En esta sección presentamos técnicas que eliminan fracciones y decimales de las ecuaciones, haciendo que la ecuación resultante sea mucho más fácil de resolver. Al borrar fracciones de una ecuación, deberá simplificar productos como los que se presentan en los siguientes ejemplos.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Simplifique: (12 left ( dfrac {2} {3} x right) ).
Solución
Cuando multiplicamos tres números, como (12 ), (2/3 ) y (x ), la propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que no importa qué dos números multiplicamos primero . Usamos la propiedad asociativa para reagruparnos, luego multiplicamos numeradores y denominadores y simplificamos el resultado.
[ begin {alineado} 12 left ( dfrac {2} {3} x right) & = left (12 cdot dfrac {2} {3} right) x quad color {Rojo} text {Propiedad asociativa de la multiplicación.} \ & = dfrac {24} {3} x quad color {Red} text {Multiplicar:} 12 cdot 2 = 24 \ & = 8 x quad color {Red} text {Divide:} 24/3 = 8 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Simplifique: (15 left ( dfrac {3} {5} x right) ).
- Respuesta
-
(9x )
El ejemplo ( PageIndex {1} ) muestra todos los pasos necesarios para llegar a la respuesta. Sin embargo, el objetivo en esta sección es realizar este cálculo mentalmente. Así que simplemente “Multiplicamos (12 ) y (2 ) para obtener (24 ), luego dividimos (24 ) por (3 ) para obtener (8 )”. Este enfoque nos permite escribir la respuesta sin hacer ningún trabajo.
[12 left ( dfrac {2} {3} x right) = 8 x nonumber ]
Debes practicar este cálculo mental hasta que puedas escribir la respuesta sin escribir ningún paso.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Simplifique: (18 left ( dfrac {2} {9} x right) ).
Solución
Esta vez realizamos los cálculos mentalmente. Multiplique (18 ) y (2 ) para obtener (36 ), luego divida (36 ) por (9 ) para obtener (4 ).
[18 left ( dfrac {2} {9} x right) = 4 x nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Simplifique: (14 left ( dfrac {3} {7} x right) ).
- Respuesta
-
(6x )
Cuando los números aumentan, los cálculos mentales se vuelven más difíciles. Por ejemplo, considere [72 left ( dfrac {8} {9} x right) nonumber ]
En este caso, el trabajo “multiplica (72 ) y (8 ) para obtener (576 ), luego divide (576 ) por (9 ) para obtener (64 ) “Es un poco difícil de llevar en la cabeza. Sin embargo, esto es cuando la calculadora viene al rescate.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Use su calculadora para ayudar a simplificar (72 left ( dfrac {8} {9} x right) ).
Solución
Usa tu calculadora para multiplicar (72 ) y (8 ), luego divide por (9 ). Ingrese 72 * 8/9 y presione la tecla ENTER.
Por lo tanto, (72 left ( dfrac {8} {9} x right) = 64 x ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Usa tu calculadora para simplificar: (81 left ( frac {5} {9} x right) ).
- Respuesta
-
(45x )
La cancelación es más eficiente
En los ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex [19459024 ] {3} ) , multiplicamos los numeradores, luego los dividimos por el único denominador. También vimos que es un poco difícil llevar el trabajo en nuestra cabeza a medida que los números crecen. En Capítulo 1, Sección 3 , vimos que cancelar reduce el tamaño de los números y simplifica el trabajo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Simplifique: (72 left ( dfrac {8} {9} x right) ).
Solución
En el ejemplo ( PageIndex {3} ), usamos nuestra calculadora para multiplicar (72 ) y (8 ) para obtener (576 ), luego dividimos (576 ) por ( 9 ) para obtener (64 ). En esta solución, dividimos (9 ) en (72 ) para obtener (8 ), luego multiplicamos (8 ) por (8 ) para obtener (64 ). Obtenemos la misma respuesta, pero debido a que los números intermedios son mucho más pequeños, los cálculos son mucho más fáciles de hacer mentalmente.
[ begin {alineado} 72 left ( dfrac {8} {9} x right) & = left (72 cdot dfrac {8} {9} right) x quad color {Rojo} text {Propiedad asociativa de la multiplicación} \ & = (8 cdot 8) x quad color {Red} text {Divide:} 72/9 = 8 \ & = 64 x quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 8 cdot 8 = 64 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Simplifique: (64 left ( dfrac {5} {8} x right) ).
- Respuesta
-
(40x )
El ejemplo ( PageIndex {4} ) muestra todos los pasos necesarios para llegar a la respuesta. Una vez más, el objetivo en esta sección es realizar este cálculo mentalmente, por lo que simplemente “Dividimos (9 ) en (72 ) para obtener (8 ), luego multiplicamos (8 ) por (8 ) para obtener (644 ) “.
[72 left ( frac {8} {9} x right) = 64 x nonumber ]
Este enfoque no solo nos permite escribir la respuesta sin hacer ningún trabajo, sino que los cálculos numéricos involucran números más pequeños. Debe practicar este cálculo mental hasta que pueda escribir la respuesta sin escribir ningún paso.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Simplifique: (27 left ( dfrac {5} {9} x right) ).
Solución
Divide (9 ) en (27 ) para obtener (3 ), luego multiplica (3 ) por (5 ) para obtener (15 ). [27 left ( dfrac {5} {9} x right) = 15 x nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Simplifique: (18 left ( dfrac {3} {2} x right) ).
- Respuesta
-
(27x )
Nota
La técnica que se muestra en los Ejemplos ( PageIndex {4} ) y ( PageIndex {5} ) es la técnica que usaremos en el resto de esta sección. La división (cancelación) primero es mucho más eficiente, los números más pequeños nos permiten realizar el cálculo mentalmente.
Borrar fracciones de una ecuación
Ahora que hemos realizado el trabajo de fracción requerido, ahora podemos concentrarnos en borrar fracciones de una ecuación. Una vez que las fracciones se eliminan de la ecuación, la ecuación equivalente resultante es mucho más fácil de resolver que la original.
Borrar fracciones de una ecuación
Para borrar fracciones de una ecuación, multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelva para (x: quad x + dfrac {2} {3} = dfrac {1} {2} ).
Solución
El denominador común para (2/3 ) y (1/2 ) es (6 ). Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por (6 ).
[ begin {alineado} x + dfrac {2} {3} & = dfrac {1} {2} quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 6 left (x + dfrac {2} {3} right) & = 6 left ( dfrac {1} {2} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por 6.} \ 6x + 6 left ( dfrac {2} {3} right) & = 6 left ( dfrac {1} {2} right) quad color {Red} text {On a la izquierda, distribuya el} 6 end {alineado} nonumber ]
Para simplificar (6 (2/3) ), divida (6 ) por (3 ) para obtener (2 ), luego multiplique (2 ) por (2 ) para obtener (4 ). Por lo tanto, (6 (2/3) = 4 ). Del mismo modo, (6 (1/2) = 3 ).
[6x + 4 = 3 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 6 left ( dfrac {2} {3} right) = 4,6 left ( dfrac {1} {2} right) = 3 nonumber ]
Tenga en cuenta que las fracciones ahora se borran de la ecuación. Para aislar términos que contienen (x ) en un lado de la ecuación, reste (4 ) de ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} 6x + 4-4 & = 3-4 quad color {Rojo} text {Restar} 4 text {de ambos lados. } \ 6x & = -1 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Para “deshacer” multiplicando por (6 ), divida ambos lados entre (6 ).
[ begin {alineado} dfrac {6x} {6} & = dfrac {-1} {6} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 6 \ x & = – dfrac {1} {6} quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Verificar: Usemos la TI-84 para verificar la solución.
- Almacene (- 1/6 ) en la variableX usando las siguientes teclas.
- Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: (x +2 / 3 ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
- Presione la tecla MATH, luego seleccione 1: ►Frac y presione la tecla ENTER. El resultado se muestra en la tercera línea en la Figura ( PageIndex {1} ).
El resultado es idéntico al lado derecho de la ecuación (x +2 / 3 = 1/2 ). Por lo tanto, la solución verifica.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelva para (x: x- dfrac {3} {4} = dfrac {1} {2} ).
- Respuesta
-
(x = 5/4 )
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelva para (x: quad dfrac {4} {5} x = – dfrac {4} {3} ).
Solución
El denominador común para (4/5 ) y (- 4/3 ) es (15 ). Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por (15 ).
[ begin {alineado} dfrac {4} {5} x & = – dfrac {4} {3} quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 15 left ( dfrac {4} {5} x right) & = 15 left (- dfrac {4} {3} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 15 end {alineado} nonumber ]
Para simplificar (15 (4/5) ), divida (5 ) en (15 ) para obtener (3 ), luego multiplique (3 ) por (4 ) para obtener (12 ). Por lo tanto, (15 (4/5) = 12 ). Del mismo modo, (15 (-4/3) = -20 )
[12x = -20 quad color {Red} text {Multiply.} Nonumber ]
Para “deshacer” la multiplicación por (12 ), dividimos ambos lados por (12 ).
[ begin {alineado} dfrac {12x} {12} & = dfrac {-20} {12} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 12 \ x & = – dfrac {5} {3} quad color {Red} text {Reducir a los términos más bajos. } end {alineado} nonumber ]
Verificar: Para verificar, sustituya (- 5/3 ) por (x ) en la ecuación original.
[ begin {alineado} dfrac {4} {5} x & = – dfrac {4} {3} quad color {Red} text {Ecuación original. } \ dfrac {4} {5} left (- dfrac {5} {3} right) & = – dfrac {4} {3} quad color {Red} text {Substitute} – 5/3 text {para} x \ – dfrac {20} {15} & = – dfrac {4} {3} quad color {Red} text {Multiplica numeradores y denominadores. } \ – dfrac {4} {3} & = – dfrac {4} {3} quad color {Rojo} text {Reducir. } end {alineado} nonumber ]
El hecho de que la última línea sea una declaración verdadera garantiza que (- 5/3 ) es una solución de la ecuación ( dfrac {4} {5} x = – dfrac {4} {3} )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelva para (x: – dfrac {3} {7} x = dfrac {3} {2} ).
- Respuesta
-
(x = -7 / 2 )
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelva para (x: dfrac {2 x} {3} – dfrac {3} {4} = dfrac {1} {2} – dfrac {3 x} {4} ).
Solución
El denominador común para (2x / 3 ), (- 3/4 ), (1/2 ) y (- 3x / 4 ) es (12 ). Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por (12 ).
[ begin {alineado} dfrac {2 x} {3} – dfrac {3} {4} & = dfrac {1} {2} – dfrac {3 x} {4} quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 12 left ( dfrac {2x} {3} – dfrac {3} {4} right) & = 12 left ( dfrac {1} {2} – dfrac {3x} {4} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 12 \ 12 left ( dfrac {2x} {3} right) -12 left ( dfrac {3} {4} right) & = 12 left ( dfrac {1} {2} right) -12 left ( dfrac {3x} {4} right) quad color {Red} text {Distribuya el} 12 texto {a cada lado. } end {alineado} nonumber ]
Para simplificar (12 (2x / 3) ), divida (3 ) en (12 ) para obtener (4 ), luego multiplique (4 ) por (2x ) para obtener (8x ). Por lo tanto, (12 (2x / 3) = 8x ). Del mismo modo, (12 (3/4) = 9 ), (12 (1/2) = 6 ) y (12 (3x / 4) = 9x ).
[8x-9 = 6-9x quad color {Red} text {Multiply.} Nonumber ]
Tenga en cuenta que las fracciones ahora se borran de la ecuación. Ahora necesitamos aislar términos que contengan (x ) en un lado de la ecuación. Para eliminar el término (- 9x ) del lado derecho, agregue (9x ) a ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} 8x-9 + 9x & = 6-9x + 9x quad color {Rojo} text {Agregar} 9x text {a ambos lados. } \ 17x-9 & = 6 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Para eliminar el término (- 9 ) del lado izquierdo, agregue (9 ) a ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} 7x-9 + 9 & = 6 + 9 quad color {Red} text {Add} 9 text {a ambos lados. } \ 17x & = 15 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Finalmente, para “deshacer” multiplicando por (17 ), divida ambos lados de la ecuación por (17 ).
[ begin {alineado} dfrac {17x} {17} & = dfrac {15} {17} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 17 \ x & = dfrac {15} {17} quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Verificar: Usemos la TI-84 para verificar la solución.
- Almacene el número (15/17 ) en la variable (X ) usando las siguientes teclas.
- Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: ( dfrac {2 x} {3} – dfrac {3} {4} ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
- Ingrese el lado derecho de la ecuación original: ( dfrac {1} {2} – dfrac {3 x} {4} ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
Debido a que ambos lados se simplifican a (-. 1617647059 ) cuando (15/17 ) se sustituye por (x ), esto garantiza que (15/17 ) es una solución de la ecuación ( 2x / 3-3 / 4 = 1 / 2-3x / 4 ).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resuelva para (x: dfrac {5 x} {9} – dfrac {2} {3} = dfrac {5} {9} – dfrac {3 x} {2} ).
- Respuesta
-
(x = 22/37 )
Borrar decimales de una ecuación
Multiplicar por la potencia apropiada de diez borrará los decimales de una ecuación, haciendo que la ecuación equivalente resultante sea mucho más fácil de resolver.
Antes de comenzar, primero recordemos los siguientes hechos sobre la multiplicación por potencias de diez.
- (10 (1.2345) = 12.345 ). Multiplicar por (10 ) mueve el punto decimal un lugar a la derecha.
- (100 (1.2345) = 123.45 ). Multiplicar por (100 ) mueve el punto decimal dos lugares a la derecha.
- (1000 (1.2345) = 1234.5 ). Multiplicar por (1000 ) mueve el punto decimal tres lugares a la derecha.
Tenga en cuenta el patrón: el número de ceros en la potencia de diez determina el número de lugares para mover el punto decimal. Entonces, por ejemplo, si multiplicamos por (1,000,000 ), que tiene seis ceros, esto moverá el punto decimal seis lugares a la derecha.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Resuelve para (x: quad 2.3 x-1.25 = 0.04 x ).
Solución
El primer término de (2.3x-1.25 = 0.04x ) tiene un lugar decimal, el segundo término tiene dos lugares decimales y el tercer y último término tiene dos lugares decimales. Como mínimo, debemos mover cada punto decimal dos lugares hacia la derecha para borrar los decimales de la ecuación. En consecuencia, multiplicamos ambos lados de la ecuación por (100 ).
[ begin {alineado} 2.3 x-1.25 & = 0.04 x quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 100 (2.3 x-1.25) & = 100 (0.04 x) quad color {Rojo} text {Multiplique ambos lados por} 100 \ 100 (2.3 x) -100 (1.25) & = 100 (0.04 x) quad color {Red} text {Distribuya el} 100 text {. } \ 230 x-125 & = 4 x quad color {Rojo} text {Multiplicar por} 100 text {mueve todos los puntos decimales dos lugares a la derecha. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que los decimales ahora se borran de la ecuación. Ahora debemos aislar todos los términos que contienen x en un lado de la ecuación. Para eliminar el término (4x ) del lado derecho, reste (4x ) de ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} 230x-125-4x & = 4x-4x quad color {Rojo} text {Restar} 4x text {de ambos lados. } \ 226x-125 & = 0 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Para eliminar (- 125 ) del lado izquierdo, agregue (125 ) a ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} 226x-125 + 125 & = 0 + 125 quad color {Red} text {Add} 125 text {a ambos lados. } \ 226x & = 125 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Finalmente, para “deshacer” multiplicando por (226 ), divida ambos lados entre (226 ).
[ begin {alineado} dfrac {226x} {226} & = dfrac {125} {226} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 226 \ x & = dfrac {125} {226} quad color {Red} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Verifique: Verifiquemos la respuesta con la TI-84.
- Almacene (125/226 ) en la variable (X ) usando las siguientes teclas.
El resultado se muestra en la primera imagen en ( PageIndex {4} ).
- Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original: (2.3x-1.25 ). Use las siguientes pulsaciones de teclas.
- Ingrese el lado derecho de la ecuación original: 0.04x. Use las siguientes pulsaciones de teclas.
Tenga en cuenta que ambos lados producen la misma aproximación decimal (0.0221238938 ) cuando (125/226 ) se sustituye por (x ). Esto garantiza que (125/226 ) es una solución de (2.3x-1.25 = 0.04x ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Resuelva para (x: 1.34-4.5 x = 2.2 ).
- Respuesta
-
(x = -43 / 225 )