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las matematicas

2.3: Evaluar, simplificar y traducir expresiones (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Evaluar expresiones algebraicas
  •      
  • Identificar términos, coeficientes y términos similares
  •      
  • Simplifique expresiones combinando términos similares
  •      
  • Traduce frases de palabras a expresiones algebraicas
  •  
 
 
 
 

¡Prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. ¿Es (n ÷ 5 ) una expresión o una ecuación? Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.1.4 .
  2.      
  3. Simplifica (4 ^ 5 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.1.6 .
  4.      
  5. Simplifica (1 + 8 • 9 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.1.8 .
  6.  
 
 
 

Evaluar expresiones algebraicas

 

En la última sección, simplificamos expresiones usando el orden de las operaciones. En esta sección, evaluaremos las expresiones, nuevamente siguiendo el orden de las operaciones.

 

Para evaluar una expresión algebraica significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado. Para evaluar una expresión, sustituimos el número dado por la variable en la expresión y luego simplificamos la expresión usando el orden de las operaciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): evaluar

 

Evalúa (x + 7 ) cuando

 
         
  1. (x = 3 )
  2.      
  3. (x = 12 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Para evaluar, sustituya (3 ) por (x ) en la expresión y luego simplifique.
  2.  
                                                                                                                                                              
(x + 7 )
Suplente. ( textcolor {rojo} {3} + 7 )
Agregar. (10 ​​)
 

Cuando (x = 3 ), la expresión (x + 7 ) tiene un valor de (10 ​​).

 
         
  1. Para evaluar, sustituya (12 ) por (x ) en la expresión y luego simplifique.
  2.  
                                                                                                                                                              
(x + 7 )
Suplente. ( textcolor {rojo} {12} + 7 )
Agregar. (19 )
 

Cuando (x = 12 ), la expresión (x + 7 ) tiene un valor de (19 ). Observe que obtuvimos resultados diferentes para las partes (a) y (b) aunque comenzamos con la misma expresión. Esto se debe a que los valores utilizados para (x ) eran diferentes. Cuando evaluamos una expresión, el valor varía según el valor utilizado para la variable.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Evalúe: (y + 4 ) cuando

 
         
  1. (y = 6 )
  2.      
  3. (y = 15 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(10 ​​)

     
     
Respuesta b
     
     

(19 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Evalúe: (a – 5 ) cuando

 
         
  1. (a = 9 )
  2.      
  3. (a = 17 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(4 )

     
     
Respuesta b
     
     

(12 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Evalúe (9x – 2 ), cuando

 
         
  1. (x = 5 )
  2.      
  3. (x = 1 )
  4.  
 

Solución

 

Recuerde (ab ) significa (a ) veces (b ), entonces (9x ) significa (9 ) veces (x ).

 
         
  1. Para evaluar la expresión cuando (x = 5 ), sustituimos (5 ) por (x ), y luego simplificamos.
  2.  
                                                                                                                                                                                                              
(9x – 2 )
Sustituye ( textcolor {red} {5} ) por x. (9 cdot textcolor {rojo} {5} – 2 )
Multiplica. (45 – 2 )
Restar. (43 )
 
         
  1. Para evaluar la expresión cuando (x = 1 ), sustituimos (1 ) por (x ), y luego simplificamos.
  2.  
                                                                                                                                                                                                              
(9x – 2 )
Sustituye ( textcolor {red} {1} ) por x. (9 cdot textcolor {rojo} {1} – 2 )
Multiplica. (9 – 2 )
Restar. (7 )
 

Observe que en la parte (a) que escribimos (9 • 5 ) y en la parte (b) escribimos (9 (1) ). Tanto el punto como el paréntesis nos dicen que multipliquemos.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Evalúe: (8x – 3 ), cuando

 
         
  1. (x = 2 )
  2.      
  3. (x = 1 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(13 )

     
     
Respuesta b
     
     

(5 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evalúe: (4y – 4 ), cuando

 
         
  1. (y = 3 )
  2.      
  3. (y = 5 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(16 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): evaluar

 

Evalúe (x ^ 2 ) cuando (x = 10 ).

 

Solución

 

Sustituimos (10 ​​) por (x ), y luego simplificamos la expresión.

                                                                                                                                                                                                              
(x ^ {2} )
Sustituye ( textcolor {red} {10} ) por x. ( textcolor {rojo} {10} ^ {2} )
Usa la definición de exponente. (10 ​​ cdot 10 )
Multiplicar (100 )
 

Cuando (x = 10 ), la expresión (x ^ 2 ) tiene un valor de (100 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Evalúe: (x ^ 2 ) cuando (x = 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(64 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Evalúe: (x ^ 3 ) cuando (x = 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

(216 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): evaluar

 

Evalúa (2 ^ x ) cuando (x = 5 ).

 

Solución

 

En esta expresión, la variable es un exponente.

                                                                                                                                                                                                              
(2 ^ {x} )
Sustituye ( textcolor {red} {5} ) por x. (2 ^ { textcolor {rojo} {5}} )
Usa la definición de exponente. (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 )
Multiplicar (32 )
 

Cuando (x = 5 ), la expresión (2 ^ x ) tiene un valor de (32 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Evalúe: (2 ^ x ) cuando (x = 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

(64 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Evalúe: (3 ^ x ) cuando (x = 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(81 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): evaluar

 

Evalúe (3x + 4y – 6 ) cuando (x = 10 ) y (y = 2 ).

 

Solución

 

Esta expresión contiene dos variables, por lo que debemos hacer dos sustituciones.

                                                                                                                                                                                                              
(3x + 4y – 6 )
Sustituye ( textcolor {red} {10} ) por x y ( textcolor {blue} {2} ) por y. (3 ( textcolor {rojo} {10}) + 4 ( textcolor {azul} {2}) – 6 )
Multiplica. (30 + 8 – 6 )
Sumar y restar de izquierda a derecha. (32 )
 

Cuando (x = 10 ) y (y = 2 ), la expresión (3x + 4y – 6 ) tiene un valor de (32 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Evalúe: (2x + 5y – 4 ) cuando (x = 11 ) y (y = 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(33 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Evalúe: (5x – 2y – 9 ) cuando (x = 7 ) y (y = 8 )

 
     
Respuesta
     
     

(10 ​​)

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): evaluar

 

Evalúa (2x ^ 2 + 3x + 8 ) cuando (x = 4 ).

 

Solución

 

Debemos tener cuidado cuando una expresión tiene una variable con un exponente. En esta expresión, (2x ^ 2 ) significa (2 • x • x ) y es diferente de la expresión ((2x) ^ 2 ), que significa (2x • 2x ).

                                                                                                                                                                                                                                                              
(2x ^ {2} + 3x + 8 )
Sustituye ( textcolor {red} {4} ) por cada x. (2 ( textcolor {red} {4}) ^ {2} + 3 ( textcolor {red} {4}) + 8 )
Simplifica 4 2 . (2 (16) + 3 (4) + 8 )
Multiplica. (32 + 12 + 8 )
Agregar. (52 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Evalúe: (3x ^ 2 + 4x + 1 ) cuando (x = 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(40 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Evalúe: (6x ^ 2 – 4x – 7 ) cuando (x = 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(9 )

     
 
 
 
 

Identificar términos, coeficientes y términos similares

 

Las expresiones algebraicas se componen de términos . Un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Algunos ejemplos de términos son (7 ), (y ), (5x ^ 2 ), (9a ) y (13xy ).

 

La constante que multiplica la (s) variable (s) en un término se llama coeficiente . Podemos pensar en el coeficiente como el número delante de la variable. El coeficiente del término (3x ) es (3 ). Cuando escribimos (x ), el coeficiente es (1 ), ya que (x = 1 • x ). La tabla ( PageIndex {1} ) da los coeficientes para cada uno de los términos en la columna izquierda.

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Plazo Coeficiente
7 7
9a 9
y 1
5x 2 5
 

Una expresión algebraica puede consistir en uno o más términos agregados o restados. En este capítulo, solo trabajaremos con términos que se sumen. La tabla ( PageIndex {2} ) da algunos ejemplos de expresiones algebraicas con varios números de términos. Tenga en cuenta que incluimos la operación antes de un término con ella.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {2} )
Expresión Términos
7 7
y y
x + 7 x, 7
2x + 7y + 4 2x, 7 años, 4
3x 2 + 4x 2 + 5y + 3 3x 2, 4x 2 , 5 años, 3
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Identifica cada término en la expresión (9b + 15x ^ 2 + a + 6 ). Luego identifica el coeficiente de cada término.

 

Solución

 

La expresión tiene cuatro términos. Son (9b ), (15x ^ 2 ), (a ) y (6 ).

 

El coeficiente de (9b ) es (9 ).

 

El coeficiente de (15x ^ 2 ) es (15 ).

 

Recuerde que si no se escribe ningún número antes de una variable, el coeficiente es (1 ). Entonces el coeficiente de a es (1 ).

 

El coeficiente de una constante es la constante, por lo que el coeficiente de (6 ) es (6 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Identifica todos los términos en la expresión dada y sus coeficientes: (4x + 3b + 2 )

 
     
Respuesta
     
     

Los términos son (4x, 3b, ) y (2 ). Los coeficientes son (4, 3, ) y (2 ).

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Identifica todos los términos en la expresión dada y sus coeficientes: (9a + 13a ^ 2 + a ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

Los términos son (9a, 13a ^ 2, ) y (a ^ 3 ), los coeficientes son (9, 13, ) y (1 ).

     
 
 
 
 

Algunos términos comparten rasgos comunes. Mira los siguientes términos. ¿Cuáles parecen tener rasgos en común?

 

(5x, 7, n ^ {2}, 4, 3x, 9n ^ {2} )

 

¿Cuál de estos términos son términos similares?

 
         
  • Los términos (7 ) y (4 ) son términos constantes.
  •      
  • Los términos (5x ) y (3x ) son términos con (x ).
  •      
  • Los términos (n ^ 2 ) y (9n ^ 2 ) tienen ambos (n ^ 2 ).
  •  
 

Los términos se denominan términos similares si tienen las mismas variables y exponentes. Todos los términos constantes también son términos similares. Entonces, entre los términos (5x, 7, n ^ 2, 4, 3x, 9n ^ 2, 7 ) y (4 ) son términos similares, (5x ) y (3x ) son términos similares, y (n ^ 2 ) y (9n ^ 2 ) son términos similares.

 
 

Definición: términos similares

 

Los términos que son constantes o tienen las mismas variables con los mismos exponentes son términos similares.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): identificar

 

Identifique los términos similares:

 
         
  1. (y ^ 3, 7x ^ 2, 14, 23, 4y ^ 3, 9x, 5x ^ 2 )
  2.      
  3. (4x ^ 2 + 2x + 5x ^ 2 + 6x + 40x + 8xy )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. (y ^ 3, 7x ^ 2, 14, 23, 4y ^ 3, 9x, 5x ^ 2 )
  2.  
 

Mira las variables y exponentes. La expresión contiene (y ^ 3, x ^ 2, x ) y constantes. Los términos (y ^ 3 ) y (4y ^ 3 ) son términos similares porque ambos tienen (y ^ 3 ). Los términos (7x ^ 2 ) y (5x ^ 2 ) son términos similares porque ambos tienen (x ^ 2 ). Los términos (14 ) y (23 ) son términos similares porque son constantes. El término (9x ) no tiene términos similares en esta lista, ya que ningún otro término tiene la variable (x ) elevada a (1 ).

 
         
  1. (4x ^ 2 + 2x + 5x ^ 2 + 6x + 40x + 8xy )
  2.  
 

Mira las variables y exponentes. La expresión contiene los términos (4x ^ 2, 2x, 5x ^ 2, 6x, 40x ) y (8xy ) Los términos (4x ^ 2 ) y (5x ^ 2 ) son términos similares porque ambos tienen (x ^ 2 ). Los términos (2x, 6x ) y (40x ) son términos similares porque todos tienen (x ). El término (8xy ) no tiene términos similares en la expresión dada porque ningún otro término contiene las dos variables (xy ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Identifique los términos similares en la lista o la expresión: (9, 2x ^ 3, y ^ 2, 8x ^ 3, 15, 9y, 11y ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(9, 15 ); (2x ^ 3 ) y (8x ^ 3 ), (y ^ 2 ) y (11y ^ 2 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Identifique los términos similares en la lista o la expresión: (4x ^ 3 + 8x ^ 2 + 19 + 3x ^ 2 + 24 + 6x ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(4x ^ 3 ) y (6x ^ 3 ); (8x ^ 2 ) y (3x ^ 2 ); (19 ) y (24 )

     
 
 
 
 

Simplifique expresiones mediante la combinación de términos similares

 

Podemos simplificar una expresión combinando los términos similares. ¿Qué crees que se simplificaría (3x + 6x )? Si pensaras (9x ), ¡estarías en lo correcto!

 

Podemos ver por qué esto funciona escribiendo ambos términos como problemas de suma.

 

 

Agregue los coeficientes y mantenga la misma variable. No importa qué sea (x ). Si tiene (3 ) de algo y agrega (6 ) más de lo mismo, el resultado es (9 ) de ellos. Por ejemplo, (3 ) naranjas más (6 ) naranjas es (9 ) naranjas. Discutiremos las propiedades matemáticas detrás de esto más adelante.

 

La expresión (3x + 6x ) tiene solo dos términos. Cuando una expresión contiene más términos, puede ser útil reorganizar los términos para que los términos similares estén juntos. La propiedad conmutativa de la suma dice que podemos cambiar el orden de los sumandos sin cambiar la suma. Entonces podríamos reorganizar la siguiente expresión antes de combinar términos similares.

 

 

Ahora es más fácil ver los términos similares que se combinan.

 
 

CÓMO: COMBINAR COMO TÉRMINOS

 

Paso 1. Identificar términos similares.

 

Paso 2. Reorganiza la expresión para que los términos similares estén juntos.

 

Paso 3. Suma los coeficientes de los términos similares.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

 

Simplifica la expresión: (3x + 7 + 4x + 5 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
(3x + 7 + 4x + 5 )
Identifica los términos similares ( textcolor {rojo} {3x} + textcolor {azul} {7} + textcolor {rojo} {4x} + textcolor {azul} {5} )
Reorganice la expresión, de modo que los términos similares estén juntos. ( textcolor {rojo} {3x} + textcolor {rojo} {4x} + textcolor {azul} {7} + textcolor {azul} {5} )
Agregue los coeficientes de los términos similares. ( textcolor {rojo} {7x} + textcolor {azul} {12} )
La expresión original se simplifica a … (7x + 12 )
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar: (7x + 9 + 9x + 8 )

 
     
Respuesta
     
     

(16x + 17 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplifica: (5y + 2 + 8y + 4y + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(17 años + 7 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): simplificar

 

Simplifique la expresión: (7x ^ 2 + 8x + x ^ 2 + 4x ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
(7x ^ {2} + 8x + x ^ {2} + 4x )
Identifica los términos similares. ( textcolor {rojo} {7x ^ {2}} + textcolor {azul} {8x} + textcolor {rojo} {x ^ {2}} + textcolor {azul} {4x} )
Reorganizar la expresión para que términos semejantes estén juntos. ( textcolor {red} {7x ^ {2}} + textcolor {red} {x ^ {2}} + textcolor {blue} {8x} + textcolor {blue} {4x} )
Agregue los coeficientes de los términos similares. ( textcolor {rojo} {8x ^ {2}} + textcolor {azul} {12x} )
 

Estos no son términos similares y no se pueden combinar. Entonces (8x ^ 2 + 12x ) está en la forma más simple.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplifica: (3x ^ 2 + 9x + x ^ 2 + 5x )

 
     
Respuesta
     
     

(4x ^ 2 + 14x )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: (11y ^ 2 + 8y + y ^ 2 + 7y )

 
     
Respuesta
     
     

(12 años ^ 2 + 15 años )

     
 
 
 
 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
  •  
 
                                  
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