2.2: Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad
Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad
Puede haber notado que todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora han sido de la forma (x + a = b ) o (x − a = b ). Pudimos aislar la variable sumando o restando el término constante en el lado de la ecuación con la variable. Ahora veremos cómo resolver ecuaciones que tienen una variable multiplicada por una constante y, por lo tanto, requerirán división para aislar la variable.
Veamos nuevamente nuestro rompecabezas con los sobres y contadores en la Figura ( PageIndex {1} ).
Figura ( PageIndex {1} ): La ilustración muestra un modelo de una ecuación con una variable multiplicada por una constante. En el lado izquierdo del espacio de trabajo hay dos instancias de lo desconocido (sobre), mientras que en el lado derecho del espacio de trabajo hay seis contadores.
En la ilustración hay dos sobres idénticos que contienen el mismo número de contadores. Recuerde, el lado izquierdo del espacio de trabajo debe ser igual al lado derecho, pero los contadores del lado izquierdo están “ocultos” en los sobres. Entonces, ¿cuántos contadores hay en cada sobre?
¿Cómo determinamos el número? Tenemos que separar los contadores del lado derecho en dos grupos del mismo tamaño para que correspondan con los dos sobres del lado izquierdo. Los 6 contadores divididos en 2 grupos iguales dan 3 contadores en cada grupo (ya que (6 div 2 = 3 )).
¿Qué ecuación modela la situación que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} )? Hay dos sobres, y cada uno contiene xx contadores. Juntos, los dos sobres deben contener un total de 6 contadores.
Figura ( PageIndex {2} ): La ilustración muestra un modelo de la ecuación (2x = 6 ).
Si dividimos ambos lados de la ecuación por 2, como hicimos con los sobres y contadores,
obtenemos:
Encontramos que cada sobre contiene 3 contadores. ¿Esto verifica? Sabemos (2 cdot 3 = 6 ), ¡así que funciona! ¡Tres contadores en cada uno de los dos sobres equivalen a seis!
Este ejemplo conduce a la Propiedad de igualdad de división .
LA DIVISIÓN PROPIEDAD DE LA IGUALDAD
Para cualquier número a , b y c y (c neq 0 ),
[ begin {array} {llll} { text {If}} & {a} & {=} & {b} \ { text {then}} & { frac {a} {c }} & {=} & { frac {b} {c}} end {array} ]
Cuando divide ambos lados de una ecuación por cualquier número distinto de cero, todavía tiene igualdad.
Nota
Realizar la actividad Matemática manipulativa “ Propiedad de igualdad de división ” te ayudará a comprender mejor cómo resolver ecuaciones usando la Propiedad de igualdad de división.
El objetivo al resolver una ecuación es “deshacer” la operación en la variable. En el siguiente ejemplo, la variable se multiplica por 5, por lo que dividiremos ambos lados entre 5 para “deshacer” la multiplicación.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve: (5x = −27 ).
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve: (3y = −41 ).
Respuesta
(y = – frac {41} {3} )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve: (4z = −55 ).
Respuesta
(y = – frac {55} {4} )
Considere la ecuación ( frac {x} {4} = 3 ). Queremos saber qué número dividido por 4 da 3. Entonces, para “deshacer” la división, tendremos que multiplicar por 4. La Propiedad de igualdad de multiplicación nos permitirá hacer esto. Esta propiedad dice que si comenzamos con dos cantidades iguales y multiplicamos ambas por el mismo número, los resultados son iguales.
LA PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE MULTIPLICACIÓN
Para cualquier número a , b y c ,
[ begin {array} {llll} { text {If}} & {a} & {=} & {b} \ { text {then}} & {ac} & {=} & {bc} end {array} ]
Si multiplicas ambos lados de una ecuación por el mismo número, aún tienes igualdad.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resolver: ( frac {y} {- 7} = -14 )
Respuesta
Aquí y se divide por −7. Debemos multiplicar por −7 para aislar y.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resolver: ( frac {a} {- 7} = -42 )
Respuesta
(a = 294 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resolver: ( frac {b} {- 6} = -24 )
Respuesta
(b = 144 )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resolver: (- n = 9 )
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resuelve: (- k = 8 ).
Respuesta
(k = -8 )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Resuelve: (- g = 3 ).
Respuesta
(g = -3 )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Resolver: ( frac {3} {4} x = 12 )
Respuesta
Dado que el producto de un número y su recíproco es 1, nuestra estrategia será aislar x multiplicando por el recíproco de ( frac {3} {4} ).
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Resuelve: ( frac {2} {5} n = 14 ).
Respuesta
(n = 35 )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Resuelve: ( frac {5} {6} y = 15 ).
Respuesta
(y = 18 )
En el siguiente ejemplo, todos los términos variables están en el lado derecho de la ecuación. Como siempre, nuestro objetivo al resolver la ecuación es aislar la variable.
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Resolver: ( frac {8} {15} = – frac {4} {5} x )
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Resolver: ( frac {9} {25} = – frac {4} {5} z )
Respuesta
(z = – frac {9} {5} )
Ejercicio ( PageIndex {15} )
( frac {5} {6} = – frac {8} {3} r )
Respuesta
(r = – frac {5} {16} )
Resolver ecuaciones que requieren simplificación
Muchas ecuaciones comienzan más complicadas que las que hemos estado trabajando.
Con estas ecuaciones más complicadas, el primer paso es simplificar ambos lados de la ecuación tanto como sea posible. Esto generalmente implica combinar términos similares o usar la propiedad distributiva.
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Resuelve: (14−23 = 12y − 4y − 5y ).
Respuesta
Comienza simplificando cada lado de la ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Resuelve: (18−27 = 15c − 9c − 3c ).
Respuesta
(c = −3 )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Resuelve: (18−22 = 12x − x − 4x ).
Respuesta
(x = – frac {4} {7} )
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Resuelve: (- 4 (a − 3) −7 = 25 ).
Respuesta
Aquí simplificaremos cada lado de la ecuación usando primero la propiedad distributiva.
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Resuelve: (- 4 (q − 2) −8 = 24 ).
Respuesta
(q = −6 )
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Resuelve: (- 6 (r − 2) −12 = 30 ).
Respuesta
(r = −5 )
Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de igualdad: sustracción, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos aquí para una fácil referencia.
PROPIEDADES DE IGUALDAD
Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad.
[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad de igualdad de resta}} y { textbf {Propiedad de igualdad de suma}} \ { text {Para cualquier número real a, b , y c,}} & { text {Para cualquier número real a, byc,}} \ { text {if} a = b,} & { text {if} a = b ,} \ { text {then} a – c = b – c} & { text {then} a + c = b + c} \ { textbf {Propiedad de igualdad de la división} } & { textbf {Propiedad de igualdad de multiplicación}} \ { text {Para cualquier número real a, byc,}} & { text {Para cualquier número real a, byc, }} \ { text {if} a = b,} & { text {if} a = b,} \ { text {then} a – c = b – c} & { text {then} a + c = b + c} end {array} ]
Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad.
Traducir a una ecuación y resolver
En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Es posible que desee revisar la tabla de traducción en el capítulo anterior.
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Traducir y resolver: el número 143 es el producto de −11 y y .
Respuesta
Traducir.
Dividir por −11.
Simplificar.
Verificar: [ begin {array} {lll} {143} & {=} & {- 11y} \ {143} & { stackrel {?} {=}} & {- 11 (-13)} \ {143} & {=} y {143 marca de verificación} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {23} )
Traducir y resolver: el número 132 es el producto de −12 y y .
Respuesta
132 = −12y; y = −11
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Traducir y resolver: el número 117 es el producto de −13 y z .
Respuesta
117 = −13z; z = −9
Ejercicio ( PageIndex {25} )
Traducir y resolver: n dividido entre 8 es −32.
Respuesta
Comienza por traducir la oración en una ecuación. Traducir.
Multiplica ambos lados por 8.
Simplificar.
Verificación:
¿Es nn dividido por 8 igual a −32?
Sea (n = −256 ).
¿Es −256 dividido entre 88 igual a −32?
Traducir.
( frac {-256} {8} stackrel {?} {=} -32 )
Simplifica.
(- 32 = −32 marca de verificación )
Ejercicio ( PageIndex {26} )
Traducir y resolver: nn dividido por 7 es igual a −21.
Respuesta
( frac {n} {7} = – 21; n = −147 )
Ejercicio ( PageIndex {27} )
Traducir y resolver: n dividido entre 8 es igual a −56.
Respuesta
( frac {n} {8} = – 56; n = −448 )
Ejercicio ( PageIndex {28} )
Traducir y resolver: el cociente de yy y −4 es 68.
Respuesta
Comienza por traducir la oración en una ecuación.
Traducir.
Multiplica ambos lados por -4.
Simplifica.
Verificación:
¿Es el cociente de y y −4 igual a 68?
Sea y = −272.
¿Es el cociente de −272 y −4 igual a 68?
Traducir.
( frac {-272} {- 4} stackrel {?} {=} 68 )
Simplifica.
(68 = 68 marca de verificación )
Ejercicio ( PageIndex {29} )
Traducir y resolver: el cociente de q y −8 es 72.
Respuesta
( frac {q} {- 8} = 72; q = −576 )
Ejercicio ( PageIndex {30} )
Traducir y resolver: el cociente de p y −9 es 81.
Respuesta
( frac {p} {- 9} = 81; p = −729 )
Ejercicio ( PageIndex {31} )
Traducir y resolver: tres cuartos de p es 18.
Respuesta
Comienza por traducir la oración en una ecuación. Recuerde, “de” se traduce en multiplicación.
Traducir.
Multiplica ambos lados por ( frac {4} {3} ).
Simplifica.
Verificación:
¿Tres cuartos de p son iguales a 18?
Sea p = 24.
¿Tres cuartos de 24 son iguales a 18?
Traducir.
( frac {3} {4} cdot 24 stackrel {?} {=} 18 )
Simplifica.
(18 = 18 marca de verificación )
Ejercicio ( PageIndex {32} )
Traducir y resolver: dos quintos de f es 16.
Respuesta
( frac {2} {5} f = 16; f = 40 )
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Traducir y resolver: tres cuartos de f es 21.
Respuesta
( frac {3} {4} f = 21; f = 28 )
Ejercicio ( PageIndex {34} )
Traducir y resolver: la suma de tres octavos yx es la mitad.
Respuesta
Comienza por traducir la oración en una ecuación.
Traducir.
Reste ( frac {3} {8} ) de cada lado.
Simplifica y reescribe fracciones con denominadores comunes.
Simplifica.
Verificación:
¿La suma de tres octavos yx es igual a la mitad?
Sea (x = frac {1} {8} ).
¿La suma de tres octavos y un octavo es igual a la mitad?
Traducir y resolver: la suma de cinco octavos y x es un cuarto.
Respuesta
( frac {5} {8} + x = frac {1} {4}; x = – frac {3} {8} )
Ejercicio ( PageIndex {36} )
Traducir y resolver: la suma de tres cuartos y x es cinco sextos.
Respuesta
( frac {3} {4} + x = frac {5} {6}; x = frac {1} {12} )
Traducir y resolver aplicaciones
Para resolver aplicaciones utilizando las propiedades de igualdad de división y multiplicación, seguiremos los mismos pasos que utilizamos en la última sección. Replantearemos el problema en una sola oración, asignaremos una variable y luego traduciremos la oración en una ecuación para resolver.
Ejercicio ( PageIndex {37} )
Denae compró 6 libras de uvas por $ 10.74. ¿Cuál fue el costo de una libra de uvas?
Respuesta
[ begin {array} {ll} { text {¿Qué se le pide que encuentre?}} Y { text {El costo de 1 libra de uvas}} \\ { text {Asigne un variable.}} & { text {Sea c = el costo de una libra.}} \\ { text {Escriba una oración que proporcione}} y { text {El costo de 6 libras es} $ 10.74} \ { text {información para encontrarlo.}} & {} \\ { text {Traducir a una ecuación.}} & {6c = 10.74} \ { text {Resolver.}} & { frac {6c} {c} = frac {10.74} {6}} \ {} & {c = 1.79} \\ {} & { text {Las uvas cuestan} $ 1.79 text {por libra. }} \ \ { text {Verificar: Si una libra cuesta} $ 1.79, haga} & {} \ { text {6 libras costo} $ 10.74?} & {} \\ {6 (1.79) stackrel {?} {=} 10.74} y {} \ {10.74 = 10.74 marca de verificación} y {} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {38} )
Traducir y resolver:
Arianna compró un paquete de 24 botellas de agua por $ 9.36. ¿Cuál fue el costo de una botella de agua?
Respuesta
$ 0,39
Ejercicio ( PageIndex {39} )
Traducir y resolver:
En JB’s Bowling Alley, 6 personas pueden jugar en un solo carril por $ 34.98. ¿Cuál es el costo para cada persona?
Respuesta
$ 5,83
Ejercicio ( PageIndex {40} )
Andreas compró un auto usado por $ 12,000. Debido a que el auto tenía 4 años, su precio era ( frac {3} {4} ) del precio original, cuando el auto era nuevo. ¿Cuál fue el precio original del automóvil?
Respuesta
[ begin {array} {ll} { text {¿Qué se le pide que encuentre?}} & { Text {El precio original del automóvil}} \\ { text {Asigne una variable .}} & { text {Sea p = el precio original.}} \\ { text {Escriba una oración que proporcione}} y {$ 12000 text {is} frac {3} {4} texto {del precio original.}} \ { text {información para encontrarlo.}} & {} \\ { text {Traducir a una ecuación.}} & {12000 = frac {3} { 4} p} \ {} & { frac {3} {4} (12000) = frac {4} {3} cdot frac {3} {4} p} \ {} & {16000 = p} \ { text {Solve.}} & {} \\ {} & { text {El costo original del automóvil fue} $ 16000.} \ \ { text {Check: Is} frac {3} {4} text {of} $ 16000 text {igual a} $ 12000} & {} \\ { frac {3} {4} cdot 16000 stackrel {?} {=} 12000 } & {} \ {12000 = 12000 marca de verificación} & {} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {41} )
Traducir y resolver:
El impuesto anual sobre la propiedad de la casa de Mehta es de $ 1,800, calculado como ( frac {15} {1000} ) del valor tasado de la casa. ¿Cuál es el valor evaluado de la casa de Mehta?
Respuesta
$ 120000
Ejercicio ( PageIndex {42} )
Traducir y resolver:
Stella plantó 14 pisos de flores en ( frac {2} {3} ) de su jardín. ¿Cuántos pisos de flores necesitaría para llenar todo el jardín?
Respuesta
21 pisos
Conceptos clave
La propiedad de igualdad de división —Para cualquier número a , b y c , y (c neq 0 ), si (a = b ), entonces ( frac {a} {c} = frac {b} {c} ). Cuando divide ambos lados de una ecuación por cualquier número distinto de cero, todavía tiene igualdad.
La propiedad de igualdad de multiplicación —Para cualquier número a , b y c , si (a = b ), luego (ac = bc ). Si multiplicas ambos lados de una ecuación por el mismo número, aún tienes igualdad.
