En la sección anterior, comenzamos con una función y luego dibujamos el gráfico de la función dada. En esta sección, comenzaremos con el gráfico de una función, luego haremos una serie de interpretaciones basadas en el gráfico dado: evaluaciones de funciones, el dominio y el rango de la función, y resolviendo ecuaciones y desigualdades.
La prueba de línea vertical
Considere la gráfica de la relación R que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). Recuerde que anteriormente definimos una relación como un conjunto de pares ordenados. Seguramente, el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a) es un conjunto de pares ordenados. De hecho, es un conjunto infinito de pares ordenados, tantos que el gráfico es una curva sólida.
En la Figura ( PageIndex {1} ) (b), tenga en cuenta que podemos dibujar una línea vertical que corta el gráfico más de una vez. En la Figura ( PageIndex {1} ) (b), hemos dibujado una línea vertical que corta el gráfico en dos lugares, una vez en ( left (x, y_ {1} right) ), luego nuevamente en ( left (x, y_ {2} right) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (c). Esto significa que el objeto de dominio x está emparejado con dos objetos de rango diferentes, a saber, (y_ {1} ) y (y_ {2} ), por lo que la relación R no es una función.
Recordemos la definición de una función.
Definición
Una relación es una función si y solo si cada objeto en su dominio está emparejado con un solo objeto en su rango.
Considere el diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {2} ), donde hemos usado flechas para indicar los pares ordenados ( left (x, y_ {1} right) ) y ( left (x, y_ {2} right) ) en la Figura ( PageIndex {1} ) (c). Tenga en cuenta que x, un objeto en el dominio de R, se asigna a dos objetos en el rango de R, a saber, (y_ {1} ) y (y_ {2} ). Por lo tanto, la relación R no es una función.
Esta discusión lleva al siguiente resultado, llamado prueba de línea vertical para funciones.
La prueba de línea vertical
Si alguna línea vertical corta el gráfico de una relación más de una vez, entonces la relación NO es una función.
Por lo tanto, el círculo representado en la Figura ( PageIndex {3} ) (a) es una relación, pero no es el gráfico de una función. Es posible cortar el gráfico del círculo más de una vez con una línea vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). Por otro lado, la parábola que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b) es el gráfico de una función, porque ninguna línea vertical cortará el gráfico más de una vez.
Lectura del gráfico para valores de función
Sabemos que la gráfica de f representada en la Figura ( PageIndex {4} ) es la gráfica de una función. Sabemos esto porque ninguna línea vertical cortará la gráfica de f más de una vez.
Anteriormente definimos la gráfica de f como el conjunto de todos los pares ordenados ((x, f (x)) ), de modo que x está en el dominio de f. En consecuencia, si seleccionamos un punto P en el gráfico de f, como en la Figura ( PageIndex {4} ) (a), etiquetamos el punto P (x, f (x)). Sin embargo, también podemos etiquetar este punto como (P (x, y) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b). Esto lleva a una nueva interpretación de f (x) como el valor y del punto P. Es decir, f (x) es el valor y que se combina con x.
Definición
f (x) es el valor de y que se combina con x.
Dos comentarios más están en orden. En la Figura ( PageIndex {4} ) (a), seleccionamos un punto P en el gráfico de f.
- Para encontrar el valor x del punto P, debemos proyectar el punto P en el eje x.
- Para encontrar f (x), el valor de y que está emparejado con x, debemos proyectar el punto P en el eje y.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Dado el gráfico de f en la Figura ( PageIndex {5} ) (a), encuentre f (4).
Solución
Primero, tenga en cuenta que la gráfica de f representa una función. Ninguna línea vertical cortará la gráfica de f más de una vez.
Debido a que f (4) representa el valor y que se combina con un valor x de 4, primero ubicamos 4 en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). Luego dibujamos una flecha vertical hasta que interceptamos la gráfica de f en el punto P (4, f (4)). Finalmente, dibujamos una flecha horizontal desde el punto P hasta que interceptamos el eje y. La proyección del punto P sobre el eje y es el valor de f (4).
Debido a que tenemos una cuadrícula que muestra una escala en cada eje, podemos aproximar el valor de f (4). Parece que el valor y del punto P es aproximadamente 4. Por lo tanto, (f (4) aprox 4 ).
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Dado el gráfico de f en la Figura ( PageIndex {6} ) (a), encuentre f (5).
Solución
Primero, tenga en cuenta que la gráfica de f representa una función. Ninguna línea vertical cortará la gráfica de f más de una vez.
Debido a que f (5) representa el valor y que se combina con un valor x de 5, primero ubicamos 5 en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Luego dibujamos una flecha vertical hasta que interceptamos la gráfica de f en el punto P (5, f (5)). Finalmente, dibujamos una flecha horizontal desde el punto P hasta que interceptamos el eje y. La proyección del punto P sobre el eje y es el valor de f (5).
Debido a que tenemos una cuadrícula que muestra una escala en cada eje, podemos aproximar el valor de f (5). Parece que el valor y del punto P es aproximadamente 6. Por lo tanto, (f (5) aprox 6 ).
Vamos a revertir la interpretación en otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Dada la gráfica de f en la Figura ( PageIndex {7} ) (a), ¿para qué valor de x hace f (x) = −4?
Solución
Nuevamente, el gráfico de la Figura ( PageIndex {7} ) pasa la prueba de línea vertical y representa el gráfico de una función.
Esta vez, en la ecuación (f (x) = −4 ), se nos da un valor y igual a −4. En consecuencia, debemos revertir el proceso utilizado en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) y el Ejemplo ( PageIndex {2} ). Primero ubicamos el valor y −4 en el eje y, luego dibujamos una flecha horizontal hasta que interceptamos
el gráfico de f en P, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Finalmente, dibujamos una flecha vertical desde el punto P hasta que interceptamos el eje x. La proyección del punto P sobre el eje x es la solución de (f (x) = −4 ).
Debido a que tenemos una cuadrícula que muestra una escala en cada eje, podemos aproximar el valor de x del punto P. Parece que (x aprox 5 ). Por lo tanto, etiquetamos el punto P (5, f (5)), y la solución de (f (x) = −4 ) es aproximadamente (x aprox 5 ).
Esta solución se puede verificar fácilmente calculando f (5). Simplemente comience con 5 en el eje x, luego invierta el orden de las flechas que se muestran en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Deberías terminar en −4 en el eje y, demostrando que (f (5) = −4 ).
El dominio y el rango de una función
Podemos usar la gráfica de una función para determinar su dominio y rango. Por ejemplo, considere el gráfico de la función que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).
Tenga en cuenta que ninguna línea vertical cortará la gráfica de f más de una vez, por lo que la gráfica de f representa una función.
Para determinar el dominio, debemos recopilar los valores de x (primeras coordenadas) de cada punto en la gráfica de f. En la Figura ( PageIndex {8} ) (b), hemos seleccionado un punto P en el gráfico de f, que luego proyectamos en el eje x. La imagen de esta proyección es el punto Q, y el valor x del punto Q es un elemento en el dominio de f.
Piense en la proyección que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b) de la siguiente manera. Imagine una fuente de luz sobre el punto P. El punto P bloquea la luz y su sombra cae sobre el eje x en el punto Q. Es decir, piense en el punto Q como la “sombra” que produce el punto P cuando está proyectado verticalmente sobre el eje x.
Ahora, para encontrar el dominio de la función f, debemos proyectar cada punto de la gráfica de f en el eje x. Aquí está la pregunta: si proyectamos cada punto de la gráfica de f en el eje x, ¿qué parte del eje x “quedará en la sombra” cuando se complete el proceso? La respuesta se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (c).
En la Figura ( PageIndex {8} ) (c), tenga en cuenta que la “sombra” creada al proyectar cada punto en el gráfico de f sobre el eje x está sombreada en rojo (una línea más gruesa si está viendo esto en blanco y negro). Esta colección de valores x es el dominio de la función f. Hay tres puntos críticos que necesitamos hacer sobre la “sombra” en el eje x en la Figura ( PageIndex {8} ) (c).
- Todos los puntos que se encuentran entre (x = −3 ) y (x = 4 ) se han sombreado en el eje x en rojo.
- El punto final izquierdo de la gráfica de f es un círculo abierto. Esto indica que no hay ningún punto trazado en este punto final. En consecuencia, no tiene sentido proyectar sobre el eje x, y esto explica el círculo abierto en el extremo izquierdo de nuestra “sombra” en el eje x.
- Por otro lado, el punto final derecho de la gráfica de f es un punto final lleno. Esto indica que este es un punto trazado y parte de la gráfica de f. En consecuencia, cuando este punto se proyecta sobre el eje x, una sombra cae en x = 4. Esto explica el punto final lleno en el extremo derecho de nuestra “sombra” en el eje x.
Podemos describir los valores de x de la “sombra” en el eje x usando la notación de generador de conjuntos.
[ text {Dominio de} f = {x: -3 Tenga en cuenta que no incluimos −3 en esta descripción porque el extremo izquierdo de la sombra en el eje x es un círculo vacío. Tenga en cuenta que incluimos 4 en esta descripción porque el extremo derecho de la sombra en el eje x es un círculo relleno. También podemos describir los valores de x de la “sombra” en el eje x usando la notación de intervalo. [ text {Dominio de} f = (- 3,4] ] Recordamos a nuestros lectores que el paréntesis de la izquierda significa que no estamos incluyendo −3, mientras que el paréntesis de la derecha significa que estamos incluyendo 4. Para encontrar el rango de la función, visualice nuevamente el gráfico de f que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (a). Proceda de manera similar, solo que esta vez el proyecto apunta en el gráfico de f al eje y, como se muestra en las Figuras ( PageIndex {9} ) (b) y (c). Observe qué parte del eje y “se encuentra en la sombra” una vez que hayamos proyectado todos los puntos en la gráfica de f en el eje y. Ahora podemos describir fácilmente el rango tanto en el generador de conjuntos como en la notación de intervalo. [ text {Rango de} f = (- 2,4] = {y: -2 Veamos otro ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {4} ) Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función representada por el gráfico en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Solución Para determinar el dominio de f, proyecte cada punto de la gráfica de f en el eje x. Esta proyección se indica mediante la “sombra” en el eje x en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Deben hacerse dos puntos importantes sobre esta “sombra” o proyección. 1. El punto final izquierdo de la gráfica de f está vacío (indicado por el círculo abierto), por lo que no tiene proyección sobre el eje x. Esto se indica mediante un círculo abierto en el extremo izquierdo (en (x = −4 )) de la “sombra” o proyección en el eje x. 2. La punta de flecha en el extremo derecho de la gráfica de f indica que la gráfica de f continúa hacia abajo y hacia la derecha indefinidamente. En consecuencia, la proyección sobre el eje x es una sombra que se mueve indefinidamente hacia la derecha. Esto se indica mediante una punta de flecha en el extremo derecho de la “sombra” o proyección en el eje x. En consecuencia, el dominio de f es la colección de valores x representados por la “sombra” o proyección sobre el eje x. Tenga en cuenta que todos los valores de x a la derecha de (x = −4 ) están sombreados en el eje x. En consecuencia, [ text {Dominio de} f = (- 4, infty) = {x: x> -4 } ] Para encontrar el rango, debemos proyectar cada punto en el gráfico de f (redibujado en la Figura ( PageIndex {11} ) (a)) en el eje y. La proyección se indica mediante una “sombra” o proyección en el eje y, como se ve en la Figura ( PageIndex {11} ) (b). Deben hacerse dos puntos importantes sobre esta “sombra” o proyección. En consecuencia, el rango de f es la colección de valores y sombreados en el eje y del sistema de coordenadas que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b). Tenga en cuenta que todos los valores y inferiores a (y = 3 ) están sombreados en el eje y. Por lo tanto, el rango de f es [ text {Rango de} f = (- infty, 3) = {y: y <3 } ] Veamos otro ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {5} ) Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función representada por el gráfico en la Figura ( PageIndex {12} ) (a). Solución Para determinar el dominio de f, debemos proyectar todos los puntos en la gráfica de f en el eje x. Esta proyección se indica mediante la “sombra” roja (o estilo de línea más gruesa si está viendo esto en blanco y negro) que se muestra en el eje x en la Figura ( PageIndex {12} ) (b). Deben hacerse dos puntos importantes sobre esta “sombra” o proyección. En consecuencia, todo el eje x se encuentra en “sombra”, lo que hace que el dominio de f sea [ text {Dominio de} f = (- infty, infty) = {x: x in mathbb {R} } ] Para determinar el rango de f, debemos proyectar todos los puntos en la gráfica de f en el eje y. Esta proyección se indica mediante la “sombra” roja (o una línea más gruesa si está viendo esto en blanco y negro) que se muestra en el eje y en la Figura ( PageIndex {13} ) (b). Dos puntos importantes deben hacerse sobre esta “sombra” o proyección. En consecuencia, todos los puntos en el eje y arriba e incluyendo el punto en el origen “se encuentran en la sombra”. Por lo tanto, el rango de f es [ text {Rango de} f = [0, infty) = {y: y geq 0 } ] 
Uso de una calculadora gráfica para determinar el dominio y el rango
Hemos aprendido cómo encontrar el dominio y el rango de una función mirando su gráfico. Por lo tanto, si definimos una función por medio de una expresión, como (f (x) = sqrt {4-x} ), entonces deberíamos poder capturar el dominio y el rango de f de su gráfico, siempre que , por supuesto, que podemos dibujar la gráfica de f. Encontraremos que la calculadora gráfica será una herramienta útil para este ejercicio.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función definida por la regla
[f (x) = sqrt {4-x} ]
Solución
Cargue la expresión que define f en el menú Y =, como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ) (a). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir el gráfico de f que se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ) (b).
Copie la imagen en la Figura ( PageIndex {14} ) (b) en una hoja de papel cuadriculado. Etiquete y escale cada eje con los parámetros WINDOW xmin, xmax, ymin e ymax, como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (a).
A continuación, proyecte cada punto en el gráfico de f en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (b). Tenga en cuenta que hemos hecho dos supuestos sobre la gráfica de f.
- En el extremo izquierdo del gráfico en las Figuras ( PageIndex {14} ) (b) y ( PageIndex {15} ) (b), asumimos que el gráfico de f continúa hacia arriba y hacia el se fue indefinidamente. Por lo tanto, la “sombra” o proyección sobre el eje x se moverá indefinidamente hacia la izquierda. Esto se indica adjuntando una punta de flecha al extremo izquierdo de la región que “se encuentra en la sombra” en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (b).
- También suponemos que el extremo derecho del gráfico termina en el punto ((4, 0) ). Esto explica el “punto lleno” cuando este punto en la gráfica de f se proyecta en el eje x.
Tenga en cuenta que la “sombra” o proyección sobre el eje x en la Figura ( PageIndex {15} ) (b) incluye todos los valores de x menores o iguales que 4. Por lo tanto, el dominio de f es [ text {Dominio de} f = (- infty, 4] = {x: x leq 4 } ]
Podemos intuir este resultado al considerar la expresión que define f. Es decir, considere la regla o definición
[f (x) = sqrt {4-x} ]
Recuerde que anteriormente definimos el dominio de f como el conjunto de valores x “permisibles”. En este caso, es imposible sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que debemos tener cuidado al seleccionar los valores de x que usamos en esta regla. Tenga en cuenta que (x = 4 ) está permitido, como
[f (0) = sqrt {4-4} = sqrt {0} = 0 ]
Sin embargo, los números mayores que 4 no se pueden usar en esta regla. Por ejemplo, considere lo que sucede cuando intentamos usar (x = 5 ).
[f (x) = sqrt {4-5} = sqrt {-1} ]
Dejaremos que nuestros lectores prueben otros valores de x que sean menores que 4. También producirán respuestas reales cuando se ingresen en la regla (f (x) = sqrt {4-x} ). Tenga en cuenta que esto también verifica nuestra conjetura anterior de que la “sombra” o proyección que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (b) continúa indefinidamente a la izquierda.
En lugar de “adivinar y verificar”, podemos acelerar el análisis del dominio de (f (x) = sqrt {4-x} ) al notar que la expresión debajo del radical no debe ser negativa número. Por lo tanto, (4 – x ) debe ser mayor o igual que cero. Este argumento produce una desigualdad que se resuelve fácilmente para x.
[ begin {alineado} 4-x & geq 0 \ – x & geq-4 \ x & leq 4 end {alineado} ]
Este último resultado verifica que el dominio de f es todos los valores de x que son menores o iguales a 4, lo cual está completamente de acuerdo con la “sombra” o proyección en el eje x que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (b).
Para determinar el rango de f, debemos proyectar cada punto en la gráfica de f en el eje y, como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) (b).
Nuevamente, hacemos dos supuestos sobre la gráfica de f.
1. En el extremo izquierdo del gráfico de (f (x) = sqrt {4-x} ) en las Figuras ( PageIndex {14} ) (b) y ( PageIndex { 16} ) (b), suponemos que la gráfica de f continúa hacia arriba y hacia la izquierda indefinidamente. Por lo tanto, cuando los puntos en el gráfico de f se proyectan en el eje y, habrá proyecciones provenientes de la parte superior izquierda de los puntos en el gráfico de f que no son visibles en la ventana de visualización seleccionada en la Figura ( PageIndex {14 })(si). Por lo tanto, la “sombra” o proyección en el eje y que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) (b) continúa hacia arriba indefinidamente. Esto se indica con una punta de flecha en el extremo superior de la “sombra” en el eje y en la Figura ( PageIndex {16} ) (b).
2. Nuevamente, asumimos que el extremo derecho de la gráfica de f termina en el punto ((4, 0) ). La proyección de este punto en el eje y produce el punto final “lleno” en el origen que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) (b).
Tenga en cuenta que la “sombra” o proyección sobre el eje y en la Figura ( PageIndex {16} ) (b) incluye todos los valores de y que son mayores o iguales a cero. Por lo tanto,
[ text {Rango de} f = [0, infty) = {y: y geq 0 } ]