2.3: Modelado de funciones lineales

Ecuaciones de líneas

Dada la ecuación algebraica de una línea, podemos graficarla de varias maneras. En esta sección, se nos dará una descripción geométrica de una línea y encontraremos la ecuación algebraica. Encontrar la ecuación de una línea se puede lograr de varias maneras. El siguiente ejemplo utiliza la forma pendiente-intersección, (y = mx + b ), o usando la notación de función, (f (x) = mx + b ). Si podemos determinar la pendiente, (m ), y la intersección (y ), ((0, b) ), entonces podemos construir la ecuación.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por ((- 3, 6) ) y ((5, −4) ).

Solución

Comenzamos por encontrar la pendiente. Dados dos puntos, podemos encontrar la pendiente usando la fórmula de la pendiente.

( begin {array} {ll} { left (x _ {1}, y _ {1} right)} & { left (x _ {2}, y _ {2} right )} \ {(- 3,6)} & {(5, – 4)} end {array} )

( begin {alineado} m & = frac {y _ {2} – y _ {1}} {x _ {2} – x _ {1}} \ & = frac {- 4 – (6)} {5 – (- 3)} \ & = frac {- 4 – 6} {5 + 3} \ & = frac {- 10} {8} \ & = – frac {5} {4} end {alineado} )

Aquí (m = – frac {5} {4} ) y tenemos

( begin {array} {l} {f (x) = mx + b} \ {f (x) = – frac {5} {4} x + b} end {array} )

Para encontrar (b ), sustituya cualquiera de los puntos dados a través de los cuales pasa la línea. Aquí usaremos ((- 3, 6) ), pero ((5, −4) ) funcionaría igual de bien:

( begin {alineado} f (x) & = – frac {5} {4} x + b quad quad color {Cerulean} {Use (x, f (x)) = (- 3,6)} \ color {OliveGreen} {6} & color {Black} {=} – frac {5} {4} ( color {OliveGreen} {- 3} color {Black} {) } + b \ 6 & = frac {15} {4} + b \ frac {6 cdot color {Cerulean} {4}} { color {Black} {1} cdot color {Cerulean } {4}} – frac {15} {4} & = b \ frac {24-15} {4} – 15 \ frac {9} {4} & = b end {alineado} )

Por lo tanto, la ecuación de la línea que pasa por los dos puntos dados es:

( begin {array} {l} {f (x) = mx : : + : : b} \ quad quad quad quad color {Cerulean} { downarrow quad : : : : : downarrow} \ {f (x) = – frac {5} {4} x + frac {9} {4}} end {array} ) [ 19459005]

Respuesta

[f (x) = – frac {5} {4} x + frac {9} {4} ]

A continuación, describimos un método alternativo para encontrar ecuaciones de líneas. Comience aplicando la fórmula de la pendiente con un punto dado ((x_ {1}, y_ {1}) ) y un punto variable ((x, y) ).

( begin {alineado} m & = frac {y – y _ {1}} {x – x _ {1}} \ frac {m} {1} & = frac {y – y _ {1}} {x – x _ {1}} quad quad color {Cerulean} {Cruz : multiplicar} \ m left (x – x _ {1} right) & = y – y _ {1} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : symmetric : property} \ left (y – y _ {1} right) & = m left (x – x _ {1} right) end {alineado} )

Por lo tanto, la ecuación de una línea no vertical se puede escribir en punto-pendiente forma ³⁰ :

(y – y _ {1} = m izquierda (x – x _ {1} derecha) quad color {Cerulean} {Punto-pendiente : forma.} )

La forma punto-pendiente es particularmente útil para encontrar la ecuación de una línea dada la pendiente y cualquier solución de par ordenado. Después de encontrar la pendiente, (- frac {5} {4} ) en el ejemplo anterior, podríamos usar esta forma para encontrar la ecuación.

( begin {array} {l} { color {Cerulean} {Point quad quad Slope}} \ { left (x _ {1}, y _ {1} right)} {(- 3,6) quad m = – frac {5} {4}} end {array} )

Sustituir de la siguiente manera.

( begin {alineado} y – y _ {1} & = color {Cerulean} {m} color {Black} { left (x – x _ {1} right)} \ y – ( color {OliveGreen} {6} color {Black} {)} & = color {Cerulean} {- frac {5} {4}} color {Black} {(} x – ( color { Verde oliva} {- 3} color {Negro} {)}) quad color {Cerulean} {Resolver : para : y} \ y – 6 & = – frac {5} {4} (x + 3) quad quad color {Cerulean} {Distribuir} \ y – 6 & = – frac {5} {4} x – frac {15} {4} \ y & = – frac {5 } {4} x – frac {15} {4} +6 \ y & = – frac {5} {4} x + frac {9} {4} end {alineado} )

Observe que obtenemos la misma función lineal (f (x) = – frac {5} {4} x + frac {9} {4} ).

A veces una variable no se expresa explícitamente en términos de otra; sin embargo, todavía se supone que una variable depende de la otra. Por ejemplo, la ecuación (2x + 3y = 6 ) representa implícitamente la función (f (x) = – frac {2} {3} x + 2 ). Debería sentirse cómodo trabajando con funciones en formar.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentre la ecuación de la siguiente función lineal:

Solución

De la gráfica podemos determinar dos puntos ((- 1, −2) ) y ((4, 1) ). Use estos puntos para leer la pendiente del gráfico. El aumento es (3 ) unidades y la ejecución es (5 ) unidades.

Por lo tanto, tenemos la pendiente y un punto. (No importa cuál de los puntos dados usemos, el resultado será el mismo).

( begin {array} {l} { color {Cerulean} {Point}} quad quad : : color {Cerulean} {Slope} \ {(- 1, – 2) quad m = frac {3} {5}} end {array} )

Usa la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta.

( begin {alineado} y – y _ {1} & = color {Cerulean} {m} color {Black} { left (x – x _ {1} right)} \ y – ( color {OliveGreen} {- 2} color {Black} {)} & = color {Cerulean} { frac {3} {5}} color {Black} {(} x – ( color { Verde oliva} {- 1} color {Negro} {)}) quad color {Cerulean} {Resolver : para : y.} \ y + 2 & = frac {3} {5} (x + 1) \ y + 2 & = frac {3} {5} x + frac {3} {5} \ y & = frac {3} {5} x + frac {3} {5} – 2 \ y & = frac {3} {5} x – frac {7} {5} end {alineado} )

Respuesta

[f (x) = frac {3} {5} x− frac {7} {5} ]

Recuerde que líneas paralelas ³¹ son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Dos líneas no verticales en el mismo plano con pendientes (m_ {1} ) y (m_ {2} ) son paralelas si sus pendientes son iguales, (m_ {1} = m_ {2} ) .

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por ((3, −2) ) y paralela a (x – 2y = −2 ).

Solución

Para encontrar la pendiente de la línea dada, resuelve (y ).

( begin {alineado} x – 2 y & = – 2 \ – 2 y & = – x – 2 \ y & = frac {- x – 2} {- 2} \ y & = frac {- x} {- 2} – frac {2} {- 2} \ y & = frac {1} {2} x + 1 end {alineado} )

Aquí la línea dada tiene pendiente (m = frac {1} {2} ) y, por lo tanto, la pendiente de una línea paralela (m_ {∥} = frac {1} {2} ). la notación (m_ {∥} ) lee ” (m ) paralelo”. Como se nos da un punto y ahora tenemos la pendiente, elegiremos usar la forma punto-pendiente de una línea para determinar la ecuación.

( begin {array} {ll} { color {Cerulean} {Point}} & { color {Cerulean} {Slope}} \ {(3, – 2)} & {m _ { |} = frac {1} {2}} end {array} )

( begin {alineado} y – y _ {1} & = m left (x – x _ {1} right) color {Cerulean} {Point-Slope : form} \ y – (- 2) & = frac {1} {2} (x – 3) \ y + 2 & = frac {1} {2} x – frac {3} {2} \ y + 2 color {Cerulean} {- 2} & = frac {1} {2} x – frac {3} {2} color {Cerulean} {- 2} \ y & = frac {1} {2} x – frac {7} {2} end {alineado} )

Respuesta

[f (x) = frac {1} {2} x – frac {7} {2} ]

Es importante tener una comprensión geométrica de esta pregunta. Se nos pidió encontrar la ecuación de una línea paralela a otra línea que pasa por un cierto punto.

A través del punto ((3, −2) ) encontramos una línea paralela, (y = frac {1} {2} x – frac {7} {2} ), que se muestra como Linea discontinua. Observe que la pendiente es la misma que la línea dada, (y = frac {1} {2} x + 1 ), pero la intersección con (y ) es diferente.

Recuerde que líneas perpendiculares ³² son líneas en el mismo plano que se cortan en ángulo recto ( (90 ) grados ) Dos líneas no verticales, en el mismo plano con pendientes (m_ {1} ) y (m_ {2} ), son perpendiculares si el producto de sus pendientes es (- 1 ), (m_ {1} ⋅ m_ {2} = −1 ). Podemos resolver (m_ {1} ) y obtener (m_ {1} = – frac {1} {m_ {2}} ). De esta forma, vemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes negativas recíprocas ³³ o opuestas a [ 19459008] recíprocos ³⁴ . En general, dados los números reales a y b,

( text {If} : m = frac {a} {b} text {then} m _ { perp} = – frac {b} {a} )

La notación matemática (m_ {⊥} ) dice ” (m ) perpendicular”. Por ejemplo, el recíproco opuesto de (m = – frac {3} {5} ) es (m⊥ = frac {5} {3} ). Podemos verificar que dos pendientes producen líneas perpendiculares si su producto es (- 1 ).

(m cdot m _ { perp} = – frac {3} {5} cdot frac {5} {3} = – frac {15} {15} = – 1 color { Cerulean} {✓} )

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por ((- 5, −2) ) y perpendicular a (x + 4y = 4 ).

Solución

Para encontrar la pendiente de la línea dada, resuelve (y ).

( begin {alineado} x + 4 y & = 4 \ 4 y & = – x + 4 \ y & = frac {- x + 4} {4} \ y & = frac {- x} {4} + frac {4} {4} \ y & = – frac {1} {4} x + 1 end {alineado} )

La línea dada tiene pendiente (m = – frac {1} {4} ), y por lo tanto, (m⊥ = + frac {4} {1} = 4 ). Sustituya esta pendiente y el punto dado en forma punto-pendiente.

( begin {array} {ll} { color {Cerulean} {Point}} & { color {Cerulean} {Slope}} \ {(- 5, – 2)} & {m _ { perp} = 4} end {array} )

( begin {alineado} y – y _ {1} & = m left (x – x _ {1} right) \ y – (- 2) & = 4 (x – (- 5 )) \ y + 2 & = 4 (x + 5) \ y + 5 & = 4 x + 20 \ y & = 4 x + 18 end {alineado} )

Respuesta

[f (x) = 4x + 18 ]

Geométricamente, vemos que la línea (y = 4x + 18 ), que se muestra como una línea discontinua en el gráfico, pasa por ((- 5, -2) ) y es perpendicular a la línea dada (y = frac {1} {4} x + 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por ((- 5, −2) ) y perpendicular a ( frac {1} {3} x – frac {1} {2} y = −2 )

Respuesta

(y = – frac {3} {2} x – frac {19} {2} )

Modelado de aplicaciones lineales

Los datos se pueden usar para construir funciones que modelen aplicaciones del mundo real. Una vez que se determina una ecuación que se ajusta a los datos dados, podemos usar la ecuación para hacer ciertas predicciones; esto se llama matemática modelado ³⁵ .

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

El costo de un alquiler diario de camiones es ($ 48.00 ), más un ($ 0.45 ) adicional por cada milla recorrida. Escriba una función que indique el costo del alquiler diario de la camioneta y úsela para determinar el costo total de alquilar la camioneta por un día y conducirla (60 ) millas.

Solución

El costo total del alquiler del camión depende de la cantidad de millas recorridas. Si dejamos que (x ) represente la cantidad de millas recorridas, entonces (0.45x ) representa el costo variable de alquilar el camión. Use esto y el costo fijo, ($ 48.00 ), para escribir una función que modele el costo total,

(C (x) = 0,45 x + 48 )

Use esta función para calcular el costo del alquiler cuando (x = 60 ) millas.

( begin {alineado} C (60) & = 0.45 (60) + 48 \ & = 27 + 48 \ & = 75 end {alineado} )

Respuesta :

El costo total de alquilar el camión por el día y conducirlo (60 ) millas sería ($ 75 ).

Podemos usar el modelo (C (x) = 0.45x + 48 ) para responder muchas más preguntas. Por ejemplo, ¿cuántas millas se pueden conducir para mantener el costo del alquiler como máximo ($ 66 )? Para responder a esta pregunta, configure una desigualdad que exprese el costo menor o igual a ($ 66 ).

( begin {alineado} C (x) y leq $ 66 \ 0.45 x + 48 y leq 66 end {alineado} )

Resuelve (x ) para determinar la cantidad de millas que se pueden conducir.

( begin {alineado} 0.45 x + 48 & leq 66 \ 0.45 x & leq 18 \ x & leq 40 end {alineado} )

Para limitar el costo del alquiler a ($ 66 ), el camión puede conducir (40 ) millas o menos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Una compañía compró una nueva pieza de equipo por ($ 12,000 ). Cuatro años después se valoró en ($ 9,000 ) dólares. Utilice estos datos para construir una función lineal que modele el valor de la pieza de equipo a lo largo del tiempo.

Solución

El valor del artículo depende de la cantidad de años posteriores a la compra. Por lo tanto, la edad de la pieza del equipo es la variable independiente. Utilice pares ordenados donde los valores (x ) representan la edad y los valores (y ) representan el valor correspondiente.

((edad, valor) )

A partir del problema, podemos determinar dos pares ordenados. Compró nuevo ((edad = 0) ), el costo del artículo ($ 12,000 ) y (4 ) años después, el artículo se valoró en ($ 9,000 ). Por lo tanto, podemos escribir los siguientes dos pares ordenados ((edad, valor) ):

((0, : 12,000) quad text {y} quad (4, : 9,000) )

Usa estos dos pares ordenados para construir un modelo lineal. Comience por encontrar la pendiente (m ).

( begin {alineado} m & = frac {y _ {2} – y _ {1}} {x _ {2} – x _ {1}} \ & = frac {9,000 – 12,000} {4 – 0} \ & = frac {- 3,000} {4} \ & = – 750 end {alineado} )

Aquí tenemos (m = −750 ). El par ordenado ((0, 12,000) ) da la intercepción (y ); por lo tanto, (b = 12,000 ).

( begin {array} {l} {y = m x + b} \ {y = – 750 x + 12,000} end {array} )

Por último, escriba este modelo como una función que da el valor del equipo a lo largo del tiempo. Elija el nombre de la función (V ), para el valor, y la variable (t ) en lugar de (x ) para representar el tiempo en años.

(V (t) = – 750 t + 12,000 )

Respuesta :

(V (t) = – 750 t + 12,000 )

La función (V (t) = −750t + 12,000 ) llamada una depreciación lineal modelo ³⁶ . Utiliza una ecuación lineal para expresar el valor decreciente de un elemento a lo largo del tiempo. El uso de esta función para determinar el valor del elemento entre los puntos de datos dados se denomina interpolación ³⁷ . Por ejemplo, podemos usar la función para determinar el valor del elemento donde (t = 2 ),

( begin {alineado} V (2) & = – 750 (2) + 12,000 \ & = 10,500 end {alineado} )

La función muestra que el artículo valía ($ 10,500 ) dos años después de su compra. El uso de este modelo para predecir el valor fuera de los puntos de datos dados se llama extrapolación ³⁸ . Por ejemplo, podemos usar la función para determinar el valor del elemento cuando (t = 10 ):

( begin {alineado} V (10) & = – 750 (10) + 12,000 \ & = – 7,500 + 12,000 \ & = 4,500 end {alineado} )

El modelo predice que la pieza del equipo valdrá ($ 4,500 ) diez años después de su compra.

En una aplicación comercial, los ingresos resultan de la venta de varios artículos. Por ejemplo, si un artículo puede venderse por ($ 150 ) y dejamos que (n ) represente el número de unidades vendidas, entonces podemos formar la siguiente función ³⁹ :

(R (n) = 150n )

Use esta función para determinar los ingresos generados por la venta de unidades (n = 100 ),

(R (100) = 150 (100) = 15,000 )

La función muestra que los ingresos generados por la venta de (100 ) artículos son ($ 15,000 ). Por lo general, vender artículos no representa toda la historia. Hay una serie de costos asociados con la generación de ingresos. Por ejemplo, si hay una tarifa de configuración única de ($ 5,280 ) y cada artículo cuesta ($ 62 ) para producir, entonces podemos formar la siguiente función costo [19459009 ] ⁴⁰ :

(C (n) = 62 n + 5,280 )

Aquí (n ) representa el número de artículos producidos. Use esta función para determinar el costo asociado con la producción de unidades (n = 100 ):

(C (100) = 62 (100) + 5,280 = 11,480 )

La función muestra que el costo asociado con la producción de 100 artículos es de $ 11,480. El beneficio es el ingreso menos los costos:

( begin {alineado} color {Cerulean} {Profit} & = color {Cerulean} {Revenue -Cost} \ & = 15,000 – 11,480 \ & = 3,520 end {alineado} ) [ 19459005]

Por lo tanto, el beneficio generado al producir y vender (100 ) artículos es ($ 3,520 ). En general, dada una función de ingresos (R ) y una función de costo (C ), podemos formar una ganancia función ⁴¹ restando lo siguiente:

(P (n) = R (n) – C (n) )

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

El costo en dólares de producir n artículos viene dado por la fórmula (C (n) = 62n + 5,280 ). El ingreso en dólares viene dado por (R (n) = 150n ), donde (n ) representa el número de artículos vendidos. Escriba una función que proporcione el beneficio generado al producir y vender n artículos. Use la función para determinar cuántos artículos se deben producir y vender para obtener una ganancia de al menos ($ 7,000 ).

Solución

Obtenga la función de ganancia restando la función de costo de la función de ingresos.

( begin {alineado} P (n) & = R (n) – C (n) \ & = 150 n – (62 n + 5,280) \ & = 150 n – 62 n – 5,280 & = 88 n – 5.280 end {alineado} )

Por lo tanto, (P (n) = 88n + 5,280 ) modela la ganancia. Para determinar la cantidad de artículos que se deben producir y vender para obtener ganancias al menos ($ 7,000 ), resuelva lo siguiente:

( begin {alineado} P (n) & geq 7,000 \ 88 n – 5,280 & geq 7,000 \ 88 n & geq 12,280 \ n & geq 139.5 end {alineado} )

Redondear hacia arriba porque el número de unidades producidas y vendidas debe ser un número entero. Para ver esto, calcule la ganancia donde (n ) es (139 ) y (140 ) unidades.

( begin {array} {l} {P (139) = 88 (139) – 5,280 = 6,952} \ {P (140) = 88 (140) – 5,280 = 7,040} end {array} )

Respuesta :

(140 ) o más artículos deben ser producidos y vendidos para obtener una ganancia de al menos ($ 7,000 ).

A veces los costos exceden los ingresos, en cuyo caso, el beneficio será negativo. Por ejemplo, use la función de beneficio del ejemplo anterior, (P (n) = 88n – 5,280 ), para calcular el beneficio generado donde (n = 50 ).

(P (50) = 88 (50) – 5,280 = – 880 )

Esto indica que cuando se producen y venden (50 ) unidades, la ganancia correspondiente es una pérdida de ($ 880 ).

A menudo es importante determinar cuántos artículos se deben producir y vender para alcanzar el punto de equilibrio. Para alcanzar el punto de equilibrio significa no tener ni una ganancia ni una pérdida; en este caso, el beneficio será igual a cero. Para determinar el punto de equilibrio punto ⁴² , establezca la función de beneficio igual a cero y resuelva:

( begin {alineado} P (n) & = 88 n – 5,280 \ 0 & = 88 n – 5,280 \ 5,280 & = 88 n \ 60 & = n end {alineado} ) [ 19459005]

Por lo tanto, (60 ) artículos deben ser producidos y vendidos para alcanzar el punto de equilibrio.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Las camisetas personalizadas se pueden vender por ($ 6.50 ) cada una. Además de una tarifa de instalación inicial de ($ 120 ), cada camiseta cuesta ($ 3.50 ) para producir.

Escriba una función que modele los ingresos y una función que modele el costo.
Determine una función que modele la ganancia y úsela para determinar la ganancia de producir y vender (150 ) camisetas.
Calcule la cantidad de camisetas que se deben vender para alcanzar el punto de equilibrio.

Respuesta

a. Ingresos: (R (x) = 6.50x ); costo: (C (x) = 3.50x + 120 );

b. beneficio: (P (x) = 3x + 120 ); ($ 330 )

c. (40 )

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Ecuaciones de líneas

Modelado de aplicaciones lineales

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