2.3: Ecuaciones lineales en una variable

2.3: Ecuaciones lineales en una variable

Caroline es una estudiante universitaria de tiempo completo que planea unas vacaciones de vacaciones de primavera. Para ganar suficiente dinero para el viaje, ella tomó un trabajo de medio tiempo en el banco local que paga ($ 15.00 / h ), y abrió una cuenta de ahorros con un depósito inicial de ($ 400 ) el 15 de enero. Ella arregló el depósito directo de sus cheques de nómina. Si las vacaciones de primavera comienzan el 20 de marzo y el viaje costará aproximadamente ($ 2,500 ), ¿cuántas horas tendrá que trabajar para ganar lo suficiente para pagar sus vacaciones? Si solo puede trabajar (4 ) horas por día, ¿cuántos días por semana tendrá que trabajar? ¿Cuántas semanas tomará? En esta sección, investigaremos problemas como este y otros, que generan gráficos como la línea en la Figura ( PageIndex {1} ).

Resolviendo ecuaciones lineales en una variable

 

Una ecuación lineal es una ecuación de una línea recta, escrita en una variable. El único poder de la variable es (1 ). Las ecuaciones lineales en una variable pueden tomar la forma (ax + b = 0 ) y se resuelven mediante operaciones algebraicas básicas. Comenzamos clasificando las ecuaciones lineales en una variable como uno de tres tipos: identidad, condicional o inconsistente.

 
         
  • Una ecuación de identidad es verdadera para todos los valores de la variable. Aquí hay un ejemplo de una ecuación de identidad: [3x = 2x + x nonumber ] El conjunto de soluciones consiste en todos los valores que hacen que la ecuación sea verdadera. Para esta ecuación, el conjunto de soluciones son todos los números reales porque cualquier número real sustituido por (x ) hará que la ecuación sea verdadera.
  •      
  • Una ecuación condicional es verdadera solo para algunos valores de la variable. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación (5x + 2 = 3x − 6 ), tenemos lo siguiente: [ begin {align *} 5x + 2 & = 3x-6 \ 2x & = – 8 x & = – 4 end {align *} ] El conjunto de soluciones consta de un número: ({- 4} ). Es la única solución y, por lo tanto, hemos resuelto una ecuación condicional.
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  • Una ecuación inconsistente da como resultado una declaración falsa. Por ejemplo, si queremos resolver (5x − 15 = 5 (x − 4) ), tenemos lo siguiente: [ begin {align *} 5x − 15 & = 5x − 20 \ 5x − 15- 5x & = 5x − 20-5x \ −15 & neq −20 end {align *} ] De hecho, (- 15 ≠ −20 ). No hay solución porque esta es una ecuación inconsistente.
  •  
 

La resolución de ecuaciones lineales en una variable involucra las propiedades fundamentales de la igualdad y las operaciones algebraicas básicas. Sigue una breve revisión de esas operaciones.

 
 
 

ECUACIÓN LINEAL EN UNA VARIABLE

 

Una ecuación lineal en una variable se puede escribir en la forma

 

[hacha + b = 0 ]

 

donde a y b son números reales, (a ≠ 0 ).

 
 
 
 

Cómo: dada una ecuación lineal en una variable, usa álgebra para resolverla

 

Los siguientes pasos se utilizan para manipular una ecuación y aislar la variable desconocida, de modo que la última línea lea (x = ) _________, si (x ) es la desconocida. No hay un orden establecido, ya que los pasos utilizados dependen de lo que se proporciona:

 
         
  1. Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir una ecuación por un número o una expresión siempre que hagamos lo mismo a ambos lados del signo igual. Tenga en cuenta que no podemos dividir por cero.
  2.      
  3. Aplique la propiedad distributiva según sea necesario: (a (b + c) = ab + ac ).
  4.      
  5. Aislar la variable en un lado de la ecuación.
  6.      
  7. Cuando la variable se multiplica por un coeficiente en la etapa final, multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Resolviendo una ecuación en una variable

 

Resuelve la siguiente ecuación: (2x + 7 = 19 ).

 

Solución

 

Esta ecuación se puede escribir en la forma (ax + b = 0 ) restando 19 de ambos lados. Sin embargo, podemos proceder a resolver la ecuación en en su forma original realizando operaciones algebraicas.

 

[ begin {align *} 2x + 7 & = 19 \ 2x & = 12 qquad text {Resta 7 de ambos lados} \ x & = 6 qquad text {Multiplica ambos lados por} dfrac { 1} {2} text {o dividir por} 2 end {align *} ]

 

La solución es (6 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve la ecuación lineal en una variable: (2x + 1 = −9 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −5 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolviendo cuando la variable aparece en ambos lados

 

Resuelve la siguiente ecuación: (4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) ).

 

Solución

 

Aplicar propiedades algebraicas estándar.

 

[ begin {align *} 4 (x-3) + 12 & = 15-5 (x + 6) \ 4x-12 + 12 & = 15-5x-30 qquad text {Aplicar la propiedad distributiva } \ 4x & = – 15-5x qquad text {Combinar términos similares} \ 9x & = – 15 qquad text {Coloque x términos en un lado y simplifique} \ x & = – dfrac {15} {9 } qquad text {Multiplica ambos lados por} dfrac {1} {9} text {, el recíproco de} 9 \ x & = – dfrac {3} {5} end {align *} ] [ 19459001]  

Análisis

 

Este problema requiere que la propiedad distributiva se aplique dos veces, y luego las propiedades del álgebra se usan para llegar a la línea final, (x = – dfrac {3} {5} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve la ecuación en una variable: (- 2 (3x − 1) + x = 14 − x ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = -3 )

     
 
 
 

Resolviendo una ecuación racional

 

En esta sección, observamos ecuaciones racionales que, después de alguna manipulación, dan como resultado una ecuación lineal. Si una ecuación contiene al menos una expresión racional, se considera una ecuación racional . Recuerde que un número racional es la razón de dos números, como ( dfrac {2} {3} ) o ( dfrac {7} {2} ). Una expresión racional es la relación, o cociente, de dos polinomios. Aquí hay tres ejemplos.

 

[ dfrac {x + 1} {x ^ 2-4} nonumber ]

 

[ dfrac {1} {x-3} nonumber ]

 

o

 

[ dfrac {4} {x ^ 2 + x-2} nonumber ]

 

Las ecuaciones racionales tienen una variable en el denominador en al menos uno de los términos. Nuestro objetivo es realizar operaciones algebraicas para que las variables aparezcan en el numerador. De hecho, eliminaremos todos los denominadores multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador (LCD). Encontrar la pantalla LCD es identificar una expresión que contiene la potencia más alta de todos los factores en todos los denominadores. Hacemos esto porque cuando la ecuación se multiplica por el LCD, los factores comunes en el LCD y en cada denominador serán iguales y se cancelarán.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo una ecuación racional

 

Resuelve la ecuación racional:

 

[ dfrac {7} {2x} – dfrac {5} {3x} = dfrac {22} {3} nonumber ]

 

Solución

 

Tenemos tres denominadores; (2x ), (3x ) y (3 ). La pantalla LCD debe contener (2x ), (3x ) y (3 ). Una pantalla LCD de (6x ) contiene los tres denominadores. En otras palabras, cada denominador se puede dividir equitativamente en la pantalla LCD. Luego, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD (6x ).

 

[ begin {align *}
(6x) left [ dfrac {7} {2x} – dfrac {5} {3x} right] & = left [ dfrac {22} {3} right] (6x) \
(6x) left ( dfrac {7} {2x} right) – (6x) left ( dfrac {5} {3x} right) & = left ( dfrac {22} {3} right) (6x) qquad text {Use la propiedad distributiva. Cancelar los factores comunes} \
3 (7) -2 (5) & = 22 (2x) qquad text {Multiplicar los factores restantes por cada numerador.} \
21-10 & = 44x
11 & = 44x \
dfrac {11} {44} & = x \
dfrac {1} {4} & = x
end {align *} ]

 
 

Un error común cometido al resolver ecuaciones racionales implica encontrar el LCD cuando uno de los denominadores es un binomio, dos términos sumados o restados, como ((x + 1) ). Siempre considere un binomio como un factor individual: los términos no se pueden separar. Por ejemplo, suponga que un problema tiene tres términos y los denominadores son (x ), (x − 1 ) y (3x − 3 ). Primero, factorizar todos los denominadores. Entonces tenemos (x ), ((x − 1) ) y (3 (x − 1) ) como denominadores. (Tenga en cuenta los paréntesis colocados alrededor del segundo denominador). Solo los dos últimos denominadores tienen un factor común de ((x − 1) ). La x en el primer denominador está separada de la (x ) en los denominadores ((x − 1) ). Una forma efectiva de recordar esto es escribir denominadores factorizados y binomiales entre paréntesis, y considerar cada paréntesis como una unidad separada o un factor separado. El LCD en este caso se encuentra multiplicando juntos (x ), un factor de ((x − 1) ) y el 3. Por lo tanto, el LCD es el siguiente:

 

(x (x − 1) 3 = 3x (x − 1) )

 

Entonces, ambos lados de la ecuación se multiplicarían por (3x (x − 1) ). Deje la pantalla LCD en forma factorizada, ya que esto hace que sea más fácil ver cómo se cancela cada denominador en el problema.

 

Otro ejemplo es un problema con dos denominadores, como (x ) y (x ^ 2 + 2x ). Una vez que el segundo denominador se factoriza como (x ^ 2 + 2x = x (x + 2) ), hay un factor común de (x ) en ambos denominadores y la pantalla LCD es (x (x + 2) ).

 

A veces tenemos una ecuación racional en forma de proporción; es decir, cuando una fracción es igual a otra fracción y no hay otros términos en la ecuación.

 

[ dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ]

 

Podemos usar otro método para resolver la ecuación sin encontrar la pantalla LCD: la multiplicación cruzada. Multiplicamos términos cruzando sobre el signo igual.

 

 

Multiplica a (d) yb (c), lo que resulta en (ad = bc ).

 

Cualquier solución que haga que un denominador en la expresión original sea igual a cero debe excluirse de las posibilidades.

 
 
 

ECUACIONES RACIONALES

 

Una ecuación nacional contiene al menos una expresión racional donde la variable aparece en al menos uno de los denominadores.

 
 
 
 

Cómo: dada una ecuación racional, resuélvela.

 
         
  1. Factoriza todos los denominadores en la ecuación.
  2.      
  3. Encuentre y excluya valores que establezcan cada denominador igual a cero.
  4.      
  5. Encuentra la pantalla LCD.
  6.      
  7. Multiplica toda la ecuación por la pantalla LCD. Si la pantalla LCD es correcta, no quedarán denominadores.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación restante.
  10.      
  11. Asegúrese de verificar las soluciones en las ecuaciones originales para evitar que una solución produzca cero en un denominador
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolver una ecuación racional sin factorizar

 

Resuelve la siguiente ecuación racional:

 

( dfrac {2} {x} – dfrac {3} {2} = dfrac {7} {2x} )

  Solución  

Tenemos tres denominadores: (x ), (2 ) y (2x ). No se requiere factorización. El producto de los dos primeros denominadores es igual al tercer denominador, por lo tanto, la pantalla LCD es (2x ). Solo se excluye un valor de un conjunto de soluciones, (0 ). Luego, multiplique toda la ecuación (ambos lados del signo igual) por (2x ).

 

[ begin {align *} 2x left [ dfrac {2} {x} – dfrac {3} {2} right] & = left [ dfrac {7} {2x} right ] (2x) \ 2x left ( dfrac {2} {x} right) -2x left ( dfrac {3} {2} right) & = left ( dfrac {7} {2x} right) (2x) qquad text {Distribuir} 2x \ 2 (2) -3x & = 7 qquad text {Los denominadores se cancelan.} \ 4-3x & = 7 \ -3x & = 3 \ x & = -1 text {o} {- 1 } end {align *} ]

 

La solución propuesta es (- 1 ), que no es un valor excluido, por lo que el conjunto de soluciones contiene un número, (x = −1 ) o ( {- 1 } ) escrito en notación de conjunto.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve la ecuación racional:

 

( dfrac {2} {3x} = dfrac {1} {4} – dfrac {1} {6x} )

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac {10} {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver una ecuación racional factorizando el denominador

 

Resuelve la siguiente ecuación racional:

 

( dfrac {1} {x} = dfrac {1} {10} – dfrac {3} {4x} )

 

Solución

 

Primero encuentra el denominador común. Los tres denominadores en forma factorizada son (x, 10 = 2⋅5 ) y (4x = 2⋅2⋅x ). La expresión más pequeña que es divisible por cada uno de los denominadores es (20x ). Solo (x = 0 ) es un valor excluido. Multiplica toda la ecuación por (20x ).

 

[ begin {align *} 20x left ( dfrac {1} {x} right) & = left ( dfrac {1} {10} – dfrac {3} {4x} right ) 20x \ 20 & = 2x-15 \ 35 & = 2x \ dfrac {35} {2} & = x end {align *} ]

 

La solución es ( dfrac {35} {2} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la ecuación racional:

 

[- dfrac {5} {2x} + dfrac {3} {4x} = – dfrac {7} {4} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x = 1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver ecuaciones racionales con un binomio en el denominador

 

Resuelva las siguientes ecuaciones racionales y establezca los valores excluidos:

 
         
  1. ( dfrac {3} {x-6} = dfrac {5} {x} )
  2.      
  3. ( dfrac {x} {x-3} = dfrac {5} {x-3} – dfrac {1} {2} )
  4.      
  5. ( dfrac {x} {x-2} = dfrac {5} {x-2} – dfrac {1} {2} )
  6.  
 

Solución:

 

a.

 

Los denominadores (x ) y (x − 6 ) no tienen nada en común. Por lo tanto, la pantalla LCD es el producto (x (x − 6) ). Sin embargo, para este problema, podemos hacer una multiplicación cruzada.

 

[ begin {align *} dfrac {3} {x-6} & = dfrac {5} {x} \ 3x & = 5 (x-6) qquad text {Distribute.} 3x & = 5x-30 \ -2x & = – 30 \ x & = 15 end {align *} ]

 

La solución es (15 ). Los valores excluidos son (6 ) y (0 ).

 

b.

 

La pantalla LCD es (2 (x − 3) ). Multiplica ambos lados de la ecuación por (2 (x − 3) ).

 

[ begin {align *} 2 (x-3) left [ dfrac {x} {x-3} right] & = left [ dfrac {5} {x-3} – dfrac {1} {2} right] 2 (x-3) \ dfrac {2 (x-3) x} {x-3} & = dfrac {2 (x-3) 5} {x- 3} – dfrac {2 (x-3)} {2} \ 2x & = 10- (x-3) \ 2x & = 13-x \ 3x & = 13 \ x & = dfrac {13} {3 } end {align *} ]

 

La solución es ( dfrac {13} {3} ). El valor excluido es (3 ).

 

c.

 

El mínimo común denominador es (2 (x − 2) ). Multiplica ambos lados de la ecuación por (x (x − 2) ).

 

[ begin {align *} 2 (x-2) left [ dfrac {x} {x-2} right] & = left [ dfrac {5} {x-2} – dfrac {1} {2} right] 2 (x-2) \ 2x & = 10- (x-2) \ 2x & = 12-x \ 3x & = 12 \ x & = 4 end {align *} ]

 

La solución es (4 ). El valor excluido es (2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve ( dfrac {-3} {2x + 1} = dfrac {4} {3x + 1} ). Indique los valores excluidos.

 
     
Respuesta
     
     

(x = – dfrac {7} {17} ). Los valores excluidos son (x = −12 ) y (x = −13 ).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolver una ecuación racional con denominadores factorizados y declarar valores excluidos

 

Resuelva la ecuación racional después de factorizar los denominadores: ( dfrac {2} {x + 1} – dfrac {1} {x-1} = dfrac {2x} {x ^ 2-1} ) . Indique los valores excluidos.

 

Solución

 

Debemos factorizar el denominador (x ^ 2−1 ). Reconocemos esto como la diferencia de cuadrados, y lo factorizamos como ((x − 1) (x + 1) ). Por lo tanto, la pantalla LCD que contiene cada denominador es ((x − 1) (x + 1) ). Multiplique toda la ecuación por la pantalla LCD, cancele los denominadores y resuelva la ecuación restante.

 

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left [ dfrac {2} {x + 1} – dfrac {1} {x-1} right] & = left [ dfrac {2x} {x ^ 2-1} right] (x + 1) (x-1) \ 2 (x-1) – (x + 1) & = 2x \ 2x-2 -x-1 & = 2x text {Distribuya el signo negativo} \ -3-x & = 0 \ x & = -3 end {align *} ]

 

La solución es (- 3 ). Los valores excluidos son (1 ) y (- 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la ecuación racional:

 

( dfrac {2} {x-2} + dfrac {1} {x + 1} = dfrac {1} {x ^ 2-x-2} )

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac {1} {3} )

     
 
 
 

Encontrar una ecuación lineal

 

Quizás la forma más familiar de una ecuación lineal es la forma pendiente-intersección , escrita como [y = mx + b ] donde (m = text {pendiente} ) y (b = text {y − intercept.} ) Comencemos por la pendiente.

 

La pendiente de una línea se refiere a la relación del cambio vertical en (y ) sobre el cambio horizontal en (x ) entre dos puntos en una línea. Indica la dirección en que se inclina una línea, así como su inclinación. La pendiente a veces se describe como subida sobre carrera.

 

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

 

Si la pendiente es positiva, la línea se inclina hacia la derecha. Si la pendiente es negativa, la línea se inclina hacia la izquierda. A medida que aumenta la pendiente, la línea se vuelve más empinada. Algunos ejemplos se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ). Las líneas indican las siguientes pendientes: (m = −3 ), (m = 2 ) y (m = dfrac {1} {3} ).

 
Coordinate plane with the x and y axes ranging from negative 10 to 10.  Three linear functions are plotted: y = negative 3 times x minus 2; y = 2 times x plus 1; and y = x over 3 plus 2.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA

 

La pendiente de una línea, (m ), representa el cambio en (y ) sobre el cambio en (x ). Dados dos puntos, ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ), la siguiente fórmula determina la pendiente de una línea que contiene estos puntos:

 

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar la pendiente de una línea dados dos puntos

 

Encuentre la pendiente de una línea que pasa por los puntos ((2, −1) ) y ((- 5,3) ).

 

Solución

 

Sustituimos los valores (y ) y los valores (x ) en la fórmula.

 

[ begin {align *} m & = dfrac {3 – (- 1)} {- 5-2} \ & = dfrac {4} {- 7} \ & = – dfrac { 4} {7} end {align *} ]

 

La pendiente es (- dfrac {4} {7} )

 

Análisis

 

No importa qué punto se llame ((x_1, y_1) ) o ((x_2, y_2) ). Mientras seamos consistentes con el orden de los términos (y ) y el orden de los términos (x ) en el numerador y el denominador, el cálculo arrojará el mismo resultado.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre la pendiente de la línea que pasa por los puntos ((- 2,6) ) y ((1,4) ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = – dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Identificación de la pendiente y la intersección con el eje y de una línea dada una ecuación

 

Identifique la pendiente y (y ) – intercepción, dada la ecuación (y = – dfrac {3} {4} x-4 ).

 

Solución

 

Como la línea está en forma (y = mx + b ), la línea dada tiene una pendiente de (m = – dfrac {3} {4} ). La intersección con (y ) es (b = −4 ).

 

Análisis

 

La intersección (y ) es el punto en el que la línea cruza el eje (y ). En el eje (y ) -, (x = 0 ). Siempre podemos identificar la intersección (y ) cuando la línea está en forma de pendiente-intersección, ya que siempre será igual a (b ). O simplemente sustituya (x = 0 ) y resuelva (y ).

 
 

La fórmula punto-pendiente

 

Dada la pendiente y un punto en una línea, podemos encontrar la ecuación de la línea usando la fórmula punto-pendiente.

 

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

 

Esta es una fórmula importante, ya que se utilizará en otras áreas del álgebra universitaria y, a menudo, en el cálculo para encontrar la ecuación de una línea tangente. Solo necesitamos un punto y la pendiente de la línea para usar la fórmula. Después de sustituir la pendiente y las coordenadas de un punto en la fórmula, lo simplificamos y lo escribimos en forma de pendiente-intersección.

 
 
 

LA FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE

 

Dado un punto y la pendiente, la fórmula punto-pendiente conducirá a la ecuación de una línea:

 

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Encontrar la ecuación de una línea dada la pendiente y un punto

 

Escribe la ecuación de la recta con pendiente (m = −3 ) y que pasa por el punto ((4,8) ). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

 

Solución

 

Utilizando la fórmula punto-pendiente, sustituya (- 3 ) por my el punto ((4,8) ) por ((x_1, y_1) ).

 

[ begin {align *} y-y_1 & = m (x-x_1) \ y-8 & = -3 (x-4) \ y-8 & = -3x + 12 \ y & = -3x +20 end {align *} ]

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que cualquier punto de la línea se puede utilizar para encontrar la ecuación. Si se hace correctamente, se obtendrá la misma ecuación final.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dado (m = 4 ), encuentre la ecuación de la línea en forma de pendiente-intersección que pasa por el punto ((2,5) ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 4x − 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Encontrar la ecuación de una línea que pasa por dos puntos dados

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por los puntos ((3,4) ) y ((0, −3) ). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

 

Solución

 

Primero, calculamos la pendiente usando la fórmula de la pendiente y dos puntos.

 

[ begin {align *} m & = dfrac {-3-4} {0-3} \ m & = dfrac {-7} {- 3} \ m & = dfrac {7} { 3} \ end {align *} ]

 

A continuación, usamos la fórmula punto-pendiente con la pendiente de ( dfrac {7} {3} ), y cualquier punto. Vamos a elegir el punto ((3,4) ) para ((x_1, y_1) ).

 

[ begin {align *} y-4 & = dfrac {7} {3} (x-3) \ y-4 & = dfrac {7} {3} x-7 \ y & = dfrac {7} {3} -3 \ end {align *} ]

 

En forma de pendiente-intersección, la ecuación se escribe como (y = dfrac {7} {3} -3 )

 

Análisis

 

Para probar que se puede usar cualquier punto, usemos el segundo punto ((0, −3) ) y veamos si obtenemos la misma ecuación.

 

[ begin {align *} y – (- 3) & = dfrac {7} {3} (x-0) \ y + 3 & = dfrac {7} {3} x \ y & = dfrac {7} {3} -3 \ end {align *} ]

 

Vemos que se obtendrá la misma línea usando cualquier punto. Esto tiene sentido porque usamos ambos puntos para calcular la pendiente.

 
 

Forma estándar de una línea

 

Otra forma en que podemos representar la ecuación de una línea es en forma estándar . El formulario estándar se da como

 

[Ax + By = C ]

 

donde (A ), (B ) y (C ) son enteros. Los términos (x ) – e (y ) – están en un lado del signo igual y el término constante está en el otro lado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Encontrar la ecuación de una línea y escribirla en forma estándar

 

Encuentre la ecuación de la línea con (m = −6 ) y pase por el punto ( left ( dfrac {1} {4}, – 2 right) ). Escribe la ecuación en forma estándar.

 

Solución

 

Comenzamos a usar la fórmula punto-pendiente.

 

[ begin {align *} y – (- 2) & = -6 left (x- dfrac {1} {4} right) \ y + 2 & = -6x + dfrac {3} {2} \ end {align *} ]

 

Desde aquí, multiplicamos a través de (2 ), ya que no se permiten fracciones en forma estándar, y luego movemos ambas variables a la izquierda a un lado del signo igual y movemos las constantes a la derecha.

 

[ begin {align *} 2 (y + 2) & = left (-6x + dfrac {3} {2} right) 2 \ 2y + 4 & = -12x + 3 \ 12x + 2y & = -1 end {align *} ]

 

Esta ecuación ahora se escribe en forma estándar.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentre la ecuación de la línea en forma estándar con pendiente (m = – dfrac {1} {3} ) y pasando por el punto ((1,13) ).

 
     
Respuesta
     
     

(x + 3y = 2 )

     
 
 
 

Líneas verticales y horizontales

 

Las ecuaciones de líneas verticales y horizontales no requieren ninguna de las fórmulas anteriores, aunque podemos usar las fórmulas para demostrar que las ecuaciones son correctas. La ecuación de una línea vertical se da como

 

[x = c ]

 

donde (c ) es una constante. La pendiente de una línea vertical no está definida, e independientemente del valor (y ) de cualquier punto de la línea, la coordenada (x ) del punto será (c ).

 

Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contiene los siguientes puntos: ((- 3, −5) ), ((- 3,1) ), ((- 3,3) ) y ((- 3,5) ). Primero, encontraremos la pendiente.

 

(m = dfrac {5-3} {- 3 – (- 3)} = dfrac {2} {0} )

 

Cero en el denominador significa que la pendiente no está definida y, por lo tanto, no podemos usar la fórmula punto-pendiente. Sin embargo, podemos trazar los puntos. Observe que todas las coordenadas (x ) – son iguales y encontramos una línea vertical a través de (x = −3 ). Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 

La ecuación de una línea horizontal se da como

 

[y = c ]

 

donde (c ) es una constante. La pendiente de una línea horizontal es cero, y para cualquier (x ) – valor de un punto en la línea, la coordenada (y ) – será (c ).

 

Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contiene el siguiente conjunto de puntos: ((- 2, −2) ), ((0, −2) ), ((3, – 2) ) y ((5, −2) ). Podemos usar la fórmula punto-pendiente. Primero, encontramos la pendiente usando cualquiera de los dos puntos en la línea.

 

[ begin {align *} m & = dfrac {-2 – (- 2)} {0 – (- 2)} \ & = dfrac {0} {2} \ & = 0 end {align *} ]

 

Use cualquier punto para ((x_1, y_1) ) en la fórmula, o use la intersección en y.

 

[ begin {align *} y – (- 2) & = 0 (x-3) \ y + 2 & = 0 \ y & = -2 end {align *} ]

 

El gráfico es una línea horizontal a través de (y = −2 ). Tenga en cuenta que todas las coordenadas y son iguales. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 7 to 4 and the y-axis ranging from negative 4 to 4.  The function y = negative 2 and the line x = negative 3 are plotted.  
Figura ( PageIndex {3} ): La línea x = −3 es una línea vertical. La línea y = −2 es una línea horizontal
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Encontrar la ecuación de una línea que pasa por los puntos dados

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por los puntos dados: ((1, −3) ) y ((1,4) ).

 

Solución

 

La (x ) – coordenada de ambos puntos es (1 ). Por lo tanto, tenemos una línea vertical, (x = 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por ((- 5,2) ) y ((2,2) ).

 
     
Respuesta
     
     

Línea horizontal: (y = 2 )

     
 
 
 

Determinar si las gráficas de líneas son paralelas o perpendiculares

 

Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. Las líneas que son paralelas entre sí nunca se cruzarán. Por ejemplo, La figura ( PageIndex {4} ) muestra los gráficos de varias líneas con la misma pendiente, (m = 2 ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 8 to 8 in intervals of 2 and the y-axis ranging from negative 7 to 7.  Three functions are graphed on the same plot: y = 2 times x minus 3; y = 2 times x plus 1 and y = 2 times x plus 5.  
Figura ( PageIndex {4} ): líneas paralelas
 
 

Todas las líneas que se muestran en el gráfico son paralelas porque tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y.

 

Las líneas que son perpendiculares se cruzan para formar un ángulo (90 ^ { circ} ). La pendiente de una línea es la negativa recíproca de la otra. Podemos mostrar que dos líneas son perpendiculares si el producto de las dos pendientes es (- 1: m_1⋅m_2 = −1 ). Por ejemplo, la Figura ( PageIndex {5} ) muestra el gráfico de dos líneas perpendiculares. Una línea tiene una pendiente de (3 ); la otra línea tiene una pendiente de (- dfrac {1} {3} ).

 

[ begin {align *} m_1 cdot m_2 & = -1 \ 3 cdot left (- dfrac {1} {3} right) & = -1 \ end {align *} ]

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 3 to 6 and the y-axis ranging from negative 2 to 5.  Two functions are graphed on the same plot: y = 3 times x minus 1 and y = negative x/3 minus 2.  Their intersection is marked by a box to show that it is a right angle.  
Figura ( PageIndex {5} ): líneas perpendiculares
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ): Graficar dos ecuaciones y determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna

 

Representa gráficamente las ecuaciones de las líneas dadas, y establece si son paralelas, perpendiculares o ninguna: (3y = −4x + 3 ) y (3x − 4y = 8 ).

 

Solución

 

Lo primero que queremos hacer es reescribir las ecuaciones para que ambas ecuaciones estén en forma de pendiente-intersección.

 

Primera ecuación:

 

[ begin {align *} 3y & = -4x + 3 \ y & = – dfrac {4} {3} x + 1 \ end {align *} ]

 

Segunda ecuación:

 

[ begin {align *} 3x-4y & = 8 \ -4y & = -3x + 8 \ y & = dfrac {3} {4} x-2 end {align *} ] [19459001 ]  

Vea el gráfico de ambas líneas en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 4 to 5 and the y-axis ranging from negative 4 to 4.  Two functions are graphed on the same plot: y = negative 4 times x/3 plus 1 and y = 3 times x/4 minus 2.  A box is placed at the intersection to note that it forms a right angle.  
Figura ( PageIndex {6} )
 
 

En el gráfico, podemos ver que las líneas aparecen perpendiculares, pero debemos comparar las pendientes.

 

[ begin {align *} m_1 & = – dfrac {4} {3} \ m_2 & = dfrac {3} {4} \ m_1 cdot m_2 & = left (- dfrac {4} {3} right) left ( dfrac {3} {4} right) \ & = – 1 end {align *} ]

 

Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, lo que confirma que las líneas son perpendiculares.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Representa gráficamente las dos líneas y determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna: (2y − x = 10 ) y (2y = x + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

Líneas paralelas: las ecuaciones se escriben en forma de pendiente-intersección.

     
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 5 to 5 and the y-axis ranging from negative 1 to 6.  Two functions are graphed on the same plot: y = x/2 plus 5 and y = x/2 plus 2.  The lines do not cross.      
Figura ( PageIndex {7} )
     
     
 
 
 

Escribiendo las ecuaciones de líneas paralelas o perpendiculares a una línea dada

 

Como hemos aprendido, determinar si dos líneas son paralelas o perpendiculares es cuestión de encontrar las pendientes. Para escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a otra línea, seguimos los mismos principios que para encontrar la ecuación de cualquier línea. Después de encontrar la pendiente, use la fórmula punto-pendiente para escribir la ecuación de la nueva línea.

 
 

Dada una ecuación para una línea, escribe la ecuación de una línea paralela o perpendicular a ella.

 
         
  1. Encuentra la pendiente de la línea dada. La forma más fácil de hacer esto es escribir la ecuación en forma de pendiente-intersección.
  2.      
  3. Usa la pendiente y el punto dado con la fórmula punto-pendiente.
  4.      
  5. Simplifique la línea a la forma pendiente-intersección y compare la ecuación con la línea dada.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ): Escribir la ecuación de una línea paralela a una línea dada que pasa por un punto dado

 

Escribe la ecuación de línea paralela a a (5x + 3y = 1 ) y que pasa por el punto ((3,5) ).

 

Solución

 

Primero, escribiremos la ecuación en forma de pendiente-intersección para encontrar la pendiente.

 

[ begin {align *} 5x + 3y & = 1 \ 3y & = -5x + 1 \ y & = – dfrac {5} {3} + dfrac {1} {3} end {align *} ]

 

La pendiente es (m = – dfrac {5} {3} ). La intersección en y es (13 ), pero eso realmente no entra en nuestro problema, ya que lo único que necesitamos para que dos líneas sean paralelas es la misma pendiente. La única excepción es que si las intersecciones (y ) son las mismas, entonces las dos líneas son la misma línea. El siguiente paso es usar esta pendiente y el punto dado con la fórmula punto-pendiente.

 

[ begin {align *} y-5 & = – dfrac {5} {3} (x-3) \ y-5 & = – dfrac {5} {3} x + 5 \ y & = – dfrac {5} {3} +10 end {align *} ]

 

La ecuación de la línea es (y = – dfrac {5} {3} x + 10 ). Ver Figura ( PageIndex {8} ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 8 to 8 in intervals of 2 and the y-axis ranging from negative 2 to 12 in intervals of 2.  Two functions are graphed on the same plot: y = negative 5 times x/3 plus 1/3 and y = negative 5 times x/3 plus 10.  The lines do not cross.  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentre la ecuación de la línea paralela a (5x = 7 + y ) y que pase por el punto ((- 1, −2) ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 5x + 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ): Encontrar la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pasa por un punto dado

 

Find the equation of the line perpendicular to (5x−3y+4=0space(−4,1)).

 

Solución

 

The first step is to write the equation in slope-intercept form.

 

[begin{align*} 5x-3y+4&= 0\ -3y&= -5x-4\ y&= dfrac{5}{3}x+dfrac{4}{3} end{align*}]

 

We see that the slope is (m=dfrac{5}{3}). This means that the slope of the line perpendicular to the given line is the negative reciprocal, or (-dfrac{3}{5}). Next, we use the point-slope formula with this new slope and the given point.

 

[begin{align*} y-1&= -dfrac{3}{5}(x-(-4))\ y-1&= -dfrac{3}{5}x-dfrac{12}{5}\ y&= -dfrac{3}{5}x-dfrac{12}{5}+dfrac{5}{5}\ y&= -dfrac{3}{5}-dfrac{7}{5} end{align*}]

 
 
 

Key Concepts

 
         
  • We can solve linear equations in one variable in the form (ax +b=0) using standard algebraic properties. See Example and Example .
  •      
  • A rational expression is a quotient of two polynomials. We use the LCD to clear the fractions from an equation. See Example and Example .
  •      
  • All solutions to a rational equation should be verified within the original equation to avoid an undefined term, or zero in the denominator. See Example and Example .
  •      
  • Given two points, we can find the slope of a line using the slope formula. See Example .
  •      
  • We can identify the slope and (y)-intercept of an equation in slope-intercept form. See Example .
  •      
  • We can find the equation of a line given the slope and a point. See Example .
  •      
  • We can also find the equation of a line given two points. Find the slope and use the point-slope formula. See Example .
  •      
  • The standard form of a line has no fractions. See Example .
  •      
  • Horizontal lines have a slope of zero and are defined as (y=c), where (c) is a constant.
  •      
  • Vertical lines have an undefined slope (zero in the denominator), and are defined as (x=c), where (c) is a constant. See Example .
  •      
  • Parallel lines have the same slope and different (y)-intercepts. See Example .
  •      
  • Perpendicular lines have slopes that are negative reciprocals of each other unless one is horizontal and the other is vertical. See Example .
  •  
 

Contributors

 

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