2.2: Usa el lenguaje de álgebra (Parte 2)

2.2: Usa el lenguaje de álgebra (Parte 2)

Simplificar expresiones usando el orden de operaciones

 

Hemos introducido la mayoría de los símbolos y la notación utilizados en álgebra, pero ahora necesitamos aclarar el orden de las operaciones. De lo contrario, las expresiones pueden tener diferentes significados y pueden dar lugar a valores diferentes. Por ejemplo, considere la expresión: [4 + 3 cdot 7 nonumber ]

                                                                                                                                                                                                                                                  
Algunos estudiantes dicen que se simplifica a 49 Algunos estudiantes dicen que se simplifica a 25
Dado que 4 + 3 da 7. 4 + 3 • 7 = 7 • 7 Dado que 3 • 7 es 21. 4 + 3 • 7 = 4 + 21
Y 7 • 7 es 49. 7 • 7 = 49 Y 21 + 4 son 25. 4 + 21 = 25
 

Imagine la confusión que podría resultar si cada problema tuviera varias respuestas correctas diferentes. La misma expresión debería dar el mismo resultado. Entonces, los matemáticos establecieron algunas pautas llamadas el orden de las operaciones, que describe el orden en el que se deben simplificar las partes de una expresión.

 
 

Definición: Orden de operaciones

 

Al simplificar las expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:

 
         
  1. P arentheses y otros símbolos de agrupación
  2.  
 
         
  • Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
  •  
 
         
  1. E xponentes
  2.  
 
         
  • Simplifica todas las expresiones con exponentes.
  •  
 
         
  1. M ultiplicación y D ivision
  2.  
 
         
  • Realice todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  •  
 
         
  1. A ddition y S ubtraction
  2.  
 
         
  • Realice todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  •  
 
 

Los estudiantes a menudo preguntan: «¿Cómo recordaré la orden?» Aquí hay una manera de ayudarlo a recordar: tome la primera letra de cada palabra clave y sustituya la frase tonta. P arrendamiento E xcuse M y D oreja A hasta S aliado.

                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {8} )
Orden de operaciones
P arrendamiento P arentheses
E xcuse E xponentes
M y D oreja M ultiplicación y D ivision
A hasta S aliado A ddition y S ubtraction
 

Es bueno que ‘ M y D oreja’ va de la mano, ya que esto nos recuerda que m ultiplicación y d ivision tienen Igual prioridad. No siempre hacemos multiplicación antes de la división o siempre hacemos división antes de la multiplicación. Los hacemos en orden de izquierda a derecha.

 

Del mismo modo, ‘ A hasta S aliado’ se une y nos recuerda que una ddición y s ubtraction también tienen igual prioridad y los hacemos en orden de izquierda a derecha.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

 

Simplifica las expresiones:

 
         
  1. (4 + 3 • 7 )
  2.      
  3. ((4 + 3) • 7 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Si. (4 + 3 cdot 7 )
Multiplica primero. (4 + textcolor {rojo} {3 cdot 7} )
Agregar. (4 + 21 )
(25 )
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
¿Hay paréntesis? Si. ((4 + 3) cdot 7 )
Simplifica dentro de los paréntesis. ( textcolor {rojo} {(4 + 3)} cdot 7 )
¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Si. ((7) 7 )
Multiplica. (49 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplifica las expresiones:

 
         
  1. (12 – 5 • 2 )
  2.      
  3. ((12 – 5) • 2 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(2 )

     
     
Respuesta b
     
     

(14 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplifica las expresiones:

 
         
  1. (8 + 3 • 9 )
  2.      
  3. ((8 + 3) • 9 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(35 )

     
     
Respuesta b
     
     

(99 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

 

Simplificar:

 
         
  1. (18 ÷ 9 • 2 )
  2.      
  3. (18 • 9 ÷ 2 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Si. (18 div 9 cdot 2 )
Multiplica y divide de izquierda a derecha. Dividir. ( textcolor {rojo} {2} cdot 2 )
Multiplica. (4 )
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Si. (18 cdot 9 div 2 )
Multiplica y divide de izquierda a derecha. Multiplicar. ( textcolor {rojo} {162} div 2 )
Divide. (81 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar: (42 ÷ 7 • 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(18 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar: (12 • 3 ÷ 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(9 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): simplificar

 

Simplifica: (18 ÷ 6 + 4 (5 – 2) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Paréntesis? Sí, restar primero. (18 div 6 + 4 (5-2) )
¿Exponentes? No. ¿Multiplicación o división? Si. (18 div 6 + 4 ( textcolor {red} {3}) )
Divide primero porque multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha. ( textcolor {rojo} {3} + 4 (3) )
¿Alguna otra multiplicación o división? Si. Multiplicar. (3 + textcolor {rojo} {12} )
¿Alguna otra multiplicación o división? No. ¿Alguna suma o resta? Sí (15 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar: (30 ÷ 5 + 10 (3 – 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(16 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplificar: (70 ÷ 10 + 4 (6 – 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(23 )

     
 
 
 
 

Cuando hay múltiples símbolos de agrupación, primero simplificamos los paréntesis más internos y trabajamos hacia afuera.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): simplificar

 

Simplifica: (5 + 2 ^ 3 + 3 [6 – 3 (4 – 2)] ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
¿Hay paréntesis (u otro símbolo de agrupación)? Si. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6-3 (4-2)] )
Concéntrese en los paréntesis que están dentro de los corchetes. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6-3 textcolor {rojo} {(4-2)}] )
Restar. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6- textcolor {rojo} {3 (2)}] )
Continúa dentro de los corchetes y multiplica. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6- textcolor {rojo} {6}] )
Continúa dentro de los corchetes y resta. (5 + 2 ^ {3} + 3 [ textcolor {red} {0}] )
La expresión dentro de los corchetes no requiere más simplificación.
¿Hay exponentes? Si. (5 + textcolor {rojo} {2 ^ {3}} + 3 [0] )
Simplifica exponentes. (5 + textcolor {rojo} {8} + 3 [0] )
¿Hay alguna multiplicación o división? Si. (5 + 8 + textcolor {rojo} {3 [0]} )
Multiplica. (5 + 8 + textcolor {rojo} {0} )
¿Hay alguna suma o resta? Si. (textcolor {rojo} {5 + 8 + 0} )
Agregar. ( textcolor {rojo} {13} + 0 )
Agregar. (13 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplifica: (9 + 5 ^ 3 – [4 (9 + 3)] )

 
     
Respuesta
     
     

(86 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplificar: (7 ^ 2 – 2 [4 (5 + 1)] )

 
     
Respuesta
     
     

(1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): simplificar

 

Simplifica: (2 ^ 3 + 34 ÷ 3 – 5 ^ 2 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Si una expresión tiene varios exponentes, se pueden simplificar en el mismo paso. (2 ^ {3} + 3 ^ {4} div 3 – 5 {2} )
Simplifica exponentes. ( textcolor {red} {2 ^ {3}} + textcolor {red} {3 ^ {4}} div 3 – textcolor {red} {5 ^ {2}} ) [19459012 ]          
Divide. (8 + textcolor {rojo} {81 div 3} – 25 )
Agregar. ( textcolor {rojo} {8 + 27} – 25 )
Restar. ( textcolor {rojo} {35-25} )
(10 ​​)
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplifica: (3 ^ 2 + 2 ^ 4 ÷ 2 + 4 ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(81 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplificar: (6 ^ 2 – 5 ^ 3 ÷ 5 + 8 ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(75 )

     
 
 
 

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Conceptos clave

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Operación Notación Di: El resultado es …
Adición la suma de
Multiplicación El producto de
Resta la diferencia de
División (a div b, a / b, dfrac {a} {b}, a overline { smash {)} b} ) El cociente de
 
         
  • Símbolo de igualdad      
               
    •          
    • El símbolo (= ) se llama signo igual.
    •      
         
  •      
  • Desigualdad      
               
    •          
    • (a> b ) se lee (a ) es mayor que (b )
    •          
    •      
         
  •  
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Notación algebraica Di
a es menor o igual que b
a es mayor o igual que b
 
 
         
  • Notación exponencial      
               
    • Para cualquier expresión (a ^ n ) es un factor multiplicado por sí mismo
    •          
    • [19459022 ]          
    • La expresión de
    •      
         
  •  
 

Orden de operaciones Al simplificar expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:

 
         
  • Paréntesis y otros símbolos de agrupación: Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
  •      
  • Exponentes: simplifica todas las expresiones con exponentes.
  •      
  • Multiplicación y división: Realice todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  •      
  • Suma y resta: Realiza todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  •  
 
 

Glosario

 
     
expresiones
     
     

Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables y símbolos de operación.

     
     
ecuación
     
     

Una ecuación se compone de dos expresiones conectadas por un signo igual.

     
 
 

La práctica hace la perfección

 

Usar variables y símbolos algebraicos

 

En los siguientes ejercicios, traduce de notación algebraica a palabras.

 
         
  1. 16 – 9
  2.      
  3. 25 – 7
  4.      
  5. 5 • 6
  6.      
  7. 3 • 9
  8.      
  9. 28 ÷ 4
  10.      
  11. 45 ÷ 5
  12.      
  13. x + 8
  14.      
  15. x + 11
  16.      
  17. (2) (7)
  18.      
  19. (4) (8)
  20.      
  21. 14 <21
  22.      
  23. 17 <35
  24.      
  25. 36 ≥ 19
  26.      
  27. 42 ≥ 27
  28.      
  29. 3n = 24
  30.      
  31. 6n = 36
  32.      
  33. y – 1> 6
  34.      
  35. y – 4> 8
  36.      
  37. 2 ≤ 18 ÷ 6
  38.      
  39. 3 ≤ 20 ÷ 4
  40.      
  41. a ≠ 7 • 4
  42.      
  43. a ≠ 1 • 12
  44.  
 

Identificar expresiones y ecuaciones

 

En los siguientes ejercicios, determine si cada uno es una expresión o una ecuación.

 
         
  1. 9 • 6 = 54
  2.      
  3. 7 • 9 = 63
  4.      
  5. 5 • 4 + 3
  6.      
  7. 6 • 3 + 5
  8.      
  9. x + 7
  10.      
  11. x + 9
  12.      
  13. y – 5 = 25
  14.      
  15. y – 8 = 32
  16.  
 

Simplificar expresiones con exponentes

 

En los siguientes ejercicios, escribe en forma exponencial.

 
         
  1. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
  2.      
  3. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4
  4.      
  5. x • x • x • x • x
  6.      
  7. y • y • y • y • y • y
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, escriba en forma expandida.

 
         
  1. 5 3
  2.      
  3. 8 3
  4.      
  5. 2 8
  6.      
  7. 10 5
  8.  
 

Simplificar expresiones usando el orden de operaciones

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. (a) 3 + 8 • 5 (b) (3 + 8) • 5
  2.      
  3. (a) 2 + 6 • 3 (b) (2 + 6) • 3
  4.      
  5. 2 3 – 12 ÷ (9 – 5)
  6.      
  7. 3 2 – 18 ÷ (11 – 5)
  8.      
  9. 3 • 8 + 5 • 2
  10.      
  11. 4 • 7 + 3 • 5
  12.      
  13. 2 + 8 (6 + 1)
  14.      
  15. 4 + 6 (3 + 6)
  16.      
  17. 4 • 12/8
  18.      
  19. 2 • 36/6
  20.      
  21. 6 + 10/2 + 2
  22.      
  23. 9 + 12/3 + 4
  24.      
  25. (6 + 10) ÷ (2 + 2)
  26.      
  27. (9 + 12) ÷ (3 + 4)
  28.      
  29. 20 ÷ 4 + 6 • 5
  30.      
  31. 33 ÷ 3 + 8 • 2
  32.      
  33. 20 ÷ (4 + 6) • 5
  34.      
  35. 33 ÷ (3 + 8) • 2
  36.      
  37. 4 2 + 5 2
  38.      
  39. 3 2 + 7 2
  40.      
  41. (4 + 5) 2
  42.      
  43. (3 + 7) 2
  44.      
  45. 3 (1 + 9 • 6) – 4 2
  46.      
  47. 5 (2 + 8 • 4) – 7 2
  48.      
  49. 2 [1 + 3 (10 – 2)]
  50.      
  51. 5 [2 + 4 (3 – 2)]
  52.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Baloncesto En los playoffs de la NBA de 2014, los San Antonio Spurs vencieron al Miami Heat. La siguiente tabla muestra las alturas de los titulares en cada equipo. Use esta tabla para completar el símbolo apropiado (=, <,>).
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Espuelas Altura Calor Altura
Tim Duncan 83 ″ Rashard Lewis 82 «
Boris Diaw 80 « LeBron James 80 «
Kawhi Leonard 79 « Chris Bosh 83 «
Tony Parker 74 « Dwyane Wade 76 «
Danny Green 78 « Ray Allen 77 «
 
         
  1. Altura de Tim Duncan____ Altura de Rashard Lewis
  2.      
  3. Altura de Boris Diaw____ Altura de LeBron James
  4.      
  5. Altura de Kawhi Leonard____ Altura de Chris Bosh
  6.      
  7. Altura de Tony Parker____ Altura de Dwyane Wade
  8.      
  9. Altura de Danny Green____ Altura de Ray Allen
  10.  
 
         
  1. Elevación En Colorado hay más de 50 montañas con una elevación de más de 14,000 pies. La tabla muestra los diez más altos. Use esta tabla para completar el símbolo de desigualdad apropiado.
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Montaña Elevación
Monte. Elbert 14,433 ′
Monte. Masiva 14,421 ′
Monte. Harvard 14,420 ′
Pico Blanca 14,345 ′
Pico La Plata 14,336 ′
Pico Uncompahgre 14,309 ′
Crestone Peak 14,294 ′
Monte. Lincoln 14,286 ′
Grays Peak 14,270 ′
Monte. Antero 14,269 ′
 
         
  1. Elevación del pico de La Plata ____ Elevación del monte. Antero
  2.      
  3. Elevación de Blanca Peak____Elevation of Mt. Elbert
  4.      
  5. Elevación de Grey’s Peak____Elevation of Mt. Lincoln
  6.      
  7. Elevación del monte. Elevación masiva del pico de cresta
  8.      
  9. Elevación del monte. Harvard____Elevation of Uncompahgre Peak
  10.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Explica la diferencia entre una expresión y una ecuación.
  2.      
  3. ¿Por qué es importante usar el orden de las operaciones para simplificar una expresión?
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) Si la mayoría de sus cheques fueran:

 

… con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Se específico.

 

… con algo de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de continuar. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros e instructor son buenos recursos. ¿Hay un lugar en el campus donde hay tutores de matemáticas disponibles? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

 

… no, ¡no lo entiendo! Esta es una señal de advertencia y no debe ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o se sentirá abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para analizar su situación. Juntos pueden elaborar un plan para obtener la ayuda que necesitan.

 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (anteriormente de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
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