12/7 text {y} 5 (-6/7) = – 30/7. \
dfrac {21} {7} + dfrac {12} {7} & = – dfrac {30} {7} + dfrac {63} {7} quad color {Rojo} texto {Hacer fracciones equivalentes con un denominador común. } \
dfrac {33} {7} & = dfrac {33} {7} quad color {Rojo} text {Agregar. }
end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que la última línea del cheque es una declaración verdadera, esto garantiza que (- 6/7 ) es una solución de la ecuación original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve para (x: 4x + 7 = 5-8x ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -1 / 6 )

     
 
 
 

Simplificando expresiones al resolver ecuaciones

 

A veces necesitamos simplificar expresiones antes de poder aislar términos que contienen (x ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve para (x: 2 (3 x + 1) -3 (4-2 x) = – 34 ).

 

Solución

 

Primero simplificaremos la expresión en el lado izquierdo de la ecuación usando el Orden de Operaciones de Reglas .

 

[ begin {alineado} 2 (3 x + 1) -3 (4-2 x) & = – 34 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 6x + 2-12 + 6x & = – 34 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 2 (3 x + 1) = 6 x + 2 text {, Multiplicar:} -3 (4- 2 x) = – 12 + 6 x \ 12 x-10 & = – 34 quad color {Rojo} text {Agregar:} 6x + 6 x = 12x text {, Agregar:} 2-12 = -10 \ end {alineado} nonumber ]

 

Para «deshacer» restando (10 ​​), agregamos (10 ​​) a ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 12x-10 + 10 & = – 34 + 10 quad color {Red} text {Add} 10 text {a ambos lados. } \ 12x & = – 24 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Para «deshacer» la multiplicación por (12 ), dividimos ambos lados por (12 ).

 

[ begin {alineado} dfrac {12 x} {12} & = dfrac {-24} {12} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 12 \ x & = -2 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Verificar: Usemos la TI-84 para verificar esta solución.

 
         
  1. Primero, almacene −2 en la variableX usando las siguientes teclas.
  2.  
 
fig 2.2.4a.png
Figura ( PageIndex {4} ).
 
         
  1. Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: (2 (3x + 1) -3 (4-2x) ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
  2.  
 
fig 2.2.4b.png
Figura ( PageIndex {4} ).
 
fig 2.2.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Verificando la solución a (2 (3x + 1) -3 (4-2x) = – 34 ).
 

Tenga en cuenta que cuando (- 2 ) se sustituye por (x ) en la parte izquierda de la ecuación, el resultado es (- 34 ), lo que equivale al lado derecho de la ecuación. Por lo tanto, la solución (- 2 ) verifica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelva para (x: 2 x- (x-2) = 2 (x + 7) ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -12 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelva para (x: 2 x-5 (3-2 x) = 4 (x-1) ).

 

Solución

 

Primero simplificaremos las expresiones en cada lado de la ecuación usando el Reglas de orden de operaciones .

 

[ begin {alineado} 2x-5 (3-2x) & = 4 (x-1) quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 2x-15 + 10x & = 4x-4 quad color {Red} text {A la izquierda, distribuya el -5. A la derecha, distribuya el 4.} \ 12x-15 & = 4x-4 quad color {Rojo} text {A la izquierda, agregue:} 2x + 10x = 12 x end {alineado} nonumber ]

 

A continuación, necesitamos aislar los términos que contienen la variable (x ) en un lado de la ecuación. Para eliminar el término (4x ) del lado derecho, restamos (4x ) de ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 12x-15-4x & = 4x-4-4x quad color {Rojo} text {Restar} 4 x text {de ambos lados. } \ 8x-15 & = – 4 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Para eliminar el término (- 15 ) del lado izquierdo, agregamos (15 ) a ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 8x-15 + 15 & = – 4 + 15 quad color {Red} text {Add} 15 text {a ambos lados. } \ 8x & = 11 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Finalmente, para «deshacer» la multiplicación por (8 ), dividimos ambos lados por (8 ).

 

[ begin {alineado} dfrac {8x} {8} & = dfrac {11} {8} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 8 \ x & = dfrac {11} {8} quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Verificar: Usemos la TI-84 para verificar esta solución.

 
         
  1. Primero, almacene 11/8 en la variable X usando las siguientes teclas.
  2.  
 
fig 2.2.5a.png
Figura ( PageIndex {5} ).
 
         
  1. Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: (2x-5 (3-2x) ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
  2.  
 
fig 2.2.5b.png
Figura ( PageIndex {5} ).
 
         
  1. Ingrese el lado derecho de la ecuación original: (4 (x – 1) ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
  2.  
 
fig 2.2.5c.png
Figura ( PageIndex { 5 } ).
 
fig 2.2.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Comprobando la solución a (2x-5 (3-2x) = 4 (x-1) ).
 

Esta vez no es necesario usar el 1: ►Frac del menú MATH. El hecho de que ambos lados de la ecuación se evalúen con una (1.5 ) idéntica cuando (x = 11/8 ) garantiza que (11/8 ) es una solución de (2x-5 (3-2x) = 4 (x-1) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelva para (x: 5 (1-x) = 2 (x + 3) – (x-1) ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -1 / 3 )

     
 
 
 
                                  
]]>

,

Deja una respuesta